איך חום זורם?

קחו מוט ברזל, חממו את האמצע שלו על להבה, ותקעו את שני הקצוות בדליים של מי קרח. עכשיו חכו. החום יזחל לאורך המוט, יברח אל הקרח, ובסוף הכל יתקרר. זו אולי השאלה הכי משעממת שאפשר לשאול בפיזיקה: איך בדיוק זה קורה? ובכל זאת, התשובה שז’וזף פורייה נתן לה לפני יותר ממאתיים שנה הולידה רעיון שנמצא היום בכל תמונת JPEG, בכל שיר MP3 ובכל סורק MRI.

זה הפוסט הראשון בסדרה של עשרה, שהיא בעצם מסע: מהשאלה המשעממת הזאת ועד התמרת פורייה (שבחלק מהמקומות קוראים לה טרנספורם פורייה), אחד הכלים החשובים ביותר במתמטיקה, בפיזיקה ובהנדסה. לא נקפוץ ישר לנוסחאות. נבנה כל רעיון מאפס, ובכל שלב יהיו ציורים שאפשר לשחק בהם: לגרור, להפעיל, ולפעמים גם לשבור. מה שצריך להביא איתכם הוא מתמטיקה של 5 יחידות: נגזרות, קצת אינטגרלים, וסבלנות. כל השאר ייבנה בדרך.

מדי פעם תפגשו תיבה שכתוב עליה «צלילה לעומק». שם אני מפסיק לנפנף בידיים ומראה למה הדברים נכונים באמת, עם הדיוק שמתמטיקאי היה דורש. אפשר לדלג עליהן בקריאה ראשונה בלי לאבד את החוט: הטקסט הראשי אף פעם לא נשען עליהן. הן בשביל מי שכמוני לא נרגע עד שהוא רואה למה.

החידה: מוט בין שני דליי קרח

בואו נתחיל מניסוי מחשבתי. מוט מתכת באורך מטר, ששני קצותיו תקועים בקרח, ולכן הם תמיד באפס מעלות. באמצע המוט חיממנו אזור אחד ל-100 מעלות, ואז הרחקנו את הלהבה. מה קורה עכשיו?

לפני שממשיכים, שתי שאלות. באמת כדאי לעצור ולנחש: זה עובד הרבה יותר טוב כשמתחייבים לתשובה, גם אם בסוף היא מתבררת כלא נכונה.

שאלה ראשונה. נניח שהאזור שחיממנו צר מאוד, סנטימטר או שניים. ציירו בדמיון, או על דף, את הטמפרטורה לאורך המוט אחרי דקה. האם הצורה תישאר צרה וחדה? תתרחב? תזוז הצידה?

שאלה שנייה. שני ניסויים. באחד חיממנו נקודה צרה, ובשני גבעה רחבה, ובשניהם הטמפרטורה בשיא היא 100 מעלות. באיזה מהם השיא יורד מהר יותר? או שאולי שניהם יורדים באותו קצב?

את התשובות תגלו בעצמכם, במעבדה שמחכה קצת בהמשך. אבל כדי לבנות מעבדה צריך קודם לדעת לאיזה חוק החום מציית. ובשביל זה נתחיל ממשהו פשוט עוד יותר ממוט.

כוס תה מתקררת

כוס תה שעומדת על השולחן היא הגרסה הכי פשוטה של הבעיה שלנו. אין לה «לאורך»: יש לה טמפרטורה אחת, $T$, שמשתנה עם הזמן $t$.

תזכורת קצרה מהתיכון, כי נצטרך אותה לאורך כל הסדרה: הנגזרת $T'(t)$ היא הקצב שבו הטמפרטורה משתנה ברגע $t$. אם ברגע מסוים $T' = -3$, כשהזמן נמדד בדקות, התה מתקרר באותו רגע בשלוש מעלות לדקה. אם מציירים את הטמפרטורה כפונקציה של הזמן, הנגזרת היא השיפוע של הקו המשיק לגרף: שיפוע שלילי פירושו שהתה מתקרר, שיפוע חיובי שהוא מתחמם, ושיפוע אפס שהוא עומד במקום.

ב-1701 פרסם אייזק ניוטון, בלי לחתום את שמו, מאמר קצר על מדידת טמפרטורות גבוהות. בתוכו מסתתר חוק שנקרא היום חוק הקירור של ניוטון: הקצב שבו גוף מתקרר פרופורציוני להפרש בין הטמפרטורה שלו לבין הטמפרטורה של הסביבה. בנוסחה:

כאן $T_0$ היא הטמפרטורה של החדר, ו-$k$ הוא מספר חיובי שתלוי בכוס, בכמות התה ובתנועת האוויר, כלומר בכל מה שקובע כמה בקלות חום בורח. המינוס אומר שכשהתה חם מהחדר, ההפרש חיובי, הקצב שלילי, והתה מתקרר. ואם מניחים על השולחן כוס מים עם קרח, ההפרש שלילי, הקצב חיובי, והמים מתחממים. אותו חוק בדיוק פועל לשני הכיוונים: הכל זורם אל הטמפרטורה של החדר, ומהר יותר ככל שהוא רחוק ממנה.

מי שלמד 5 יחידות מכיר את הפתרון מבעיות של גדילה ודעיכה: פונקציה שהנגזרת שלה פרופורציונית לעצמה היא פונקציה מעריכית. כאן מה שדועך הוא לא הטמפרטורה עצמה, אלא ההפרש שלה מהחדר:

אפשר לבדוק: הנגזרת של $e^{-kt}$ היא $-k\,e^{-kt}$, ולכן כשגוזרים את שני האגפים מקבלים בדיוק את החוק.

בואו נשים מספרים. החדר ב-25 מעלות, התה מתחיל ב-90, ונניח ש-$k = 0.05$ לדקה. ההפרש ההתחלתי הוא 65 מעלות. אחרי 10 דקות הוא הוכפל ב-$e^{-0.5} \approx 0.607$ והצטמק ל-39.4 מעלות, ולכן התה ב-64.4. אחרי חצי שעה ההפרש הוכפל ב-$e^{-1.5} \approx 0.223$, נשארו ממנו 14.5 מעלות, והתה ב-39.5. ויש כאן עוד משהו יפה: בכל $\ln 2 / k \approx 13.9$ דקות ההפרש קטן בדיוק בחצי, לא משנה מאיזה הפרש מתחילים. תה רותח ותה פושר מאבדים חצי מהמרחק שלהם מהחדר באותו זמן בדיוק.

לפני שאתם מזיזים משהו בהמחשה הבאה, נחשו: אם תכפילו את $k$, מה יקרה לזמן שלוקח להפרש לקטון בחצי?

שימו לב במיוחד למספר האחרון, «הקצב חלקי ההפרש». הזיזו את סמן הזמן לאן שתרצו, שנו את הטמפרטורה ההתחלתית, והוא תמיד יראה את $k$. זה החוק כולו במספר אחד: הקצב וההפרש הולכים יחד, ביחס קבוע. והתשובה לניחוש: כשמכפילים את $k$, הזמן שלוקח להפרש לקטון בחצי נחתך בחצי.

מכוס אחת לשרשרת כוסות

ניוטון חשב על גוף אחד מול סביבה. אבל מוט הוא לא כוס תה: חלק ממנו חם וחלק קר, והחום זורם בתוכו, מהחלקים החמים אל הקרים. איך מפעילים את החוק של ניוטון על משהו כזה?

הטריק הוא לחתוך את המוט, בדמיון, לשורה של תאים קטנים. כל תא הוא כמו כוס תה זעירה, ונניח שהוא קטן מספיק כדי שתהיה לו טמפרטורה אחת. נמספר את התאים, ונסמן ב-$T_i$ את הטמפרטורה של תא מספר $i$. השכנים שלו הם תא $i-1$ משמאל ותא $i+1$ מימין.

עכשיו נפעיל את ניוטון על כל זוג שכנים. בין שני תאים צמודים עובר חום מהחם אל הקר, בקצב שפרופורציוני להפרש ביניהם. תא $i$ מקבל מהשכן השמאלי כמות שפרופורציונית ל-$T_{i-1} - T_i$: אם השכן חם יותר, המספר הזה חיובי והתא מתחמם, ואם הוא קר יותר, המספר שלילי והתא מתקרר. באותו אופן הוא מקבל מהשכן הימני כמות שפרופורציונית ל-$T_{i+1} - T_i$. נחכה צעד זמן קצר, ונסכם את שתי התרומות:

כאן $T_i^{+}$ היא הטמפרטורה של התא בצעד הבא, ו-$r$ הוא מספר קטן שמאגד בתוכו את כל הפרטים: כמה טוב החומר מוליך חום, כמה ארוך צעד הזמן, וכמה גדול כל תא. עוד נחזור אליו, ונגלה שאסור לו להיות גדול מדי.

ועכשיו טריק אלגברי קטן, שהופך את כל הסיפור. נפתח את הסוגריים ונסדר מחדש:

הביטוי בסוגריים הגדולים הוא ההפרש בין ממוצע השכנים לבין התא עצמו. כלומר, הכלל שלנו אומר משהו פשוט להפליא: בכל צעד, כל תא מתקרב לממוצע של שני שכניו. תא שחם יותר מהממוצע שלהם מתקרר, תא שקר ממנו מתחמם, ותא שנמצא בדיוק על הממוצע לא זז. זה הכל. כל מה שנפגוש בסדרה הזאת, הגלים, הטורים וההתמרה, יוצא מהמשפט הזה. לביטוי $T_{i-1} - 2T_i + T_{i+1}$ קוראים הפרש שני, ותכף נראה למה.

בואו נעשה את זה ביד, פעם אחת, כדי שזה יהיה ממשי. חמישה תאים בשורה, קרח משני הצדדים (כלומר, «שכנים» שתמיד באפס), והתא האמצעי ב-100 מעלות. כדי שהחשבון יהיה נוח ניקח $r = \tfrac14$: כל תא מקבל מכל שכן רבע מההפרש ביניהם.

וזה מה שקורה בשלושת הצעדים הראשונים. המספרים מעוגלים לשתי ספרות אחרי הנקודה:

שווה לבדוק שורה או שתיים בעצמכם. למשל, תא 3 בצעד השני: הוא ב-50, והשכנים שלו ב-25 וב-25. ההפרשים הם $-25$ ו-$-25$, רבע מהסכום שלהם הוא $-12.5$, ולכן הוא יורד ל-37.5. ותא 2 באותו צעד? הוא ב-25, השכנים שלו ב-0 וב-50, והממוצע שלהם הוא בדיוק 25. הוא כבר נמצא על הממוצע, ולכן הוא לא זז בכלל.

ועוד תצפית קטנה ששווה לזכור: סכום הטמפרטורות בשורה הוא 100 בהתחלה, 100 אחרי צעד אחד ו-100 אחרי שניים. החום לא נעלם; הוא רק מתפזר. רק בצעד השלישי, כשהוא מגיע לתאים שנוגעים בקרח, הסכום יורד ל-96.88. החום מתחיל לברוח החוצה רק כשהוא מגיע לקצוות.

מעבדת המוט

חמישה תאים ושלושה צעדים אפשר לחשב ביד. שישים תאים ואלף צעדים הם עבודה למחשב. הנה בדיוק אותו כלל, עם $r = 0.4$, על מוט שלם, והשעון מתרגם את הצעדים לזמן אמיתי, כאילו זה מוט נחושת באורך מטר. זה הזמן לחזור לניחושים מההתחלה.

כמה דברים לנסות, בערך בסדר הזה:

• צר מול רחב. הפעילו את «נקודה חמה צרה», ועקבו אחרי הגרף הקטן של הטמפרטורה הגבוהה במוט. אחר כך בחרו «גבעה רחבה» והפעילו שוב. הריצה הקודמת נשארת על הגרף הקטן, מקווקוות, כך שאפשר להשוות.
• רעש. בחרו «רעש», הורידו את המהירות ולחצו כמה פעמים על «צעד». מה נעלם קודם: הקפיצות הקטנות בין תא לתא, או ההבדלים הגדולים בין אזור לאזור?
• ציור. גררו על הגרף וציירו משהו משלכם, כמה שיותר מכוער. הפעילו, וראו מה נשאר ממנו.
• חצי חם. מה קורה בנקודה שבה החם פוגש את הקר? ומה קורה ליד הקרח?

אז מה גיליתם? אם עוד לא שיחקתם, זה הרגע לעצור.

הנקודה הצרה מאבדת את השיא שלה הרבה יותר מהר. אחרי 50 צעדים, שהם 48 שניות במוט הנחושת, השיא שלה ירד מ-100 ל-20 מעלות, בזמן שהגבעה הרחבה עוד ב-71. אחרי 200 צעדים, קצת יותר משלוש דקות, הצרה ב-10 והרחבה ב-45. וזה הגיוני לגמרי לאור הכלל של הממוצעים: בנקודה צרה, התא החם מוקף בשכנים קרים בהרבה, ההפרש שלו מהממוצע ענק, והוא מתקרר מהר. בגבעה רחבה, השכנים של כל תא נמצאים כמעט באותה טמפרטורה שלו, ההפרש קטן, והשינוי איטי.

גם התשובה לשאלה הראשונה נמצאת כאן: הנקודה הצרה לא נשארת צרה. היא מתרחבת ומשתטחת לצורה של פעמון, והמרכז שלה נשאר במקום, כי אין שום סיבה שהחום יעדיף דווקא ימינה או שמאלה.

ו«חצי חם»? ברגע הראשון יש שם מדרגה חדה: 100 מעלות מצד אחד, 0 מהצד השני. לפי הכלל, התא החם האחרון נמצא הרבה מעל ממוצע השכנים שלו והתא הקר הראשון הרבה מתחתיו, ולכן המדרגה מתעגלת כמעט מיד. אחר כך קורים שני דברים בבת אחת: החום זולג מהחצי החם אל החצי הקר, ובקצה השני של החצי החם הוא זולג אל הקרח. אחרי כמה דקות של זמן נחושת כבר אין זכר למדרגה, ומה שנשאר נראה כמו גבעה עקומה אחת, שהשיא שלה זז לאט לכיוון מרכז המוט. שימו לב גם לגרף הקטן: בהתחלה הטמפרטורה הגבוהה במוט כמעט לא יורדת, כי לתאים שבאמצע החצי החם עוד לא הגיעה שום בשורה. לשינוי לוקח זמן «להגיע» אליהם.

והרעש? הקפיצות הקטנות בין תא לתא נעלמות כמעט מיד, והצורה הגדולה נשארת עוד הרבה אחר כך. שווה לנסח את זה כמו חוק: פרטים קטנים נעלמים מהר, צורות גדולות נעלמות לאט. שמרו את המשפט הזה בצד. בפוסט הבא הוא יקבל נוסחה מדויקת, ובהמשך הסדרה הוא יסביר למה טשטוש של תמונה מוחק קודם כל את הפרטים הקטנים שבה.

מה הנגזרת השנייה באמת מודדת

הכלל שלנו מדבר על תאים. אבל מוט אמיתי הוא לא שורה של תאים, והטמפרטורה בו משתנה ברציפות. מה קורה ל«ממוצע השכנים פחות התא» כשהתאים נעשים קטנים יותר ויותר?

נסמן את הטמפרטורה לאורך המוט כפונקציה $f(x)$, ואת המרחק בין תאים שכנים ב-$h$. התא נמצא בנקודה $x$, והשכנים שלו ב-$x-h$ וב-$x+h$. הביטוי שלנו הוא:

כדי להבין אותו, כדאי לצייר. מסמנים את שתי הנקודות של השכנים על הגרף, ומותחים ביניהן מיתר ישר. הממוצע של השכנים הוא הגובה של המיתר בדיוק באמצע, מעל $x$. אם הגרף הוא קו ישר, המיתר עובר עליו והביטוי הוא אפס. אם הגרף קעור כלפי מעלה, בצורה של $\cup$, המיתר עובר מעליו, הממוצע גדול מהערך באמצע, והתא מתחמם. ואם הגרף קעור כלפי מטה, $\cap$, המיתר עובר מתחתיו, והתא מתקרר.

ומי שלמד 5 יחידות יודע איזו נגזרת מבחינה בין $\cup$ ל-$\cap$: הנגזרת השנייה. היא חיובית כשהפונקציה קעורה כלפי מעלה, ושלילית כשהיא קעורה כלפי מטה. זה לא צירוף מקרים. אם מחלקים את ההפרש השני ב-$h^2$ ומקטינים את $h$, מקבלים את הנגזרת השנייה בדיוק:

שחקו עם זה: הזיזו את התא, שנו את המרחק לשכנים, ועקבו אחרי החץ.

כשהתא נמצא בראש הגבעה והמרחק לשכנים 12 סנטימטר, ההפרש השני חלקי $h^2$ יוצא $-3{,}239$, והנגזרת השנייה המדויקת היא $-4{,}012$. קרוב, אבל לא מדויק. הקטינו את המרחק ל-2 סנטימטר, וההפרש השני כבר $-3{,}988$. בגבול, השניים שווים. הנגזרת השנייה היא «ממוצע השכנים פחות הנקודה», מתחת למיקרוסקופ.

ושימו לב לצבעים ברקע. בכל האזור שבו הגבעה קעורה כלפי מטה, כל נקודה נמצאת מעל ממוצע השכנים שלה, ולכן מתקררת. בשני הצדדים, איפה שהגבעה מתעקלת כלפי מעלה, כל נקודה מתחממת. גבעה של חום לא סתם «יורדת»: היא מתקררת בראש ומתחממת בשוליים, וזה בדיוק מה שגורם לה להתרחב.

ועכשיו אפשר גם להבין את התוצאה מהמעבדה בלי שום סימולציה. בראש של נקודה צרה הגרף מתעקל בחדות, והנגזרת השנייה שם שלילית וגדולה מאוד, ולכן השיא צונח מהר. בראש של גבעה רחבה הגרף כמעט שטוח, הנגזרת השנייה קרובה לאפס, והשיא יורד לאט. «צר מול רחב» הוא בעצם «עקמומיות גדולה מול עקמומיות קטנה».

פונקציה של שני משתנים: מפת מקום–זמן

עד עכשיו עשינו רמאות קטנה. דיברנו על «הטמפרטורה לאורך המוט» כאילו היא פונקציה של המקום בלבד. אבל היא משתנה גם עם הזמן. הטמפרטורה בנקודה $x$ ברגע $t$ היא מספר אחד, ונסמן אותו $u(x,t)$. זו פונקציה של שני משתנים: נותנים לה מקום ורגע, והיא מחזירה טמפרטורה.

בתיכון כמעט כל הפונקציות מקבלות משתנה אחד, אבל אתם מכירים פונקציות של שני משתנים גם אם לא קראתם להן כך. השטח של מלבן תלוי באורך וברוחב שלו. המחיר של נסיעה במונית תלוי במרחק ובזמן. אין בהן שום דבר מסתורי.

איך מציירים פונקציה כזאת? יש שתי דרכים, וכדאי להכיר את שתיהן. הראשונה היא מפה: ציר אחד הוא המקום, השני הוא הזמן, והצבע בכל נקודה הוא הטמפרטורה. הדרך השנייה היא לחתוך את המפה. קו אופקי במפה הוא רגע אחד: אם קובעים את $t$, מקבלים את כל המוט באותו רגע, וזו פונקציה רגילה של $x$. קו אנכי הוא נקודה אחת במוט: אם קובעים את $x$, מקבלים את ההיסטוריה של הנקודה הזאת, וזו פונקציה רגילה של $t$.

ועכשיו אפשר להגדיר את הדבר שנשמע מפחיד ואינו: נגזרת חלקית. בחתך האנכי, ההיסטוריה של נקודה אחת, יש שיפוע: הקצב שבו הנקודה מתחממת או מתקררת. זו הנגזרת לפי הזמן, כשהמקום לא זז, ומסמנים אותה $\frac{\partial u}{\partial t}$. ה-$\partial$ המסולסל הוא רק תזכורת: «יש כאן עוד משתנה, והוא קפוא». בחתך האופקי, כל המוט ברגע אחד, יש שיפוע לאורך המוט, $\frac{\partial u}{\partial x}$, ויש עקמומיות, $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$: הנגזרת השנייה לפי המקום, כשהזמן קפוא.

שווה לקרוא את המפה הזאת לאט. בשורה העליונה יש שני כתמים בהירים, שתי הגבעות. ככל שיורדים, הכתמים מתרחבים, מתעמעמים, ובסוף מתמזגים לכתם אחד רחב וכהה. עכשיו הניחו את הסמן בעמק שבין שתי הגבעות, בערך באמצע המוט, והסתכלו על החתך האנכי. הנקודה הזאת מתחילה קרה, מתחממת במהירות כשהחום משתי הגבעות מגיע אליה, מגיעה לשיא, ורק אז מתחילה להתקרר יחד עם כל המוט. השיפוע שלה בזמן חיובי בהתחלה, מתאפס בשיא ונעשה שלילי אחר כך. וזה בדיוק מה שהעקמומיות עושה באותה נקודה: בהתחלה היא בתחתית של עמק, בשיא היא כמעט על קו ישר, ואחר כך היא כבר בראש של גבעה אחת גדולה.

אין כאן שום כלל גזירה חדש. כשגוזרים לפי $x$, מתייחסים ל-$t$ כמו לעוד מספר קבוע, בדיוק כמו שמתייחסים ל-$a$ כשגוזרים את $a x^2$. למשל, אם $u(x,t) = t\,x^2$, אז $\frac{\partial u}{\partial x} = 2tx$ ו-$\frac{\partial u}{\partial t} = x^2$. צריך רק לומר, בכל פעם, איזה משתנה זז ואיזה קפוא.

משוואת החום

יש לנו את כל החלקים. הכלל של התאים אומר שהקצב שבו תא משתנה בזמן פרופורציוני להפרש השני שלו במקום. כשהתאים והצעדים נעשים זעירים, «הקצב שבו תא משתנה בזמן» הופך ל-$\frac{\partial u}{\partial t}$, ו«ההפרש השני», חלקי ריבוע גודל התא, הופך ל-$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$. מה שיוצא הוא:

זו משוואת החום. במילים: הקצב שבו נקודה מתחממת שווה לעקמומיות של הטמפרטורה סביבה, כפול קבוע. נקודה בתחתית של עמק מתחממת, נקודה בראש גבעה מתקררת, ונקודה על קו ישר לא זזה. אם תחזרו למפת המקום–זמן ותזיזו את הסמן, תראו שני מספרים שנמדדים כל אחד בדרך אחרת, השיפוע בחתך האנכי ו-$\alpha$ כפול העקמומיות בחתך האופקי, והם כמעט שווים בכל מקום. זו המשוואה, בפעולה.

כבר מהקריאה הזאת אפשר להסיק כמה דברים, בלי לפתור שום דבר. הנקודה הכי חמה במוט נמצאת תמיד בראש של גבעה, שם העקמומיות לא חיובית, ולכן היא לא יכולה להתחמם. הנקודה הכי קרה נמצאת תמיד בתחתית של עמק, ולכן היא לא יכולה להתקרר. כלומר, חום לבדו אף פעם לא מתרכז: שום נקודה במוט לא תהיה חמה יותר מהטמפרטורה הכי גבוהה שהייתה בו בהתחלה או בקצוות. ועוד משהו: המשוואה לא מבדילה בין ימין לשמאל, ולכן גבעה סימטרית נשארת סימטרית לאורך כל הדרך. את כל אלה ראיתם במעבדה. עכשיו יש להם סיבה.

זו גם הדוגמה הראשונה שלנו למשוואה דיפרנציאלית חלקית: משוואה שהנעלם בה הוא לא מספר, וגם לא פונקציה של משתנה אחד, אלא פונקציה של כמה משתנים, והמשוואה מקשרת בין הנגזרות החלקיות שלה. לפתור אותה פירושו למצוא את $u(x,t)$ כולה, את כל המפה, כשיודעים רק את השורה הראשונה שלה ומה קורה בקצוות. לשני אלה קוראים תנאי התחלה ותנאי שפה, ובלעדיהם אין למשוואה פתרון אחד: אותו חוק מתאים לכל מוט שבעולם.

הקבוע $\alpha$ נקרא מקדם הדיפוזיה התרמית, והוא אומר כמה מהר חום מתפשט בחומר. היחידות שלו הן אורך בריבוע חלקי זמן. הנה כמה ערכים, בטמפרטורת החדר:

איך קוראים את העמודות האלה? $\alpha$ נמדד ביחידות של אורך בריבוע חלקי זמן, ולכן אם מחלקים ריבוע של אורך ב-$\alpha$, מקבלים זמן. זה לא הזמן המדויק שלוקח למוט להתקרר: הקבוע המדויק תלוי בצורה ובמה שקורה בקצוות, ובפוסט הבא נראה שבמוט עם קצוות בקרח, הגבעה האיטית ביותר דועכת פי $\pi^2$, כמעט פי עשרה, מהר יותר. אבל זה סדר הגודל הנכון, וחשובה ממנו החזקה: הזמן גדל כמו ריבוע האורך. מוט ארוך פי חמישה מתקרר לאט פי עשרים וחמישה, וזו בדיוק הקפיצה בין שתי העמודות האחרונות.

ושני סייגים. במים ובאוויר, בחיים האמיתיים, החום זורם בעיקר יחד עם החומר עצמו: מים חמים ואוויר חם עולים למעלה ומערבבים הכל. לכן הזמנים שלהם בטבלה הם של עולם שבו שום דבר לא זז. והערכים עצמם משתנים קצת עם הטמפרטורה.

אותה משוואה, סיפור אחר: טיפת דיו

שימו טיפת דיו בכוס מים שקטה, בלי לערבב, והיא תתפשט לאט לענן. אין כאן שום חום, ובכל זאת מדובר באותה משוואה בדיוק. כדי לראות למה, צריך לחשוב על מה שקורה ברמה של מולקולות.

כל חלקיק של צבע נחבט בלי הפסקה על ידי מולקולות מים, מכל הכיוונים, ולכן הוא זז בקפיצות קטנות ואקראיות. ב-1827 ראה הבוטנאי רוברט בראון במיקרוסקופ חלקיקים זעירים מגרגרי אבקה של צמח, שרחפו במים ורעדו כל הזמן. לתנועה הזאת קוראים היום תנועה בראונית.

בואו נבנה את המודל הכי פשוט שאפשר: חלקיק על קו ישר, שבכל צעד זמן קופץ צעד אחד שמאלה או ימינה, לפי הטלת מטבע. זה נקרא הילוך אקראי. חלקיק בודד כזה משעמם למדי. אלפי חלקיקים כאלה מעניינים מאוד.

מה רואים? ההיסטוגרמה מקבלת צורה של פעמון, והפעמון הזה מתרחב ומשתטח בדיוק כמו שהנקודה החמה במוט התרחבה והשתטחה. והקו המקווקו, שחושב ממשוואת החום, יושב עליה כמעט בדיוק.

למה? נסמן ב-$P_i$ את החלק של החלקיקים שנמצאים במשבצת $i$. כדי להיות במשבצת $i$ אחרי הצעד הבא, חלקיק צריך להיות עכשיו באחת המשבצות השכנות ולקפוץ לכיוון הנכון, והסיכוי לכל כיוון הוא חצי:

וזה בדיוק הכלל של התאים, עם $r = \tfrac12$: כל משבצת מקבלת את הממוצע של השכנות שלה. ההסתברות מתפשטת כמו חום.

בהמחשה יש עוד גרף, קטן: השונות של מיקומי החלקיקים לאורך הזמן. השונות היא הממוצע של ריבוע המרחק מהמרכז, מדד לכמה הענן מפוזר, וסטיית התקן היא השורש שלה, הרוחב האופייני של הענן. הגרף יוצא קו ישר: השונות גדלה ביחס ישר לזמן. בריצה הראשונה, אחרי 100 צעדים היא 101.6, ואחרי 400 צעדים היא 390.9. משוואת החום מנבאת שונות של $2Dt$, כאשר $D$ הוא מקדם הדיפוזיה, והיחידות כאן בחורות כך שהתחזית היא פשוט מספר הצעדים.

למה דווקא מספר הצעדים? בהילוך שלנו כל קפיצה היא משבצת אחת בכל צעד זמן אחד. בתיבה שבסוף הפרק נראה ש-$D = \Delta x^2 / 2\Delta t$, כך שכאן $D = \tfrac12$, ואחרי $n$ צעדים $2Dt = n$. יש גם דרך לראות את זה בלי שום משוואה. המיקום אחרי $n$ צעדים הוא סכום של $n$ קפיצות, כל אחת $+1$ או $-1$. כשמעלים את הסכום הזה בריבוע, מקבלים $n$ ריבועים של $\pm 1$, שכל אחד מהם שווה בדיוק 1, ועוד הרבה מכפלות של זוגות קפיצות שונות. מכפלה כזאת היא $+1$ או $-1$ בסיכוי שווה, ולכן בממוצע על פני אלפי חלקיקים המכפלות מבטלות זו את זו, ומה שנשאר הוא $n$.

אם השונות גדלה כמו $t$, הרוחב גדל כמו $\sqrt t$. וזה משנה הכל: כדי להגיע רחוק פי 2, צריך זמן ארוך פי 4. בואו נשים מספרים. מקדם הדיפוזיה של פלואורסצאין, צבע ירוק נפוץ, במים הוא בערך $4.25 \cdot 10^{-10}$ מטר רבוע לשנייה. הזמן האופייני להתפשט למרחק $L$ הוא $L^2/2D$:

כלומר, בלי שום ערבוב, טיפת צבע לא הייתה מגיעה לקצה השני של אמבטיה במהלך חייכם. בפועל זה קורה מהר הרבה יותר, כי מים אף פעם לא באמת שקטים: הבדלי טמפרטורה זעירים יוצרים זרמים, והזרמים עושים את רוב העבודה. ואותו חשבון, ריבוע האורך, הוא הסיבה שמוט של מטר מתקרר לאט פי עשרים וחמישה ממוט של 20 סנטימטר.

מה הלאה: צורות שלא משנות צורה

חזרו רגע למעבדת המוט. סמנו «הצג את הצורה ההתחלתית», בחרו «גבעת סינוס» והפעילו. הקו המקווקו, הצורה ההתחלתית מוקטנת לגובה של עכשיו, יושב על הגרף בדיוק לאורך כל הריצה. הגבעה מתכווצת, אבל לא משנה צורה. עכשיו נסו את אותו דבר עם «גבעה רחבה»: שם הצורה משתנה, והקו המקווקו נפרד מהגרף כמעט מיד.

למה דווקא סינוס? האם יש עוד צורות כאלה? ומה אפשר לעשות עם צורה שלא משנה צורה, חוץ מלהתפעל ממנה? מתברר שהשאלה הזאת היא המפתח לכל השאר. בפוסט הבא נמצא את כל הצורות האלה, נגלה שכל אחת מהן דועכת בקצב שתלוי בריבוע של כמה «גלית» היא, ונבין סוף סוף למה פרטים קטנים נעלמים מהר.

וזו המפה של כל הדרך:

1. איך חום זורם? הפוסט הזה.
2. צורות ששומרות על צורתן: הפרדת משתנים, ואופנים שדועכים.
3. קיר ישר מגלים: טור פורייה, והפתרון של פורייה לבעיה שלו.
4. גאומטריה של פונקציות: פונקציות כווקטורים, מכפלה פנימית ושוויון פרסבל.
5. מתי זה בכלל עובד? התכנסות, ותופעת גיבס.
6. מעגלים מסתובבים: מספרים מרוכבים, וחום על טבעת.
7. המוט האינסופי: מטור פורייה אל התמרת פורייה.
8. גרעין החום: קונבולוציה, והפעמון של גאוס.
9. פורייה בדיד: דגימה, ומה מחשב באמת רואה.
10. אחרי פורייה: טשטוש תמונות, JPEG ועקרון אי-הוודאות.

הערה על המספרים

כל מספר בפוסט הזה חושב, לא הומצא.

• הסימולציות בהמחשות רצות בדפדפן שלכם, לפי אותו כלל שבטקסט. לפני הפרסום הרצתי העתק שלהן ב-Node ובדקתי אותן מול פתרונות מדויקים. גבעת הסינוס במעבדת המוט שומרת על הצורה שלה עד גבול הדיוק של המחשב, והגובה שלה אחרי 1,000 צעדים שונה מהפתרון המדויק של משוואת החום ב-0.03%. במפת המקום–זמן, שני הקצבים שהיא מציגה נבדלים בפחות מאחוז אחד ב-90% מהנקודות.
• ההולכים האקראיים אמיתיים: 4,000 חלקיקים, עם מחולל מספרים אקראיים קבוע, כך שהריצה הראשונה זהה אצל כולם. הפער של כ-2% בין השונות שנמדדה לתחזית הוא בדיוק בגודל שרעש הדגימה של 4,000 חלקיקים אמור לתת.
• מקדמי הדיפוזיה התרמית לקוחים מהטבלה בערך «Thermal diffusivity» בוויקיפדיה האנגלית, והזמנים בטבלה מחושבים מהם. מקדם הדיפוזיה של פלואורסצאין במים לקוח מ-Culbertson, Jacobson ו-Ramsey, שמדדו אותו ב-2002.
• הכוס המתקררת היא להמחשה בלבד: $k = 0.05$ לדקה הוא ערך סביר, לא מדידה של כוס מסוימת.
• העובדות ההיסטוריות נבדקו מול הביוגרפיה של פורייה בארכיון MacTutor של אוניברסיטת סנט אנדרוז, ומול הערכים על חוק הקירור של ניוטון, תנועה בראונית וחוקי פיק בוויקיפדיה האנגלית.