צורות ששומרות על צורתן

חממו מוט ברזל בכל דרך שתרצו: שני כתמים חמים, זיגזג פרוע של חם ופושר, צורה של האות M. תקעו את שני הקצוות במי קרח, וחכו. לא משנה מה עשיתם, אחרי זמן מה המוט ייראה בדיוק אותו דבר: גבעה אחת, חלקה וסימטרית, שהולכת ומתכווצת בלי לשנות את צורתה. המוט שוכח את כל מה שעשיתם לו, חוץ מצורה אחת. למה דווקא היא? ולאן נעלם כל השאר?

זה החלק השני בסדרה «מחום לפורייה». בחלק הראשון בנינו מאפס את משוואת החום, ובסופו השארנו שאלה פתוחה: למה גבעה בצורת סינוס מתכווצת בלי לשנות צורה, כשכל גבעה אחרת משתנה? בחלק הזה נענה עליה עד הסוף. נמצא את כל הצורות ששומרות על צורתן, נגלה שיש בדיוק אחת לכל מספר שלם, ושכל אחת מהן דועכת בקצב משלה, שגדל כמו ריבוע המספר שלה. ובדרך נפגוש את הרעיון שכל שאר הסדרה נשען עליו: לפרק צורה מסובכת לסכום של צורות פשוטות, ולתת לכל אחת מהן לדעוך לבד.

כמו בחלק הקודם, מה שצריך להביא הוא מתמטיקה של 5 יחידות: נגזרות של סינוס וקוסינוס, פונקציה מעריכית ולוגריתם, וקצת טריגונומטריה. והתיבות שכתוב עליהן «צלילה לעומק» הן, שוב, בשביל מי שרוצה לראות למה הדברים נכונים באמת. אפשר לדלג עליהן בלי לאבד את החוט.

מה נשאר איתנו מהחלק הקודם

שלושה דברים, בקצרה, בשביל מי שקרא מזמן או לא קרא בכלל.

הכלל של התאים. חותכים את המוט, בדמיון, לשורה של תאים קטנים, ובכל צעד זמן קצר כל תא מתקרב לממוצע של שני שכניו:

u_i^{+} = u_i + r\,\bigl(u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1}\bigr)

כאן $u_i$ היא הטמפרטורה בתא מספר $i$ , $u_i^{+}$ היא הטמפרטורה שלו בצעד הבא, ו- $r$ הוא מספר קטן, שאסור לו לעבור את חצי. תא שחם מממוצע שכניו מתקרר, ותא שקר ממנו מתחמם.

משוואת החום. כשהתאים והצעדים נעשים זעירים, הכלל הופך למשוואה

\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

כאשר $u(x,t)$ היא הטמפרטורה בנקודה $x$ ברגע $t$ , ו- $\alpha$ הוא מקדם הדיפוזיה התרמית של החומר. במילים: הקצב שבו נקודה מתחממת שווה ל- $\alpha$ כפול העקמומיות של הטמפרטורה סביבה. נקודה בתחתית של עמק מתחממת, ונקודה בראש גבעה מתקררת. כדי שלמשוואה יהיה פתרון אחד צריך לדעת גם את תנאי ההתחלה, הטמפרטורה לאורך המוט ברגע הראשון, וגם את תנאי השפה, מה קורה בקצוות. עד שנגיע לקצוות מבודדים, הקצוות שלנו תקועים בקרח: $u = 0$ בשניהם, בכל רגע.

שתי תצפיות מהמעבדה. פרטים קטנים נעלמים מהר, וצורות גדולות נעלמות לאט. ו«גבעת סינוס», בצורה של חצי גל, מתכווצת בלי לשנות את צורתה, בזמן שכל גבעה אחרת משנה צורה בזמן שהיא מתכווצת.

ועוד החלטה אחת, של נוחות. מעכשיו ועד החלק החמישי, המוט שלנו יימתח מ-0 עד $\pi$ . זה נשמע מוזר, אבל זו רק בחירה של יחידת אורך, כמו למדוד באינצ’ים במקום בסנטימטרים: אם המוט באורך מטר, יחידת האורך שלנו היא $1/\pi$ מטר, בערך 32 סנטימטר. בתמורה, הנוסחאות יהיו נקיות מ- $\pi$ מיותרים. כשנרצה מספרים של מוט אמיתי, נחזור למטרים.

מה זה אומר, לשמור על צורה

בואו נדייק מה ראינו במעבדה. גבעה ששומרת על צורתה היא גבעה שבכל רגע נראית בדיוק כמו הגבעה ההתחלתית, רק נמוכה יותר. אם השיא ירד מ-80 ל-72 מעלות, כלומר ל-90% מהגובה שלו, אז נקודה שהייתה ב-40 מעלות נמצאת עכשיו ב-36, ונקודה שהייתה ב-10 נמצאת ב-9. כל נקודה במוט ירדה לאותם 90% מהגובה ההתחלתי שלה. הגרף כולו נלחץ כלפי מטה, כמו תמונה שמכווצים רק לגובה.

בנוסחה, הטמפרטורה היא מכפלה של שני חלקים:

u(x,t) = X(x)\cdot T(t)

$X(x)$ היא הצורה: פונקציה של המקום בלבד, שלא משתנה אף פעם. $T(t)$ היא מספר אחד שמשתנה עם הזמן, כמו כפתור עוצמה, ומכפיל את כל הצורה בבת אחת. בהתחלה $T = 1$ , ואחר כך הוא קטן.

עכשיו השאלה החשובה: מה צריך לקרות בכל נקודה כדי שזה יעבוד? אם כל נקודה מאבדת, בשנייה הקרובה, אחוז אחד מהגובה שלה, אז נקודה ב-80 מעלות יורדת ב-0.8 מעלות, ונקודה ב-10 מעלות יורדת ב-0.1 בלבד. כלומר, הקצב של כל נקודה חייב להיות פרופורציוני לגובה שלה, עם אותו יחס בכל המוט. זה אמור להישמע מוכר. זה בדיוק חוק הקירור של ניוטון מהחלק הקודם, רק שבמקום כוס אחת יש כאן שורה של נקודות, וכולן נמשכות לעבר אפס מעלות, הטמפרטורה של הקרח, עם אותו $k$ .

ומשוואת החום אומרת מה הקצב של כל נקודה: $\alpha$ כפול העקמומיות. אם מחברים את שני המשפטים, מקבלים תנאי שאפשר לבדוק בעיניים: צורה נשמרת בדיוק כשהעקמומיות בכל נקודה פרופורציונית לגובה של אותה נקודה, עם אותו יחס בכל המוט.

בהמחשה הבאה אפשר להעמיד כמה צורות במבחן. שתיים מהן כמעט זהות: גבעת סינוס ופרבולה. שתיהן ב-100 מעלות באמצע ובאפס בקצוות, וההבדל הגדול ביניהן, בערך 15 סנטימטר מכל קצה, הוא פחות משש מעלות. לפני שאתם לוחצים על משהו, נחשו: האם גם הפרבולה תעבור את המבחן? ואם לא, בכמה היא תפספס?

מבחן הצורה

צורה נשמרת רק אם כל נקודה בה משתנה בקצב שפרופורציוני לגובה שלה. בגרף התחתון כל תא של המוט הוא נקודה אחת: כמה הוא חם, לרוחב, וכמה מהר הוא משתנה, לגובה. בחרו צורה ולחצו «הפעל».

מהירות ×2

המוט: הטמפרטורה לאורכו, וחץ שמראה לאן כל נקודה זזה

מיקום לאורך המוט, בס״מ

הטמפרטורה עכשיו הצורה ההתחלתית, מוקטנת לגובה של עכשיו מתחמם מתקרר

כל תא הוא נקודה: לרוחב הטמפרטורה שלו, לגובה הקצב שבו הוא משתנה, במעלות לדקה

הקו המקווקו עובר בראשית. אם כל הנקודות עליו, הקצב של כל תא הוא אותו חלק מהגובה שלו

0 שנ׳

הזמן במוט נחושת באורך מטר

−0.0657

הקצב חלקי הגובה, לדקה, מהקטן לגדול

זו הסימולציה של מעבדת המוט: 60 תאים, r = 0.4, קרח בשני הקצוות. הקצב של כל תא מחושב מההפרש השני שלו, כמו במשוואת החום. החצים מנורמלים, כך שהארוך שבהם תמיד באותו אורך: מה שחשוב הוא היחס ביניהם. הקצב חלקי הגובה מחושב רק בתאים שגובהם לפחות רבע מהשיא, כי ליד האפס החלוקה מתנפחת. ב«גל שלם» חצי מהמוט קר מהקרח, כאילו קיררו אותו בקרח יבש.

גבעת הסינוס עוברת את המבחן בלי שום ספק. כל 60 הנקודות יושבות על קו ישר אחד שעובר בראשית, והיחס בין הקצב לגובה הוא $-0.0657$ לדקה בכל תא, בכל צעד, לאורך כל הריצה. במילים: כל נקודה מתקרבת לאפס בקצב של 6.6% מהגובה שלה לדקה. (אם תבחרו «גל שלם», שחציו חם וחציו קר מהקרח, תראו את אותה תמונה בדיוק, עם יחס של $-0.263$ : פי ארבעה. זה לא מקרה, ותכף נראה למה.)

והפרבולה? היא נכשלת, ובגדול. בהתחלה הנקודות שלה בכלל לא יושבות על קו שעובר בראשית. הן יושבות על קו אופקי: כל התאים שלה מתקררים באותו קצב בדיוק, 5.33 מעלות לדקה, בלי שום קשר לגובה שלהם. וזה הגיוני לגמרי. לפרבולה יש אותה עקמומיות בכל נקודה (הנגזרת השנייה של $x(\pi - x)$ היא $-2$ , בכל מקום), ולכן לפי משוואת החום כל נקודה בה משתנה באותו קצב. אבל נקודה נמוכה שמתקררת באותו קצב כמו השיא מאבדת חלק גדול הרבה יותר מהגובה שלה, והצורה משתנה: השוליים צונחים מהר יותר מהאמצע. בעין כמעט אין הבדל בין שתי הצורות. במבחן, הן לא יכולות להיות רחוקות יותר.

ואז קורה משהו מעניין. הפעילו את הפרבולה והסתכלו על הנקודות: הקו האופקי מתחיל להסתובב, הנקודות מתקבצות, ואחרי קצת פחות מתשע דקות של זמן נחושת הן כבר יושבות על קו אחד שעובר בראשית, עם יחס של $-0.0657$ לדקה. היחס של גבעת הסינוס. הפרבולה לא נשארה פרבולה: היא הפכה לגבעת סינוס. הגבעה הרחבה עושה את אותו דבר, רק לאט יותר, תוך כעשרים דקות, וכך גם האות M, תוך פחות מרבע שעה. זה המוט ששוכח, מהפתיחה של הפוסט, וזה גם הרמז הראשון לכך שגבעת הסינוס היא לא סתם צורה אחת מני רבות.

הפרדת משתנים

עכשיו נמצא את כל הצורות ששומרות על צורתן, בלי לנחש. הדרך לעשות את זה נקראת הפרדת משתנים, והיא מתחילה מההנחה שכבר כתבנו, $u(x,t) = X(x)\,T(t)$ . אנחנו עוד לא יודעים מה $X$ ומה $T$ . נציב במשוואת החום, ונראה מה היא דורשת מהן.

כשגוזרים לפי הזמן, $X(x)$ קפואה ומתנהגת כמו מספר קבוע, ולכן

\frac{\partial u}{\partial t} = X(x)\,T'(t)

וכשגוזרים פעמיים לפי המקום, $T(t)$ היא הקבועה:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = X''(x)\,T(t)

משוואת החום הופכת ל-

X(x)\,T'(t) = \alpha\, X''(x)\,T(t)

ואם מחלקים את שני האגפים ב- $\alpha\,X(x)\,T(t)$ , בנקודות שבהן זה לא אפס:

\frac{T'(t)}{\alpha\,T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}

ועכשיו הרגע שבו הכל נשבר לשניים. האגף השמאלי תלוי רק בזמן: אין בו שום $x$ . האגף הימני תלוי רק במקום: אין בו שום $t$ . ובכל זאת הם שווים, לכל $x$ ולכל $t$ . איך זה ייתכן? קבעו רגע אחד והזיזו את $x$ לאורך המוט. האגף השמאלי לא זז, ולכן גם הימני לא זז: $X''/X$ הוא מספר קבוע, שלא תלוי במקום. עכשיו קבעו נקודה אחת ותנו לזמן לרוץ. האגף הימני לא זז, ולכן גם השמאלי קבוע. שני האגפים שווים לאותו מספר קבוע. נקרא לו $-\lambda$ (האות היוונית למדא; המינוס שם מטעמי נוחות, ותכף נראה למה).

קיבלנו שתי משוואות נפרדות, כל אחת עם משתנה אחד בלבד:

T'(t) = -\lambda\alpha\, T(t) \qquad\qquad X''(x) = -\lambda\, X(x)

זה מה שהשם «הפרדת משתנים» אומר: משוואה אחת קשה, על פונקציה של שני משתנים, הפכה לשתי משוואות קלות, כל אחת על פונקציה של משתנה אחד.

את המשוואה הראשונה אתם כבר מכירים. היא חוק הקירור של ניוטון, עם החדר באפס מעלות ועם $k = \lambda\alpha$ . הפתרון שלה, מהחלק הקודם, הוא

T(t) = e^{-\lambda\alpha t}

(בחרנו $T(0) = 1$ , כך שהצורה $X$ היא בדיוק הטמפרטורה ההתחלתית.) כלומר, צורה ששומרת על צורתה דועכת בדיוק כמו כוס תה: אקספוננציאלית, עם זמן מחצית קבוע, הזמן שלוקח לה לקטון בחצי, שהוא $\ln 2/(\lambda\alpha)$ . כל צורה כזאת היא כוס תה בפני עצמה, עם $k$ משלה. נשארה רק השאלה אילו צורות מותרות, ומה ה- $\lambda$ של כל אחת. את זה אומרת המשוואה השנייה.

פונקציה שמתעקלת אל הציר

המשוואה $X'' = -\lambda X$ אומרת: העקמומיות בכל נקודה היא מינוס מספר קבוע כפול הגובה. זה בדיוק התנאי מהמבחן, והפעם כנוסחה. איזו פונקציה עושה דבר כזה?

מי שלמד 5 יחידות מכיר אחת כזאת מקרוב. הנגזרת של $\sin x$ היא $\cos x$ , והנגזרת של $\cos x$ היא $-\sin x$ . לכן

(\sin x)'' = -\sin x

סינוס הוא פונקציה שהנגזרת השנייה שלה היא בדיוק מינוס עצמה. ואם רוצים מספר אחר במקום 1, מכווצים את הסינוס: לפי כלל השרשרת, כל גזירה של $\sin(kx)$ מוציאה החוצה $k$ נוסף, ולכן

\bigl(\sin(kx)\bigr)'' = -k^2 \sin(kx), \qquad \bigl(\cos(kx)\bigr)'' = -k^2 \cos(kx)

כלומר, אם $\lambda = k^2$ , גם $\sin(kx)$ וגם $\cos(kx)$ פותרות את המשוואה, וכך גם כל צירוף שלהן, $A\sin(kx) + B\cos(kx)$ , עם מספרים $A$ ו- $B$ כלשהם. (הנגזרת השנייה של צירוף היא הצירוף של הנגזרות השניות.) ואלה כל הפתרונות: משפט מתורת המשוואות הדיפרנציאליות אומר שאין אחרים, ולא נוכיח אותו כאן.

שווה לראות מה זה אומר בציור. איפה שהסינוס חיובי, מעל הציר, הוא קעור כלפי מטה, $\cap$ . איפה שהוא שלילי, מתחת לציר, הוא קעור כלפי מעלה, $\cup$ . ובכל מקום, ככל שהוא רחוק יותר מהציר, הוא מתעקל חזק יותר. סינוס הוא פונקציה שכל הזמן מתעקלת בחזרה אל הציר, בכוח שפרופורציוני למרחק שלה ממנו. ובשפה של החלק הקודם: כל נקודה בו רחוקה מממוצע השכנים שלה בדיוק ביחס לגובה שלה, ולכן כל הנקודות נמשכות אל האפס באותו יחס.

ומה אם $\lambda$ לא חיובי? אם $\lambda = 0$ , המשוואה היא $X'' = 0$ , והפתרונות הם קווים ישרים. אם $\lambda$ שלילי, נכתוב $\lambda = -m^2$ , והמשוואה היא $X'' = m^2 X$ : העקמומיות היא עכשיו פלוס מספר חיובי כפול הגובה, והפתרונות הם פונקציות מעריכיות כמו $e^{mx}$ ו- $e^{-mx}$ . הן מתעקלות הרחק מהציר: ככל שהן גבוהות יותר, הן מתעקלות כלפי מעלה חזק יותר.

אף אחת מהן לא מתאימה למוט שלנו, ואפשר לראות למה כמעט בלי חישוב. הצורה צריכה להיות אפס בשני הקצוות, כי שם הקרח. נניח שהיא חיובית איפשהו באמצע. אז יש לה נקודת מקסימום בתוך המוט, ובנקודת מקסימום, כמו שלמדתם, הנגזרת השנייה לא יכולה להיות חיובית. אבל לפי $X'' = m^2 X$ , בכל נקודה שבה $X$ חיובית גם $X''$ חיובית. סתירה. אותו טיעון, עם מינימום, פוסל ערכים שליליים, ולכן הצורה היא אפס בכל מקום. וקו ישר שעובר דרך אפס בשני הקצוות הוא פשוט הציר עצמו. כל צורה ששומרת על צורתה, בין שני דליי קרח, בנויה מסינוס ומקוסינוס. וזו גם הסיבה שכתבנו מינוס לפני $\lambda$ : בזכותו $\lambda$ חיובי, והצורות דועכות ולא מתפוצצות.

הקרח בוחר מספרים שלמים

נשארו שני הדליים. הצורה היא $X(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$ , והיא חייבת להיות אפס בשני הקצוות, ב- $x = 0$ וב- $x = \pi$ .

הקצה השמאלי קל. $\sin 0 = 0$ ו- $\cos 0 = 1$ , ולכן $X(0) = B$ . כדי שזה יהיה אפס צריך $B = 0$ . הקוסינוס יוצא מהמשחק, ונשאר $X(x) = A\sin(kx)$ .

הקצה הימני הוא העניין. צריך ש- $A\sin(k\pi) = 0$ . אם $A = 0$ אין צורה בכלל, ולכן $\sin(k\pi) = 0$ . ומתי סינוס מתאפס? רק בכפולות שלמות של $\pi$ . כלומר $k\pi$ הוא כפולה שלמה של $\pi$ , ו- $k$ הוא מספר שלם.

כדאי לראות את זה קורה. לפני שאתם מזיזים את המחוון, נחשו: עם $k = 1.5$ , איפה תהיה הצורה כשהיא תגיע לקצה הימני?

כמה גלים נכנסים בין שני דליי קרח?

הצורה היא sin(kx), והיא תמיד מתחילה באפס בקצה השמאלי. הזיזו את k ובדקו מתי היא מגיעה לאפס גם בקצה הימני, בתוך הקרח.

k 1.50

מיקום לאורך המוט, מ-0 עד π · הריבועים בקצוות הם הקרח

1.00

הערך בקצה הימני, sin(kπ)

פעמים שהצורה חוצה את האפס בתוך המוט

עם $k = 1.5$ הסינוס עובר חצי גל, ועוד חצי מחצי הגל הבא, ובקצה הימני הוא נמצא בשפל, במינוס 1, רחוק ככל האפשר מהקרח. רק כשהמחוון מגיע למספר שלם, הצורה נכנסת בדיוק בין שני הדליים: חצי גל אחד, שני חצאי גל, שלושה.

זה מזכיר גיטרה, ולא במקרה. גם מיתר שקשור בשני קצותיו יכול לרטוט בלי לשנות צורה רק כשנכנס בין שתי נקודות הקשירה מספר שלם של חצאי גל, ולכן הוא משמיע צליל יסודי והרמוניות שלו, ולא כל תדר שהוא. וגם במיתר, כמו במוט, כל נקודה נמשכת אל הציר בכוח שפרופורציוני לעקמומיות. ההבדל הוא שהמיתר רוטט, והחום רק דועך.

אז הנה כל הצורות ששומרות על צורתן, על מוט עם קרח בשני הקצוות:

X_n(x) = \sin(nx), \qquad \lambda_n = n^2, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots

(מספרים שלמים שליליים לא נותנים שום דבר חדש, כי $\sin(-nx) = -\sin(nx)$ היא אותה צורה הפוכה, ו- $n = 0$ נותן אפס.) לצורות האלה קוראים אופנים של המוט: האופן הראשון, האופן השני וכן הלאה. לפעמים אקרא להן כך, ולפעמים פשוט «צורה 1», «צורה 2». ושווה לזכור את התיאור שלהן במילים: צורות שמשוואת החום לא משנה, רק מכפילה במספר. בחלק הרביעי נגלה שלצורות כאלה יש שם, ושהן אחד הרעיונות המרכזיים באלגברה ליניארית.

שימו לב גם לספירה שבהמחשה: צורה $n$ חוצה את האפס בתוך המוט בדיוק $n - 1$ פעמים. צורה 1 אף פעם, צורה 2 פעם אחת, באמצע, צורה 3 פעמיים. זה יחזור אלינו בסוף הפוסט.

ומוט אמיתי, באורך $L$ ? מותחים את הציור. הצורות הן $\sin(n\pi x/L)$ , שעדיין מכניסות בדיוק $n$ חצאי גל בין $0$ ל- $L$ , וה- $\lambda$ שלהן הוא $n^2\pi^2/L^2$ . כשהאורך הוא $\pi$ , זה חוזר ל- $n^2$ .

כל צורה והקצב שלה

נחבר את החלקים. הצורה היא $\sin(nx)$ , והכפתור הוא $e^{-\lambda\alpha t}$ עם $\lambda = n^2$ :

u_n(x,t) = e^{-n^2\alpha t}\,\sin(nx)

לפני שממשיכים, בואו נבדוק שזה באמת פותר את משוואת החום, כי זה לוקח שתי שורות. גזירה לפי הזמן מוציאה מהמעריך $-n^2\alpha$ :

\frac{\partial u_n}{\partial t} = -n^2\alpha\, e^{-n^2\alpha t}\sin(nx)

וגזירה כפולה לפי המקום מוציאה מהסינוס $-n^2$ :

\frac{\partial^2 u_n}{\partial x^2} = -n^2\, e^{-n^2\alpha t}\sin(nx)

כפלו את השורה השנייה ב- $\alpha$ , וקיבלתם את הראשונה. ובקצוות $\sin 0 = \sin(n\pi) = 0$ , בכל רגע. הקרח מרוצה.

ועכשיו תסתכלו על המעריך: $n^2$ . צורה $n$ דועכת פי $n^2$ מהר יותר מצורה 1. צורה 2, עם שני חצאי גל, דועכת פי 4 מהר יותר. צורה 3 פי 9, צורה 10 פי 100. זו הנוסחה שהבטחתי בחלק הקודם למשפט «פרטים קטנים נעלמים מהר»: צורה שחצאי הגל שלה קצרים פי $n$ נעלמת מהר פי $n^2$ .

בואו נשים מספרים, במוט הנחושת באורך מטר מהחלק הקודם. במוט באורך $L$ הקצב של צורה $n$ הוא $n^2\pi^2\alpha/L^2$ , ולכן היא דועכת כמו $e^{-n^2 t/\tau_1}$ , כאשר $\tau_1$ , קבוע הזמן של הצורה הראשונה, הוא

\tau_1 = \frac{L^2}{\pi^2\alpha} = \frac{(1\ \text{m})^2}{\pi^2 \cdot 1.11\cdot 10^{-4}\ \text{m}^2/\text{s}} \approx 913\ \text{s}

כלומר 15.2 דקות. בחלק הקודם הבטחתי שהגבעה האיטית ביותר דועכת פי $\pi^2$ מהר יותר מ- $L^2/\alpha$ , הזמן האופייני שבטבלה, שבמוט נחושת באורך מטר היה שעתיים וחצי. הנה זה: שעתיים וחצי חלקי $\pi^2 \approx 9.87$ הם 15.2 דקות. זמן המחצית של הצורה הראשונה, $\tau_1 \ln 2$ , הוא 10.5 דקות, ושל כל צורה אחרת קצר ממנו פי $n^2$ :

צורה	אורך חצי הגל	זמן מחצית
1	100 ס״מ	10.5 דקות
2	50 ס״מ	2.6 דקות
3	33 ס״מ	70 שניות
4	25 ס״מ	40 שניות
10	10 ס״מ	6.3 שניות
50	2 ס״מ	רבע שנייה

קפיצה של סנטימטר או שניים בין תא לתא, כמו הרעש במעבדה של החלק הקודם, נעלמת בפחות משנייה. גבעה על כל המוט מחזיקה מעמד רבע שעה.

יש דרך יפה לראות את $n^2$ בלי מחשבון. מה שנשאר מצורה $n$ אחרי זמן $t$ הוא $e^{-n^2\alpha t}$ , ולפי חוקי החזקות זה $\bigl(e^{-\alpha t}\bigr)^{n^2}$ : מה שנשאר מצורה 1, בחזקת $n^2$ . אז לפני ההמחשה הבאה, נחשו: ברגע שצורה 1 איבדה חמישית מהגובה שלה ונשארה עם 80%, כמה נשאר מצורה 3?

ארבע צורות, ארבעה קצבים

ארבע הצורות הראשונות על מוט נחושת באורך מטר, עם קרח בשני הקצוות. כולן מתחילות באותו גובה. הזיזו את הזמן ועקבו אחרי מה שנשאר מכל אחת.

זמן, דקות 0.0

צורה 1: חצי גל

100%

נשאר · זמן מחצית

צורה 2: שני חצאי גל

100%

נשאר · זמן מחצית

צורה 3: שלושה חצאי גל

100%

נשאר · זמן מחצית

צורה 4: ארבעה חצאי גל

100%

נשאר · זמן מחצית

הצורה עכשיו הצורה בהתחלה

מה שנשאר מכל צורה לאורך רבע שעה, בסולם שבו כל קו אופקי הוא חצי מהקו שמעליו. המספר בקצה של כל קו הוא מספר הצורה

זמן, בדקות

הדעיכה מחושבת מהנוסחה המדויקת, לא מסימולציה: צורה n דועכת כמו e^{−n²t/τ₁}, עם τ₁ = L²/π²α, שהם 15.2 דקות במוט נחושת באורך מטר. זמן המחצית של צורה n הוא τ₁·ln 2/n². בסולם של החצאים, דעיכה מעריכית היא קו ישר, וצורה n יורדת בו פי n² מהר יותר מצורה 1.

התשובה היא $0.8^9$ , כלומר 13%. צורה 3 איבדה כמעט הכל בזמן שצורה 1 בקושי התחילה. ואם תזיזו את הזמן ל-3.8 דקות, רבע מ- $\tau_1$ , תראו 78%, 37%, 11% ו-2%. ארבע צורות שהתחילו באותו גובה, ואחרי פחות מארבע דקות אחת מהן כמעט שלמה ואחת כמעט נעלמה.

ושימו לב לאורכים. חצי הגל של צורה $n$ הוא $L/n$ , והקצב שלה פרופורציוני ל- $n^2$ , כלומר הפוך לריבוע אורך הגל. הזמן שצורה חיה גדל כמו ריבוע אורך הגל שלה. זה אותו ריבוע שפגשנו פעמיים בחלק הקודם: מוט ארוך פי חמישה מתקרר לאט פי עשרים וחמישה, וטיפת דיו צריכה זמן ארוך פי ארבעה כדי להגיע רחוק פי שניים. שלוש פנים של אותה עובדה.

גם התאים יודעים את זה

בהערה על המספרים בחלק הקודם כתבתי שגבעת הסינוס במעבדת המוט שומרת על הצורה שלה «עד גבול הדיוק של המחשב». אבל המעבדה לא פותרת את משוואת החום. היא מריצה את הכלל של התאים, עם צעדים לא קטנים במיוחד ועם 60 תאים בלבד. למה שגם הכלל ישמור על סינוס בדיוק מושלם?

כי הכלל של התאים יודע טריגונומטריה. נניח שהמוט מחולק ל- $N$ תאים במרחקים שווים $h = \pi/(N+1)$ , כך שתא מספר $i$ נמצא בנקודה $x_i = ih$ , והקרח ב- $x_0 = 0$ וב- $x_{N+1} = \pi$ . נשים בתאים את הצורה $u_i = \sin(nx_i)$ . הכלל צריך את סכום השכנים, $\sin(nx_i - nh) + \sin(nx_i + nh)$ , ומנוסחאות הסינוס של סכום ושל הפרש זוויות, שמכירים מ-5 יחידות,

\sin(a - b) + \sin(a + b) = 2\sin a \cos b

(שני האיברים עם $\cos a\sin b$ מבטלים זה את זה.) ולכן

u_{i-1} + u_{i+1} = 2\cos(nh)\, u_i

ממוצע השכנים הוא התא עצמו, כפול $\cos(nh)$ . אותו מספר בכל תא. נציב בכלל:

u_i^{+} = u_i + r\bigl(2\cos(nh)\,u_i - 2u_i\bigr) = \bigl(1 - 2r(1 - \cos nh)\bigr)\, u_i

ובעזרת הזהות $1 - \cos\theta = 2\sin^2(\theta/2)$ :

u_i^{+} = \Bigl(1 - 4r\sin^2\frac{nh}{2}\Bigr)\, u_i

כל תא מוכפל באותו מספר. הכלל לא משנה את הצורה, רק מכפיל אותה, בדיוק כמו משוואת החום. ובקצוות, $\sin(n\cdot 0) = 0$ ו- $\sin\bigl(n(N+1)h\bigr) = \sin(n\pi) = 0$ : הקרח שוב מרוצה. זו הסיבה שגבעת הסינוס במעבדה שמרה על צורתה עד הספרה ה-15 אחרי הנקודה. היא צורה ששני העולמות, התאים והמשוואה, רק מכפילים.

והמכפיל עצמו? כש- $nh$ קטן, כלומר כשהצורה רחבה בהרבה מתא בודד, $\sin(nh/2) \approx nh/2$ , והמכפיל הוא בערך $1 - rn^2h^2$ . ומכיוון ש- $r = \alpha\,\Delta t/\Delta x^2$ , וכאן $\Delta x = h$ , זה בדיוק $1 - n^2\alpha\,\Delta t$ : בכל צעד הצורה מאבדת חלק $n^2\alpha\,\Delta t$ מהגובה שלה, כמו שמשוואת החום אומרת. במעבדה, עם 60 תאים ו- $r = 0.4$ , המכפיל של צורה 1 הוא 0.998939, והדעיכה המדויקת באותו צעד היא 0.998940. אבל בצורות צרות, שחצי הגל שלהן הוא תא או שניים, הכלל כבר לא מדייק, ושם גרה אי-היציבות מהחלק הקודם. על זה בתיבה.

ועוד תצפית קטנה, בשביל החלק התשיעי. 60 תאים יכולים להחזיק בדיוק 60 צורות שונות, $n = 1$ עד $60$ . צורה 61 היא אפס בכל התאים, כי $\sin(61\,ih) = \sin(i\pi) = 0$ , וכל צורה גבוהה ממנה חוזרת, בתאים, על אחת מהקודמות. וצורה 60, המהירה ביותר, היא דבר מוזר: בתאים היא בדיוק הזיגזג מהחלק הקודם, עטוף בגבעת סינוס. מוט של תאים לא יכול לראות פרטים קטנים מתא.

צלילה לעומקאפשר לדלג בקריאה ראשונה

יציבות, צורה אחרי צורה

בחלק הקודם ראינו שהכלל יציב אם $r \le \tfrac12$ , בשני טיעונים: ממוצע משוקלל לא יכול לחרוג מהערכים שהוא ממצע, וזיגזג מוכפל בכל צעד ב- $1 - 4r$ . עכשיו אפשר לראות את התמונה כולה.

כל אחת מ- $N$ הצורות מוכפלת בכל צעד במכפיל משלה,

g_n = 1 - 4r\sin^2\frac{n\pi}{2(N+1)}

ומכיוון שריבוע של סינוס הוא בין 0 ל-1, כל המכפילים נמצאים בין $1 - 4r$ ל-1. בצורות האיטיות, עם $n$ קטן, המכפיל קרוב ל-1. בצורה המהירה ביותר, $n = N$ , הסינוס כמעט 1 והמכפיל כמעט $1 - 4r$ : זה הזיגזג. ומכאן שלושה מצבים:

אם $r \le \tfrac14$ , כל המכפילים בין 0 ל-1. כל צורה דועכת בכל צעד, בשקט.
אם $\tfrac14 < r \le \tfrac12$ , לצורות המהירות יש מכפיל שלילי שגודלו לכל היותר 1. הן מחליפות סימן בכל צעד, מהבהבות, אבל דועכות. המעבדה, עם $r = 0.4$ , נמצאת כאן: מצורה 36 והלאה המכפילים שליליים, והמכפיל של צורה 60 הוא $-0.599$ .
אם $r > \tfrac12$ , המכפיל של הצורות המהירות קטן ממינוס 1. הן מחליפות סימן וגדלות בכל צעד, וכל שגיאת עיגול קטנטנה שיש בהן מתפוצצת.

לפני שאתם מזיזים את $r$ בהמחשה, נחשו: כשהוא עובר את חצי, אילו צורות מתחילות לגדול ראשונות, האיטיות או המהירות? וכמה מהן?

המכפיל של כל צורה

60 תאים בין שני דליי קרח יכולים להחזיק בדיוק 60 צורות. כל נקודה היא צורה אחת, והגובה שלה הוא המספר שבו כלל התאים מכפיל אותה בכל צעד. הזיזו את r.

r 0.400

מספר הצורה, n: משמאל האיטיות, מימין המהירות

כלל התאים מכפיל שגודלו מעל 1: הצורה גדלה משוואת החום, באותו צעד זמן

המכפיל של הצורה המהירה, n = 60

צורות שמחליפות סימן בכל צעד

צורות שגדלות

השגיאה בגבעת הסינוס אחרי 16 דקות

הקו המקווקו בהמחשה הוא מה שמשוואת החום עצמה עושה לכל צורה באותו צעד זמן: $e^{-r(nh)^2}$ , תמיד בין 0 ל-1. בצורות האיטיות הנקודות יושבות עליו. בצורות המהירות הן מתרחקות ממנו, ואפילו עם $r = 0.4$ , כשהכל יציב, הכלל מכפיל את הזיגזג בכל צעד במינוס 0.6, כשהמשוואה הייתה מכפילה אותו ב-0.02. זה לא נורא: הזיגזג נעלם אחרי כמה צעדים בכל מקרה, והצורות שחשובות לנו מחושבות היטב.

יש כאן גם הפתעה קטנה. אם מפתחים את שני המכפילים לטור טיילור לפי $\theta = nh$ , מקבלים

g_n = 1 - r\theta^2 + \frac{r\theta^4}{12} - \cdots, \qquad e^{-r\theta^2} = 1 - r\theta^2 + \frac{r^2\theta^4}{2} - \cdots

האיברים הראשונים שווים, וההפרש מתחיל ב- $r\theta^4\bigl(\tfrac1{12} - \tfrac r2\bigr)$ . ב- $r = \tfrac16$ בדיוק, גם הוא מתאפס. בהמחשה אפשר לראות מה זה שווה: אחרי 16 דקות של זמן נחושת, השגיאה בגבעת הסינוס היא 0.033% עם $r = 0.4$ , 0.012% עם $r = \tfrac14$ , ו-0.0000014% עם $r = \tfrac16$ .

והמחיר של היציבות? $r = \alpha\,\Delta t/\Delta x^2 \le \tfrac12$ פירושו $\Delta t \le \Delta x^2/2\alpha$ . אם מקטינים את התאים פי 2, צריך צעדי זמן קטנים פי 4, ובכל צעד יש פי 2 תאים לחשב: פי 8 עבודה. לכן שיטות מפורשות כמו זו נחשבות יקרות, ושיטות סתומות משלמות בכל צעד חישוב כבד יותר כדי להרשות לעצמן צעדים גדולים.

לניתוח הזה, שבודק כל צורה בנפרד, קוראים ניתוח היציבות של פון נוימן, או ניתוח יציבות פורייה. הוא פותח במעבדה הלאומית בלוס אלמוס. תיאור קצר שלו הופיע ב-1947 במאמר של החוקרים הבריטים ג’ון קרנק ופיליס ניקולסון, וטיפול מדויק יותר במאמר של צ’ארני, פיורטופט ופון נוימן מ-1950, שמכנה אותו «הליך היוריסטי». כמו כל מה שבסדרה הזאת, הוא עובד כי הכלל ליניארי: אפשר לפרק כל שגיאה לצורות ולבדוק כל צורה לבד. ועל התכונה הזאת בדיוק מדבר הפרק הבא.

לחבר צורות

עד עכשיו מצאנו צורות מיוחדות מאוד. אבל אף אחד לא מחמם מוט בצורת סינוס מושלמת. מה עושים עם האות M?

כאן נכנסת תכונה של משוואת החום שעוד לא דיברנו עליה: היא ליניארית. אם $u$ ו- $v$ הן שתי טמפרטורות שכל אחת מהן מקיימת את משוואת החום, אז גם הסכום שלהן מקיים אותה, וגם כל צירוף כמו $3u - 2v$ . הסיבה פשוטה: הנגזרת של סכום היא סכום הנגזרות, ומספר קבוע יוצא החוצה מהנגזרת. גם הקרח לא מתנגד, כי אפס ועוד אפס זה אפס. ובמילים של התאים זה ברור עוד יותר: הממוצע של סכומים הוא הסכום של הממוצעים. לתכונה הזאת קוראים עקרון הסופרפוזיציה: פתרונות אפשר לחבר.

ומה זה נותן לנו? נניח שהטמפרטורה ההתחלתית היא סכום של כמה צורות, למשל

u(x,0) = b_1\sin x + b_2\sin 2x + b_3\sin 3x

כל אחד מהאיברים, לבד, יודע בדיוק איך להתפתח: הוא דועך בקצב שלו ושומר על הצורה. והסכום של הפתרונות הוא פתרון. לכן

u(x,t) = b_1 e^{-\alpha t}\sin x + b_2 e^{-4\alpha t}\sin 2x + b_3 e^{-9\alpha t}\sin 3x

זה הכל. אין כאן שום קירוב ושום סימולציה: זה הפתרון המדויק של משוואת החום, בעיפרון. כל צורה חיה את החיים שלה, כאילו האחרות לא קיימות, כמו כמה כוסות תה שעומדות באותו חדר, כל אחת עם $k$ משלה, והטמפרטורה במוט היא פשוט הסכום שלהן.

בואו נעשה את זה ביד, פעם אחת. האות M שלנו היא

u(x,0) = 60\sin x + 30\sin 3x

שתי גבעות, שהשיא שלהן 64.5 מעלות, בערך 22 סנטימטר מכל קצה, ועמק באמצע, ב-30 מעלות. (באמצע $\sin(\pi/2) = 1$ ו- $\sin(3\pi/2) = -1$ , ולכן $60 - 30 = 30$ .) נחשב במוט הנחושת באורך מטר, שבו צורה 1 מוכפלת ב- $e^{-t/\tau_1}$ וצורה 3 ב- $e^{-9t/\tau_1}$ . הטמפרטורה באמצע המוט היא

60\,e^{-t/\tau_1} - 30\,e^{-9t/\tau_1}

וזה מה שיוצא:

הזמן	מה שנשאר מצורה 1	מה שנשאר מצורה 3	באמצע המוט, מעלות
בהתחלה	100%	100%	30.0
דקה	93.6%	55.3%	39.6
2 דקות	87.7%	30.6%	43.4
3 דקות	82.1%	17.0%	44.2
5 דקות	72.0%	5.2%	41.6
10 דקות	51.8%	0.3%	31.0

שווה לבדוק שורה אחת בעצמכם. אחרי 2 דקות, שהן 120 שניות, $e^{-120/913} \approx 0.877$ ו- $e^{-1080/913} \approx 0.306$ , ולכן באמצע $60 \cdot 0.877 - 30 \cdot 0.306 \approx 43.4$ .

ושימו לב מה קורה באמצע. העמק מתחמם, מ-30 ל-44 מעלות, בזמן שכל שאר המוט מתקרר, ורק אחר כך מתחיל להתקרר גם הוא. זה בדיוק מה שהעקמומיות אמרה בחלק הקודם: נקודה בתחתית של עמק מתחממת. ומתי העמק נעלם? כשהנקודה שבאמצע מפסיקה להיות בתחתית של עמק, כלומר כשהעקמומיות שלה מתאפסת. כדי לחשב אותה נחזור לרגע למוט שבין 0 ל- $\pi$ , שבו $\alpha t$ מחליף את $t/\tau_1$ . הנגזרת השנייה לפי $x$ , באמצע המוט, היא

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\Big|_{x = \pi/2} = -60\,e^{-t/\tau_1}\sin\frac{\pi}{2} - 9\cdot 30\,e^{-9t/\tau_1}\sin\frac{3\pi}{2} = -60\,e^{-t/\tau_1} + 270\,e^{-9t/\tau_1}

והיא מתאפסת כש- $270\,e^{-9t/\tau_1} = 60\,e^{-t/\tau_1}$ , כלומר כש- $e^{8t/\tau_1} = 4.5$ . מוציאים לוגריתם משני האגפים:

t = \frac{\tau_1 \ln 4.5}{8} \approx 0.188\,\tau_1 \approx 172\ \text{s}

שתי דקות ו-52 שניות. באותו רגע בדיוק האמצע מגיע לשיא שלו, 44.2 מעלות, כי רגע השיא הוא הרגע שבו הוא מפסיק להתחמם, והאות M הופכת לגבעה אחת.

בהמחשה הבאה אותו חישוב רץ פעמיים: פעם לפי הנוסחה, ופעם לפי הכלל של התאים, שלא יודע שום דבר על סינוסים ורק ממצע שכנים. נחשו לפני שאתם מפעילים: כמה רחוק יהיו השניים זה מזה?

מערבל הצורות

בחרו כמה מכל צורה יהיה במוט בהתחלה, במחוונים או באחת הדוגמאות, ולחצו «הפעל». כל צורה דועכת בקצב שלה, כאילו האחרות לא קיימות, והמוט הוא פשוט הסכום שלהן.

צורה 1 60° צורה 2 0° צורה 3 30° צורה 4 0° צורה 5 0° צורה 6 0°

מהירות ×1

מיקום לאורך המוט, בס״מ

כל צורה לבד הנוסחה: סכום הצורות הדועכות התאים, לפי כלל הממוצעים

הגובה שנשאר לכל צורה

עכשיו בהתחלה

0 שנ׳

הזמן במוט נחושת באורך מטר

30.0°

הטמפרטורה באמצע המוט

0.00°

ההפרש הגדול בין הנוסחה לתאים

שני חישובים שונים לגמרי רצים כאן יחד. הקו המקווקו הוא הנוסחה: כל צורה מוכפלת בדעיכה שלה, והמכפלות מתחברות. הנקודות הן 61 תאים שלא יודעים שום דבר על צורות, ורק זזים בכל צעד לעבר ממוצע שכניו, עם r = 0.4. בכל הדוגמאות ההפרש ביניהם נשאר קטן מ-0.05° לאורך חצי שעה.

הנקודות, 61 תאים שרק ממצעים את שכניהם, יושבות על הקו המקווקו של הנוסחה לכל אורך הריצה. ההפרש הגדול ביניהם, בכל הדוגמאות ולאורך חצי שעה, קטן מ-0.05 מעלות. העמק של M נעלם אחרי 172 שניות גם בתאים, אחרי 183 צעדים, בהתאמה מלאה לחישוב ביד.

שאר הדוגמאות שוות מבט:

גבעה מחוספסת היא גבעה רחבה עם אדוות קטנות: צורה 6, בגובה 12 מעלות. זמן המחצית של צורה 6 הוא 18 שניות, ואחרי דקה נשארו ממנה 9%, בזמן שהגבעה איבדה 6% בלבד. זה «הרעש נעלם מהר» מהחלק הקודם, צורה אחרי צורה.
גבעה עקומה היא צורה 1 ועוד צורה 2: חמה בצד שמאל, וקרה מעט מהקרח בצד ימין. צורה 2 דועכת פי ארבעה מהר יותר, ולכן הגבעה מתיישרת. היחס בין צורה 2 לצורה 1 מתחיל ב-0.75, ואחרי 5 דקות הוא 0.28.
כמעט קיר היא צורות 1, 3 ו-5, בגבהים 60, 20 ו-12. היא נראית כמו ניסיון לבנות משטח שטוח מגלים. נחזור אליה בסוף.

צלילה לעומקאפשר לדלג בקריאה ראשונה

למה זה הפתרון היחיד

מצאנו פתרון. אבל אולי יש עוד אחד, שמתחיל מאותה טמפרטורה ומתפתח אחרת? בואו נוכיח שלא, בעזרת רעיון שנקרא שיטת האנרגיה.

לכל טמפרטורה $w(x,t)$ על המוט נגדיר את המספר

E(t) = \int_0^\pi w(x,t)^2\,dx

זה מדד לכמה $w$ רחוקה מאפס, בסך הכל. (זו לא האנרגיה התרמית של המוט; השם הוא מסורת.) נגזור לפי הזמן ונשתמש במשוואת החום:

E'(t) = \int_0^\pi 2w\,\frac{\partial w}{\partial t}\,dx = 2\alpha\int_0^\pi w\,\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}\,dx

(מותר להכניס את הגזירה לתוך האינטגרל כש- $w$ חלקה מספיק.) עכשיו אינטגרציה בחלקים, שיוצאת ישר מכלל המכפלה: $(fg)' = f'g + fg'$ , ולכן $\int_0^\pi fg'\,dx = \bigl[fg\bigr]_0^\pi - \int_0^\pi f'g\,dx$ . עם $f = w$ ו- $g = \partial w/\partial x$ :

\int_0^\pi w\,\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}\,dx = \Bigl[w\,\frac{\partial w}{\partial x}\Bigr]_0^\pi - \int_0^\pi \Bigl(\frac{\partial w}{\partial x}\Bigr)^2 dx

אם $w = 0$ בשני הקצוות, האיבר שבסוגריים המרובעים הוא אפס. (הוא אפס גם אם $\partial w/\partial x = 0$ בקצוות, כמו בקצוות המבודדים שנפגוש בהמשך.) ולכן

E'(t) = -2\alpha\int_0^\pi \Bigl(\frac{\partial w}{\partial x}\Bigr)^2 dx \le 0

$E$ אף פעם לא גדל.

עכשיו נניח ש- $u$ ו- $v$ הם שני פתרונות עם אותה טמפרטורה התחלתית ואותם קצוות. ההפרש $w = u - v$ מקיים את משוואת החום, בגלל הליניאריות, הוא אפס בקצוות, והוא אפס ברגע הראשון. לכן $E(0) = 0$ . $E$ לא גדל, והוא גם לא יכול להיות שלילי, כי הוא אינטגרל של ריבוע. אז $E(t) = 0$ לכל $t$ , ופונקציה רציפה שהאינטגרל של הריבוע שלה הוא אפס היא אפס בכל מקום. $u = v$ . הפתרון שבנינו הוא הפתרון.

ואותו טריק מראה, בדרך נוספת, ש- $\lambda$ חייב להיות חיובי. כופלים את $X'' = -\lambda X$ ב- $X$ , מבצעים אינטגרציה על המוט, ומשתמשים באותה אינטגרציה בחלקים:

\lambda\int_0^\pi X^2\,dx = -\int_0^\pi X X''\,dx = \int_0^\pi (X')^2\,dx

אגף ימין לא שלילי, ולכן $\lambda \ge 0$ . והוא אפס רק אם $X' = 0$ בכל מקום, כלומר אם $X$ קבועה, ובין שני דליי קרח הקבוע היחיד הוא אפס. בקצוות מבודדים, לעומת זאת, קבוע הוא צורה כשרה לגמרי, עם $\lambda = 0$ . גם אליה נגיע.

למה המוט שוכח

עכשיו אפשר לענות על השאלה מהפתיחה. נניח שהטמפרטורה ההתחלתית היא סכום של צורות, $b_1\sin x + b_2\sin 2x + b_3\sin 3x + \cdots$ . אחרי זמן $t$ , היחס בין צורה $n$ לצורה 1 הוא

\frac{b_n\,e^{-n^2\alpha t}}{b_1\,e^{-\alpha t}} = \frac{b_n}{b_1}\,e^{-(n^2 - 1)\alpha t}

והוא צונח מהר מאוד. צורה 2 קטנה ביחס לצורה 1 כמו $e^{-3\alpha t}$ , וצורה 3 כמו $e^{-8\alpha t}$ . במוט הנחושת, אחרי $\tau_1$ , רבע שעה, צורה 3 קטנה ביחס לצורה 1 פי $e^8$ , כמעט פי 3,000. לא משנה מה היה בהתחלה: אחרי זמן לא ארוך, כל מה שנשאר הוא צורה 1, גבעת הסינוס. המוט שוכח הכל, חוץ מהצורה האיטית ביותר.

יש כאן שני סייגים. הראשון: זה עובד רק אם צורה 1 בכלל נמצאת בתערובת, כלומר $b_1 \ne 0$ . בגל השלם, למשל, אין שום חלק של צורה 1, ומה שנשאר בסוף הוא צורה 2. אבל כשהמוט חם יותר מהקרח בכל מקום, צורה 1 תמיד שם, ובחלק השלישי נראה למה. והסייג השני: עוד לא הראינו שכל טמפרטורה התחלתית היא סכום של צורות. גם לזה נגיע.

ויש לזה תוצאה יפה. אחרי שהצורות המהירות מתו, כל נקודה במוט דועכת כמו $e^{-t/\tau_1}$ . המוט כולו מתנהג כמו כוס תה אחת בחוק הקירור של ניוטון, עם $k = 1/\tau_1 = \pi^2\alpha/L^2$ . חוק הקירור, שבחלק הקודם היה הנחה על כוס, יוצא כאן מתוך משוואת החום: הוא מה שנשאר אחרי שהפרטים נשכחו.

וזה גם נותן דרך למדוד את $\alpha$ . מחממים מוט, מחכים שהצורות המהירות ימותו, ומודדים כמה זמן לוקח לטמפרטורה באמצע לרדת בחצי. זמן המחצית הזה הוא $\tau_1\ln 2 = L^2\ln 2/(\pi^2\alpha)$ , ולכן

\alpha = \frac{L^2 \ln 2}{\pi^2\, t_{1/2}}

עוד מעט, במעבדה, תוכלו לעשות בדיוק את זה.

קצוות מבודדים

עד עכשיו הקצוות היו בקרח. בואו נחליף אותם: נעטוף את שני קצות המוט בבידוד מושלם, כך ששום חום לא נכנס ושום חום לא יוצא. מה משתנה?

חום זורם מהחם אל הקר, בקצב שפרופורציוני לשיפוע של הטמפרטורה. זה חוק פורייה, מהתיבה בחלק הקודם. אם שום חום לא עובר דרך הקצה, השיפוע בקצה הוא אפס:

\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = 0, \qquad \frac{\partial u}{\partial x}(\pi,t) = 0

זה תנאי שפה מסוג אחר: הוא לא קובע כמה חם בקצה, אלא שהגרף מגיע אל הקצה שטוח. ובתאים? התא האחרון צריך שכן מחוץ למוט, והשכן הזה חייב להיות בדיוק באותה טמפרטורה של התא, כדי שביניהם לא יעבור כלום. כמו מראה: מה שיש בצד אחד משתקף בצד השני.

לפני שנפתור, נחשו: מוט מבודד, שחציו ב-100 מעלות וחציו ב-0. לאיזו טמפרטורה הוא יגיע בסוף? ומה יחליף את גבעת הסינוס, הצורה שהמוט עם הקרח שואף אליה?

הפרדת המשתנים עובדת בדיוק כמו קודם, עד שמגיעים לקצוות. הצורה היא $X(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$ , והשיפוע שלה הוא $X'(x) = Ak\cos(kx) - Bk\sin(kx)$ . בקצה השמאלי $X'(0) = Ak$ , ולכן $A = 0$ : הפעם הסינוס יוצא מהמשחק, ונשאר הקוסינוס. בקצה הימני $X'(\pi) = -Bk\sin(k\pi) = 0$ , ושוב $k$ חייב להיות שלם. הצורות הן

X_n(x) = \cos(nx), \qquad \lambda_n = n^2

עם אותם קצבים בדיוק. אבל יש כאן צורה נוספת. $\lambda = 0$ , שנפסל קודם, מותר עכשיו: הפתרון של $X'' = 0$ הוא קו ישר, וקו ישר שהשיפוע שלו אפס הוא קבוע. זו צורה 0, $\cos(0\cdot x) = 1$ , והקצב שלה הוא $0^2 = 0$ . היא אף פעם לא דועכת. (ו- $\lambda$ שלילי נפסל גם כאן; התיבה על שיטת האנרגיה מראה את זה לשני סוגי הקצוות.)

מה זה אומר? הפתרון במוט מבודד הוא

u(x,t) = a_0 + a_1 e^{-\alpha t}\cos x + a_2 e^{-4\alpha t}\cos 2x + \cdots

כל הקוסינוסים דועכים, והקבוע $a_0$ נשאר. בסוף כל המוט נמצא בטמפרטורה אחת, $a_0$ . ואיזו טמפרטורה זו? כאן יש חשבון יפה. לכל $n$ שלם וחיובי, האינטגרל של $\cos(nx)$ לאורך המוט הוא

\int_0^\pi \cos(nx)\,dx = \frac{\sin(n\pi)}{n} = 0

כל קוסינוס כזה נמצא מעל האפס בדיוק באותה מידה שהוא נמצא מתחתיו. ולכן הממוצע של $u$ לאורך המוט, $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi u\,dx$ , הוא בדיוק $a_0$ , בכל רגע. הקבוע נושא את כל החום, והקוסינוסים רק מזיזים אותו ממקום למקום. הטמפרטורה הסופית היא הממוצע של הטמפרטורה ההתחלתית, והממוצע הזה נשמר לאורך כל הדרך. במוט שחציו ב-100 וחציו ב-0: 50 מעלות.

ובתאים זה ברור עוד יותר. כמה חום תא מקבל מהשכן השמאלי שלו? $r(u_{i-1} - u_i)$ . ובדיוק את הכמות הזאת השכן מאבד. כל העברה בין שני תאים היא נתינה של אחד וקבלה של השני, ולכן הסכום של כל התאים לא משתנה, חוץ ממה שעובר דרך הקצוות. עם קרח, דרך הקצוות בורח חום. עם מראה, לא עובר כלום. במעבדה, אחרי 5,000 צעדים, הסכום של 60 התאים זז בפחות מ- $10^{-11}$ מעלות: שגיאות עיגול, ולא יותר.

ומה נשאר אחרי שהצורות המהירות מתות? הממוצע, ועוד $a_1 e^{-\alpha t}\cos x$ : חצי גל של קוסינוס, שחם בקצה אחד וקר בשני, ודועך באותו זמן מחצית כמו גבעת הסינוס, 10.5 דקות במוט הנחושת. עכשיו למעבדה.

מעבדת המוט, בפעם השנייה

זו המעבדה מהחלק הקודם, עם שתי תוספות. אפשר לבחור את הקצוות, קרח או בידוד. והגרף הקטן מראה כמה המוט רחוק מהמצב הסופי שלו, 0 מעלות בקצוות קרח או הממוצע בקצוות מבודדים, בסולם מיוחד: כל קו אופקי הוא חצי מהקו שמעליו. בסולם כזה, דעיכה עם זמן מחצית קבוע נראית כקו ישר, כי בכל פרק זמן שווה היא יורדת קו אחד.

מעבדת המוט, עם שני סוגי קצוות

המעבדה מהפוסט הקודם, עם שני דברים חדשים: אפשר לבחור מה קורה בקצוות, והגרף הקטן מראה כמה המוט רחוק מהמצב הסופי שלו. בחרו טמפרטורה התחלתית, או ציירו אחת בגרירה על הגרף, ולחצו «הפעל».

הקצוות:

מהירות ×4 תאים 60

הצג את גבעת הסינוס, בגובה של עכשיו

מיקום לאורך המוט, בס״מ · הפס הצבעוני הוא המוט עצמו, והריבועים בקצוות הם הקרח

0 שנ׳

הזמן במוט נחושת באורך מטר

0°

הטמפרטורה הממוצעת במוט

—

זמן מחצית, לפי הדקה האחרונה

—

α שיוצא מזמן המחצית, מ״ר לשנייה

המרחק מהמצב הסופי: הסטייה הגדולה ביותר מ-0°. כל קו אופקי הוא חצי מהקו שמעליו (דקות:שניות)

הריצה הנוכחית

הכלל הוא של הפוסט הקודם: בכל צעד כל תא זז לעבר ממוצע שכניו, עם r = 0.4. בקצוות קרח השכן שמחוץ למוט הוא תמיד 0°. בקצוות מבודדים השכן שמחוץ למוט הוא העתק של התא שבקצה, כמו במראה, ולכן שום חום לא עובר דרך הקצה. זמן המחצית נמדד על הדקה האחרונה של זמן נחושת, ו-α מחושב ממנו לפי α = L²·ln 2 / (π²·t½). בסוף ריצה בקצוות קרח הוא מתייצב על 1.11·10⁻⁴, הערך של נחושת.

כמה דברים לנסות:

למדוד את $\alpha$ . בקצוות קרח, בחרו איזו צורה שתרצו, אפילו ציור, והפעילו. עקבו אחרי «זמן מחצית» ואחרי ה- $\alpha$ שיוצא ממנו. בהתחלה הם קופצים. ואחר כך?
לראות את השכחה. בחרו «נקודה חמה צרה» או «רעש», ועקבו אחרי הקו המקווקו של גבעת הסינוס. כמה זמן לוקח לצורה להתיישב עליו? ומה עושה בינתיים הקו בגרף הקטן?
חצי חם, מבודד. בחרו «בידוד» ו«חצי חם». מה קורה לממוצע? לאיזו טמפרטורה המוט מגיע, וכמה זמן זה לוקח?
נקודה צרה, מבודדת. ועכשיו «נקודה חמה צרה», עם בידוד. כמה מהר המוט מגיע לטמפרטורה הסופית שלו, בהשוואה לחצי החם? נסו לנחש למה, לפני שאתם קוראים הלאה.

אז מה גיליתם?

ה- $\alpha$ מתייצב. בהתחלה זמן המחצית קצר, כי בתערובת עוד יש צורות מהירות, והן מושכות את הקצב למעלה. אבל תוך רבע שעה עד עשרים דקות של זמן נחושת הוא מגיע ל-10.5 דקות ונשאר שם, וה- $\alpha$ מגיע ל- $1.11\cdot 10^{-4}$ מטר רבוע לשנייה, הערך של נחושת. אחרי 20 דקות כל הצורות שבמעבדה, מהנקודה הצרה ועד הרעש, נותנות $\alpha$ שסוטה ממנו בפחות מחצי אחוז. בגרף הקטן רואים את אותו סיפור. בהתחלה הקו מתעקם, תלול בנקודה הצרה ושטוח בחצי החם, ואחר כך הוא מתיישר לקו ישר, שיורד קו אחד כל 10.5 דקות. העיקום שבהתחלה הוא הצורות המהירות, שמתות. הקו הישר הוא צורה 1, לבד.

והשכחה: הנקודה הצרה מתיישבת על גבעת הסינוס, בטווח של אחוז, אחרי 11 דקות. הגבעה הרחבה אחרי 10, הרעש אחרי 8, ו«חצי חם», שמתחיל הכי רחוק מגבעה סימטרית, רק אחרי 23.

בבידוד, הממוצע של «חצי חם» לא זז מ-50.0 מעלות, והמוט מתקרב אליו לאט: לטווח של מעלה אחת הוא מגיע רק אחרי 63 דקות. אבל «נקודה חמה צרה» עם בידוד מגיעה לטווח של מעלה אחת מהממוצע שלה, 5.3 מעלות, כבר אחרי 9 דקות. למה? הנקודה נמצאת כמעט בדיוק באמצע, ולכן היא כמעט סימטרית: אין לה סיבה להעדיף קצה אחד על פני השני. אבל צורה 1 של המוט המבודד, $\cos x$ , היא בדיוק העדפה כזאת, חמה בקצה אחד וקרה בשני. בטמפרטורה סימטרית כמעט אין ממנה כלום, והצורה האיטית ביותר שנשארת היא $\cos 2x$ : חמה בשני הקצוות, קרה באמצע, ודועכת פי ארבעה מהר יותר, עם זמן מחצית של 2.6 דקות. גם כאן, כמו בגל השלם, מה שקובע את הקצב בסוף הוא הצורה האיטית ביותר שנמצאת בתערובת.

מן ההיסטוריה

שטורם, ליוביל ומוט שאינו אחיד

כל מה שעשינו כאן נשען על כך שהמוט אחיד: אותו חומר ואותו עובי לכל אורכו. מה אם חצי ממנו נחושת וחצי פלדה? או שהוא מתעבה לכיוון אחד הקצוות? משוואת החום נעשית מסובכת יותר, הצורות ששומרות על צורתן כבר לא סינוסים, ואין להן נוסחה פשוטה. ובכל זאת, הן קיימות.

את זה הראו שני מתמטיקאים שעבדו בפריז בשנות ה-30 של המאה ה-19. ז’אק שארל פרנסואה שטורם, שנולד ב-1803 בז’נבה, התעניין במשוואות דיפרנציאליות מסוימות שהופיעו בתורת החום של פואסון. ז’וזף ליוביל, שנולד ב-1809 בסן-אומר, ייסד ב-1836 כתב עת למתמטיקה, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. במאמרים מ-1836 ומ-1837 הם חקרו משוואות דיפרנציאליות מסדר שני מהסוג שמתקבל גם ממוט לא אחיד: את הצורות שלהן, את המספרים שמתאימים לצורות, ואת האפשרות לפרק פונקציה כלשהי לטור של הצורות האלה. היום זה נקרא תורת שטורם–ליוביל.

אחת התוצאות מתאימה בדיוק למה שראינו. גם במוט לא אחיד יש רשימה אינסופית של צורות ששומרות על צורתן. לכל אחת קצב דעיכה משלה, והקצבים מסודרים מהאיטי אל המהיר וגדלים בלי גבול. והצורה ה- $n$ -ית חוצה את האפס בתוך המוט בדיוק $n - 1$ פעמים, כמו $\sin(nx)$ . הסינוסים הם פשוט המקרה שבו אפשר לכתוב את כל זה בנוסחה.

מה הלאה: קיר של גלים

בואו נסכם מה יש לנו. על מוט עם קרח בקצוות, הצורות ששומרות על צורתן הן $\sin x, \sin 2x, \sin 3x, \ldots$ , וצורה $n$ דועכת פי $n^2$ מהר יותר מהראשונה. על מוט מבודד הן $1, \cos x, \cos 2x, \ldots$ , והקבוע לא דועך בכלל. ואם הטמפרטורה ההתחלתית היא סכום של צורות, הפתרון הוא אותו סכום, כשכל איבר מוכפל בדעיכה שלו.

אבל ה«אם» הזה עושה הרבה עבודה. חזרו למערבל ובחרו «כמעט קיר». שלוש צורות, בגבהים 60, 20 ו-12, מנסות לבנות משהו שטוח: מוט שכולו באותה טמפרטורה. זה לא ממש מצליח. יש אדוות, והקצוות צונחים לאפס. ועכשיו השאלה: מה אם נוסיף עוד צורות, 7, 9, 11, בגבהים הנכונים? האם אפשר לבנות מסינוסים, שכולם אפס בקצוות, קיר שטוח לגמרי? ובכלל, האם כל טמפרטורה התחלתית היא סכום של סינוסים?

פורייה טען שכן, ב-1807, מול האקדמיה בפריז. לגראנז’, אחד המתמטיקאים הגדולים של הדור, טען שזה בלתי אפשרי. בחלק הבא נבנה את הקיר, גל אחרי גל, נגלה איך מוצאים את הגובה הנכון לכל צורה, ונראה מי מהשניים צדק, ועד כמה.

וזו המפה של כל הדרך:

איך חום זורם? משוואת החום, מכוס תה ועד טיפת דיו.
צורות ששומרות על צורתן: הפוסט הזה.
קיר ישר מגלים: טור פורייה, והפתרון של פורייה לבעיה שלו.
גאומטריה של פונקציות: פונקציות כווקטורים, מכפלה פנימית ושוויון פרסבל.
מתי זה בכלל עובד? התכנסות, ותופעת גיבס.
מעגלים מסתובבים: מספרים מרוכבים, וחום על טבעת.
המוט האינסופי: מטור פורייה אל התמרת פורייה.
גרעין החום: קונבולוציה, והפעמון של גאוס.
פורייה בדיד: דגימה, ומה מחשב באמת רואה.
אחרי פורייה: טשטוש תמונות, JPEG ועקרון אי-הוודאות.

הערה על המספרים

כל מספר בפוסט הזה חושב, לא הומצא.

ההמחשות מריצות בדפדפן שלכם את הכלל של התאים, את הנוסחה המדויקת, או את שניהם זה לצד זה. לפני הפרסום הרצתי העתק שלהן ב-Node. תחת הכלל של התאים, גבעת הסינוס שומרת על צורתה עד $10^{-15}$ . במערבל, ההפרש בין הנוסחה לתאים קטן מ-0.05 מעלות בכל הדוגמאות, לאורך חצי שעה, והעמק של האות M נעלם אחרי 171.6 שניות גם לפי הנוסחה וגם לפי התאים. במעבדה, ה- $\alpha$ שנמדד מזמן המחצית מתייצב על $1.11\cdot 10^{-4}$ . בספרה הרביעית הוא גבוה ב-0.03% מהערך שהוזן, כי הצורה האיטית של 60 תאים דועכת מהר ב-0.03% מזו של מוט רציף: זו השגיאה מהתיבה על היציבות.
הזמנים במוט הנחושת מחושבים מ- $\alpha = 1.11\cdot 10^{-4}$ מטר רבוע לשנייה, מהטבלה בערך «Thermal diffusivity» בוויקיפדיה האנגלית, כמו בחלק הקודם.
ההיסטוריה של ניתוח היציבות נבדקה מול הערך «Von Neumann stability analysis» בוויקיפדיה האנגלית. הפרטים על שטורם וליוביל נבדקו מול הביוגרפיות שלהם בארכיון MacTutor של אוניברסיטת סנט אנדרוז, והתכונות של הצורות במוט לא אחיד מול הערך «Sturm–Liouville theory» בוויקיפדיה האנגלית.