קיר ישר מגלים

הוציאו מוט ברזל מסיר של מים רותחים. כל המוט חם באותה מידה, 100 מעלות מקצה לקצה, ואם תשרטטו את הטמפרטורה שלו תקבלו קו ישר ושטוח, כמו קיר. עכשיו תקעו את שני הקצוות שלו בקרח. בחלק הקודם גילינו שכל טמפרטורה שבנויה מגלים מסוימים יודעת בדיוק מה לעשות: כל גל דועך לבד, בקצב שלו. אבל כל הגלים האלה מתחילים באפס, נגמרים באפס, ומתעקלים כל הדרך. האם אפשר לבנות מהם קיר ישר, שעומד במלוא גובהו עד הקצה? ב-1807 טען פורייה שאפשר, ולא רק קיר, אלא כל טמפרטורה שהיא. לגראנז’, מגדולי המתמטיקאים של זמנו, התנגד בכל תוקף. בחלק הזה נבנה את הקיר, גל אחרי גל, ונראה מי מהשניים צדק.

זה החלק השלישי בסדרה «מחום לפורייה». בחלק הראשון בנינו את משוואת החום, ובחלק השני מצאנו את הצורות ששומרות על צורתן: סינוסים, שכל אחד מהם דועך בקצב משלו. בחלק הזה נשלים את המתכון של פורייה. נגלה איך מוצאים, לכל טמפרטורה התחלתית, כמה יש בה מכל צורה, בעזרת תעלול אחד של שטחים, שכל שאר הסדרה נשען עליו. ובסוף נפתור את הבעיה שפורייה עצמו פתר: מה קורה למוט שכולו ב-100 מעלות, כשהקצוות שלו נכנסים לקרח.

כמו בחלקים הקודמים, מה שצריך להביא הוא מתמטיקה של 5 יחידות: נגזרות ואינטגרלים של סינוס וקוסינוס, פונקציה מעריכית, וקצת זהויות טריגונומטריות. מי שלא קרא את החלקים הקודמים יכול להתחיל כאן, כי הפרק הבא מסכם את כל מה שצריך מהם. והתיבות שכתוב עליהן «צלילה לעומק» הן, כרגיל, בשביל מי שרוצה לראות למה הדברים נכונים באמת. אפשר לדלג עליהן בלי לאבד את החוט.

מה נשאר איתנו מהחלקים הקודמים

המוט שלנו נמתח, כמו בחלק הקודם, מ-0 עד $\pi$ . זו רק בחירה של יחידת אורך, שחוסכת $\pi$ מיותרים בנוסחאות. כשנרצה מספרים של מוט אמיתי, נעבור למוט נחושת באורך מטר, ואז הנקודה $x$ שבנוסחאות נמצאת $100x/\pi$ סנטימטר מהקצה. הטמפרטורה בנקודה $x$ ברגע $t$ היא $u(x,t)$ , והיא מקיימת את משוואת החום

\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

כאשר $\alpha$ הוא מקדם הדיפוזיה התרמית של החומר. שני הקצוות תקועים בקרח, ולכן $u = 0$ בשניהם, בכל רגע.

הצורות. הצורות ששומרות על צורתן בין שני דליי קרח הן

\sin x,\ \ \sin 2x,\ \ \sin 3x,\ \ \ldots

צורה $n$ מכניסה למוט בדיוק $n$ חצאי גל, והיא אפס בשני הקצוות. משוואת החום לא משנה אותה, רק מכפילה אותה במספר שהולך וקטן: אחרי זמן $t$ , הצורה $\sin nx$ הופכת ל- $e^{-n^2\alpha t}\sin nx$ . צורה $n$ דועכת פי $n^2$ מהר יותר מצורה 1.

החיבור. משוואת החום ליניארית, ולכן אפשר לחבר פתרונות. אם הטמפרטורה ההתחלתית היא סכום של צורות,

u(x,0) = b_1\sin x + b_2\sin 2x + b_3\sin 3x + \cdots

אז הפתרון בכל רגע הוא אותו סכום, כשכל צורה דועכת בקצב שלה:

u(x,t) = b_1 e^{-\alpha t}\sin x + b_2 e^{-4\alpha t}\sin 2x + b_3 e^{-9\alpha t}\sin 3x + \cdots

למספרים $b_1, b_2, b_3, \ldots$ נקרא הגבהים של הצורות: כמה יש מכל צורה בטמפרטורה ההתחלתית.

השעון של הנחושת. במוט נחושת באורך מטר, צורה 1 דועכת כמו $e^{-t/\tau_1}$ , כאשר $\tau_1$ , קבוע הזמן שלה, הוא 15.2 דקות. צורה $n$ דועכת כמו $e^{-n^2 t/\tau_1}$ , וזמן המחצית של צורה 1 הוא 10.5 דקות.

ה«אם». כל זה עובד אם הטמפרטורה ההתחלתית היא סכום של צורות. בחלק הקודם בחרנו דוגמאות שכבר היו בנויות כך, כמו האות M, שהיא $60\sin x + 30\sin 3x$ . אבל אף אחד לא מחמם מוט לפי נוסחה. מוט שיוצא ממים רותחים הוא 100 מעלות בכל מקום, וזהו. האם גם הוא סכום של צורות? ואם כן, באילו גבהים?

הבעיה של פורייה

בואו נכתוב בדיוק מה אנחנו מבקשים. אנחנו מחפשים מספרים $b_1, b_2, b_3, \ldots$ כך שלכל $x$ שבין 0 ל- $\pi$ , כלומר בכל נקודה שבתוך המוט,

100 = b_1\sin x + b_2\sin 2x + b_3\sin 3x + \cdots

זו לא בעיה מומצאת. זו, כמעט מילה במילה, אחת הבעיות הראשונות שפורייה פתר. הוא חשב על לוח מתכת דק וארוך מאוד, ששתי הצלעות הארוכות שלו מוחזקות בטמפרטורה 0, והצלע הקצרה שבתחתית מוחזקת בטמפרטורה קבועה, 1. הוא רצה לדעת איך מתפזר החום בלוח כשהמצב מתייצב, וכדי לפתור את זה הוא היה צריך לכתוב את הטמפרטורה לאורך הצלע הקצרה, 1 בכל מקום בין שתי צלעות של 0, כסכום של גלים. זה הקיר שלנו בדיוק: טמפרטורה אחידה בין שני קצוות קרים. הוא כתב אותו עם קוסינוסים, כי מדד את המיקום מאמצע הצלע ולא מקצה שלה, אבל זה אותו סכום, רק מוזז.

ובדיוק כאן עמד לגראנז’. כדי לראות למה, תסתכלו על הצורות. כל אחת מהן היא קו חלק לגמרי, בלי שום פינה ובלי שום קפיצה, וכל אחת מהן היא אפס בשני הקצוות. אם מחברים שתיים, או עשר, או אלף, מקבלים שוב קו חלק שהוא אפס בקצוות. אין שום דרך שסכום כזה יקפוץ בבת אחת מ-0 בקצה ל-100 ממש לידו. והקיר עושה בדיוק את זה: בקצה הוא 0, כי שם הקרח, ובכל נקודה אחרת, קרובה לקצה ככל שתהיה, הוא 100.

אז אם יש לבעיה פתרון, הוא חייב להיות סכום שאין לו סוף. שום סכום סופי של צורות לא יהיה אף פעם קיר. השאלה היא אם אינסוף צורות יכולות לעשות משהו שאף סכום סופי שלהן לא יכול. פורייה אמר שכן. לגראנז’, שהיה אז בן 71 ועסק בשאלות מהסוג הזה כבר קרוב לחמישים שנה קודם לכן, בוויכוח המפורסם על המיתר הרוטט, אמר שלא.

לפני שבונים, שני ניחושים. הראשון: אם נמשיך להוסיף צורות בגבהים הנכונים, מה יקרה בקצה עצמו? והשני: האם הסכום יעבור אי פעם את ה-100?

הקיר שכמעט עמד

בחלק הקודם, במערבל הצורות, הייתה דוגמה בשם «כמעט קיר»: צורות 1, 3 ו-5, בגבהים 60, 20 ו-12. הגבהים האלה לא נבחרו במקרה. תסתכלו עליהם שוב: 60 חלקי 1, 60 חלקי 3, 60 חלקי 5. רק צורות אי-זוגיות, וכל אחת בגובה שהוא 60 חלקי המספר שלה. זה הדפוס של קיר. בעוד שני פרקים נגזור אותו, אבל בינתיים הנה התשובה: כדי לבנות קיר בגובה $W$ מעלות, צריך את הצורות האי-זוגיות בלבד, וצורה $n$ צריכה להיות בגובה

b_n = \frac{4W}{n\pi}

ב«כמעט קיר» היה $4W/\pi = 60$ , כלומר $W = 15\pi$ , בערך 47.1 מעלות. ובקיר שלנו, של 100 מעלות, $4W/\pi$ הוא בערך 127.3: הצורה הראשונה בגובה 127.3 מעלות, השלישית ב-42.4, החמישית ב-25.5, וכל צורה $n$ בגובה 127.3 חלקי $n$ .

עכשיו נבנה. בהמחשה הבאה מתחילים מצורה אחת, ומוסיפים צורות אחת אחת, כל אחת בגובה שלה. עקבו אחרי שני דברים: מה קורה באמצע המוט, ומה קורה ליד הקצוות.

בונים קיר מגלים

המוט יצא ממים רותחים, והוא ב-100° מקצה לקצה. כל צורה שאפשר להוסיף היא אפס בשני הקצוות. לחצו «עוד צורה» כדי להוסיף את הצורה האי-זוגית הבאה, בגובה שפורייה מצא לה, או «הפעל» כדי לראות את הקיר נבנה צורה אחרי צורה.

מספר הצורות 1

הצג את הצורה האחרונה שנוספה זום על הקצה השמאלי

מיקום לאורך המוט, בס״מ

הקיר: 100° לאורך כל המוט סכום הצורות הצורה האחרונה שנוספה

הגובה של כל צורה, לפי מספר הצורה

צורות בסכום

127.3°

באמצע המוט

127.3°

השיא הגבוה ביותר, 50.0 ס״מ מהקצה

מהמוט בטווח של מעלה אחת מ-100°

הגובה של צורה n הוא 400/(nπ) מעלות, כלומר 127.3 חלקי n, ורק בצורות האי-זוגיות. מאיפה הגבהים האלה באים, מוסבר בפוסט. כל הקווים מחושבים כאן, בדפדפן, ב-4,000 נקודות לאורך המוט.

הצורה הראשונה לבדה היא גבעת סינוס בגובה 127.3 מעלות. היא גבוהה מדי באמצע, נמוכה מדי ליד הקצוות, ועוברת את ה-100 בערך 29 סנטימטר מכל קצה. צורה 3, בגובה 42.4, מורידה את האמצע ומרימה את השוליים, ואפילו מגזימה: האמצע יורד ל-84.9, הרבה מתחת ל-100. צורה 5 מחזירה אותו למעלה, ל-110.3, צורה 7 למטה, ל-92.2, וצורה 9 שוב למעלה, ל-106.3. האמצע מתנדנד סביב ה-100, והנדנודים קטנים, אבל לאט. כדי שיישאר בטווח של מעלה אחת מ-100 צריך 32 צורות, עד צורה 63. ולטווח של עשירית מעלה צריך 319 צורות.ליד הקצוות קורה משהו מוזר יותר. בקצה עצמו הסכום הוא תמיד 0, לא משנה כמה צורות מוסיפים: כל צורה היא אפס שם, ולכן גם כל סכום שלהן. אבל בצמוד לקצה הסכום מזנק ועובר את ה-100. הוא מגיע ל-118 מעלות, יורד מתחת ל-100, ומשם ממשיך בגלים קטנים שנרגעים לכיוון האמצע. עם 10 צורות, השיא הזה נמצא 5 סנטימטר מהקצה. עם 100 צורות, חצי סנטימטר מהקצה. עם 200, רבע סנטימטר. השיא נדחק אל הקצה ונעשה צר יותר ויותר, אבל לא נמוך יותר: הוא תקוע על 117.9 מעלות. סמנו את הזום על הקצה, והוסיפו צורות, כדי לראות את זה מקרוב.אז מה קרה לקיר? בכל נקודה שבתוך המוט, הסכום מתקרב ל-100 ככל שמוסיפים צורות. עם 10 צורות, 13% מהמוט נמצאים בטווח של מעלה אחת מ-100. עם 100 צורות, 87%. עם 200, כמעט 94%. כל נקודה פנימית, קרובה לקצה ככל שתהיה, נכנסת בסוף לטווח, כי השיא והגלים שאחריו נדחקים אל הקצה ועוברים אותה. אבל אין אף סכום סופי שאצלו כל המוט נמצא בטווח: תמיד יש פס צר ליד כל קצה, שבו הסכום מטפס מ-0 ל-118. זו התשובה לשני הניחושים. בקצה עצמו הסכום תמיד 0, ולא 100. והוא עובר את ה-100, תמיד, בכמעט 18 מעלות. נחזור לשיא העקשן הזה בחלק החמישי.ובדרך קיבלנו משהו בחינם. באמצע המוט, ב-

x = \pi/2

, הסינוסים של הצורות האי-זוגיות הם לסירוגין 1 ומינוס 1:

\sin(\pi/2) = 1

\sin(3\pi/2) = -1

\sin(5\pi/2) = 1

, וכן הלאה. לכן הסכום באמצע הוא

\frac{400}{\pi}\Bigl(1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots\Bigr)

ואם הקיר באמת נבנה, זה צריך להיות 100. כלומר

1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \frac19 - \cdots = \frac{\pi}{4}

זו נוסחה מפורסמת לפאי. מתמטיקאים בקרלה שבדרום הודו, בבית הספר של מדהאווה, הכירו אותה כבר במאה ה-14 או ה-15, ובאירופה גילו אותה מחדש ג’יימס גרגורי ב-1671 וגוטפריד לייבניץ ב-1673. כאן היא נפלה עלינו מתוך מוט חם. והיא גם מסבירה את הנדנוד באמצע המוט: כל צורה חדשה מתקנת את הקודמת, והתיקונים קטנים כמו אחד חלקי המספר שלה, לאט מאוד. מכאן ה-32 צורות בשביל מעלה אחת.

שטח עם סימן

הגבהים $4W/(n\pi)$ נפלו עלינו מהשמיים. עכשיו נראה מאיפה הם באים, בדרך שעובדת לכל טמפרטורה, לא רק לקיר.

הבעיה היא כזאת. נתונה טמפרטורה $f(x)$ , ונניח שהיא סכום של צורות:

f(x) = b_1\sin x + b_2\sin 2x + b_3\sin 3x + \cdots

אנחנו רוצים לדעת את $b_3$ , למשל. הקושי הוא שכל הצורות מעורבבות. בכל נקודה במוט, $f$ היא סכום של כולן, ואי אפשר לראות בה את צורה 3 לבד. אפשר לנסות להציב נקודות: כל נקודה $x$ נותנת משוואה אחת, שבה משתתפים כל הגבהים. עם אינסוף נעלמים צריך אינסוף משוואות, וזה, פחות או יותר, מה שפורייה עשה בהתחלה: הוא פתר מערכת של אינסוף משוואות באינסוף נעלמים. (על זה בתיבה ההיסטורית, בסוף.) יש דרך טובה הרבה יותר.

הדרך היא להכפיל את $f$ בצורה 3, $\sin 3x$ , ולחשב את השטח שבין המכפלה לציר, מ-0 עד $\pi$ . שטח עם סימן: מה שמעל הציר נספר בפלוס, ומה שמתחתיו במינוס. זה בדיוק האינטגרל $\int_0^\pi f(x)\sin 3x\,dx$ . למה זה עוזר? כי $f$ היא סכום, והאינטגרל של סכום הוא סכום האינטגרלים. כל צורה שיש במוט תורמת לשטח הזה חלק משלה, $b_k\int_0^\pi \sin kx\,\sin 3x\,dx$ . והתעלול הוא שכמעט כל החלקים האלה הם אפס.

לפני ההמחשה, נחשו: המכפלה $\sin x\cdot\sin 2x$ . איפה יש לה יותר שטח, מעל הציר או מתחתיו?

שטח עם סימן

מכפילים שתי צורות זו בזו, נקודה אחרי נקודה, ומסתכלים על השטח שבין המכפלה לציר: מה שמעל הציר נספר בפלוס, ומה שמתחתיו במינוס. בחרו שתי צורות, ונחשו את התוצאה לפני שאתם מסתכלים על המספרים.

הצורה הראשונה 1 הצורה השנייה 2

הצג את המכפלה כהפרש של שני קוסינוסים

שתי הצורות

המכפלה, והשטח שבינה לבין הציר

מיקום לאורך המוט, מ-0 עד π

שטח מעל הציר: נספר בפלוס שטח מתחת לציר: נספר במינוס

+0.000

השטח מעל הציר

−0.000

השטח מתחת לציר

0.000

סך הכל

השטחים מחושבים כאן כסכום של 2,000 מלבנים צרים לאורך המוט. לשם השוואה, π/2 ≈ 1.571.

השטח שמעל הציר שווה בדיוק לשטח שמתחתיו. ב- $\sin x\cdot\sin 2x$ רואים את זה כמעט בעין. בחצי השמאלי של המוט שתי הצורות חיוביות, והמכפלה מעל הציר. בחצי הימני $\sin 2x$ שלילית, והמכפלה מתחת לציר. והחצי הימני הוא תמונת ראי הפוכה של השמאלי, ולכן השטחים, 0.667 כל אחד, מבטלים זה את זה. אבל גם בזוגות שאין בהם סימטריה פשוטה כזאת, כמו צורות 2 ו-3, השטחים מבטלים זה את זה בדיוק: 0.639 מעל, 0.639 מתחת. בכל זוג של צורות שונות הסך הכל הוא אפס. רק כשמכפילים צורה בעצמה, המכפלה היא ריבוע, תמיד מעל הציר, והשטח הוא $\pi/2$ , בערך 1.571, לכל צורה.

הבדיקה בעיפרון לוקחת כמה שורות. מנוסחאות הקוסינוס של הפרש ושל סכום זוויות,

\cos(a - b) - \cos(a + b) = 2\sin a\,\sin b

(האיברים עם $\cos a\cos b$ מבטלים זה את זה.) לכן מכפלה של שני סינוסים היא הפרש של שני קוסינוסים:

\sin mx\,\sin nx = \tfrac12\cos\bigl((m-n)x\bigr) - \tfrac12\cos\bigl((m+n)x\bigr)

את זה מראה התיבה שבהמחשה: סמנו אותה, והמכפלה מתפרקת לשני קוסינוסים. ועכשיו, לכל מספר שלם $k$ שאינו אפס,

\int_0^\pi \cos kx\,dx = \frac{\sin k\pi}{k} = 0

קוסינוס שנכנס למוט מספר שלם של חצאי גל נמצא מעל הציר בדיוק באותה מידה שהוא נמצא מתחתיו. אם $m \ne n$ , גם $m - n$ וגם $m + n$ הם מספרים שלמים שאינם אפס, ושני האינטגרלים מתאפסים. ואם $m = n$ , הקוסינוס הראשון הוא $\cos 0 = 1$ , והאינטגרל שלו הוא $\pi$ . ובסך הכל:

\int_0^\pi \sin mx\,\sin nx\,dx = \begin{cases} 0, & m \ne n \\[2pt] \pi/2, & m = n \end{cases}

לתכונה הזאת קוראים אורתוגונליות, מהמילה היוונית לזווית ישרה. זה נשמע שם מוזר לשטח מתחת לגרף, ובחלק הרביעי נראה שהוא מתאים בדיוק: צורות שונות מאונכות זו לזו, כמו צירים במערכת צירים.

עכשיו התעלול. נכפיל את שני האגפים של $f(x) = b_1\sin x + b_2\sin 2x + \cdots$ ב- $\sin nx$ , ונחשב שטח מ-0 עד $\pi$ :

\int_0^\pi f(x)\sin nx\,dx = b_1\!\int_0^\pi \sin x\,\sin nx\,dx + b_2\!\int_0^\pi \sin 2x\,\sin nx\,dx + \cdots

כל האינטגרלים באגף ימין הם אפס, חוץ מאחד: זה שבו הצורה היא $\sin nx$ עצמה, ושם יוצא $\pi/2$ . מכל הסכום האינסופי נשאר איבר אחד, $b_n\pi/2$ . ולכן

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\,\sin nx\,dx

זו הנוסחה של פורייה לגבהים. היא לא דורשת לפתור שום מערכת משוואות. כל גובה מחושב לבד, באינטגרל אחד, בלי לדעת שום דבר על שאר הגבהים.

אפשר לחשוב על זה כמו על רדיו. באוויר יש בבת אחת גלים של עשרות תחנות, מעורבבים זה בזה. מקלט רדיו לא מפרק את כל התערובת. הוא מכוון לתדר אחד, ובזכות מתמטיקה קרובה מאוד לזאת, כל השאר מבטלים את עצמם. הכפל ב- $\sin nx$ וחישוב השטח הם כפתור הכיוון שלנו: הם «מקשיבים» רק לצורה $n$ .

יש כאן הנחה אחת שעברנו עליה מהר מדי. חישבנו את השטח של סכום אינסופי איבר אחרי איבר, כאילו היה סכום רגיל. בסכום סופי זה תמיד מותר. בסכום אינסופי זה דורש הצדקה, ובקיר, כמו שראינו, הסכום לא מתנהג יפה בכלל ליד הקצוות. הנוסחה בכל זאת נכונה. הסבר קצר יש בתיבה הבאה, והסבר מלא בחלקים הרביעי והחמישי.

הגבהים של הקיר

בואו נפעיל את הנוסחה על הקיר, $f(x) = W$ לכל אורך המוט:

\int_0^\pi W\sin nx\,dx = W\Bigl[-\frac{\cos nx}{n}\Bigr]_0^\pi = \frac{W\,(1 - \cos n\pi)}{n}

$\cos n\pi$ הוא 1 כש- $n$ זוגי, ומינוס 1 כש- $n$ אי-זוגי. לכן האינטגרל הוא 0 בצורות הזוגיות ו- $2W/n$ באי-זוגיות, ולכל $n$ אי-זוגי

b_n = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{2W}{n} = \frac{4W}{n\pi}

אלה בדיוק הגבהים שבנינו בהם את הקיר. בהמחשה של השטח, במצב «הקיר כפול צורה», רואים את החשבון הזה בשטחים. בצורה 3, למשל, יש 133.3 מעל הציר ו-66.7 מתחתיו, ביחד 66.7, שהם $2\cdot 100/3$ . ו- $2/\pi$ כפול זה הוא 42.4.

ולמה הצורות הזוגיות נעלמות? בגלל סימטריה. הקיר נראה אותו דבר מימין ומשמאל: אם מעמידים מראה באמצע המוט, ההשתקפות של חצי אחד היא בדיוק החצי השני. גם הצורות האי-זוגיות סימטריות כך: צורה 1 היא גבעה אחת באמצע, צורה 3 היא שלוש גבעות שהאמצעית בהן הפוכה, וכולן נראות במראה בדיוק כמו שהן. אבל הצורות הזוגיות מתהפכות במראה: צורה 2 חיובית בחצי אחד ושלילית בחצי השני. כשמכפילים טמפרטורה סימטרית בצורה כזאת, כל תרומה לשטח מחצי אחד של המוט מתבטלת מול תרומה הפוכה מהחצי השני, והגובה יוצא אפס. זה נכון לכל טמפרטורה סימטרית: לאות M מהחלק הקודם היו רק צורות 1 ו-3, ולנקודה חמה צרה שבדיוק באמצע יש רק צורות אי-זוגיות.

ועכשיו אפשר לקיים הבטחה מהחלק הקודם. שם ראינו שהמוט שוכח הכל חוץ מצורה 1, בתנאי שצורה 1 בכלל נמצאת בתערובת, והבטחתי שבמוט שחם מהקרח היא תמיד שם. הנה הסיבה:

b_1 = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx

בתוך המוט $\sin x$ חיובי. אם המוט חם מהקרח, $f$ חיובית, ולכן גם המכפלה $f(x)\sin x$ חיובית בכל מקום, והשטח שמתחתיה חיובי. $b_1 > 0$ . לא משנה איך חיממתם את המוט, נקודה, שתי נקודות, האות M או קיר: בכל אחד מהם יש חלק חיובי של צורה 1, ולכן כולם נגמרים בגבעת סינוס. כדי ש- $b_1$ יהיה אפס, חלק מהמוט חייב להיות קר מהקרח, כמו בגל השלם מהחלק הקודם, שחציו חם וחציו קר.

ציירו כל טמפרטורה

לנוסחה של פורייה לא אכפת איך נראית הטמפרטורה. היא רוצה רק לחשב שטחים, ושטח אפשר לחשב לכל ציור. לרשימת הגבהים של טמפרטורה, $b_1, b_2, b_3, \ldots$ , קוראים הספקטרום שלה. המילה הושאלה מהאור: כמו שמנסרה מפרקת קרן אור לצבעים, הנוסחה מפרקת טמפרטורה לצורות, ומראה כמה יש מכל אחת.

בהמחשה הבאה אפשר לצייר כל טמפרטורה, ולראות את הספקטרום שלה ואת הסכום של הצורות הראשונות. לפני שמתחילים, נחשו: ב«אוהל», טמפרטורה שעולה בקו ישר מ-0 בקצה ל-100 באמצע ויורדת שוב, אילו צורות יהיו חסרות? והגבהים, האם ייפלו מהר יותר מאלה של הקיר, או לאט יותר?

ציירו טמפרטורה, קבלו ספקטרום

גררו על הגרף כדי לצייר טמפרטורה התחלתית למוט, או בחרו אחת מהדוגמאות. העמודות שמתחת לגרף הן הגובה של כל צורה לפי הנוסחה של פורייה, והקו הירוק הוא הסכום של הצורות הראשונות.

כמה צורות לחבר 5

מיקום לאורך המוט, בס״מ. גררו על הגרף כדי לצייר.

הציור שלכם הסכום של 5 הצורות הראשונות

הספקטרום: הגובה של כל צורה, מ-1 עד 40

0.0°

צורה 1

0.0°

צורה 2

0.0°

צורה 3

0.0°

ההפרש הממוצע בין הציור לסכום

כל גובה מחושב לפי הנוסחה bₙ = (2/L)·∫ f(x)·sin(nπx/L) dx, כסכום של 4,000 מלבנים צרים לאורך המוט. «ההפרש הממוצע» הוא השורש של ממוצע ריבועי ההפרשים בין הציור לסכום, לאורך כל המוט.

באוהל חסרות כל הצורות הזוגיות, כמו בקיר, ומאותה סיבה: הוא סימטרי. אבל הגבהים שלו נופלים הרבה יותר מהר: 81.1, מינוס 9.0, 3.2, מינוס 1.7. במקום אחד חלקי $n$ , הם נופלים כמו אחד חלקי $n^2$ : צורה 3 קטנה מצורה 1 פי 9, ולא פי 3. ולכן לאוהל מספיקות 5 צורות כדי להגיע להפרש ממוצע של 1.6 מעלות, כשבקיר, עם אותן 5 צורות, ההפרש הממוצע הוא 26 מעלות. גם הסימנים מספרים משהו. צורה 3 נכנסת לאוהל במינוס, וכך היא מחדדת את הפסגה ומיישרת את השוליים.

ההבדל בין השניים נמצא בקצוות. האוהל מתחיל ב-0 ונגמר ב-0, כמו כל הצורות, ויש לו רק פינה אחת, בפסגה. הקיר קופץ מ-0 ל-100 בשני הקצוות. קפיצה קשה מאוד לבנות מצורות חלקות. פינה קשה פחות. ככל שטמפרטורה חלקה יותר, הגבהים שלה נופלים מהר יותר, וצריך פחות צורות כדי לבנות אותה. לקשר הזה, בין חלקות לבין קצב הנפילה של הספקטרום, נחזור בחלק החמישי.

ועוד שלוש דוגמאות ששוות מבט:

נקודה חמה צרה היא הקיצון השני. הגבהים שלה כמעט לא קטנים: 10.6, מינוס 10.4, 10.1, מינוס 9.5, ועוד עשרות צורות בערך באותו גודל. עם 9 צורות ההפרש הממוצע עדיין 11 מעלות, ורק עם כל 40 הצורות הנקודה נבנית כמו שצריך. מה שצר במקום, רחב בספקטרום. כדי לבנות פסגה צרה צריך צורות צרות, וצורות צרות הן צורות עם $n$ גבוה. זה רעיון שילווה אותנו עד החלק האחרון בסדרה.
חצי חם הוא הדוגמה הראשונה כאן שאינה סימטרית, ולכן יש בה גם צורות זוגיות. צורה 2, שחיובית בחצי השמאלי ושלילית בימני, נמצאת בה באותו גובה בדיוק כמו צורה 1, 63.7 מעלות.
מדרון, שעולה מ-0 בקצה אחד ל-100 בקצה השני, מכיל את כל הצורות, בסימנים מתחלפים, והגבהים שלו נופלים כמו אחד חלקי $n$ . גם לו יש קפיצה, בקצה החם, מ-100 ל-0 של הקרח.

ונסו לצייר משהו משלכם. כל עוד הציור כולו מעל הציר, כלומר חם מהקרח, הגובה של צורה 1 חיובי.

צלילה לעומקאפשר לדלג בקריאה ראשונה

אורתוגונליות, ביושר

שלוש הערות על מה שעשינו בפרקים האחרונים.

קוסינוסים, לקצוות מבודדים. בחלק הקודם ראינו שבמוט שקצותיו מבודדים, הצורות הן $1, \cos x, \cos 2x, \ldots$ . גם הן אורתוגונליות, באותו חשבון בדיוק. מנוסחאות הקוסינוס של הפרש ושל סכום, $\cos mx\cos nx = \tfrac12\cos((m-n)x) + \tfrac12\cos((m+n)x)$ , ולכן

\int_0^\pi \cos mx\,\cos nx\,dx = \begin{cases} 0, & m \ne n \\[2pt] \pi/2, & m = n \ge 1 \\[2pt] \pi, & m = n = 0 \end{cases}

המקרה האחרון שונה, כי שני הקוסינוסים בנוסחה הם $\cos 0 = 1$ , וכל אחד מהם תורם $\pi/2$ . אם $f = a_0 + a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots$ , אותו תעלול נותן

a_0 = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x)\,dx, \qquad a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx\,dx

והנוסחה הראשונה מוכרת: $a_0$ הוא הממוצע של $f$ לאורך המוט. בחלק הקודם גילינו שמוט מבודד מגיע בסוף לטמפרטורה הממוצעת שלו, כי הקבוע $a_0$ לא דועך. עכשיו יש לזה גם נוסחה.

כל משפחה לחוד. סינוסים וקוסינוסים אינם אורתוגונליים אלה לאלה על המוט. למשל, $\int_0^\pi \sin x\cos 2x\,dx = -2/3$ . זה לא מפריע, כי אף פעם לא צריך את שתי המשפחות יחד: לקצוות קרח יש סינוסים, ולקצוות מבודדים יש קוסינוסים. בחלק השישי, על טבעת, נצטרך את שתי המשפחות יחד, ושם הן כן יהיו אורתוגונליות, כי שם עוברים על מחזור שלם של כל גל ולא על חצי ממנו.

מה הנחנו. בגזירת הנוסחה הנחנו שני דברים: ש- $f$ היא בכלל סכום של צורות, ושמותר לחשב שטח של סכום אינסופי איבר אחרי איבר. אם הסכום מתכנס במידה שווה, כלומר אם לכל דיוק שנבחר יש מספר סופי של צורות שמקרב את $f$ בכל המוט בבת אחת, ההחלפה מותרת: השטח של מה שנשאר בזנב קטן כמו הזנב עצמו. אבל בקיר זה בדיוק מה שלא קורה, כי ליד הקצוות תמיד יש קפיצה ל-118. ובכל זאת הנוסחה נותנת את הגבהים הנכונים. הסכומים החלקיים חסומים, הפס שבו הם רחוקים מהקיר הולך ונעשה צר, והשטח שהוא תורם שואף לאפס. כדי לנסח את זה ביושר צריך למדוד מרחק בין פונקציות לפי השטח שמתחת לריבוע ההפרש ביניהן, ולא לפי ההפרש הגדול ביותר. זו המדידה שההמחשה של הספקטרום קוראת לה «ההפרש הממוצע», והיא אחד הנושאים של החלק הרביעי.

הפתרון של פורייה

עכשיו יש לנו הכל. הטמפרטורה ההתחלתית היא הקיר, 100 מעלות, והגבהים שלו הם $400/(n\pi)$ בצורות האי-זוגיות. כל צורה דועכת בקצב שלה, ולכן

u(x,t) = \frac{400}{\pi}\Bigl(e^{-\alpha t}\sin x + \frac13\, e^{-9\alpha t}\sin 3x + \frac15\, e^{-25\alpha t}\sin 5x + \cdots\Bigr)

זה הפתרון של פורייה למוט חם באופן אחיד שקצותיו נכנסים לקרח. במוט הנחושת באורך מטר, $\alpha t$ מוחלף ב- $t/\tau_1$ .

נחשב נקודה אחת ביד: אמצע מוט הנחושת, אחרי 10 דקות, שהן 600 שניות. בצורה 1, $e^{-600/913} \approx 0.518$ , ובאמצע המוט $\sin(\pi/2) = 1$ , ולכן היא תורמת $127.3 \cdot 0.518 \approx 66.0$ . בצורה 3, $e^{-9\cdot 600/913} \approx 0.0027$ , כפול 42.4, כפול $\sin(3\pi/2) = -1$ , כלומר מינוס 0.11. צורה 5 תורמת $25.5 \cdot e^{-25\cdot 600/913}$ , פחות ממיליונית מעלה. סך הכל, 65.9 מעלות.

וזה מה שהנוסחה אומרת לאורך הזמן:

הזמן	באמצע המוט, מעלות	סנטימטר מהקצה, מעלות	עד איזו צורה צריך לחבר, לדיוק של עשירית מעלה בכל המוט
שנייה	100.0	49.8	61
10 שניות	100.0	16.8	19
דקה	100.0	6.9	7
2 דקות	99.6	4.9	5
5 דקות	89.5	3.1	3
10 דקות	65.9	2.1	3
15.2 דקות	46.8	1.5	1
30 דקות	17.7	0.6	1

שימו לב לשני דברים. הראשון: האמצע לא יודע. במשך יותר משתי דקות, עד השנייה ה-143, הוא נשאר מעל 99 מעלות, בזמן שסנטימטר מהקצה כבר ירד ל-5 מעלות. לחום לוקח זמן לגלות שהקצוות בקרח, וזה שוב $\sqrt{t}$ מהחלק הראשון: אחרי שנייה רק כ-2 הסנטימטרים שליד כל קצה מרגישים את הקרח, ואחרי דקה כ-16.

השני: צורה 1 מתחילה בגובה 127.3. אחרי שש דקות וחצי כל הצורות האחרות כבר מתו, והטמפרטורה בכל המוט היא, בטווח של מעלה אחת, גבעת סינוס יחידה, $127.3\,e^{-t/\tau_1}\sin x$ . אחרי עשר דקות וחצי זה נכון בטווח של עשירית מעלה. אם מותחים את הגבעה הזאת אחורה בזמן, אל הרגע הראשון, מקבלים גבעה שהאמצע שלה ב-127.3 מעלות, חם יותר מכל נקודה שהייתה אי פעם במוט. זה לא סותר שום דבר. ברגע הראשון צורה 1 לא הייתה לבד: שאר הצורות, 3, 5, 7 וכל השאר, משכו את האמצע למטה עד 100 בדיוק, ואת השוליים למעלה עד 100 בדיוק. הן פשוט מתו מהר יותר, והשאירו אותה לבד. וזה גם מה שאפשר למדוד במעבדה מהחלק הקודם. מי שמחכה עשר דקות ואז מודד את זמן המחצית, מקבל את 10.5 הדקות של צורה 1, ואת ה- $\alpha$ של הנחושת.

החלקה מיידית

תסתכלו שוב על העמודה האחרונה של הטבלה. ברגע הראשון הקיר צריך אינסוף צורות, ואפילו כדי שרק האמצע יהיה מדויק לעשירית מעלה צריך 319 צורות. אבל אחרי שנייה אחת מספיק לחבר עד צורה 61, כלומר 31 צורות אי-זוגיות, וזה מדויק לעשירית מעלה בכל המוט, כולל הקצוות. אחרי 10 שניות מספיק לעצור בצורה 19, ואחרי דקה בצורה 7: ארבע צורות בסך הכל. מה קרה?

הגובה של צורה $n$ , ברגע $t$ , הוא $\frac{400}{n\pi}\,e^{-n^2\alpha t}$ . ברגע הראשון הגבהים נופלים רק כמו אחד חלקי $n$ , לאט מאוד, ולכן הקיר צריך כל כך הרבה צורות. אבל ברגע שהזמן זז, ולו במעט, נכנס המכפיל $e^{-n^2\alpha t}$ , והוא קטן כל כך מהר עם $n$ שהוא מוחץ את כל השאר. במוט הנחושת, אחרי שנייה אחת, הוא מקטין את צורה 31 פי 3, את צורה 61 פי 59, ואת צורה 101 פי 70 אלף. ככל ש- $n$ גדל, הגבהים צונחים מהר יותר מאחד חלקי כל חזקה של $n$ שתבחרו.

ומה זה אומר על המוט? סכום של צורות שהגבהים שלהן צונחים כל כך מהר הוא פונקציה חלקה לגמרי. הקפיצה מ-0 ל-100 בקצוות, בדיוק הדבר שלגראנז’ לא האמין שאפשר לבנות מגלים, נעלמת מיד. אחרי שנייה היא כבר מדרון: 0 בקצה, 50 מעלות סנטימטר ממנו, 99.9 מעלות חמישה סנטימטרים ממנו. מדרון תלול, אבל חלק לחלוטין, בלי שום פינה, ומשם הוא רק הולך ומתמתן. זו תכונה מדהימה של משוואת החום: היא מחליקה כל דבר, מיד. לא משנה כמה מחוספסת הטמפרטורה ההתחלתית, עם קפיצות, פינות או רעש, בכל רגע שאחריה היא חלקה. זה ה«רעש נעלם ראשון» מהחלק הראשון, בצורה הקיצונית ביותר שלו: צורות גבוהות לא סתם נעלמות מהר, הן נעלמות כמעט ברגע.

וזה גם מכווץ את הבעיה של לגראנז’ לרגע אחד. כל הקושי, הקפיצה, השיא העקשן של 118, הצורך באינסוף צורות, כולם גרים ברגע $t = 0$ . בכל רגע אחר הטור של פורייה מתנהג למופת ומתכנס מהר מאוד. אפשר לגזור אותו איבר אחרי איבר, כמה פעמים שרוצים, ולכן הוא באמת פותר את משוואת החום. על זה בתיבה.

צלילה לעומקאפשר לדלג בקריאה ראשונה

גזירה איבר אחרי איבר

כל איבר בטור של פורייה פותר את משוואת החום: את זה בדקנו בחלק הקודם. אבל הטור הוא סכום אינסופי, והנגזרת של סכום אינסופי לא תמיד שווה לסכום הנגזרות. הנה מקרה שבו זה נכשל: הטור של הקיר עצמו, ברגע $t = 0$ . אם גוזרים אותו איבר אחרי איבר, מקבלים

\frac{400}{\pi}\bigl(\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cdots\bigr)

כל המקדמים בסכום הזה שווים, 127.3. האיברים שלו לא שואפים לאפס, ולכן הוא לא מתכנס, חוץ מבאמצע המוט, שבו כולם אפס. זה הגיוני: לקיר יש קפיצה בקצוות, ושם אין לו נגזרת.

ברגע $t > 0$ המצב הפוך. נגזור פעמיים לפי $x$ , כפי שמשוואת החום דורשת. האיבר ה- $n$ הופך ל-

-\frac{400}{n\pi}\,n^2 e^{-n^2\alpha t}\sin nx

ובכל נקודה במוט, הגודל שלו לא עובר את $\frac{400}{\pi}\,n\,e^{-n^2\alpha t}$ . נבחר רגע $t_0 > 0$ , ונסמן $q = e^{-\alpha t_0}$ , מספר שקטן מ-1. לכל $t \ge t_0$ ,

n\,e^{-n^2\alpha t} \le n\,q^{n^2} \le n\,q^n

והסכום של $n q^n$ על כל $n$ סופי: $n(\sqrt q)^n$ שואף לאפס, ולכן חסום על ידי קבוע $C$ , ומכאן ש- $n q^n \le C(\sqrt q)^n$ , שהוא איבר בטור הנדסי עם מנה $\sqrt q < 1$ . כשאיברי טור קטנים, בכל נקודה ובכל רגע, ממספרים שהסכום שלהם סופי, הטור מתכנס במידה שווה (מבחן M של ויירשטראס). ומשפט מהאנליזה אומר שאם טור של פונקציות מתכנס, והטור של הנגזרות שלהן מתכנס במידה שווה, מותר לגזור איבר אחרי איבר.

אותו חשבון עובד לגזירה לפי $t$ , ולכל מספר של גזירות: כל גזירה מוסיפה לכל היותר עוד שתי חזקות של $n$ , ו- $e^{-n^2\alpha t}$ מנצח כל חזקה. לכן לכל $t > 0$ , הטור הוא פונקציה שאפשר לגזור כמה פעמים שרוצים, לפי $x$ ולפי $t$ . כל איבר בו פותר את משוואת החום, ולכן גם הסכום.

נשארה שאלה אחת: האם הפתרון הזה באמת מתחיל מהקיר? כלומר, האם $u(x,t)$ שואף ל-100 כש- $t$ שואף ל-0, בכל נקודה שבתוך המוט? התשובה היא כן, אבל ההוכחה דורשת עבודה נוספת, דווקא משום שהטור של הקיר מתנהג רע ב- $t = 0$ . בחלק השמיני, עם גרעין החום, נכתוב את אותו פתרון בדרך אחרת לגמרי, שבה זה כמעט מובן מאליו.

ויש לכל זה מחיר. אותו $e^{-n^2\alpha t}$ שמחליק הכל קדימה בזמן, מתפוצץ כשמנסים ללכת אחורה. בהרצה של משוואת החום לאחור, צורה $n$ גדלה פי $e^{n^2\alpha t}$ , וכל רעש זעיר בצורות הגבוהות מתפוצץ. גם לזה נגיע בחלק השמיני.

מעבדת המוט, בפעם השלישית

עד עכשיו היו לנו שתי דרכים לחשב את הטמפרטורה במוט. הדרך של החלק הראשון: חותכים את המוט לתאים, ובכל צעד קטן כל תא זז לעבר ממוצע שכניו. והדרך של פורייה: מפרקים את הטמפרטורה ההתחלתית לצורות, ונותנים לכל צורה לדעוך לבד. הראשונה לא יודעת שום דבר על סינוסים, והשנייה לא יודעת שום דבר על תאים. האם הן מסכימות?

במעבדה הבאה שתיהן רצות יחד. הנקודות הן 60 התאים, והקו המקווקו הוא הטור של פורייה, עם כמה צורות שתבחרו. מתחת לגרף יש את הספקטרום של הרגע הנוכחי, הגובה שנשאר לכל צורה, בסולם שבו כל קו הוא חצי מהקו שמעליו. נחשו לפני שאתם לוחצים «הפעל» על הקיר: עם 20 צורות בטור, כמה זמן יעבור עד שהקו המקווקו ישב על הנקודות?

מעבדת המוט, בפעם השלישית: הנוסחה מול התאים

התאים רצים כמו במעבדות הקודמות: בכל צעד כל תא זז לעבר ממוצע שכניו. הקו המקווקו הוא הפתרון של פורייה, הטור שבו כל צורה דועכת בקצב שלה. בחרו טמפרטורה התחלתית, או ציירו אחת בגרירה על הגרף, בחרו כמה צורות לקחת מהטור, ולחצו «הפעל».

מהירות ×1

צורות בנוסחה 20

מיקום לאורך המוט, בס״מ · הפס הצבעוני הוא המוט עצמו, והריבועים בקצוות הם הקרח

התאים, לפי כלל הממוצעים הטור של פורייה, עם 20 צורות

0 שנ׳

הזמן במוט נחושת באורך מטר

100.0°

באמצע המוט

0.00°

ההפרש הגדול בין הנוסחה לתאים

—

עד איזו צורה הטור צריך להגיע עכשיו, לדיוק של 0.1°

הגובה שנשאר לכל צורה, מ-1 עד 40. כל קו אופקי הוא חצי מהקו שמעליו

בכל צעד כל תא זז לעבר ממוצע שכניו, עם r = 0.4, ובין תא לתא יש 1.6 ס״מ. הקו המקווקו הוא הטור Σ bₙ·e^{−n²t/τ₁}·sin(nπx/L), עם τ₁ = 15.2 דקות, קבוע הזמן של צורה 1 במוט נחושת באורך מטר. הגבהים bₙ מחושבים מהטמפרטורה ההתחלתית, וכל אחד מהם דועך בקצב שלו.

כמה דברים שכדאי לראות:

הקיר, עם 20 צורות. ברגע הראשון הקו המקווקו מלא אדוות, ובקצוות הוא מזנק ל-118, בדיוק כמו בבניית הקיר. ההפרש הגדול בינו לבין התאים, 38 מעלות, נמצא בתא הקיצוני, 1.6 סנטימטר מהקרח, כי 20 צורות לא מספיקות כדי לטפס מ-0 ל-100 בדרך כל כך קצרה. אבל אחרי כמה צעדים האדוות נעלמות, ואחרי 13 שניות ההפרש כבר מתחת למעלה אחת, בדיוק כמו עם אלף צורות. מכאן והלאה, מה שמבדיל בין הקו לנקודות הוא כבר לא הטור, אלא התאים עצמם. בספקטרום רואים למה: העמודות של הצורות הגבוהות קורסות מימין לשמאל, כמו וילון שנסגר. אחרי הצעד הראשון הטור צריך את הצורות עד צורה 63, אחרי 10 שניות עד צורה 19, ואחרי דקה עד צורה 7.
מה התאים מפספסים. בחרו 200 צורות, כך שהטור יהיה מדויק, ולחצו «צעד» פעם אחת. התא הקיצוני ירד בבת אחת מ-100 ל-60 מעלות, כשלפי הטור הוא צריך להיות ב-73.6. זו לא שגיאה של הטור. בשנייה הראשונה כל הירידה מ-100 ל-0 מתרחשת בשני הסנטימטרים הקרובים לקרח, ותאים שהמרחק ביניהם 1.6 סנטימטר פשוט לא רואים פרטים כאלה. אחרי 10 שניות הפער כבר 1.2 מעלות, אחרי דקה 0.2, ואחרי ארבע דקות פחות מ-0.05: המדרון שליד הקרח התרחב, והתאים מספיקים לו. בסוף נשאר פער של כ-0.02 מעלות, שהוא ה-0.03% מהחלק הקודם: הצורה האיטית של 60 תאים דועכת מעט מהר יותר מזו של מוט רציף.
צורה אחת. הזיזו את המחוון ל-1. ברגע הראשון הקו המקווקו הוא גבעת סינוס בגובה 127.3, רחוקה מאוד מהקיר. אחרי 6.4 דקות ההפרש כבר מתחת למעלה אחת, ואחרי 11 דקות מתחת לעשירית מעלה: מכאן והלאה, צורה 1 לבדה היא הפתרון.
חצי חם ונקודה צרה. בחצי החם יש קפיצה גם באמצע המוט, ולכן ברגע הראשון גם הוא צריך יותר צורות ממה שהמחוון מגיע אליו. בספקטרום שלו יש גם צורות זוגיות, וצורה 2 מתחילה בגובה של צורה 1. לכן, עם צורה אחת בלבד, הוא מתיישב על התאים רק אחרי רבע שעה ויותר: הוא צריך לחכות שצורה 2 תמות. לנקודה הצרה, לעומת זאת, אין שום קפיצה, ו-50 צורות מספיקות לה כבר ברגע הראשון.

שתי דרכים שונות לגמרי, ממוצע שכנים מהחלק הראשון וסכום של צורות דועכות של פורייה, ואותה תשובה, עד שבריר של מעלה.

מה הטור רואה מחוץ למוט

נחזור ללגראנז’. לפי אחד התיאורים של הוויכוח, אחד הטיעונים שלו היה כזה: הוא לקח טור של סינוסים או קוסינוסים שאמור להיות שווה לפונקציה בתוך קטע, הציב בו את הקצה של הקטע, וקיבל סתירה. בקיר שלנו קל לראות סתירה כזאת: ב- $x = 0$ כל הצורות הן אפס, ולכן הטור הוא 0, ולא 100. פורייה ענה שמשוואות מהסוג הזה נכונות רק בין הגבולות שבהם הן נקבעו, ולא מעבר להם. והקצה, כך מתברר, הוא בדיוק הגבול.

כדי לראות למה, כדאי לזכור שהצורות לא חיות רק על המוט. $\sin nx$ מוגדר לכל $x$ , גם שלילי וגם גדול מ- $\pi$ , ולכן גם כל סכום של צורות. והסינוס מחליף סימן כשעוברים לצד השני של 0: $\sin(-x) = -\sin x$ . לכן אם הסכום הוא 100 בתוך המוט, הוא מינוס 100 בקטע שמשמאלו, מ- $-\pi$ עד 0. ומכיוון שכל צורה חוזרת על עצמה כל $2\pi$ , גם הסכום חוזר על עצמו. מה שהטור בונה, באמת, הוא לא קיר בודד, אלא שורה אינסופית של קירות, חיובי ושלילי לסירוגין, כמו שיניים של מסרק. בקצה המוט, בנקודה שבה מינוס 100 פוגש את 100, הטור לא יכול להחליט, ונוחת בדיוק באמצע: 0.

לפני ההמחשה, נחשו: במדרון, שעולה מ-0 בקצה אחד ל-100 בקצה השני, מה יגיד הטור בקצה החם? ומה ישתנה אם במקום קרח נשים בקצוות בידוד, ונבנה את הטמפרטורה מקוסינוסים?

מה הטור רואה מחוץ למוט

כל צורה מוגדרת לא רק על המוט אלא על כל הקו, ולכן גם הסכום שלהן. כאן רואים את הסכום עד שני אורכי מוט לכל כיוון. המוט עצמו הוא הרצועה המודגשת באמצע.

מספר הצורות 15

מיקום, בס״מ. המוט הוא הקטע שבין 0 ל-100.

סכום הצורות מה שהסכום מנסה לבנות: הטמפרטורה על המוט, וההשתקפויות שלה מחוץ לו

0.0°

בקצה אחד של המוט, ב-0 ס״מ

0.0°

בקצה השני, ב-100 ס״מ

0.0°

השיא הגבוה ביותר על המוט

בקצוות קרח צורה n היא sin(nπx/L), ובקצוות מבודדים cos(nπx/L). סינוס מחליף סימן כשעוברים לצד השני של 0, וקוסינוס לא, ולכן סכום של סינוסים רואה מחוץ למוט השתקפות הפוכה של הטמפרטורה, וסכום של קוסינוסים השתקפות רגילה, כמו במראה. שתיהן חוזרות על עצמן כל שני אורכי מוט.

בקיר עם קרח רואים את המסרק: 100 על המוט, מינוס 100 בהשתקפות שמשמאלו ובזו שמימינו, ושוב 100 שני אורכי מוט מכל צד. בשני קצות המוט הסכום הוא 0, בדיוק באמצע הקפיצה, ומשני הצדדים של כל קפיצה הוא מזנק: ל-118 מעליה, ולמינוס 118 מתחתיה. השיא העקשן מבניית הקיר הוא פשוט חצי ממה שקורה סביב קפיצה.

עכשיו עברו לבידוד. ההשתקפות של קיר במראה רגילה היא עוד קיר, ואין בה שום קפיצה. סכום הקוסינוסים בונה אותה בלי אף צורה: כל הגבהים הם אפס, חוץ מהקבוע, שהוא 100. וזה בדיוק מה שהפיזיקה אומרת. במוט מבודד שכולו ב-100 מעלות, שום חום לא זז לשום מקום.

במדרון עם קרח, ההשתקפות קופצת בקצה החם, מ-100 למינוס 100, ולכן הסכום שם הוא שוב 0, עם שיא של 111.6 מעלות ממש לפני הקצה כשיש 15 צורות, ו-116.9 כשיש 100. אבל במדרון עם בידוד, ההשתקפות היא זיגזג שעולה ויורד, בלי שום קפיצה. אין שיא, ואין נחיתה באמצע. עם 15 צורות הסכום בקצה החם הוא 98.7 מעלות, והוא מתקרב ל-100 מלמטה, בלי לעבור אותו אף פעם. ההפרש הגדול ביותר בכל המוט, 1.3 מעלות, נמצא בקצוות, איפה שלזיגזג יש פינה.

אז מה שקובע אם הטור יתנהג יפה הוא לא רק הטמפרטורה על המוט, אלא גם ההשתקפות שלה, ואת ההשתקפות בוחרים הקצוות: קרח נותן מראה הופכת, ובידוד נותן מראה רגילה.

צלילה לעומקאפשר לדלג בקריאה ראשונה

ההרחבה האי-זוגית

מה שראינו בהמחשה אפשר לנסח במדויק. בהינתן טמפרטורה $f$ על המוט, שבין 0 ל- $\pi$ , נגדיר את ההרחבה האי-זוגית שלה: פונקציה $\tilde f$ על כל הישר, שבתוך המוט שווה ל- $f$ , שמקיימת $\tilde f(-x) = -\tilde f(x)$ , ושחוזרת על עצמה כל $2\pi$ . הטור של סינוסים של $f$ הוא בדיוק טור פורייה של $\tilde f$ : הטור של סינוסים וקוסינוסים, על מחזור שלם, שבו כל הקוסינוסים יצאו אפס בגלל האי-זוגיות. ובאותו אופן, הטור של קוסינוסים של $f$ , שמתאים לקצוות מבודדים, הוא טור פורייה של ההרחבה הזוגית, שבה $\tilde f(-x) = \tilde f(x)$ .

המשפט של דיריכלה, מ-1829, אומר שאם $\tilde f$ בנויה מחתיכות חלקות, כלומר יש לה מספר סופי של קפיצות ופינות במחזור ובין לבין היא גזירה, אז בכל נקודה הטור מתכנס לממוצע של הערכים משני צדי הנקודה. בנקודה שבה $\tilde f$ רציפה, זה פשוט $\tilde f(x)$ . בקפיצה, זה האמצע. בקצה של הקיר, הממוצע של 100 ומינוס 100 הוא 0.

ומכאן כלל אצבע שימושי. לטמפרטורה ששונה מאפס בקצה יש קפיצה בהרחבה האי-זוגית, ולכן הגבהים שלה בטור הסינוסים נופלים רק כמו $1/n$ . לטמפרטורה שהיא אפס בשני הקצוות ואין לה קפיצות, ההרחבה האי-זוגית רציפה, והגבהים נופלים לפחות כמו $1/n^2$ , כמו באוהל. אצל קוסינוסים התמונה הפוכה: ההרחבה הזוגית אף פעם לא קופצת בקצוות, ולכן הקיר, שקשה כל כך לבנות מסינוסים, בנוי מקוסינוסים בלי שום מאמץ: הוא פשוט הקבוע $a_0$ . זה מתאים לפיזיקה: מוט אחיד שקצותיו מבודדים פשוט לא משתנה.

אז מי צדק?

פורייה צדק בדבר העיקרי. הקיר הוא סכום של סינוסים, בכל נקודה שבתוך המוט, וכך גם כל טמפרטורה סבירה, כמו כל מה שאפשר לצייר בהמחשה של הספקטרום. הפתרון שלו נכון בכל רגע שאחרי הרגע הראשון, והוא מסכים עם התאים של החלק הראשון עד שברירי מעלה. והשיטה, להפריד משתנים, לחבר פתרונות ולמצוא גבהים בעזרת אורתוגונליות, הפכה לאחד הכלים המרכזיים של הפיזיקה המתמטית.

אבל לגראנז’ לא דאג סתם. הטור לא שווה לקיר בקצוות. שום סכום סופי לא קרוב לקיר בכל המוט בבת אחת, וליד הקצוות תמיד יש שיא של 118. והמילה «שווה», בטענה «הקיר שווה לסכום אינסופי של סינוסים», מסתירה שאלות שאף אחד ב-1807 לא ידע לנסח: מה זה בכלל סכום של אינסוף פונקציות, מה זו פונקציה, ומה זה שטח מתחת לפונקציה שקופצת. עברו 22 שנה עד שדיריכלה הוכיח במדויק מתי הטור של פורייה מתכנס, ולאן. ובחלק החמישי נראה שהסיפור לא נגמר שם: יש טמפרטורות רציפות לגמרי, בלי שום קפיצה, שהטור שלהן בכל זאת מתנהג רע. במובן מסוים, ההתנגדות של לגראנז’ הייתה ההתחלה של האנליזה המודרנית.

מן ההיסטוריה

המיתר הרוטט, לגראנז' והקיר של פורייה

הוויכוח של 1807 התחיל, בעצם, שישים שנה קודם לכן, במיתר. ב-1747 כתב ז’אן לה רון ד’אלמבר את המשוואה של מיתר רוטט, ופתר אותה. כמה שנים אחר כך טען דניאל ברנולי, על סמך הניסיון, שבו שומעים בצליל אחד גם את ההרמוניות שלו, שכל תנועה של מיתר היא סכום של רטטים פשוטים, כלומר של סינוסים. לאונרד אוילר התנגד: לדעתו, סכום של סינוסים הוא צורה מיוחדת מדי, ואינו יכול לתאר כל צורה התחלתית של מיתר, למשל מיתר פרוט, שמתחיל בצורה של משולש עם פינה חדה. (האוהל מההמחשה של הספקטרום הוא בדיוק מיתר פרוט, והסכום מתקרב אליו מהר מאוד.) ב-1759 הצטרף לוויכוח ז’וזף-לואי לגראנז’, אז בן 23.

ב-1777 כתב אוילר מאמר שעסק בפיתוח של פונקציה שעליה, כלשונו, נשענת כמעט כל תורת האסטרונומיה, ובו, בין השאר, הנוסחה: אם פונקציה היא סכום של קוסינוסים, הגבהים שלה הם אינטגרלים של הפונקציה כפול קוסינוס. זה בדיוק התעלול שלנו. המאמר יצא לאור רק ב-1798, והטענה בו היא על פונקציות שכבר ידוע שהן סכום כזה, לא על כל פונקציה.

פורייה טען בדיוק את זה, על כל פונקציה. ב-21 בדצמבר 1807 הוקרא באקדמיה בפריז המזכר שלו על התפשטות החום, ובו, כפי שתיאר זאת ברנהרד רימן כמעט חמישים שנה אחר כך, הטענה שגם פונקציה שמשורטטת ביד באופן שרירותי היא סכום של סינוסים וקוסינוסים. הלוח עם הצלע החמה, מתחילת הפוסט, היה אחת הבעיות שהוא עבד עליהן כבר ב-1805. בספר שלו מ-1822, «התיאוריה האנליטית של החום», הוא מוצא את הגבהים של הקיר בדרך מפותלת להפליא: מערכת של אינסוף משוואות באינסוף נעלמים, ואחר כך שוב, בקיטוע של המערכת אחרי מספר סופי של משוואות, פתרון, ומעבר לגבול כשהמספר גדל. הדרך הקצרה, השטח עם הסימן, מופיעה בספר רק אחר כך.

לגראנז’, כך כתב רימן, התנגד לטענה בכל תוקף. המתמטיקאי ז’אן-פייר קהאן חזר להתנגדות הזאת ב-2008, ולפי תיאור אחד של הוויכוח, שנשען על עבודתו, אחד הטיעונים של לגראנז’ היה הצבה של הקצה בטור שתקף רק בתוך קטע. פורייה ענה שמשוואות כאלה נכונות רק בין הגבולות שנקבעו להן. לגראנז’ לא השתכנע. הוא מת ב-1813, תשע שנים לפני שהספר של פורייה יצא לאור.

את ההוכחה המדויקת הראשונה נתן פטר גוסטב לז’ן דיריכלה ב-1829: לפונקציות שמתנהגות יפה מספיק, הטור של פורייה מתכנס בכל נקודה, ובקפיצה, לאמצע שבין שני הצדדים. ורימן, בעבודה על הטורים האלה שכתב ב-1853 ושפורסמה רק אחרי מותו, ניסח בדרך את ההגדרה של האינטגרל שנקראת היום על שמו, כדי לדעת בדיוק לאילו פונקציות הנוסחה של פורייה בכלל מוגדרת. הוא סיכם שפורייה היה הראשון שהבין את טבעם של הטורים האלה באופן מדויק ומלא.

מה הלאה: גאומטריה של פונקציות

התעלול של הפוסט הזה, להכפיל בצורה ולחשב שטח, נראה קצת כמו קסם. למה דווקא השטח של המכפלה? ולמה הוא מבטל את כל השאר? בחלק הבא נראה שזה בכלל לא קסם, אלא גאומטריה. נחשוב על פונקציה כעל וקטור, חץ עם אינסוף רכיבים. השטח של מכפלה יתברר כמכפלה סקלרית, וצורות אורתוגונליות יתבררו כצירים שמאונכים זה לזה, ממש כמו הצירים בגרף. ואז הנוסחה של פורייה תהיה פשוט הדרך הרגילה למצוא רכיב של וקטור לאורך ציר: להטיל אותו עליו. נגלה גם שהכלל של התאים מהחלק הראשון הוא מכונה שמקבלת רשימה ומחזירה רשימה, ושהצורות ששומרות על צורתן תחתיה הן, שוב, סינוסים.

ובדרך הקיר ייתן לנו עוד מתנה. אם מחברים את ריבועי הגבהים שלו, ומשווים לשטח שמתחת לריבוע של הקיר, יוצאת אחת הנוסחאות היפות במתמטיקה:

1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}

וזו המפה של כל הדרך:

איך חום זורם? משוואת החום, מכוס תה ועד טיפת דיו.
צורות ששומרות על צורתן: הפרדת משתנים, וצורות שדועכות כל אחת בקצב משלה.
קיר ישר מגלים: הפוסט הזה.
גאומטריה של פונקציות: פונקציות כווקטורים, מכפלה פנימית ושוויון פרסבל.
מתי זה בכלל עובד? התכנסות, ותופעת גיבס.
מעגלים מסתובבים: מספרים מרוכבים, וחום על טבעת.
המוט האינסופי: מטור פורייה אל התמרת פורייה.
גרעין החום: קונבולוציה, והפעמון של גאוס.
פורייה בדיד: דגימה, ומה מחשב באמת רואה.
אחרי פורייה: טשטוש תמונות, JPEG ועקרון אי-הוודאות.

הערה על המספרים

כל מספר בפוסט הזה חושב, לא הומצא.

ההמחשות מחשבות הכל בדפדפן שלכם: סכומים של צורות, שטחים כסכומים של אלפי מלבנים צרים, גבהים לפי הנוסחה של פורייה, והכלל של התאים. לפני הפרסום הרצתי העתק של כל אחת מהן ב-Node, ובדקתי אותו מול חישוב נפרד. בבניית הקיר, האמצע נכנס לטווח של מעלה אחת מ-100 מ-32 צורות, ולטווח של עשירית מ-319 צורות, והשיא ליד הקצה הוא 117.9 מעלות מ-20 צורות והלאה. בהמחשה של השטח, הסך הכל של כל 56 הזוגות של צורות שונות, מ-1 עד 8, קטן מ- $10^{-14}$ , ושל צורה עם עצמה הוא $\pi/2$ . בהמחשה של הספקטרום, הגבהים של כל הדוגמאות מסכימים עם הנוסחאות המדויקות עד מאית מעלה. במעבדה, ההפרש בין התאים לטור המלא, מהקיר, הוא 13.6 מעלות אחרי הצעד הראשון, 1.24 אחרי 10 שניות, 0.21 אחרי דקה ופחות מ-0.05 מארבע דקות והלאה.
הטבלה של הפתרון חושבה מהטור של פורייה עם עד 4,000 צורות. «עד איזו צורה צריך לחבר» הוא המספר הקטן ביותר שאחריו סכום הגדלים של כל שאר האיברים קטן מעשירית מעלה, ולכן זה חסם בטוח לשגיאה בכל המוט.
הזמנים במוט הנחושת מחושבים, כמו בחלקים הקודמים, מ- $\alpha = 1.11\cdot 10^{-4}$ מטר רבוע לשנייה, לפי הערך «Thermal diffusivity» בוויקיפדיה האנגלית.
ההיסטוריה. הפרטים על פורייה ועל הוועדה של 1807 נבדקו מול הביוגרפיה שלו בארכיון MacTutor של אוניברסיטת סנט אנדרוז. בעיית הלוח, והדרך שבה פורייה מוצא את הגבהים בספר מ-1822 (סעיפים 171 עד 189), נבדקו מול המאמר של אלן הרמן על «התיאוריה האנליטית של החום» (arXiv:1211.0794). הנוסחה של אוילר נבדקה מול התרגום הגרמני של המאמר שלו, E704, שנכתב ב-1777 ופורסם ב-1798, ומול הרשומה שלו בארכיון אוילר. התיאור של רימן נבדק מול הסקירה של אתנסיוס פפדופולוס על הפיזיקה בעבודות של רימן (arXiv:1711.01755), והטיעון של לגראנז’ על הקצה מול המאמר של ט״נ נרסימהן על לפלס, פורייה והדיפוזיה (arXiv:0912.2798), שמסתמך על המאמר של קהאן מ-2008. התאריכים של נוסחת לייבניץ נבדקו מול הערך «Leibniz formula for π» בוויקיפדיה האנגלית.