גאומטריה של פונקציות

מה האורך של טמפרטורה? ומה הזווית בין שתי טמפרטורות? השאלות האלה נשמעות כמו טעות. אורך מודדים בסרגל, זווית במד-זווית, טמפרטורה במדחום, ואין שום סיבה לערבב ביניהם. ובכל זאת, בחלק הזה נגלה שלכל טמפרטורה של מוט יש אורך, שבין כל שתי טמפרטורות יש זווית, ושהקיר מהחלק הקודם, מוט שכולו 100 מעלות, עומד מול גבעת הסינוס בזווית של כמעט 26 מעלות. מעלות של זווית, הפעם, לא של חום. וברגע שיש זוויות, יש גם צללים: התעלול של פורייה, שבחלק הקודם נראה כמו קסם של שטחים, יתברר כדבר שכל אחד מכיר מהרחוב, הצל של עמוד על המדרכה בצהריים. ובדרך, אותו קיר יפתור בעיה שהמתמטיקאים הטובים ביותר באירופה לא הצליחו לפתור במשך יותר משמונים שנה.

זה החלק הרביעי בסדרה «מחום לפורייה». בחלק הראשון בנינו את משוואת החום, בחלק השני מצאנו את הצורות ששומרות על צורתן, ובחלק השלישי בנינו מהן קיר, ומצאנו את הגובה של כל צורה בעזרת תעלול: מכפילים בצורה ומחשבים שטח. בחלק הזה נבין למה התעלול עובד. נגלה שהוא בכלל לא תעלול, אלא גאומטריה: אותה גאומטריה של חצים, אורכים וזוויות שמכירים מהתיכון, רק במרחב עם הרבה יותר כיוונים. ונגלה שהכלל של התאים מהחלק הראשון הוא מכונה פשוטה להפליא, אם רק מסתכלים עליה מהזווית הנכונה.

מה שצריך להביא הוא, כמו קודם, מתמטיקה של 5 יחידות: אינטגרלים של סינוס, משפט פיתגורס ומשפט הקוסינוסים. וקטורים לא צריך להביא. לא כל מי שלמד 5 יחידות למד אותם, ולכן נבנה אותם כאן מאפס, בקצרה. זה החלק הכבד ביותר בסדרה, ושווה לקרוא אותו לאט, עם ההמחשות. והתיבות שכתוב עליהן «צלילה לעומק» הן, כרגיל, בשביל מי שרוצה לראות למה הדברים נכונים באמת. אפשר לדלג עליהן בלי לאבד את החוט.

מה נשאר איתנו מהחלקים הקודמים

המוט שלנו נמתח מ-0 עד $\pi$, ושני הקצוות שלו תקועים בקרח. הטמפרטורה ההתחלתית שלו היא פונקציה $f(x)$, ומשוואת החום קובעת מה יקרה לה אחר כך. ארבעה דברים מהחלקים הקודמים, בקצרה.

הצורות. הצורות ששומרות על צורתן בין שני דליי קרח הן $\sin x, \sin 2x, \sin 3x, \ldots$. משוואת החום לא משנה אותן, רק מכפילה אותן במספר שהולך וקטן: אחרי זמן $t$, הצורה $\sin nx$ הופכת ל-$e^{-n^2\alpha t}\sin nx$.

הגבהים. כל טמפרטורה היא סכום של צורות,

והגובה של כל צורה נתון בנוסחה של פורייה:

בקיר, שהוא 100 מעלות לכל אורך המוט, הגבהים הם $400/(n\pi)$ בצורות האי-זוגיות ואפס בזוגיות: 127.3 מעלות לצורה 1, 42.4 לצורה 3, וכן הלאה.

התעלול. הנוסחה עובדת בזכות עובדה אחת על שטחים. השטח שמתחת למכפלה של שתי צורות שונות, מ-0 עד $\pi$, הוא אפס, והשטח שמתחת לריבוע של צורה הוא $\pi/2$:

התאים. בחלק הראשון חתכנו את המוט לשורה של תאים, ובכל צעד זמן קצר כל תא התקרב לממוצע של שני שכניו:

ובחלק השני גילינו שגם הכלל הזה, שלא יודע שום דבר על סינוסים, שומר על הצורות: אם שמים בתאים את הערכים של $\sin nx$, הכלל רק מכפיל את כולם באותו מספר.

שימו לב כמה מזל היה לנו. השטח של מכפלת שתי צורות שונות יצא אפס בדיוק. כל גובה אפשר לחשב לבד, בלי לדעת שום דבר על שאר הגבהים. והכלל של התאים, שהוא בסך הכל ממוצעים של שכנים, שומר על סינוסים עד הספרה האחרונה. את הראשון הוכחנו בזהות טריגונומטרית על מכפלה של סינוסים, ואת השלישי בזהות על סכום של סינוסים. אבל למה שלשאלה על חום יהיה אכפת מזהויות טריגונומטריות? בחלק הזה נראה ששלוש העובדות האלה הן עובדה אחת, ושהיא עובדה של גאומטריה.

חצים

נתחיל ממשהו שאין לו שום קשר לחום. עמדו בראשית של מערכת צירים, לכו 3 יחידות ימינה ו-4 יחידות למעלה, ושרטטו חץ מנקודת ההתחלה לנקודת הסיום. לחץ כזה קוראים וקטור, ולשני המספרים שמתארים אותו, 3 ו-4, קוראים הרכיבים שלו. נכתוב אותו כך:

שימו לב מה קרה כאן. החץ הוא בעצם רשימה של שני מספרים, והציור הוא רק דרך לראות אותה. זה ייראה מובן מאליו, עד שבעוד כמה פרקים נעשה את ההפך: ניקח רשימה, ונתעקש לראות בה חץ.

אורך. כמה ארוך החץ? הוא היתר במשולש ישר זווית שהניצבים שלו 3 ו-4, ולפי פיתגורס

את האורך מסמנים בקווים אנכיים, כמו ערך מוחלט. וזה לא מקרה: לחץ שיש לו רכיב אחד בלבד, על ישר המספרים, האורך הוא בדיוק הערך המוחלט של הרכיב.

חיבור וכפל במספר. שני חצים מחברים רכיב עם רכיב: $(3, 4) + (1, -2) = (4, 2)$. בציור, מניחים את תחילת החץ השני בקצה של הראשון, והסכום הוא החץ שהולך מתחילת הראשון עד קצה השני. כפל במספר מותח את החץ בלי לסובב אותו: $2\cdot(3, 4) = (6, 8)$ הוא חץ באותו כיוון, ארוך פי שניים. וכפל במינוס 1 הופך את הכיוון.

יותר כיוונים. בחדר יש שלושה כיוונים, ימינה, קדימה ולמעלה, וחץ בחדר הוא רשימה של שלושה מספרים, $(x, y, z)$. גם האורך שלו הוא פיתגורס, רק פעמיים: $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. ועכשיו הצעד שמבדיל בין מתמטיקאים לבין כל השאר: אין שום סיבה לעצור בשלושה. רשימה של ארבעה מספרים היא חץ במרחב עם ארבעה כיוונים, ורשימה של 60 מספרים היא חץ במרחב עם 60 כיוונים. אי אפשר לצייר אותו, וגם לא באמת לדמיין, אבל אפשר לחשב איתו בדיוק באותה דרך: לחבר רכיב עם רכיב, להכפיל במספר, ולמדוד אורך בפיתגורס. האורך של $(1, 1, 1, 1)$, למשל, הוא $\sqrt{4} = 2$.

זה המשפט החשוב ביותר בפרק: כל מה שאפשר לחשב על חצים במישור, אפשר לחשב על רשימות של מספרים, בכל אורך.

מכפלה סקלרית

יש עוד פעולה אחת על שני חצים, והיא החשובה מכולן. המכפלה הסקלרית של שני חצים היא סכום המכפלות של הרכיבים המתאימים:

(בשלושה ממדים מוסיפים $a_3 b_3$, ובכל מספר של ממדים ממשיכים כך עד הרכיב האחרון.) התוצאה היא מספר, לא חץ, ומכאן השם: «סקלר» הוא פשוט מספר. למשל,

והתוצאה השנייה היא האורך בריבוע. זה תמיד כך: המכפלה הסקלרית של חץ עם עצמו היא סכום ריבועי הרכיבים, כלומר פיתגורס,

אבל מה המספר הזה אומר, כשהחצים שונים? כל הסיפור נמצא בנוסחה אחת. אם $\theta$ היא הזווית בין שני החצים, אז

ההוכחה היא משפט הקוסינוסים. שני החצים יוצאים מאותה נקודה, ויחד עם הקטע שמחבר את הקצוות שלהם הם יוצרים משולש. הצלע השלישית היא החץ $\vec a - \vec b$, ולפי משפט הקוסינוסים

ועכשיו נחשב את אגף שמאל ברכיבים, ונפתח סוגריים:

משווים בין שתי השורות, והאיברים $|\vec a|^2$ ו-$|\vec b|^2$ מבטלים זה את זה. מה שנשאר הוא $a_1 b_1 + a_2 b_2 = |\vec a|\,|\vec b|\cos\theta$. המכפלה הסקלרית, שמחושבת מהרכיבים בלי לראות שום זווית, יודעת בדיוק מה הזווית.

שלוש מסקנות, ושלושתן ילוו אותנו עד הסוף:

• מאונכים. $\cos 90^\circ = 0$, ולכן שני חצים מאונכים זה לזה בדיוק כשהמכפלה הסקלרית שלהם אפס. $(3, 4)$ ו-$(4, -3)$ מאונכים. מכאן גם המילה אורתוגונלי, שפגשנו בחלק הקודם: זו המילה היוונית ל«מאונך».
• זווית מתוך רכיבים. הזווית בין שני חצים היא $\cos\theta = \dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}$. בין $(3, 4)$ לחץ $(1, 0)$, שמצביע ימינה, $\cos\theta = 3/5$, כלומר זווית של 53.1 מעלות.
• בכל מספר של ממדים. ב-60 ממדים אי אפשר לראות זווית, אבל אפשר לחשב את השבר הזה. ושם, זו ההגדרה של הזווית. כדי שההגדרה תהיה הגיונית, השבר חייב להיות בין מינוס 1 ל-1, אחרת אין זווית שזה הקוסינוס שלה. זה תמיד נכון, ועל זה בתיבה שבהמשך.

הצל של חץ

בצהריים, כשהשמש גבוהה, כמעט מעל הראש, לעמוד חשמל שעומד ישר יש צל קצרצר, כמעט נקודה. עמוד שנוטה מטיל צל ארוך יותר, וככל שהוא נוטה יותר, הצל ארוך יותר. ועמוד ששוכב על המדרכה, הצל שלו הוא העמוד עצמו. האור שיורד ישר למטה מעתיק כל נקודה של העמוד אל הנקודה שמתחתיה. בגאומטריה עושים את אותו דבר עם חץ וקו ישר: מורידים אנך מקצה החץ אל הקו, והקטע שעל הקו, מהראשית ועד הנקודה שבה האנך פוגש אותו, הוא הצל של החץ, או בשמו המקצועי, ההיטל שלו.

כמה ארוך הצל? נקרא לקו «ציר», ונסמן ב-$\vec e$ חץ באורך 1 שמונח עליו. הצל הוא הניצב במשולש ישר זווית שהיתר שלו הוא $\vec a$, ולכן האורך שלו הוא $|\vec a|\cos\theta$. וזה בדיוק $\vec a\cdot\vec e$, כי $|\vec e| = 1$. כלומר, הצל של חץ על ציר הוא המכפלה הסקלרית שלו עם חץ באורך 1 שמונח על הציר. והצל עצמו, כחץ, הוא $(\vec a\cdot\vec e)\,\vec e$: באורך הזה, לאורך הציר. (אם הזווית קהה, $\cos\theta$ שלילי, והצל נופל על החלק השלילי של הציר.)

ואם החץ שעל הציר, נקרא לו $\vec u$, אינו באורך 1? אז מחלקים באורך שלו פעמיים, פעם בשביל המכפלה הסקלרית ופעם בשביל הכיוון. הצל של $\vec a$ על הציר של $\vec u$ הוא אז החץ

וזו הנוסחה ששווה לזכור מכל הפרק.

עוד שתי עובדות על צללים.

הצל הוא הנקודה הקרובה ביותר. מכל הנקודות שעל הציר, הנקודה שבה האנך פוגש אותו היא הקרובה ביותר לקצה החץ. כל נקודה אחרת על הציר יוצרת עם קצה החץ ועם נקודת האנך משולש ישר זווית, שהמרחק אליה הוא היתר שלו, והיתר ארוך מהניצב. ומה שנשאר, החץ פחות הצל שלו, מאונך לציר.

בצירים מאונכים, החץ הוא סכום הצללים שלו. אם $\vec e_1$ ו-$\vec e_2$ הם שני חצים באורך 1 שמאונכים זה לזה, אז

כל רכיב הוא צל על ציר אחד, ומחושב לבד, במכפלה סקלרית אחת. ופיתגורס, שוב: הצללים הם הניצבים, והחץ הוא היתר, ולכן

נבדוק עם $\vec a = (3, 4)$ וצירים שמסובבים ב-45 מעלות: $\vec e_1 = (1, 1)/\sqrt2$ ו-$\vec e_2 = (-1, 1)/\sqrt2$. הצללים הם $7/\sqrt2 \approx 4.95$ ו-$1/\sqrt2 \approx 0.71$, וסכום הריבועים שלהם $24.5 + 0.5 = 25$. בדיוק $|\vec a|^2$.

בהמחשה הבאה אפשר לגרור את החץ, ולסובב את הצירים. לפני שאתם עוברים לצירים עקומים, שאינם מאונכים זה לזה, נחשו: האם שני הצללים, יחד, ייתנו בחזרה את החץ? ואם לא, האם הסכום שלהם יהיה ארוך מדי, קצר מדי, או פשוט במקום אחר?

בצירים מאונכים, סכום הצללים נוחת בדיוק על קצה החץ, לא משנה איך מסובבים את הצירים, וסכום הריבועים של הצללים תמיד שווה לאורך החץ בריבוע, 25. בצירים עקומים, סכום הצללים מפספס. עם ציר אופקי וציר שני בזווית של 60 מעלות ממנו, הצללים של $(3, 4)$ הם 3 ו-4.96, והסכום שלהם מגיע לנקודה $(5.48,\ 4.30)$, במרחק 2.5 יחידות מקצה החץ. הצללים ארוכים מדי, כי כל ציר «רואה» גם חלק מהכיוון של הציר השני, וכך אותו חלק של החץ נספר פעמיים. ויש כאן חוק קטן ומפתיע: לא משנה לאן החץ מצביע ואיך מסובבים את ציר 1, הפער תמיד שווה לאורך החץ כפול הקוסינוס של הזווית בין הצירים. כאן, $5\cos 60^\circ = 2.5$. הפער נעלם רק כשהקוסינוס הזה אפס, כלומר רק כשהצירים מאונכים.

אפשר, כמובן, לכתוב את החץ כצירוף של שני הצירים העקומים, כלומר כ-$c_1\vec e_1 + c_2\vec u_2$, כש-$\vec u_2$ הוא החץ באורך 1 שעל הציר השני. אבל כדי למצוא את $c_1$ ו-$c_2$ צריך לפתור שתי משוואות בשני נעלמים, יחד. כאן יוצא $c_1 = 0.69$ ו-$c_2 = 4.62$, רחוק מאוד מהצללים, 3 ו-4.96. ואם מזיזים ציר אחד, משתנים שני המקדמים.

זה הלב של כל החלק הזה. בצירים מאונכים, כל רכיב הוא צל, וכל צל מחושב לבד, במכפלה סקלרית אחת, בלי לדעת שום דבר על שאר הצירים. בצירים עקומים, הכל תלוי בהכל, וצריך לפתור מערכת משוואות. זוכרים את התיבה ההיסטורית בסוף החלק הקודם? פורייה מצא את הגבהים של הקיר בפעם הראשונה בפתרון של מערכת של אינסוף משוואות באינסוף נעלמים, ורק אחר כך מצא את הדרך הקצרה. בשפה של החלק הזה: בהתחלה הוא טיפל בצורות כאילו היו צירים עקומים. הדרך הקצרה עובדת כי הן מאונכות.

טמפרטורה היא חץ

עכשיו נחזור לחום. בחלק הראשון חתכנו את המוט לתאים, והטמפרטורה של מוט עם $N$ תאים הייתה רשימה של $N$ מספרים: כמה מעלות בתא 1, כמה בתא 2, וכן הלאה. רשימה של $N$ מספרים היא חץ במרחב עם $N$ כיוונים. טמפרטורה היא חץ.

נתחיל ממוט קטן מאוד: שני תאים בין שני דליי קרח. הטמפרטורה שלו, $(u_1, u_2)$, היא חץ במישור. «תא שמאלי חם», $(100, 0)$, הוא חץ שמצביע ימינה לאורך הציר האופקי. ושתי הצורות? בחלק השני ראינו שהתאים של מוט עם $N$ תאים נמצאים במרחקים שווים, $h = \pi/(N+1)$, כך שהתא ה-$i$ נמצא בנקודה $ih$, והקרח ב-0 וב-$\pi$. עם שני תאים $h = \pi/3$, והצורות על התאים הן

שני אלכסונים, והמכפלה הסקלרית שלהם $0.75 - 0.75 = 0$. הם מאונכים. ולכן כל טמפרטורה של שני תאים היא סכום של שני צללים, אחד על כל אלכסון. «תא שמאלי חם», למשל, הוא בדיוק חצי-חצי: צורה 1, ששני התאים בה חמים באותה מידה, ועוד צורה 2, שבה תא אחד חם והשני קר.

עם שלושה תאים, $h = \pi/4$, יש שלוש צורות, ושלושה כיוונים במרחב:

צורה 1 היא גבעה קטנה, צורה 2 עולה ויורדת, וצורה 3 היא זיגזג. ועכשיו המכפלות הסקלריות:

שלושה חצים, שכל אחד מהם מאונך לשני האחרים, כמו שלוש הצלעות שיוצאות מפינה של קובייה, רק בקובייה מסובבת. והאורך של כל אחד מהם בריבוע הוא 2.

מכאן הכל ידוע. כל טמפרטורה של שלושה תאים היא סכום הצללים שלה על שלושת הצירים האלה,

למשל, «תא אמצעי חם», $(0, 100, 0)$: $c_1 = 100/2 = 50$, $c_2 = 0$, ו-$c_3 = -100/2 = -50$. ובאמת, $50\vec s_1 - 50\vec s_3 = (0, 100, 0)$: בתאים הקיצוניים הגבעה והזיגזג מבטלים זה את זה, ובאמצע הם מצטרפים. שימו לב לנוסחה של $c_n$. זו הנוסחה של פורייה לגבהים, בגרסה של שלושה תאים: הגובה של צורה $n$ הוא הצל של הטמפרטורה על הציר של צורה $n$, מחולק באורך הציר בריבוע. בחלק השלישי חילקנו ב-$\pi/2$, וכאן ב-2. עוד מעט נראה מאיפה בא ה-$\pi/2$.

מכונה שמקבלת רשימה ומחזירה רשימה

ועכשיו הכלל של התאים. עם $r = \tfrac14$, שלושה תאים, וקרח, כלומר אפס, משני הצדדים:

כל טמפרטורה חדשה היא סכום משוקלל של הישנות, וכל מה שהכלל צריך לדעת הוא טבלת המשקלים:

לטבלה כזאת קוראים מטריצה. היא מכונה שמקבלת רשימה ומחזירה רשימה: השורה ה-$i$ אומרת כמה מכל תא ישן נכנס לתא ה-$i$ החדש. ושימו לב איך מחשבים את התא החדש: כופלים את השורה ה-$i$ ברשימה הישנה, רכיב ברכיב, ומחברים. זו מכפלה סקלרית. מטריצה שפועלת על חץ היא פשוט כמה מכפלות סקלריות, אחת לכל שורה. נסמן את התוצאה ב-$M\vec u$. למשל, «תא אמצעי חם», $(0, 100, 0)$, הופך ל-$(25, 50, 25)$, בדיוק כמו בצעד הראשון בטבלה של החלק הראשון.

ומה המכונה עושה לצורות? בחלק השני כבר מצאנו את התשובה: היא מכפילה את צורה $n$ במספר $1 - 4r\sin^2(nh/2)$. עם $r = \tfrac14$ ו-$h = \pi/4$, המספרים הם 0.854 לצורה 1, 0.5 לצורה 2 ו-0.146 לצורה 3. אפשר לבדוק ביד את צורה 2:

אותו כיוון, חצי אורך.

לכיוון שמטריצה רק מותחת או מכווצת, בלי לסובב אותו, קוראים וקטור עצמי של המטריצה, ולמספר שהיא מכפילה בו קוראים ערך עצמי. השם הזה הוא תרגום של המילה הגרמנית eigen, «שלו»: לכל כיוון כזה יש מספר משלו. אבל זה לא רעיון חדש. אלה בדיוק «הצורות ששומרות על צורתן» מהחלק השני, בשם חדש. צורה ששומרת על צורתה היא חץ שהמכונה לא מסובבת.

ועכשיו התמונה. בצירים של התאים, המכונה מערבבת: כל תא חדש תלוי בכמה תאים ישנים. אבל בצירים של הצורות היא פשוטה ככל שאפשר: את הרכיב לאורך ציר 1 היא כופלת ב-0.854, את הרכיב לאורך ציר 2 ב-0.5, ואת הרכיב לאורך ציר 3 ב-0.146. כל חץ מתפרק לשלושה צללים, כל צל מתכווץ בקצב שלו, והסכום שלהם הוא החץ החדש. ואם מפעילים את המכונה שוב ושוב, הרכיב לאורך ציר 3 נעלם ראשון, אחריו הרכיב לאורך ציר 2, והחץ מסתובב לאט אל ציר 1. זה «המוט שוכח» מהחלק השני, כתמונה גאומטרית.

לפני ההמחשה, נחשו: מתחילים עם תא שמאלי חם בלבד, $(100, 0, 0)$. החץ הזה נמצא בזווית של 60 מעלות מהציר של צורה 1. אחרי כמה צעדים הוא יהיה פחות מ-10 מעלות ממנו? ולאן הוא יגיע בסוף?

אחרי צעד אחד הטמפרטורה היא $(50, 25, 0)$, והזווית מהציר של צורה 1 ירדה ל-40.2 מעלות. אחרי שני צעדים 25.9, אחרי שלושה 15.9, ואחרי ארבעה 9.5: פחות מ-10 מעלות אחרי ארבעה צעדים, ופחות ממעלה אחת אחרי תשעה. הנתיב של קצה החץ מתעקל אל ציר 1, ומשם הוא מחליק לאורכו אל הראשית: צורות 2 ו-3 מתו, וצורה 1 נשארה לבד, ומתכווצת פי 0.854 בכל צעד.

נסו גם את «תא אמצעי חם». אין בו בכלל צורה 2, כי הוא סימטרי, ולכן החץ זז במישור של צירים 1 ו-3. וצורה 3 מתה כל כך מהר, פי 0.146 בכל צעד, שאחרי צעד אחד הזווית כבר 9.7 מעלות, ואחרי שניים 1.7. ואם תבחרו באחת הצורות עצמן, תראו שהחץ לא מסתובב בכלל, רק מתקצר. זה הפירוש של וקטור עצמי.

למה הצירים מאונכים

עד עכשיו בדקנו בחשבון שהצורות מאונכות זו לזו. אבל למה? האם זה עוד מזל של טריגונומטריה? הנה טיעון שאין בו שום סינוס.

תסתכלו שוב על המטריצה. היא סימטרית: המספר בשורה $i$ ובעמודה $j$ שווה למספר בשורה $j$ ובעמודה $i$. אם מניחים מראה לאורך האלכסון, משמאל למעלה עד ימין למטה, כל מספר משתקף במספר שווה לו. ויש לזה סיבה פיזיקלית. המספר בשורה $i$ ובעמודה $j$ אומר כמה מהטמפרטורה של תא $j$ עוברת לתא $i$, כלומר כמה חום עובר מ-$j$ ל-$i$ לכל מעלה של הפרש ביניהם. וזו בדיוק הכמות שעוברת מ-$i$ ל-$j$: זה אותו מגע בין שני תאים, ומה שאחד נותן השני מקבל. כבר ראינו את זה בחלק השני, כשבדקנו למה במוט מבודד הסכום של כל התאים לא משתנה.

לסימטריה יש תוצאה אחת, וממנה נובע הכל. לכל שתי רשימות $\vec u$ ו-$\vec v$,

במילים: להפעיל את המכונה על $\vec u$ ולמדוד מול $\vec v$, זה כמו להפעיל אותה על $\vec v$ ולמדוד מול $\vec u$. במטריצה שלנו אפשר לראות את זה ישר. כשפותחים את אגף שמאל, יוצא

וכשמחליפים בביטוי הזה את $\vec u$ ב-$\vec v$ ואת $\vec v$ ב-$\vec u$, הוא לא משתנה. במטריצה שאינה סימטרית זה לא היה קורה.

עכשיו ניקח שני וקטורים עצמיים, עם מספרים שונים: $M\vec u = \lambda\vec u$ ו-$M\vec v = \mu\vec v$, כש-$\lambda \ne \mu$. ($\lambda$ ו-$\mu$ הן האותיות היווניות למדא ומיו.) נציב בשני אגפי השוויון:

האגפים השמאליים שווים, ולכן $\lambda(\vec u\cdot\vec v) = \mu(\vec u\cdot\vec v)$, כלומר $(\lambda - \mu)(\vec u\cdot\vec v) = 0$. ומכיוון ש-$\lambda \ne \mu$, חייב להיות $\vec u\cdot\vec v = 0$. שני כיוונים שמכונה סימטרית מכפילה במספרים שונים מאונכים זה לזה. זה הכל. בלי זהות של סינוסים, ובלי לדעת אילו הם הכיוונים.

וזה חלק ממשפט כללי, שנקרא משפט הספקטרום: לכל מטריצה סימטרית בגודל $N$ על $N$ יש $N$ כיוונים, מאונכים זה לזה, שהיא רק מותחת או מכווצת לאורכם. בצירים האלה, כל מכונה סימטרית פשוטה כמו שלנו: כל רכיב לבד, מוכפל במספר משלו. את ההוכחה המלאה תמצאו בתיבה. ושימו לב מה הטיעון לא השתמש בו: הוא לא צריך שהמוט יהיה אחיד, ולא צריך שהתאים יהיו שלושה. בסוף החלק נחזור לזה.

מתאים רבים לפונקציה

שלושה תאים הם צעצוע. במעבדת המוט מהחלק הראשון יש 60 תאים, והמוט עצמו רציף: יש בו אינסוף נקודות. מה קורה לכל הגאומטריה הזאת כשמספר התאים גדל?

במוט עם $N$ תאים, צורה $n$ על התאים היא הרשימה

כאשר, כמו קודם, $h = \pi/(N+1)$. הכלל של התאים מכפיל אותה ב-$1 - 4r\sin^2(nh/2)$. המספרים האלה שונים כולם זה מזה, כי $\sin^2(nh/2)$ עולה כש-$n$ עולה מ-1 עד $N$. והמטריצה של הכלל סימטרית, מאותה סיבה פיזיקלית בדיוק. לכן, בלי לחשב שום דבר, הצורות על התאים מאונכות זו לזו, לכל מספר של תאים, כל עוד יש מספיק תאים כדי להחזיק אותן. (בחלק השני ראינו ש-$N$ תאים מחזיקים בדיוק $N$ צורות שונות. עם תא אחד, למשל, צורה 3 היא פשוט צורה 1 הפוכה.) לכל $m \ne n$ מ-1 עד $N$:

זהות טריגונומטרית לא מובנת מאליה בכלל, שקיבלנו בחינם. ומה האורך של כל צורה? כאן צריך לחשב, ואני רק אגיד את התוצאה (בחלק התשיעי, על פורייה בדיד, היא תצא כמעט מעצמה): הסכום $\sin^2 nh + \sin^2 2nh + \cdots + \sin^2 Nnh$ שווה ל-$(N+1)/2$, לכל $n$ מ-1 עד $N$. עם שלושה תאים, זה ה-2 שראינו קודם.

עכשיו נכפיל ברוחב של תא, $h = \pi/(N+1)$:

זה ה-$\pi/2$ מהחלק השלישי! המכפלה הסקלרית של צורה עם עצמה, כפול רוחב התא, היא בדיוק $\pi/2$, בכל מספר של תאים.

אז בואו נגדיר, לכל שתי טמפרטורות $f$ ו-$g$ על $N$ תאים, את המכפלה הסקלרית שלהן כפול רוחב התא:

כאן $f_i$ ו-$g_i$ הן הטמפרטורות בתא ה-$i$. כל איבר בסכום, $f_i g_i h$, הוא השטח של מלבן צר: רוחבו $h$, וגובהו המכפלה של שתי הטמפרטורות בתא. הסכום כולו הוא השטח שמתחת למדרגות, שמקרבות את הגרף של המכפלה $f(x)g(x)$. וכשהתאים מתרבים, המדרגות מתקרבות לגרף, והסכום מתקרב לשטח שמתחתיו. זו בדיוק ההגדרה של האינטגרל, כגבול של סכומי מלבנים:

לפני ההמחשה, שני ניחושים. הקיר כפול צורה 1: איך יתנהג הסכום כשמוסיפים תאים, ולאן הוא ישאף? וצורה 1 כפול צורה 2?

עם 6 תאים, הקיר כפול צורה 1 נותן 196.6, עם 30 תאים 199.8, והשטח שמתחת למכפלה הוא 200 בדיוק. צורה 1 כפול צורה 2 נותנת אפס בכל מספר של תאים, משני תאים והלאה. לא בערך אפס, אלא אפס, עד שגיאות העיגול של המחשב: הצורות על התאים מאונכות, וגם השטח שמתחת למכפלה שלהן הוא אפס. וצורה 1 כפול עצמה נותנת $\pi/2$, בכל מספר של תאים. (עם תא אחד בלבד, צורה 2 היא אפס בתא היחיד, ולחץ באורך אפס אין כיוון. ההמחשה אומרת את זה.)

כלומר: השטח שמתחת למכפלה של שתי פונקציות הוא המכפלה הסקלרית של שני חצים עם אינסוף רכיבים. התעלול של החלק השלישי, להכפיל ולחשב שטח, היה מכפלה סקלרית מההתחלה.

בואו ניתן לזה שם וסימון. המכפלה הפנימית של שתי פונקציות על המוט היא

(הסוגריים המשולשים הם כדי שלא נתבלבל עם המכפלה הרגילה, $f(x)g(x)$, שהיא פונקציה ולא מספר.) ומכאן כל מה שעשינו עם חצים:

• אורך. $\|f\| = \sqrt{\langle f, f\rangle} = \sqrt{\int_0^\pi f(x)^2\,dx}$. הקווים הכפולים הם כדי שלא נתבלבל עם ערך מוחלט.
• זווית. $\cos\theta = \dfrac{\langle f, g\rangle}{\|f\|\,\|g\|}$.
• מאונכות. $\langle f, g\rangle = 0$.

ובשפה הזאת, הנוסחה של התעלול מהחלק השלישי אומרת: הצורות $\sin nx$ מאונכות זו לזו, והאורך של כל אחת מהן הוא $\sqrt{\pi/2}$. בדיוק כמו הצורות של שלושת התאים, רק שהפעם יש אינסוף צירים.

ועכשיו אפשר למדוד זוויות בין טמפרטורות. בקיר, $W = 100$, יש $\langle W, \sin x\rangle = 200$, האורך של הקיר הוא $\sqrt{100^2\pi} = 100\sqrt\pi \approx 177.2$, והאורך של $\sin x$ הוא $\sqrt{\pi/2} \approx 1.253$. לכן

ולכן $\theta \approx 25.8^\circ$. זו הזווית מהפתיחה: הקיר וגבעת הסינוס, 25.8 מעלות זה מזה. ועוד כמה:

• האוהל מהחלק הקודם וגבעת הסינוס: 6.9 מעלות. הם כמעט באותו כיוון.
• הפרבולה מהחלק השני, שעולה מ-0 ל-100 ויורדת שוב, וגבעת הסינוס: 2.2 מעלות בלבד. בחלק השני ראינו שבעין אי אפשר כמעט להבדיל ביניהן, ושבמבחן של שמירת הצורה הן לא יכולות להיות רחוקות יותר. עכשיו רואים ששני הדברים נכונים יחד. הפרבולה מצביעה כמעט בדיוק בכיוון של צורה 1, וממה שנשאר ממנה, החלק הקטן שמאונך לצורה 1, היא נכשלת במבחן. והחלק הזה מת מהר, ולכן הפרבולה הפכה לגבעת סינוס בתוך פחות מתשע דקות.
• האוהל והקיר: בדיוק 30 מעלות.
• הקיר וצורה 2: 90 מעלות, כי צורה 2 מתהפכת במראה שבאמצע המוט, והקיר לא. זה ההסבר מהחלק השלישי, למה הגבהים הזוגיים של הקיר הם אפס, בשפה של זוויות.

בהמחשה רואים שהזווית בין החצים של התאים מתקרבת לזווית בין הפונקציות. בקיר זה לוקח זמן: עם 60 תאים הזווית היא 24.8 מעלות, ולא 25.8, כי התאים לא רואים את הקפיצה שבקצוות, ליד הקרח.

ומילה של כנות, לפני שממשיכים. פונקציה היא לא באמת «רשימה עם אינסוף רכיבים», והמכפלה הפנימית מוגדרת באינטגרל, לא בסכום. לכן כל מה שהוכחנו על חצים צריך לבדוק מחדש. רוב הבדיקה קלה, כי אינטגרל מתנהג כמו סכום: האינטגרל של סכום הוא סכום האינטגרלים, ומספר אפשר להוציא מחוץ לאינטגרל. הדבר היחיד שצריך עבורו הוכחה חדשה הוא שהקוסינוס של הזווית תמיד יוצא בין מינוס 1 ל-1. על זה בתיבה הבאה. החלקים העדינים באמת, אלה שקשורים לסכומים אינסופיים, מחכים בתיבה שבסוף.

הנוסחה של פורייה היא צל

ועכשיו ההבטחה מסוף החלק הקודם. בחצים, הצל של $\vec a$ על הציר של $\vec u$ הוא החץ $\vec u$, כפול המקדם

בואו נחליף את החץ $\vec a$ בטמפרטורה $f$, את $\vec u$ בצורה $\sin nx$, ואת המכפלה הסקלרית במכפלה הפנימית:

וזה $b_n$. הנוסחה של פורייה, סימן אחרי סימן. ה-$2/\pi$, שבחלק השלישי נראה כמו מספר שרירותי, הוא אחד חלקי האורך של הצורה בריבוע. «להכפיל בצורה ולחשב שטח» הוא מכפלה סקלרית עם הציר. ו«כל גובה מחושב לבד, בלי לדעת שום דבר על שאר הגבהים» הוא מה שקורה בצירים מאונכים, ורק בהם.

ומה אומר הטור של פורייה, $f = b_1\sin x + b_2\sin 2x + \cdots$? שהטמפרטורה היא סכום הצללים שלה על אינסוף צירים מאונכים. בדיוק כמו $\vec a = (\vec a\cdot\vec e_1)\vec e_1 + (\vec a\cdot\vec e_2)\vec e_2$ במישור. גם הרדיו מהחלק השלישי, שמכוון לתחנה אחת וכל השאר מבטלות את עצמן, הוא הטלה על ציר אחד: כל מה שמאונך לו לא משאיר עליו צל.

אבל כאן עולות שתי שאלות שלא עלו במישור. הראשונה: האם יש מספיק צירים? במישור ברור ששני צירים מאונכים מספיקים, ואין חץ שבורח לכיוון שלישי. אבל במרחב עם אינסוף כיוונים, אולי יש בטמפרטורה חלק שמאונך לכל הצורות, ולכן לא משאיר צל על אף אחת מהן, ונעלם מהטור? זו ההתנגדות של לגראנז’, בבגדים של גאומטריה. והשאלה השנייה: מה בכלל אומרת המילה «שווה» כשמדובר בסכום של אינסוף חצים? שתי התשובות מחכות שני פרקים מכאן. קודם, תכונה אחת של צללים ששווה פרק משלה.

תחתית הקערה

במישור, הצל הוא הנקודה על הציר שהכי קרובה לקצה החץ. גם על זה יש מה לומר בפונקציות, אבל קודם צריך מרחק בין פונקציות. המרחק הטבעי הוא האורך של ההפרש:

ואם מחלקים ב-$\sqrt\pi$, השורש של אורך המוט, מקבלים מספר במעלות: השורש של הממוצע של ריבוע ההפרש לאורך המוט. זה מה שההמחשה של הספקטרום בחלק השלישי קראה לו ההפרש הממוצע. הוא כבר היה מרחק בין שני חצים, רק שלא אמרנו את זה.

ועכשיו שאלה. נניח שמותר לנו להשתמש רק בשתי צורות, ואנחנו רוצים לבנות את הקיר כמה שיותר טוב, כלומר שההפרש הממוצע בין הקיר לבין $c_1\sin x + c_3\sin 3x$ יהיה הכי קטן. האם הגבהים הטובים ביותר הם הגבהים של פורייה, 127.3 ו-42.4? לא ברור בכלל. פורייה לא בחר את הגבהים שלו כדי שיהיו «הכי טובים». הוא בחר אותם כדי שהסכום האינסופי יהיה שווה ל-$f$. אולי, כשמותר רק שתי צורות, כדאי להגזים קצת בצורה 1 כדי לפצות על כל מה שחסר?

לכל זוג של גבהים $(c_1, c_3)$ יש הפרש ממוצע, ואם מציירים אותו מעל המישור של שני הגבהים, מקבלים קערה. לפני ההמחשה, נחשו: איפה התחתית שלה? ומה ישתנה אם במקום צורה 3 ניקח צורה שנייה אחרת, למשל את האוהל?

עם צורות 1 ו-3 הקערה עגולה: הקווים שמחברים בחירות שרחוקות מהקיר באותה מידה הם מעגלים, והמרכז שלהם הוא בדיוק $(127.3,\ 42.4)$, הגבהים של פורייה. בתחתית ההפרש הממוצע הוא 31.5 מעלות. מתחילים ב-$(100, 0)$, גבעה של 100 מעלות בלבד, עם הפרש של 47.6 מעלות. לוחצים «הגובה הטוב ביותר לצורה 1», והנקודה קופצת ל-127.3, עם הפרש של 43.5. לוחצים «הגובה הטוב ביותר לצורה 3», והיא קופצת ל-42.4: התחתית, אחרי שתי לחיצות. ולא משנה באיזה סדר לוחצים, כי הגובה הטוב ביותר של כל צורה לא תלוי בגובה של השנייה.

למה? נפתח את הריבוע. המכפלה הפנימית מתנהגת כמו מכפלה סקלרית, ולכן $\|f - c_1 s_1 - c_3 s_3\|^2$, כש-$s_n$ הוא קיצור של $\sin nx$, נפתח כמו ריבוע של סכום: ריבוע של כל איבר, ועוד פעמיים כל מכפלה של שני איברים. המכפלה של $s_1$ ב-$s_3$ היא אפס, כי הן מאונכות. $\langle f, s_n\rangle = \tfrac\pi2 b_n$, כי זו הנוסחה של פורייה, ו-$\langle s_n, s_n\rangle = \tfrac\pi2$. אחרי קצת סידור יוצא

שני האיברים הראשונים לא תלויים בבחירה שלנו. האיבר האחרון הוא המרחק בריבוע, במישור של שני הגבהים, מהנקודה $(b_1, b_3)$. לכן הקווים הם מעגלים, והמינימום הוא כש-$c_1 = b_1$ ו-$c_3 = b_3$. הגבהים של פורייה הם הטובים ביותר. שום בחירה אחרת של גבהים לצורות הראשונות לא מקרבת את $f$ טוב יותר, במובן של ההפרש הממוצע. ואותו חשבון עובד עם כל מספר של צורות: הגבהים הטובים ביותר לצורות 1 עד $K$ הם תמיד $b_1, \ldots, b_K$. כשמוסיפים צורה, הגבהים של הצורות הקודמות לא זזים. התחתית רק יורדת לאורך כיוון חדש, מאונך לכל הקודמים.

עכשיו החליפו את צורה 3 באוהל. הקערה הופכת לעמק ארוך וצר, ונטוי. האוהל וגבעת הסינוס הם 6.9 מעלות זה מזה, כמעט באותו כיוון, ולכן לאורך העמק אפשר להחליף אחד בשני כמעט בלי לשנות את הסכום. התחתית נמצאת ב-$(396.7,\ {-332.3})$: כשמוסיפים את האוהל, הגובה הטוב ביותר של צורה 1 קופץ מ-127.3 ל-396.7, וכדי לפצות, האוהל נכנס במינוס 332. והלחיצות, ציר אחרי ציר, מזגזגות במורד העמק: אחרי 10 לחיצות הנקודה ב-$(142.6,\ {-23.4})$, אחרי 100 לחיצות עדיין ב-$(264.8,\ {-171.9})$, וצריך 295 לחיצות עד שההפרש הממוצע מגיע לעשירית מעלה מזה שבתחתית. והפרס, בסוף כל זה, דל: הפרש ממוצע של 36.9 מעלות, יותר מה-31.5 שנתנה צורה 3 בשתי לחיצות.

זה לקח שחשוב גם הרבה מחוץ לחום. מי שמנסה להתאים לנתונים צירוף של פונקציות, כמו קו מגמה בגיליון אלקטרוני, פותר בדיוק את הבעיה הזאת, שנקראת שיטת הריבועים הפחותים. אם הפונקציות כמעט מקבילות, למשל $x$, $x^2$, $x^3$ ושאר החזקות, המקדמים יוצאים ענקיים, בסימנים מתחלפים, ותלויים בכל שינוי קטן בנתונים. לכן מחשבים מקרבים פונקציות בעזרת משפחות של פונקציות מאונכות, כמו הסינוסים שלנו, ולא בעזרת חזקות.

פיתגורס עם אינסוף צלעות

התחתית של הקערה איננה אפס: עם שתי צורות, הקיר רחוק מהסכום, בממוצע, 31.5 מעלות. כמה נשאר אחרי $K$ צורות? מהחשבון של הפרק הקודם, עם $c_n = b_n$:

כאן $S_K$ הוא הסכום של $K$ הצורות הראשונות, כל אחת בגובה שלה. זה, שוב, פיתגורס. הטמפרטורה היא סכום של $S_K$ ושל מה שנשאר, $f - S_K$, ומה שנשאר מאונך לכל הצורות שב-$S_K$. זו המשמעות של צל: מה שנשאר אחרי שמורידים את הצל מאונך לציר. לכן $\|f\|^2 = \|S_K\|^2 + \|f - S_K\|^2$. ואת $\|S_K\|^2$ מחשבים בפיתגורס על צירים מאונכים: הצל על הציר ה-$n$ הוא $b_n\sin nx$, והאורך שלו בריבוע הוא $\tfrac\pi2 b_n^2$.

שתי מסקנות.

הראשונה: אגף שמאל לא שלילי, ולכן לכל $K$

זה אי-השוויון של בסל: הריבועים של הגבהים מצטברים לסכום שלא עובר את השטח שמתחת ל-$f^2$. מכאן שהגבהים חייבים לשאוף לאפס. אין טמפרטורה שהגבהים שלה נשארים גדולים לנצח.

השנייה: אם יש מספיק צירים, כלומר אם אין בטמפרטורה חלק שמאונך לכל הצורות, אז מה שנשאר שואף לאפס כש-$K$ גדל, ובגבול

זה שוויון פרסבל: פיתגורס עם אינסוף צלעות. האורך של הטמפרטורה בריבוע שווה לסכום הריבועים של הצללים שלה.

והצירים אכן מספיקים. כל טמפרטורה שהשטח שמתחת לריבוע שלה סופי, ובכלל זה הקיר, האוהל, החצי החם וכל ציור שתציירו, היא סכום של הצורות שלה, במובן הזה: המרחק בינה לבין $S_K$ שואף לאפס. את ההוכחה תמצאו בתיבה שבסוף. וזו התשובה ללגראנז’, בשפה של החלק הזה. הקיר לא שווה לטור שלו בכל נקודה: בקצוות הטור הוא אפס, ולידם יש את השיא של 118 מעלות שלא הולך לשום מקום. אבל המרחק בין הקיר לבין הסכומים החלקיים שואף לאפס. בממוצע, הקיר הוא הסכום של הצורות שלו.

בהמחשה הבאה, כל צורה נושאת חלק מהשטח שמתחת לריבוע של הטמפרטורה: $\tfrac\pi2$ כפול ריבוע הגובה שלה. נחשו: כמה צורות צריך הקיר כדי שהן יישאו 99% מהשטח? והאוהל?

צורה 1 לבדה נושאת 81.06% מהקיר. יחד עם צורה 3, 90.06%. כדי להגיע ל-99% צריך את כל הצורות עד צורה 41, ול-99.9% עד צורה 405. האוהל הוא סיפור אחר לגמרי: צורה 1 לבדה נושאת 98.55% ממנו, ועם צורה 3, 99.77%. זה ה-6.9 מעלות שבין האוהל לגבעת הסינוס, במילים אחרות: הקוסינוס בריבוע של הזווית בין טמפרטורה לצורה הוא החלק שהצורה נושאת. הנקודה החמה הצרה היא הקיצון השני: צורה 1 נושאת רק 15% ממנה, וכדי להגיע ל-99% צריך 27 צורות. «מה שצר במקום, רחב בספקטרום», מהחלק השלישי, בגרסה של אחוזים. ובחצי החם, צורות 1 ו-2 נושאות 40.5% כל אחת.

שימו לב גם להפרש הממוצע. עם צורה אחת, חמש צורות ו-40 צורות, ההפרש בקיר הוא 43.52, 25.87 ו-10.06 מעלות, בדיוק המספרים מההמחשה של הספקטרום בחלק הקודם. אבל כאן הם חושבו בלי שום אינטגרל של ההפרש: רק מהגבהים, ומפיתגורס.

ועוד דבר אחד, שסוגר מעגל עם החלק השני. בתיבה על שיטת האנרגיה הגדרנו את $E(t) = \int_0^\pi u(x,t)^2\,dx$, וראינו שהוא לא גדל. עכשיו ברור מה זה $E$: האורך של הטמפרטורה, בריבוע. ולפי פרסבל, כשכל צורה דועכת בקצב שלה,

החץ של הטמפרטורה מתקצר, כל רכיב שלו בקצב משלו, והאיטי ביותר משתלט: זו התמונה של שלושת התאים, עם אינסוף צירים. במוט הנחושת באורך מטר, החץ של הקיר מתחיל בזווית של 25.8 מעלות מהציר של צורה 1. אחרי שנייה הוא ב-23.8 מעלות, אחרי דקה ב-11.4, ואחרי 5.6 דקות הוא כבר פחות ממעלה אחת מהציר. אחרי עשר דקות הזווית פחות מעשירית מעלה, והאורך שלו 47% מהאורך ההתחלתי.

בונוס: בעיית בזל

בסוף החלק הקודם הבטחתי שהקיר ייתן לנו מתנה. הנה היא. נכתוב את שוויון פרסבל לקיר, $f = 100$. באגף שמאל, השטח שמתחת לריבוע:

באגף ימין, הגבהים הם $400/(n\pi)$ בצורות האי-זוגיות:

משווים, ומקבלים

וזה כבר כמעט הכל. נסמן ב-$S$ את הסכום של כל ההופכיים של הריבועים, $1 + \tfrac14 + \tfrac19 + \tfrac1{16} + \cdots$. האיברים הזוגיים בו הם $\tfrac14 + \tfrac1{16} + \tfrac1{36} + \cdots$, וזה בדיוק רבע מ-$S$: כל איבר הוא $1/(2k)^2 = \tfrac14\cdot 1/k^2$. לכן $S = \tfrac{\pi^2}{8} + \tfrac14 S$, כלומר $\tfrac34 S = \tfrac{\pi^2}8$, ו-

זו אחת הנוסחאות היפות במתמטיקה. סכום של שברים פשוטים, שאין בו שום מעגל, נותן את $\pi$ בריבוע. והיא מסבירה גם את הקיר: הסכום מתכנס לאט מאוד. מאה האיברים הראשונים נותנים 1.6350, כשהגבול הוא 1.6449, ולכן הקיר צריך כל כך הרבה צורות כדי להגיע ל-99%.

השאלה כמה זה $1 + \tfrac14 + \tfrac19 + \cdots$ הוצגה ב-1650 על ידי המתמטיקאי האיטלקי פייטרו מנגולי, שלא הצליח לענות עליה. ב-1689 הוכיח יעקב ברנולי, מהעיר בזל שבשווייץ, שהסכום קטן מ-2, לא מצא אותו, וביקש בפומבי עזרה. משם השם, «בעיית בזל». לאונרד אוילר, גם הוא בן בזל, ניגש אליה קודם במספרים: ב-1731 חישב את הסכום לשש ספרות אחרי הנקודה, ובאוקטובר 1735 לעשרים ספרות. שבעה שבועות וחצי אחר כך, ב-5 בדצמבר 1735, הוקראה באקדמיה של סנקט פטרבורג העבודה שבה מצא, בגיל 28, את התשובה המדויקת. גם הדרך שלו עברה דרך הסינוס, אבל בכיוון אחר לגמרי. הוא התייחס ל-$\sin x$ כאל «פולינום אינסופי», שהשורשים שלו הם $0, \pm\pi, \pm 2\pi, \ldots$, ופירק אותו לגורמים כמו שמפרקים פולינום. אצלנו, הנוסחה יצאה ממוט חם.

ואם אתם רוצים תרגיל: אותו חשבון בדיוק, עם האוהל במקום הקיר, נותן את $1 + \tfrac1{16} + \tfrac1{81} + \tfrac1{256} + \cdots = \tfrac{\pi^4}{90}$, שגם אותה מצא אוילר.

לא רק סינוסים

נחזור לשאלה «למה». ראינו שהמטריצה של הכלל של התאים סימטרית, ולכן הצורות שלה מאונכות זו לזו. בטיעון הזה לא השתמשנו בכך שהמוט אחיד. נניח שהמוט בנוי משני חלקים שנלחצו זה לזה, קצה אל קצה, והמגע ביניהם לא מושלם, כך שחום עובר דרכו פחות טוב מאשר בתוך כל חלק. הכלל של התאים משתנה: המשקל בין שני התאים שמשני צדי החיבור קטן יותר. אבל המטריצה נשארת סימטרית, כי מה שעובר מהתא שמשמאל לחיבור לתא שמימינו שווה למה שעובר בכיוון ההפוך. ולכן הצורות של מוט כזה מאונכות זו לזו, אף שהן כבר לא סינוסים, ואין להן נוסחה, ואין שום זהות טריגונומטרית שתוכיח עליהן משהו.

במוט של 60 תאים כבר אי אפשר למצוא את הצורות ביד. אבל מחשב יכול, ובהמחשה הבאה הוא עושה את זה: הוא מוצא את הווקטורים העצמיים של המטריצה, ומודד את הזווית בין כל שניים מהם. החיבור נמצא בשליש המוט. נחשו: אם החיבור מעביר רק עשירית מהחום, האם צורה 1 עדיין תהיה גבעה סימטרית? ואם לא, באיזה חלק של המוט היא «תגור»?

במוט אחיד המחשב מוצא בדיוק את הסינוסים, עד 14 ספרות אחרי הנקודה, וכל 45 הזוויות בין עשר הצורות הראשונות הן 90 מעלות. עם חיבור שמעביר 10%, הצורות נשברות בחיבור. צורה 1 נוטה אל החלק הארוך של המוט: רק 14% ממנה, בריבועים, נמצאים בשליש הקצר. צורה 2, לעומת זאת, גרה בעיקר בחלק הקצר, עם 60.5% ממנה. גם הקצבים זזים: 0.94, 3.68 ו-7.08, במקום 1, 4 ו-9. וטבלת הזוויות? 90 מעלות בכל משבצת, עד 13 ספרות אחרי הנקודה. עם חיבור של 1%, המוט כמעט נחתך לשניים: צורה 1 כמעט כולה בחלק הארוך, עם 1.6% בלבד בחלק הקצר, וצורה 2 כמעט כולה בחלק הקצר. לכל חלק יש את הצורות שלו, וכולן עדיין מאונכות זו לזו.

ולשם השוואה, «הגבעות»: $x(\pi - x)$, $x^2(\pi - x)$, $x^3(\pi - x)$, וכן הלאה. הן לא הצורות של שום מוט, והטבלה שלהן נראית אחרת לגמרי: שתי גבעות שכנות נמצאות לפעמים פחות מחמש מעלות זו מזו. רוב המשפחות של פונקציות אינן מאונכות. הצורות של מכונה סימטרית תמיד מאונכות.

זו הסיבה העמוקה לכך שהשיטה של פורייה עובדת: לא שלסינוסים יש זהויות יפות, אלא שמעבר חום הוא הדדי. בתיבה ההיסטורית של החלק השני סיפרתי על שטורם וליוביל, שהראו שגם למוט לא אחיד יש אינסוף צורות ששומרות על צורתן. עכשיו ידוע עליהן עוד דבר: הן מאונכות זו לזו, ולכן אפשר למצוא את הגובה של כל אחת מהן בצל, בדיוק כמו בנוסחה של פורייה. יש רק דקות אחת: אם חלקי המוט שונים גם ביכולת שלהם לאגור חום, צריך לשנות קצת את המכפלה הפנימית. גם על זה בתיבה.

מה הלאה: מתי זה בכלל עובד?

בחלק הזה ראינו שהקיר הוא הסכום של הצורות שלו, במובן של מרחק: ההפרש הממוצע ביניהם שואף לאפס. אבל זה פחות ממה שפורייה טען, ופחות ממה שלגראנז’ פקפק בו. פורייה דיבר על שוויון בכל נקודה. ובחלק הקודם ראינו שבקצוות של הקיר הטור הוא 0, ולא 100, ושליד הקצוות יש שיא של 118 מעלות שלא הולך לשום מקום, גם כשמוסיפים עוד ועוד צורות. אז האם הטור של פורייה מתכנס בכל נקודה? באילו נקודות? ומה זה בכלל אומר, «מתכנס»?

בחלק הבא נפריד בין שלושה סוגים של התכנסות: בכל נקודה לחוד, בכל המוט בבת אחת, ובממוצע, הסוג של החלק הזה. נבין את השיא העקשן של 118 מעלות, שנקרא תופעת גיבס, ונראה את הסיפור שבו הניסיון להבין מתי הטורים של פורייה מתכנסים בנה, בדרך, חלק גדול מהמתמטיקה המודרנית. ונראה גם למה, דווקא בשביל משוואת החום, כל הבעיות האלה גרות ברגע אחד בלבד.

וזו המפה של כל הדרך:

1. איך חום זורם? משוואת החום, מכוס תה ועד טיפת דיו.
2. צורות ששומרות על צורתן: הפרדת משתנים, וצורות שדועכות כל אחת בקצב משלה.
3. קיר ישר מגלים: טור פורייה, והפתרון של פורייה לבעיה שלו.
4. גאומטריה של פונקציות: הפוסט הזה.
5. מתי זה בכלל עובד? התכנסות, ותופעת גיבס.
6. מעגלים מסתובבים: מספרים מרוכבים, וחום על טבעת.
7. המוט האינסופי: מטור פורייה אל התמרת פורייה.
8. גרעין החום: קונבולוציה, והפעמון של גאוס.
9. פורייה בדיד: דגימה, ומה מחשב באמת רואה.
10. אחרי פורייה: טשטוש תמונות, JPEG ועקרון אי-הוודאות.

הערה על המספרים

כל מספר בפוסט הזה חושב, לא הומצא.

• ההמחשות מחשבות הכל בדפדפן שלכם: צללים, מכפלות סקלריות, סכומים של מלבנים, גבהים, ווקטורים עצמיים. לפני הפרסום הרצתי העתק של כל אחת מהן ב-Node, והשוויתי אותו לחישוב נפרד שכתבתי מראש. כמה מהבדיקות: בצל של חץ, בכל מצב שהגרירה מרשה, סכום ריבועי הצללים שווה לאורך החץ בריבוע עד $10^{-13}$, והפער בצירים עקומים שווה לאורך החץ כפול הקוסינוס של הזווית בין הצירים עד $10^{-14}$. במכונה של שלושה תאים, החץ של «תא שמאלי חם» יורד מתחת למעלה אחת מהציר של צורה 1 בצעד התשיעי. בהמחשה של הסכום והשטח, הצורות על התאים מאונכות עד $3\cdot 10^{-16}$ בכל מספר של תאים מ-2 עד 200. בקערה, 295 הלחיצות של האוהל יצאו זהות בשני חישובים נפרדים. בפיתגורס, הגבהים המדויקים מסכימים עם אינטגרל של 200,000 מלבנים עד $10^{-7}$. ובמוט עם החיבור, הווקטורים העצמיים שהמחשב מוצא, בשיטה של קרל יעקובי מ-1846, מסכימים עם הסינוסים של מוט אחיד עד $4\cdot 10^{-15}$, והסטייה הגדולה ביותר מ-90 מעלות, בכל מוט שבהמחשה, היא $10^{-13}$ מעלה.
• הזוויות בין פונקציות חושבו באינטגרלים מדויקים, ונבדקו בכלל נקודת האמצע עם 200,000 מלבנים: $\arccos(2\sqrt2/\pi) = 25.80^\circ$ בין הקיר לצורה 1, $\arccos(2\sqrt{24}/\pi^2) = 6.91^\circ$ בין האוהל לצורה 1, $\arccos(4\sqrt{60}/\pi^3) = 2.18^\circ$ בין הפרבולה לצורה 1, ו-$\arccos(\sqrt3/2) = 30^\circ$ בדיוק בין האוהל לקיר.
• הזמנים במוט הנחושת מחושבים, כמו בחלקים הקודמים, מ-$\alpha = 1.11\cdot 10^{-4}$ מטר רבוע לשנייה, לפי הערך «Thermal diffusivity» בוויקיפדיה האנגלית. הזווית של החץ של הקיר חושבה מהטור של פורייה עם 10,000 צורות אי-זוגיות.
• בעיית בזל. הסכומים החלקיים חושבו ישירות: מאה האיברים הראשונים נותנים 1.634984, ומיליון איברים נותנים 1.644933, כש-$\pi^2/6 = 1.644934$.
• ההיסטוריה. הפרטים על מנגולי, יעקב ברנולי, אוילר, פרסבל, גראם, בוניאקובסקי, שוורץ ושמידט נבדקו מול הביוגרפיות שלהם בארכיון MacTutor של אוניברסיטת סנט אנדרוז. לוח הזמנים של אוילר ב-1735 נבדק מול המאמר של דייוויד פנגלי (arXiv:1912.03527) ומול הרשומות של E20 ו-E41 בארכיון אוילר. הריבועים הפחותים של לז’נדר וגאוס נבדקו מול המאמר של סטיבן סטיגלר ב-Annals of Statistics מ-1981, והעבודה של בסל מ-1828 מול הביבליוגרפיה של מנספילד מרימן כפי שמביא אותה ריצ’רד פולסקמפ. העבודה של קושי מ-1829, והכותרת שהציע שטורם, נבדקו מול המאמר של פרדריק ברשנמאכר (arXiv:0712.2566), שמסתמך על תומס הוקינס. הילברט, שמידט, ריס ופישר נבדקו מול המאמר של אלברכט פיטש «Hilbert & Schmidt» מ-1994, ותולדות השם «מרחב הילברט» מול המאמר של קלאס לנדסמן (arXiv:1911.06630). והשימוש של פורייה בשטחים נבדק בתרגום לאנגלית של הספר שלו, בסעיף 221.