למה הקומקום רועש דווקא לפני שהוא רותח?

לחצו על הכפתור של הקומקום, והקשיבו. בהתחלה כמעט לא שומעים כלום. אחר כך מתחיל רחש דק, כמו שמן במחבת בחדר הסמוך. הרחש מתחזק והופך לשאון, ובשלב מסוים צריך להרים את הקול כדי לדבר מעליו. ואז, רגע לפני הקליק, משהו משתנה: השאון נרגע, ובמקומו נשמע בעבוע רך. זה נשמע הפוך מכל היגיון. הרתיחה עצמה, הרגע שבו המים הכי חמים והכי סוערים, היא דווקא החלק השקט. מתברר שהרעש הגדול לא בא ממים שרותחים, אלא ממים שעוד לא מוכנים לרתוח: מבועות קטנות של אדים שנולדות על התחתית הלוהטת ונמעכות, בלי הפסקה, במים הקרים יותר שמעליהן.

בפוסט הזה נפרק את הקול של הקומקום לגורמים. נתחיל בשאלה מה זה בכלל לרתוח, ונגלה שמאחוריה עומד מאבק בין שני לחצים. נרד לתחתית של הקומקום, שחמה הרבה יותר מהמים, ונראה איך נולדת בועה ולמה היא צריכה חריץ כדי להיוולד. אחר כך נמעך בועה אחת, נמדוד בכמה זמן זה קורה, ובסוף נחבר הכל לקומקום שלם, מהשנייה הראשונה ועד הרתיחה. מה שצריך להביא הוא פיזיקה ומתמטיקה של תיכון: לחץ, אנרגיה, חזקות ולוגריתמים. כל ההמחשות בפוסט מריצות מודל מחושב של קומקום אחד, ואף אחת מהן אינה הקלטה. מה המודל יודע ומה הוא לא יודע, מפורט בסוף.

כמו בפוסטים הקודמים, מדי פעם תופיע תיבה שכתוב עליה «צלילה לעומק», ובה החשבון המלא או הנימוק המדויק. הטקסט הראשי אף פעם לא נשען עליהן, ואפשר לדלג עליהן בקריאה ראשונה בלי לאבד את החוט. תיבות «מן ההיסטוריה» מספרות מי גילה מה, ומתי.

מה שומעים, ומתי

בואו נתחיל ממה שכל אחד יכול לבדוק במטבח. הקומקום שלנו, לאורך כל הפוסט, הוא קומקום חשמלי טיפוסי: 1.7 ליטר מים שמתחילים בטמפרטורת הברז, נניח 20 מעלות, וגוף חימום של 2,200 ואט בתחתית. כמה זמן לוקח לו להרתיח?

זה חשבון של אנרגיה. כדי לחמם קילוגרם מים במעלה אחת צריך בערך 4,190 ג’אול. למספר הזה קוראים קיבול החום הסגולי של המים, ומסמנים אותו $c$ . ליטר מים שוקל קילוגרם, ולכן כדי לחמם את המים שלנו מ-20 ל-100 מעלות צריך

Q = m\,c\,\Delta T \approx 1.7 \times 4190 \times 80 \approx 570{,}000

ג’אול. גוף החימום נותן 2,200 ג’אול בכל שנייה, ולכן החימום נמשך

t = \frac{Q}{P} \approx \frac{570{,}000}{2{,}200} \approx 259

שניות, קצת יותר מארבע דקות. קומקום אמיתי איטי יותר, כי חלק מהחום הולך לחימום הקומקום עצמו ולאוויר שסביבו, אבל סדר הגודל נכון. ויש כאן עוד משהו שימושי: ההספק קבוע, ולכן בכל שנייה המים מתחממים באותה מידה, בערך בשלוש עשיריות מעלה. השעון והמדחום מספרים אותו סיפור. אחרי חצי מהזמן המים עברו חצי מהדרך, ומעכשיו אפשר לדבר על «כשהמים ב-80 מעלות» ועל «אחרי שלוש דקות» כמעט כמו על אותו רגע.

ועכשיו, מה שומעים. בהתחלה כמעט כלום. אחרי זמן מה מתחיל רחש דק, שהולך ומתחזק עד שאון של ממש. ולקראת הסוף, לפני הקליק, השאון נרגע ומתחלף בבעבוע רך יותר. זו לא רק תחושה. באתר ShouldIt, שבודק מכשירי מטבח, מדדו את הרעש של קומקומים חשמליים במד רעש שהוצב כמה סנטימטרים מהקומקום, וכתבו שהרעש מגיע בדרך כלל לשיא בשלב שלפני הרתיחה המלאה, ולא ברתיחה עצמה. ועוד תצפית שלהם, משעשעת: הצליל החזק ביותר שקומקום משמיע הוא בכלל לא של המים, אלא הקליק של המתג שמכבה אותו.

לפני שממשיכים, שתי שאלות. כדאי באמת להתחייב לתשובה, גם אם בסוף היא תתברר כלא נכונה.

שאלה ראשונה. מים ב-90 מעלות ומים ב-100 מעלות. באילו מהם יש יותר בועות? ואילו מהם רועשים יותר?

שאלה שנייה. איפה נולדות הבועות שעושות את הרעש, ואיפה הן מתות?

כדי לענות, צריך קודם להבין מה זה בכלל לרתוח.

מה זה בכלל לרתוח

מולקולות המים לא עומדות במקום. הן מתנגשות זו בזו כל הזמן, ומדי פעם מולקולה שנמצאת ליד פני המים מקבלת מכה חזקה מספיק כדי לברוח מהם אל האוויר. זה אידוי, והוא קורה בכל טמפרטורה: שלולית מתייבשת גם בחורף.

עכשיו דמיינו צנצנת סגורה שהוציאו ממנה את כל האוויר, ויש בה רק קצת מים. מולקולות בורחות מהמים אל החלל שמעליהם ומתרוצצות שם, וחלק מהן פוגעות בחזרה בפני המים ונשארות בהם. בהתחלה בורחות יותר מאשר חוזרות, אבל ככל שהחלל מתמלא באדים חוזרות יותר ויותר, עד שנוצר איזון: בכל שנייה חוזרות בדיוק כמו שבורחות. הלחץ שהאדים מפעילים ברגע האיזון נקרא לחץ הרוויה של המים, ולפעמים גם לחץ האדים. והנקודה החשובה: הוא תלוי רק בטמפרטורה. במים חמים יותר יש יותר מולקולות מהירות, יותר מהן בורחות, וצריך יותר אדים בחלל כדי שיחזרו בקצב שבו הן בורחות.

לחץ מודדים בפסקל, כוח של ניוטון אחד על כל מטר רבוע. זו יחידה קטנה, ולכן נשתמש בקילופסקל, אלף פסקל. לחץ האוויר בגובה פני הים הוא 101.3 קילופסקל, וזה בערך כמו משקל של קילוגרם אחד שמונח על כל סנטימטר רבוע.

ומה זה לרתוח? דמיינו בועה קטנה של אדים באמצע המים. האדים שבתוכה נוגעים במים שסביבה, ולכן הלחץ שלהם הוא לחץ הרוויה של המים בטמפרטורה שלהם: הם דוחפים את דופן הבועה החוצה. מבחוץ המים לוחצים על הבועה פנימה, וכל עוד הקומקום פתוח, הלחץ שלהם הוא בעיקר לחץ האוויר שמעליהם. אם לחץ הרוויה קטן מלחץ האוויר, הבועה נמעכת. אם הוא גדול ממנו, היא יכולה להחזיק מעמד ואפילו לגדול. נקודת הרתיחה היא הטמפרטורה שבה שני הלחצים שווים. זו ההגדרה כולה: מים רותחים כשהאדים שלהם מסוגלים לדחוף בחזרה את האוויר.

(גם המים עצמם מוסיפים קצת לחץ. בתחתית הקומקום שלנו, מתחת ל-8.5 סנטימטרים של מים, הלחץ גבוה ב-0.8 קילופסקל, ונקודת הרתיחה שם גבוהה בכחמישית מעלה. בכל שאר הפוסט נתעלם מזה.)

לפני ההמחשה, נחשו: ב-50 מעלות, מה לחץ הרוויה של המים? חצי מלחץ האוויר, רבע ממנו, או פחות מזה?

פער המעיכה

בועת אדים בתוך המים דוחפת החוצה בלחץ הרוויה של המים סביבה, והאוויר שמעל המים לוחץ פנימה. ההפרש ביניהם הוא מה שמועך אותה. הזיזו את טמפרטורת המים, ובחרו איפה עומד הקומקום.

טמפרטורת המים 80.0°

טמפרטורת המים, במעלות · לחץ, בקילופסקל

לחץ הרוויה של המים לחץ האוויר פער המעיכה

לחץ הרוויה, קילופסקל

לחץ האוויר, קילופסקל

פער המעיכה, קילופסקל

נקודת הרתיחה במקום הזה

חישוב, לא מדידה. לחץ הרוויה מחושב מהנוסחה התעשייתית של IAPWS, ולחץ האוויר מהאטמוספירה התקנית לפי הגובה, בלי מזג אוויר: קילופסקל אחד יותר או פחות מזיז את נקודת הרתיחה ברבע מעלה בערך. בגובה פני הים הפער הוא 53.9 קילופסקל כשהמים ב-80 מעלות, 16.7 ב-95 ו-3.5 ב-99. בים המלח נמדדו לחצים של 1061 עד 1065 הקטופסקל, ובהם המים רותחים בין 101.3 ל-101.4 מעלות.

ב-50 מעלות לחץ הרוויה הוא 12.3 קילופסקל, בערך שמינית מלחץ האוויר. העקומה עולה לאט בהתחלה ומהר מאוד בסוף. הנה כמה ערכים ממנה:

טמפרטורת המים	לחץ הרוויה, קילופסקל	מתוך לחץ האוויר
20 מעלות	2.3	2%
50 מעלות	12.3	12%
80 מעלות	47.4	47%
90 מעלות	70.2	69%
95 מעלות	84.6	84%
99 מעלות	97.8	97%
100 מעלות	101.4	100%

עכשיו אפשר לתת שם למספר שכל הפוסט נשען עליו. ההפרש בין לחץ האוויר, $p_0$ , לבין לחץ הרוויה של המים, $p_s(T)$ , הוא הלחץ שמועך בועת אדים. נקרא לו פער המעיכה:

\Delta p = p_0 - p_s(T)

כשהמים ב-20 מעלות, פער המעיכה הוא 99 קילופסקל: כמעט כל לחץ האוויר מועך את הבועה, והאדים שבתוכה כמעט לא מתנגדים. ב-80 מעלות הוא 53.9, ב-95 רק 16.7, ב-99 הוא 3.5, ובנקודת הרתיחה הוא אפס. שימו לב לכיוון: ככל שהמים מתחממים, הלחץ שמועך בועות נחלש. זה החצי הראשון של התשובה לשאלה למה הקומקום נרגע בסוף.

ובירושלים? העיר נמצאת כ-754 מטרים מעל פני הים, האוויר שם דליל יותר, ולפי האטמוספירה התקנית הלחץ שלו 92.6 קילופסקל. לחץ הרוויה מגיע לערך הזה כבר ב-97.5 מעלות, ולכן בירושלים המים רותחים ב-97.5 מעלות. בים המלח, כ-440 מטרים מתחת לפני הים, הלחץ גבוה יותר והמים רותחים בכ-101.4 מעלות. נסו את שני המקומות בהמחשה. ואגב, גם בגובה פני הים, לפי הנוסחה, מים טהורים רותחים ב-99.97 מעלות ולא ב-100 בדיוק.

צלילה לעומקאפשר לדלג בקריאה ראשונה

למה לחץ הרוויה עולה כמעט מעריכית

לחץ הרוויה עולה מהר כל כך כי כדי לברוח מהמים, מולקולה צריכה אנרגיה מינימלית, ורק חלק קטן מהמולקולות מחזיק בה. החלק הזה גדל עם הטמפרטורה מהר מאוד. הגרסה המדויקת של הרעיון היא משוואת קלאוזיוס–קלפיירון, שקובעת את השיפוע של עקומת הרוויה:

\frac{dp_s}{dT} = \frac{L}{T\,(v_g - v_l)}

כאן $L$ הוא החום הכמוס של האידוי, האנרגיה שצריך כדי להפוך קילוגרם מים לאדים באותה טמפרטורה (כ-2.26 מיליון ג’אול ב-100 מעלות), ו- $v_g$ , $v_l$ הם הנפחים של קילוגרם אדים ושל קילוגרם מים. שני קירובים הופכים אותה לפשוטה: הנפח של המים זניח לעומת הנפח של האדים, והאדים מתנהגים בערך כמו גז אידיאלי, $v_g \approx RT/(M p_s)$ , כאשר $M$ היא המסה המולרית של מים ו- $R$ הוא קבוע הגזים. מציבים ומסדרים:

\frac{1}{p_s}\,\frac{dp_s}{dT} = \frac{LM}{RT^2} \quad\Longrightarrow\quad \ln p_s \approx \text{const} - \frac{LM}{R}\cdot\frac{1}{T}

אם $L$ כמעט קבוע, הלוגריתם של לחץ הרוויה הוא קו ישר כפונקציה של $1/T$ , כש- $T$ נמדדת בקלווין. אפשר לבדוק את זה מול הטבלה: השיפוע של הקו בין 80 ל-100 מעלות נותן $L \approx 2.31$ מיליון ג’אול לקילוגרם, קרוב מאוד לערכים בטבלאות, שנעים בטווח הזה בין 2.26 ל-2.31. בין 20 ל-100 מעלות יוצא 2.38, כי $L$ עצמו גדול יותר במים קרים.

על משוואות מצב, ועל מצית בוטאן שהנוזל שבו נשאר נוזל בזכות לחץ האדים שלו, יש פרק שלם בקורס התרמודינמיקה של ThermoLab.

תחתית חמה, מים קרים

עד עכשיו דיברנו על «המים» כאילו יש להם טמפרטורה אחת. אבל בקומקום יש מקום אחד חם בהרבה מכל השאר: התחתית, שדרכה נכנס כל החום.

כמה חום עובר דרכה? 2,200 ואט נכנסים דרך דיסקה בקוטר של כ-16 סנטימטרים, ששטחה 0.02 מטר רבוע. כמות החום שעוברת בכל שנייה דרך כל מטר רבוע נקראת שטף חום, וכאן הוא

q = \frac{P}{A} \approx \frac{2200}{0.0201} \approx 109{,}000

ואט למטר רבוע, בערך פי מאה מקרינת השמש בצהרי יום קיץ. ואת כל החום הזה צריך להעביר מהמתכת אל המים.

בפוסט על זרימת חום ראינו שבמים, בחיים האמיתיים, החום זורם בעיקר יחד עם המים עצמם. כך גם כאן: המים שנוגעים בתחתית מתחממים, מתפשטים, נעשים קלים יותר ועולים, ומים קרים יורדים לתפוס את מקומם. לזרימה הזאת קוראים הסעה טבעית, וכמה חום היא מעבירה תלוי בהפרש הטמפרטורות בין התחתית למים:

q = h\,(T_w - T_b)

כאן $T_w$ היא הטמפרטורה של התחתית, $T_b$ של המים, ו- $h$ הוא מקדם מעבר החום: כמה ואט עוברים דרך כל מטר רבוע על כל מעלה של הפרש. את $h$ לא מחשבים מעקרונות ראשונים. מודדים אותו, ומסכמים את המדידות בנוסחאות אמפיריות. לפי נוסחה כזאת, של לויד ומורן מ-1974, מעל הדיסקה שלנו $h$ הוא בערך 1,560 ואט למטר רבוע למעלה, כשהמים קרים.

מכאן מסקנה מפתיעה. כדי להעביר 109,000 ואט למטר רבוע ב-1,560 ואט לכל מעלה, התחתית צריכה להיות חמה מהמים בכ-70 מעלות. כלומר, כבר כשהמים ב-20 מעלות, התחתית ב-90. וכשהמים מתחממים, התחתית מתחממת איתם. לפי המודל שלנו, התחתית עוברת את נקודת הרתיחה כשהמים עצמם רק ב-36 מעלות, בערך 50 שניות אחרי שלחצנו על הכפתור. מכאן והלאה, השכבה הדקה של מים שנוגעת בתחתית חמה מספיק כדי לרתוח, בזמן ששאר המים רחוקים מזה מאוד. החישוב מניח שהחום נכנס באופן אחיד דרך כל התחתית. אם גוף החימום הוא טבעת, השטף מעליה גבוה יותר, והרתיחה שם מתחילה מוקדם יותר.

מה קורה לתחתית אחרי שהיא עוברת את נקודת הרתיחה? היא ממשיכה להתחמם, אבל לאט מאוד. רתיחה היא דרך יעילה להפליא להעביר חום: כל בועה שנולדת לוקחת איתה חום כמוס, ומערבבת את המים סביבה כשהיא גדלה ומתנתקת. לפי נוסחה אמפירית אחרת, של רוזנאו מ-1952, השטף שרתיחה מעבירה גדל כמו החזקה השלישית של חימום-היתר של התחתית, כלומר של ההפרש בין הטמפרטורה שלה לבין נקודת הרתיחה. חזקה שלישית פירושה שכדי להעביר פי 2 חום, חימום-היתר צריך לגדול רק פי $\sqrt[3]{2} \approx 1.26$ . ולכן התחתית נתקעת כמה מעלות מעל 100: במודל שלנו היא ב-102.1 מעלות כשהמים ב-40, ב-107.9 כשהם ב-80, וב-109.0 כשהם ב-99.

ככל שהמים מתחממים, ההסעה מעבירה פחות, כי ההפרש בין התחתית למים קטן, והרתיחה לוקחת על עצמה חלק גדל והולך מהחום. כשהמים ב-60 מעלות, כרבע מהחום עובר ברתיחה. ב-80 מעלות, כ-60%. וב-99 מעלות, כמעט 90%. נחזור למספרים האלה כשנחבר הכל.

צלילה לעומקאפשר לדלג בקריאה ראשונה

עקומת הרתיחה, ולמה התחתית לא נשרפת

אם מחממים חוט או לוח בתוך מים ומגבירים את השטף בהדרגה, עוברים דרך כמה משטרים. בשטף נמוך אין בועות בכלל, והחום עובר בהסעה. כשחימום-היתר מגיע לכמה מעלות מתחילה רתיחה גרעינית: בועות נולדות בנקודות מסוימות על המשטח, והשטף עולה בחדות עם כל מעלה נוספת. המתאם של רוזנאו, עבור מים, הוא

q = \mu_l\, h_{fg} \left[\frac{g(\rho_l - \rho_v)}{\sigma}\right]^{1/2} \left[\frac{c_l\,\Delta T}{C_{sf}\, h_{fg}\, \mathrm{Pr}_l}\right]^3

כאן $\mu_l$ היא הצמיגות של המים, $h_{fg}$ החום הכמוס, $\rho_l$ ו- $\rho_v$ הצפיפויות של המים ושל האדים, $\sigma$ מתח הפנים (עוד נפגוש אותו), $c_l$ קיבול החום, $\mathrm{Pr}_l$ מספר פרנדטל של המים, $\Delta T$ חימום-היתר, ו- $C_{sf}$ קבוע שתלוי בצמד של משטח ונוזל ונמדד בניסוי: 0.006 למים על פליז או ניקל, ו-0.0132 למים על פלדת אל-חלד מלוטשת. בשטף של הקומקום שלנו זה נותן חימום-יתר של 4.3 עד 9.4 מעלות, לפי המשטח. המתאם הוא סיכום של מדידות, לא חוק טבע, והוא לא מדויק במיוחד. אבל את החזקה השלישית, שמסבירה למה התחתית כמעט לא מתחממת כשהשטף גדל, הוא תופס.

רתיחה גרעינית לא נמשכת לנצח. בשטף גבוה מספיק הבועות נעשות צפופות כל כך שהן מתאחדות לשכבה של אדים, והשכבה הזאת מבודדת את המשטח מהמים. הטמפרטורה של המשטח קופצת במאות מעלות, וחוט חימום יכול להישרף. השטף הזה נקרא השטף הקריטי, ונוביר זובר גזר בשבילו ב-1959 נוסחה:

q_{\max} = 0.131\, \rho_v\, h_{fg} \left[\frac{\sigma\, g\,(\rho_l - \rho_v)}{\rho_v^2}\right]^{1/4}

למים בלחץ אטמוספירי היא נותנת 1.11 מיליון ואט למטר רבוע. (לינהרד ודהיר הציעו ב-1973 להגדיל את הקבוע ל-0.149, וזה נותן 1.26.) הקומקום שלנו עובד בכעשירית מזה, רחוק מאוד מהסכנה. מעבר לשטף הקריטי, אחרי שלב ביניים לא יציב, מגיעה רתיחת שכבה: המשטח מופרד מהמים כולו בשכבת אדים. זו אותה שכבה שמאפשרת לטיפת מים לרקוד על מחבת לוהטת בלי להתאדות מיד.

מן ההיסטוריה

נוקיאמה והחוט שהתלהט

את עקומת הרתיחה מדד לראשונה המהנדס היפני שירו נוקיאמה, ופרסם אותה ביפנית ב-1934. הוא חימם בזרם חשמלי חוט ניכרום שהיה טבול במים רותחים, והגביר את ההספק בהדרגה. אחר כך חזר על הניסוי עם חוט פלטינה, שעומד בטמפרטורות גבוהות בהרבה, ומצא שלשטף החום שמשטח יכול למסור למים רותחים יש ערך מקסימלי, ושמעבר לו יש גם ערך מינימלי. זה בדיוק שם המאמר: «הערכים המקסימלי והמינימלי של החום Q שעובר ממתכת למים רותחים בלחץ אטמוספירי». תרגום שלו לאנגלית התפרסם ב-1966 בכתב העת הבינלאומי למעבר חום ומסה.

איך נולדת בועה

אמרנו שהתחתית עוברת את נקודת הרתיחה כשהמים ב-36 מעלות. אבל אם דמיינתם שבאותו רגע מתחילות לצוץ עליה בועות, יש כאן בעיה. בועה צריכה להתחיל ממשהו, וכל בועה מתחילה קטנה. ובועה קטנה מאוד היא דבר קשה מאוד להחזיק.

הסיבה היא מתח פנים. מולקולות המים שבפני המים נמשכות פנימה, אל שכנותיהן, ולכן פני המים מתנהגים כמו יריעה מתוחה שמנסה להתכווץ לשטח הקטן ביותר. זה מה שמאפשר לחרקים ללכת על המים, ומה שעושה טיפות עגולות. את מתח הפנים מודדים בכוח ליחידת אורך: כל מטר של «קו» על פני המים נמשך בכוח של $\sigma$ ניוטון. למים ב-20 מעלות $\sigma = 0.0727$ ניוטון למטר, וב-100 מעלות 0.0589.

בועה עטופה ביריעה כזאת, והיריעה מכווצת אותה. כדי שהבועה לא תקרוס, הלחץ בתוכה חייב להיות גבוה מהלחץ של המים שסביבה. בכמה? יש דרך יפה לחשב את זה. חתכו בדמיון את הבועה לשני חצאים, והסתכלו על החצי העליון. הלחץ העודף שבתוכה, נקרא לו $p_L$ , דוחף אותו כלפי מעלה על פני שטח החתך, עיגול ששטחו $\pi R^2$ . מתח הפנים מושך אותו כלפי מטה לאורך השפה של החתך, מעגל שאורכו $2\pi R$ . בשיווי משקל שני הכוחות שווים:

p_L \cdot \pi R^2 = \sigma \cdot 2\pi R \quad\Longrightarrow\quad p_L = \frac{2\sigma}{R}

זו משוואת יאנג–לפלס. שימו לב ל- $R$ שבמכנה: ככל שהבועה קטנה יותר, הלחץ העודף גדול יותר. בועה ברדיוס מילימטר צריכה רק 0.12 קילופסקל נוספים. בועה ברדיוס מיקרומטר, אלפית המילימטר, צריכה 118 קילופסקל, יותר מאטמוספירה שלמה.

ומכאן לחימום-יתר. האדים שבתוך הבועה צריכים לחץ של אטמוספירה ועוד $p_L$ . אבל אדים שנוגעים במים מחזיקים בדיוק את לחץ הרוויה של המים, ולכן המים סביב הבועה חייבים להיות חמים מספיק כדי שלחץ הרוויה שלהם יגיע ללחץ הזה, כלומר חמים מנקודת הרתיחה. גרעין של בועה ברדיוס עשרה מיקרומטרים צריך מים חמים מנקודת הרתיחה ב-3.1 מעלות. גרעין ברדיוס מיקרומטר אחד צריך 21.9 מעלות. ובאמצע גוש של מים נקיים, שבו בועה צריכה להיווצר ממש מכלום, מכמה מולקולות בודדות, הדרישה עצומה.

לכן הבועות לא נולדות באמצע המים אלא בתחתית: בחריצים ובשריטות זעירים במתכת, שנשארו בהם כיסים קטנים של אוויר או של אדים. כיס כזה הוא גרעין מוכן, שהרדיוס שלו כבר גדול יחסית, ולכן הוא מסתפק בחימום-יתר קטן. לתהליך שבו פאזה חדשה נולדת סביב גרעין קוראים גרעון. ועכשיו ברור גם למה דווקא התחתית: רק שם יש גם חריצים וגם מים חמים מנקודת הרתיחה.

מים שחוממו במיקרוגל, בכוס נקייה וחלקה, הם הדוגמה ההפוכה. אין שם חריצים ואין גרעינים, והמים יכולים לעבור את נקודת הרתיחה בלי לרתוח. מנהל המזון והתרופות האמריקאי, ה-FDA, מזהיר שמים כאלה עלולים להתפרץ מהכוס ברגע שמזיזים אותה או מוסיפים להם כפית קפה נמס, ושהוספת קפה או סוכר לפני החימום מקטינה מאוד את הסיכון.

לפני ההמחשה, נחשו: מאיזה רדיוס גרעין מתחיל לגדול על התחתית של הקומקום שלנו? מאית המילימטר? אלפית? פחות מזה?

כמה חום צריך גרעין של בועה

מתח הפנים מכווץ כל בועה, ולכן האדים בתוכה צריכים לחץ גבוה מהלחץ של המים, ובשביל לחץ כזה הם צריכים להיות חמים מנקודת הרתיחה. ככל שהבועה קטנה יותר, צריך יותר. הזיזו את הרדיוס של הגרעין ואת ההספק של הקומקום.

רדיוס הגרעין, מיקרומטר 3.0 הספק, ואט 2200

רדיוס הגרעין, במיקרומטרים, בסקאלה לוגריתמית · חימום-יתר, במעלות

חימום-היתר שהגרעין צריך כמה התחתית חמה מנקודת הרתיחה, לפי סוג המשטח

הלחץ הנוסף בתוך הגרעין, קילופסקל

חימום-היתר שהוא צריך, מעלות

0עד0

חימום-היתר של התחתית, מעלות

0עד0

הגרעין הקטן ביותר שגדל, מיקרומטר

חישוב, לא מדידה. הלחץ הנוסף הוא 2σ/R, ממשוואת יאנג–לפלס, עם מתח הפנים של המים לפי IAPWS. חימום-היתר הוא ההפרש בין הטמפרטורה שבה מים רותחים בלחץ הזה לבין נקודת הרתיחה הרגילה: גרעין ברדיוס מיקרומטר אחד צריך 21.9 מעלות, וברדיוס עשרה מיקרומטרים 3.1. הרצועה היא המתאם של רוזנאו מ-1952 לרתיחה על משטח, עם קבועי משטח מ-0.006, של פליז, ועד 0.0132, של פלדת אל-חלד מלוטשת. זה מתאם אמפירי, לא חוק טבע. ובחריץ אמיתי הרדיוס שקובע הוא העקמומיות של פני האדים שבתוכו, לא הרוחב של החריץ.

התשובה: מרדיוס של כמה מיקרומטרים. על פלדת אל-חלד מלוטשת, שבה התחתית חמה יותר, מתחילים לגדול גרעינים מרדיוס של 2.9 מיקרומטרים, ועל משטח שבו היא קרה יותר, מ-7.1. גרעין קטן מזה נמעך על ידי מתח הפנים לפני שהוא מספיק להתחיל. ושימו לב מה קורה כשמשנים את ההספק: הכפלה שלו מזיזה את הרצועה רק מעט, כי חימום-היתר של התחתית גדל כמו השורש השלישי של השטף.

וכאן גם רמז ראשון לשקט של ההתחלה. כשהתחתית רק עוברת את נקודת הרתיחה, חימום-היתר שלה קטן, ורק החריצים הגדולים ביותר מתחילים לפעול. ככל שהיא מתחממת, מצטרפים חריצים קטנים יותר, ויותר נקודות על התחתית מייצרות בועות.

צלילה לעומקאפשר לדלג בקריאה ראשונה

כמה חימום-יתר באמת צריך

החשבון בהמחשה עושה שני דברים. הוא מוצא, בנוסחה של IF97, את הטמפרטורה שבה לחץ הרוויה שווה ל- $p_0 + 2\sigma/R$ , ומפחית ממנה את נקודת הרתיחה. ומכיוון שמתח הפנים קטן כשהמים מתחממים, הוא חוזר על החישוב עם $\sigma$ של הטמפרטורה החדשה, עד שהתשובה מפסיקה להשתנות.

אפשר גם להעריך את התוצאה ביד, בעזרת משוואת קלאוזיוס–קלפיירון מהתיבה הקודמת. אם הלחץ העודף קטן, השינוי בטמפרטורה פרופורציוני לו:

\Delta T \approx \frac{dT}{dp_s}\, p_L = \frac{T\,(v_g - v_l)}{L}\cdot\frac{2\sigma}{R} \approx \frac{2\sigma\, T}{R\, \rho_v\, L}

בגרעין ברדיוס עשרה מיקרומטרים זה נותן 3.26 מעלות, מול 3.08 בחישוב המדויק. בגרעין ברדיוס מיקרומטר, 32.6 מול 21.9, ובחצי מיקרומטר, 65 מול 34.6. ההערכה מתקלקלת כשהגרעין קטן, כי אז הלחץ העודף כבר לא קטן: עקומת הרוויה מתעקלת כלפי מעלה, ולחץ גבוה מושג בתוספת טמפרטורה קטנה מזו שהקו הישר מנבא.

ויש סיבה נוספת לכך שלא כל חריץ פעיל. ב-1962 הראה Y. Y. Hsu שגרעין בחריץ מתחיל לגדול רק אם שכבת המים החמה שסביבו עבה מספיק, ולכן רק חריצים בטווח מסוים של גדלים פעילים. הטווח תלוי בטמפרטורה של המשטח, בטמפרטורה של המים שמעליו ובעובי השכבה החמה.

הבועה שנמעכת

נניח שבועה נולדה בחריץ וגדלה, ועכשיו הראש שלה מגיע למים שעוד לא רתחו, או שהיא מתנתקת מהתחתית ועולה אליהם. מה קורה לה?

האדים שבתוכה נוגעים עכשיו במים קרים מהם. חלק מהם חוזרים ונעשים מים, עיבוי, והלחץ בבועה יורד אל לחץ הרוויה של המים הקרים. מבחוץ לחץ האוויר ממשיך ללחוץ, ואין מה שיעצור אותו: פער המעיכה דוחף את המים פנימה, והבועה קורסת. המים שמתנפלים פנימה מכל הכיוונים נפגשים במרכז ונעצרים בבת אחת, והעצירה הזאת שולחת דרך המים פולס של לחץ: קליק זעיר. המון קליקים כאלה, מבועות בכל הגדלים, נשמעים כרחש, ובהמוניהם כשאון. לקריסה של חללים בתוך נוזל קוראים קוויטציה, וזו אותה תופעה שמכרסמת במדחפים של אוניות.

שהרעש בא מהקריסות, ולא רק מהלידה של הבועות, זה לא מובן מאליו. ב-1947 פרסמו אוסבורן והולנד, בכתב העת של האגודה האמריקאית לאקוסטיקה, מדידות של הקול שמשמיע חוט דק שמזרימים בו זרם חזק בתוך מים. במאמר נלווה כתב אוסבורן שהקול הזה הוא בעיקר רעש של קוויטציה: כל התכונות שלו מוסברות בהיווצרות ובקריסה הבלתי פוסקות של חללי אדים.

כמה מהר קורסת בועה? שני דברים יכולים להגביל אותה, ולכן יש שני שעונים.

שעון האינרציה. המים שממלאים את הבועה צריכים לזוז, ולמים יש מסה. הלחץ שדוחף אותם הוא פער המעיכה $\Delta p$ , הצפיפות שלהם היא $\rho$ , והמרחק שהם צריכים לעבור הוא רדיוס הבועה $R$ . מהשלושה האלה אפשר להרכיב זמן רק בדרך אחת. היחידות של $\Delta p/\rho$ הן מטרים רבועים לשנייה בריבוע, כלומר מהירות בריבוע, ולכן $\sqrt{\Delta p/\rho}$ היא מהירות, ומרחק חלקי מהירות הוא זמן:

t_I \approx 0.915\, R\,\sqrt{\frac{\rho}{\Delta p}}

את המספר 0.915 חישב הלורד ריילי ב-1917, בחשבון שמופיע בתיבה בהמשך. בועה ברדיוס מילימטר, במים ב-20 מעלות, קורסת בתוך 0.09 אלפיות שנייה. והאנרגיה שהקריסה משחררת היא העבודה שפער המעיכה עושה כשהוא מוחק נפח של בועה, $\tfrac43\pi R^3\,\Delta p$ . בבועה ברדיוס מילימטר, במים ב-20 מעלות, זה 0.42 מיליג’אול, בערך כמו להרים גרם אחד לגובה של ארבעה סנטימטרים. נשמע מעט, אבל כל האנרגיה הזאת משתחררת בפחות מעשירית של אלפית שנייה, בנקודה אחת.

שעון החום. כדי שהבועה תיעלם, האדים שבתוכה צריכים להתעבות, וכשאדים מתעבים הם משחררים את החום הכמוס שלהם, 2.26 מיליון ג’אול לקילוגרם. את החום הזה צריך לפנות אל המים, ומים מוליכים חום לאט. כמה זה משנה תלוי במספר אחד: כמה חום יכול לספוג מטר מעוקב של מים עד שהוא מגיע לנקודת הרתיחה, חלקי כמה חום משחרר מטר מעוקב של אדים כשהוא מתעבה. קוראים לו מספר יעקב:

\mathrm{Ja} = \frac{\rho_l\, c_l\,(T_s - T_b)}{\rho_v\, h_{fg}}

האדים דלילים פי 1,600 מהמים, ולכן מטר מעוקב שלהם משחרר מעט חום, ומספר יעקב גדול: בערך 3 על כל מעלה שחסרה למים עד הרתיחה. במים ב-20 מעלות הוא 239, והמים בולעים את החום של הבועה בלי להרגיש. במים ב-99 מעלות הוא 3, והחום צריך לזחול דרך שכבה עבה של מים. אם מניחים שהוא בורח רק בהולכה, כמו דרך קיר שטוח, מקבלים שהבועה נעלמת אחרי

t_H \approx \frac{\pi}{4}\, \frac{R^2}{\alpha\, \mathrm{Ja}^2}

כאשר $\alpha$ הוא מקדם הדיפוזיה התרמית של המים. בבועה ברדיוס מילימטר, במים ב-90 מעלות, זה 5.3 אלפיות שנייה, פי 33 משעון האינרציה.

הבועה נעלמת בקצב של האיטי מבין השניים. ב-1965 הראו פלורשוץ וצ’או, במאמר על המכניקה של קריסת בועות אדים, שיש שני משטרים כאלה: קריסה שנשלטת בידי האינרציה של הנוזל, וקריסה שנשלטת בידי מעבר החום, ושפרמטר חסר ממדים אחד מכריע ביניהן. שעון החום שלנו הוא רק הערכה. הוא מתעלם מהזרימה סביב בועה שעולה, שמאיצה את ההתעבות, ולכן הוא איטי מהמציאות.

לפני ההמחשה, נחשו: בועה ברדיוס מילימטר עוזבת את התחתית כשהמים ב-90 מעלות. היא תגיע עד פני המים? ומה אם המים ב-99?

שני שעונים לבועה אחת

בועת אדים עוזבת את התחתית ונכנסת למים שעוד לא רתחו. היא נעלמת בקצב של האיטי מבין שני שעונים: כמה מהר המים מסוגלים להתנפל פנימה, זה שעון האינרציה, וכמה מהר החום של האדים מסוגל לברוח אל המים, זה שעון החום. בחרו גודל, והזיזו את טמפרטורת המים.

רדיוס הבועה, מילימטר

טמפרטורת המים 90.0°

טמפרטורת המים, במעלות · זמן, באלפיות שנייה, בסקאלה לוגריתמית

שעון האינרציה שעון החום הזמן שלוקח לעלות עד פני המים כאן כבר אי אפשר לסמוך על שעון החום

פער המעיכה, קילופסקל

שעון האינרציה, אלפיות שנייה

שעון החום, אלפיות שנייה

העלייה עד פני המים, אלפיות שנייה

—

מי קובע

הערכות, לא סימולציה. שעון האינרציה הוא זמן הקריסה שריילי חישב ב-1917 לחלל ריק בלחץ קבוע, 0.915·R·√(ρ/Δp). שעון החום מניח שהחום של האדים בורח אל המים רק בהולכה, כאילו דרך קיר שטוח, ומתעלם מהזרימה סביב בועה שעולה, שמאיצה את ההתעבות. לכן הוא איטי מהמציאות, ובחצי המעלה האחרונה, באזור המקווקו, כבר אי אפשר לסמוך עליו. מהירות העלייה היא מהנוסחה של מנדלסון מ-1967, שמתאימה לבועות בקוטר של 0.7 עד 6.5 מ״מ במים, והעומק הוא 8.5 ס״מ, של הקומקום שלנו. בועה ברדיוס מילימטר נעלמת תוך 5.3 אלפיות שנייה כשהמים ב-90 מעלות, ומגיעה לפני המים רק כשהם חמים מ-98.7 מעלות.

ב-90 מעלות הבועה נעלמת אחרי 1.4 מילימטרים בלבד, הרבה לפני שהיא מתרחקת מהתחתית. ב-99 מעלות היא מגיעה שלמה עד פני המים. הגבול, בקומקום שלנו, עובר ב-98.7 מעלות, ובועות גדולות יותר חוצות אותו מוקדם יותר: בועה ברדיוס 3 מילימטרים מגיעה לפני המים כבר מ-96.5 מעלות. כלומר, כמעט לאורך כל החימום הבועות מתות צמוד לתחתית. הן נולדות שם ונמעכות שם, בשכבה דקה, ורק במעלות האחרונות הן מתחילות לעלות. זו התשובה לשאלה השנייה מההתחלה.

ויש כאן עוד משהו, שקשור לגובה הצליל. קריסה מהירה היא פולס חד, ופולס חד מכיל תדירויות גבוהות. לפי סקירה של מחקרי האקוסטיקה של רתיחה שהתפרסמה ב-2026, אוסבורן והולנד מדדו מהחוט החם שלהם פליטות קול בתדירויות של 10 עד 30 קילוהרץ, וחלק מהטווח הזה, מעל 20 קילוהרץ, כבר מחוץ לטווח השמיעה האנושי. ייתכן שזה חלק מהסיבה שההתחלה נשמעת שקטה: חלק מהרעש אולי נמצא שם, בתדירויות שלא שומעים. זו השערה, לא מדידה של קומקום.

צלילה לעומקאפשר לדלג בקריאה ראשונה

השעון של ריילי

נניח חלל ריק וכדורי ברדיוס $R_0$ , בתוך נוזל אינסופי שאינו נדחס, שבמרחק רב מהחלל הלחץ שלו גבוה ב- $\Delta p$ מהלחץ שבתוך החלל. כשהחלל מתכווץ, הנוזל זורם פנימה באופן סימטרי. מכיוון שהנוזל אינו נדחס, דרך כל קליפה כדורית עובר בכל שנייה אותו נפח, ולכן המהירות במרחק $r$ מהמרכז היא $u = \dot R R^2/r^2$ , כאשר $\dot R$ הוא הקצב שבו הרדיוס משתנה.

האנרגיה הקינטית של כל הנוזל היא סכום על קליפות דקות:

E_k = \int_R^\infty \tfrac12\, \rho\, u^2\, 4\pi r^2\, dr = 2\pi\rho\, R^3 \dot R^2

והיא שווה לעבודה שהלחץ עשה עד עכשיו, הלחץ כפול הנפח שנמחק: $\tfrac43\pi\,\Delta p\,(R_0^3 - R^3)$ . משווים ומבודדים:

\dot R^2 = \frac{2\,\Delta p}{3\rho}\left(\frac{R_0^3}{R^3} - 1\right)

כדי למצוא את זמן הקריסה מחלקים כל צעד קטן של הרדיוס במהירות, ומסכמים. עם $x = R/R_0$ :

t_I = R_0\sqrt{\frac{3\rho}{2\,\Delta p}}\int_0^1 \frac{x^{3/2}}{\sqrt{1-x^3}}\,dx

ההצבה $s = x^3$ הופכת את האינטגרל ל- $\tfrac13\int_0^1 s^{-1/6}(1-s)^{-1/2}\,ds$ , שליש מפונקציית בטא $B(\tfrac56,\tfrac12) \approx 2.2405$ . מכפילים הכל, ומקבלים $t_I = 0.91468\, R_0\sqrt{\rho/\Delta p}$ .

שני דברים שהחשבון מסתיר. הראשון: המהירות $\dot R$ שואפת לאינסוף כש- $R$ שואף לאפס. בבועה אמיתית הקריסה נבלמת לפני כן, בגלל שהמים בכל זאת נדחסים מעט, בגלל גז שנשאר בבועה, ובגלל חום שלא הספיק לברוח. והשני: החשבון מניח חלל ריק. בבועת אדים, אם החום לא בורח מהר, האדים לא מתעבים, והבועה לא נעלמת. זה שעון החום.

צלילה לעומקאפשר לדלג בקריאה ראשונה

למה אי אפשר לחשב את הצליל של הקומקום מבועה אחת

ב-1933 הסביר מרסל מינארט למה בועות אוויר במים משמיעות צליל. בועת אוויר מתנהגת כמו קפיץ: כשהמים לוחצים עליה, האוויר שבתוכה נדחס ודוחף בחזרה, והמים שסביבה משמשים כמסה. למערכת של מסה וקפיץ יש תדירות משלה, וזו התדירות שמינארט מצא:

f = \frac{1}{2\pi R}\sqrt{\frac{3\gamma\, p_0}{\rho}}

כאן $\gamma$ הוא יחס קיבולי החום של הגז, 1.4 לאוויר. בועת אוויר ברדיוס מילימטר, בלחץ אטמוספירי, מצלצלת בכ-3,300 הרץ. זה חלק מהקול של מים זורמים.

אבל בועת אדים במים שלא רתחו היא לא קפיץ. כשהמים לוחצים עליה, האדים לא נדחסים ודוחפים בחזרה, אלא מתעבים ונעלמים. אין לה תדירות משלה, ולכן אי אפשר לחשב מהנוסחה הזאת «את הצליל של הקומקום». היא מתאימה רק לבועות אוויר, כמו אלה שהאוויר המומס במים יוצר כשהם מתחממים. ואת הגוון של הרעש, כפי שנראה, מעצב במידה רבה הקומקום עצמו.

מן ההיסטוריה

ריילי, מדחפים ובועות מוזיקליות

ג’ון ויליאם סטרט, הלורד ריילי, קיבל ב-1904 את פרס נובל לפיזיקה על גילוי הארגון, אבל הוא כתב על כמעט כל תחום בפיזיקה של זמנו, ובעיקר על גלים ועל קול. ב-1917 פרסם בכתב העת Philosophical Magazine מאמר קצר בשם «על הלחץ שנוצר בנוזל בזמן קריסה של חלל כדורי». הרקע היה מעשי: מדחפים של אוניות נשחקו בקצב מפתיע, והחשבון של ריילי הראה שבסוף הקריסה של חלל, הלחץ סביבו יכול להגיע לערכים גבוהים בהרבה מהחוזק של החומרים שמהם נבנו אז מדחפים.

מרסל מינארט, אסטרונום בלגי שעבד בהולנד, פרסם באותו כתב עת, ב-1933, את המאמר שלו «על בועות אוויר מוזיקליות ועל הקולות של מים זורמים».

חייה של בועה אחת

לפני שמחברים הכל, בואו נעקוב אחרי בועה אחת בשני רגעים שונים של אותו חימום, ונשתמש בכל מה שבנינו עד עכשיו. כל המספרים כאן יוצאים מהמודל של הקומקום שלנו.

אחרי שתי דקות ותשע שניות. המים ב-60 מעלות. התחתית חמה מהם בהרבה: 106.0 מעלות, כלומר חימום-יתר של 6.1 מעלות. זה מספיק כדי שחריצים ברדיוס של 4.8 מיקרומטרים ומעלה יהיו גרעינים פעילים, וגרעין כזה מתחיל לגדול. אבל השכבה החמה שצמודה לתחתית דקה: במרחק קטן מאוד מהמתכת המים כבר ב-60 מעלות, ופער המעיכה שם הוא 81.4 קילופסקל, כמעט אטמוספירה שלמה. מספר יעקב הוא 120, והמים שסביב הבועה בולעים את החום שלה בקלות. בועה שהספיקה לגדול לרדיוס של מילימטר נעלמת בתוך שלוש עשיריות של אלפית שנייה, אחרי שעלתה פחות מעשירית המילימטר. כלומר, היא לא באמת עולה: היא נולדת ומתה על התחתית. ורוב הבועות בכלל לא מגיעות לגודל הזה. וכמה מהחום עובר ברגע הזה ברתיחה? כרבע. השאר עוד עובר בהסעה.

אחרי ארבע דקות ושתי שניות. המים ב-95 מעלות. התחתית ב-108.8 מעלות, בחימום-יתר של 8.8, וחריצים קטנים יותר, מרדיוס של 3.1 מיקרומטרים, מצטרפים. 84% מהחום עובר ברתיחה, ובכל שנייה נוצרים כ-1.4 ליטרים של אדים. השכבה החמה עבה בהרבה, והבועות מספיקות לגדול לפני שהן פוגשות מים קרים. אבל עכשיו פער המעיכה הוא רק 16.7 קילופסקל, ומספר יעקב 15. בועה ברדיוס מילימטר צריכה כבר 21 אלפיות שנייה כדי להתעבות, ובזמן הזה היא מתרחקת מהתחתית 5.6 מילימטרים לפני שהיא נעלמת. היא עדיין נמעכת, אבל בעדינות, והיא כבר לא נמעכת צמוד למתכת.

ובין שני הרגעים? ב-60 מעלות היו מעט בועות קטנות, שנמעכו בלחץ גדול. ב-95 יש הרבה בועות גדולות, שנמעכות בלחץ קטן. באמצע, סביב 80 מעלות, כבר 60% מהחום עובר ברתיחה, והבועות עדיין נמעכות בפער של 54 קילופסקל, יותר מחצי אטמוספירה. בועה ברדיוס מילימטר נעלמת שם תוך 1.3 אלפיות שנייה, אחרי שלוש וחצי עשיריות המילימטר. זה נשמע כמו מתכון לרעש.

לפני שממשיכים, סיכום קצר של מה שבנינו:

פער המעיכה הוא הלחץ שמועך בועת אדים. הוא 99 קילופסקל כשהמים ב-20 מעלות, ואפס בנקודת הרתיחה.
התחתית חמה מהמים בעשרות מעלות, ועוברת את נקודת הרתיחה כשהמים עצמם רק ב-36 מעלות.
בועות נולדות רק בחריצים ברדיוס של כמה מיקרומטרים ומעלה, כי מתח הפנים מועך גרעינים קטנים יותר.
בועה נמעכת בקצב של האיטי משני שעונים: האינרציה של המים, והחום שהאדים צריכים לפנות.
כמעט לאורך כל החימום הבועות נולדות ומתות צמוד לתחתית, ורק במעלות האחרונות הן מגיעות למעלה.

למה זה שואג באמצע

עכשיו יש לנו את כל החלקים, ואפשר לחזור לשאלה הראשונה. מה משתנה כשהמים מתחממים, ומה זה עושה לרעש?

שני דברים גדלים. הראשון: יותר מהחום הולך לייצור אדים. כשהתחתית רק עוברת את נקודת הרתיחה, כמעט כל החום עדיין עובר בהסעה. כשהמים ב-60 מעלות, רבע ממנו כבר עובר ברתיחה, וכשהם ב-99, כמעט 90%. יותר אדים בכל שנייה פירושם יותר בועות לקרוס.

הדבר השני שגדל הוא הבועות עצמן. בועה גדלה כל עוד היא עטופה במים חמים מנקודת הרתיחה, ומתחילה להתעבות כשהראש שלה יוצא מהשכבה הזאת. כשהמים קרים, השכבה החמה שצמודה לתחתית דקה מאוד, והבועות נמעכות כשהן עוד זעירות. כשהמים מתחממים, השכבה מתעבה, והבועות מספיקות לגדול. בשנות החמישים צילם F. C. Gunther בצילום מהיר רתיחה על פס מתכת חם שמים זרמו מעליו, וראה בדיוק את זה: כשהמים היו קרים מנקודת הרתיחה ביותר מ-38 מעלות, הבועות גדלו וקרסו בזמן שהן עוד החליקו על המשטח, בלי להתנתק ממנו. זה היה ניסוי עם מים זורמים, לא קומקום, אבל הכיוון זהה.

ודבר אחד קטן: פער המעיכה. ראינו שהוא יורד מ-99 קילופסקל כשהמים ב-20 מעלות לאפס בנקודת הרתיחה.

כשכמות שגדלה מוכפלת בכמות שקטנה לאפס, המכפלה חייבת להגיע לשיא איפשהו באמצע, ואחר כך לרדת. זו בדיוק בעיית הקיצון המוכרת מהתיכון, כמו המלבן עם ההיקף הקבוע שהשטח שלו מקסימלי כשהוא ריבוע: בקצה אחד צלע אחת קטנה מדי, ובקצה השני הצלע השנייה. בקומקום, בהתחלה יש מעט בועות קטנות, ובסוף אין מה שיועך אותן. השאון נמצא באמצע.

כדי לראות איפה בדיוק, צריך לדעת כמה מכל גורם. וכאן מגיע הקושי, כי יש יותר מדרך אחת לספור. נבנה שני מודלים פשוטים, ששניהם מודדים את ההספק שיש לאוויר למעוך בו בועות, כלומר כמה ג’אולים בשנייה פער המעיכה משקיע בקריסות:

מודל א׳, גודל הבועות. נניח שבכל שנייה נולד אותו מספר של בועות, ושכל אחת גדלה עד שהיא יוצאת מהשכבה החמה. אז האנרגיה של כל קריסה פרופורציונית לנפח הבועה כפול פער המעיכה, והנפח גדל ככל שהשכבה מתעבה.
מודל ב׳, כמות האדים. נשכח מהגודל, ונספור רק כמה אדים נוצרים בכל שנייה מהחלק של החום שעובר ברתיחה. כל מטר מעוקב של אדים שנמחק משחרר עבודה של פער המעיכה כפול הנפח שלו.

שני המודלים מראים את ההספק ביחס לשיא של עצמם, בדציבלים. דציבל הוא דרך לומר «פי כמה» בלוגריתם: הפרש של 10 דציבלים הוא פי 10 בהספק, 20 דציבלים הם פי 100, ו-3 דציבלים הם בערך פי 2. «מינוס 10» פירושו עשירית מההספק בשיא.

לפני שאתם מפעילים: באיזו טמפרטורה לדעתכם הרעש בשיא?

קומקום אחד, מהשנייה הראשונה ועד הרתיחה

1.7 ליטר מים מ-20 מעלות, 2,200 ואט. הפעילו, או גררו את הזמן. הגרף התחתון מראה כמה הספק יש לאוויר למעוך בו בועות, בשתי דרכים לספור אותן, כל אחת ביחס לשיא של עצמה. זה מודל, לא הקלטה.

מהירות ×13

זמן 0:00

לא בקנה מידה

טמפרטורה

מה עולה ומה יורד

ההספק שיש לאוויר למעוך בו בועות, בדציבלים מתחת לשיא של כל מודל

זמן, בדקות

טמפרטורת המים טמפרטורת התחתית פער המעיכה, מתוך לחץ האוויר אדים לשנייה, מתוך המקסימום מודל א׳: גודל הבועות מודל ב׳: כמות האדים רותחים: לא ממודל

0:00

זמן, דקות

טמפרטורת המים

טמפרטורת התחתית

פער המעיכה, קילופסקל

—

מודל א׳, דציבלים מתחת לשיא

—

מודל ב׳, דציבלים מתחת לשיא

מודל, לא הקלטה. שני הקווים התחתונים הם ההספק שהאוויר יכול להשקיע במעיכת בועות, כל אחד ביחס לשיא שלו, ולא עוצמת הצליל: איזה חלק מההספק הזה נשמע, ובאילו תדירויות, אף אחד מהם לא יודע. בשניהם הרעש מתחיל כשהתחתית עוברת את נקודת הרתיחה, כאן כשהמים ב-36.2 מעלות, ונעלם כשהמים רותחים. על מקום השיא הם לא מסכימים: 77.5 מעלות כשסופרים את כמות האדים, ו-96.0 כשסופרים בועות שגדלות. בציור, מספר הבועות הוא לפי כמות האדים, הגודל שלהן לפי מודל א׳, והגובה שבו הן נעלמות לפי שני השעונים של בועה ברדיוס מילימטר.

שני המודלים מסכימים על הצורה. בשניהם אין שום רעש עד שהתחתית עוברת את נקודת הרתיחה, כאן כשהמים ב-36.2 מעלות, אחרי 52 שניות. בשניהם ההספק עולה, מגיע לשיא, ונעלם לגמרי כשהמים רותחים. אבל על המקום של השיא הם לא מסכימים. במודל ב׳ השיא כשהמים ב-77.5 מעלות, אחרי שלוש דקות וחמש שניות, ומשם ההספק יורד לאט: ב-99 מעלות הוא עשירית מהשיא. במודל א׳ השיא ב-96.0 מעלות, אחרי ארבע דקות ושש שניות, והנפילה מגיעה רק בשתי המעלות האחרונות. גם ההתחלה שונה: כשהמים ב-50 מעלות, מודל ב׳ כבר קרוב לשיא שלו, ומודל א׳ עוד מתחתיו ב-19 דציבלים, כלומר בערך אחוז אחד מההספק שלו בשיא.

איזה מהם צודק? אף אחד מהם, לגמרי. מודל א׳ מתעלם מכך שבהתחלה נולדות הרבה פחות בועות. מודל ב׳ מתעלם מכך שבועה קטנה, שנמעכת צמוד לתחתית, משמיעה צליל אחר מבועה גדולה, ומכך שאדים שנוצרו ונמעכו בתוך השכבה החמה אולי לא משמיעים כלום. ושניהם מדברים על ההספק של הקריסות, לא על הקול: איזה חלק מההספק הופך לגלי קול, ובאילו תדירויות, אף אחד מהם לא יודע. מה שבטוח משניהם הוא הכיוון: הרעש חייב להתחיל, לעלות, ולהיחלש לקראת הרתיחה. כדי לדעת איפה השיא באמת, צריך הקלטה של קומקום אמיתי ומדחום. זה ניסוי שאפשר לעשות במטבח.

ויש גורם שלישי, ששני המודלים מתעלמים ממנו לגמרי: הקומקום עצמו. ב-1991 שאלו אלג’ישי וטטרקייביץ’, במאמר ב-American Journal of Physics, אם אפשר לבנות קומקום שמרתיח מים בשקט. בתקציר המאמר הם כותבים שחלק גדול מהקול שנפלט ברתיחה נובע מהצימוד בין היווצרות הבועות והקריסה שלהן לבין התנודות הטבעיות של הכלי שבו מחממים. כלומר, הבועות הן המקור, והקומקום הוא תיבת התהודה. זה מסביר למה קומקומים שונים נשמעים אחרת, גם כשהפיזיקה של הבועות זהה.

צלילה לעומקאפשר לדלג בקריאה ראשונה

שני המודלים, בנוסחאות

טמפרטורת התחתית. החום שנכנס, $q$ , יוצא בשתי דרכים: בהסעה, $h\,(T_w - T_b)$ , וברתיחה, $q_b(T_w - T_s)$ , לפי המתאם של רוזנאו. הסכום שלהן שווה ל- $q$ , ומהמשוואה הזאת מוצאים את $T_w$ בכל רגע. את החלוקה הזאת הציע רוזנאו עצמו לרתיחה במים שעוד לא רתחו. את $h$ נותנת הנוסחה של לויד ומורן להסעה טבעית מעל לוח חם:

\mathrm{Nu} = \frac{hL}{k} = \begin{cases} 0.54\,\mathrm{Ra}^{1/4} & \mathrm{Ra} < 8\cdot 10^6 \\ 0.15\,\mathrm{Ra}^{1/3} & \mathrm{Ra} \ge 8\cdot 10^6 \end{cases} \qquad \mathrm{Ra} = \frac{g\beta\,(T_w - T_b)\,L^3}{\nu\,\alpha}

כאן $L$ הוא השטח חלקי ההיקף, רבע מהקוטר, $k$ המוליכות של המים, $\beta$ מקדם ההתפשטות שלהם, ו- $\nu$ הצמיגות הקינמטית. תכונות המים נלקחות מטבלאות של NIST.

מודל א׳. אם שכבת המים שצמודה לתחתית מתקררת בקו ישר מ- $T_w$ ל- $T_b$ , החלק ממנה שחם מנקודת הרתיחה הוא $(T_w - T_s)/(T_w - T_b)$ מעוביה. נניח שהרדיוס של בועה פרופורציוני לחלק הזה, ושמספר הבועות בשנייה קבוע. אז

P_A \propto \left(\frac{T_w - T_s}{T_w - T_b}\right)^3 \Delta p

מודל ב׳. נפח האדים שנוצר בכל שנייה הוא $q_b A/(\rho_v h_{fg})$ , וכל מטר מעוקב שלו שנמחק משחרר $\Delta p$ ג’אולים:

P_B = \frac{q_b\, A}{\rho_v\, h_{fg}}\,\Delta p

שניהם מתעלמים מאוויר מומס, מהלחץ של עמוד המים, מאיבודי חום, מהתנודות של הכלי, ומהשאלה איזה חלק מההספק נשמע. במודל ב׳, ההספק בשיא הוא כ-53 ואט, אבל אין לזה משמעות של עוצמת קול: רק חלק זעיר ולא ידוע ממנו הופך לגלי קול.

השקט שלפני הרתיחה

עכשיו אפשר לענות גם על החצי השני של השאלה הראשונה. במים ב-100 מעלות יש הכי הרבה בועות, ובכל זאת הם שקטים יותר ממים ב-90. שלושה דברים קורים יחד במעלות האחרונות.

פער המעיכה נעלם. ב-95 מעלות הוא עוד 16.7 קילופסקל, ב-99 רק 3.5, ובנקודת הרתיחה אפס. לאוויר פשוט אין יותר במה ללחוץ.

שעון החום מתארך. כשלמים חסרה רק מעלה אחת עד הרתיחה, מספר יעקב הוא 3, ובועה ברדיוס מילימטר צריכה יותר מחצי שנייה כדי להתעבות. גם כשבועה כזאת כן נעלמת, היא לא נמעכת בבת אחת; היא מתכווצת לאט.

והבועות מגיעות למעלה. מעל 98.7 מעלות בועה ברדיוס מילימטר עולה שלמה עד פני המים, ושם היא מתפקעת. הפקיעה הזאת עדינה בהרבה מקריסה בתוך המים, והרעש משנה אופי: השאון מתחלף בבעבוע.

בירושלים כל הסיפור הזה זז. המים שם רותחים ב-97.5 מעלות, ולכן גם פער המעיכה מתאפס מוקדם יותר, והקומקום שלנו היה רותח שם בערך שמונה שניות לפני הקומקום שבגובה פני הים.

ומה עם הקליק? כשהמים רותחים, אדים חמים יורדים בצינור קטן אל מתג שבתחתית הקומקום. במתג יש דיסקה של שתי מתכות מחוברות, שמתפשטות בקצב שונה. כשהאדים מחממים אותה היא מתעקמת, ובשלב מסוים קופצת לצד השני בבת אחת, דוחפת מנוף ומנתקת את החשמל. והקפיצה הזאת, כזכור, היא הצליל החזק ביותר בכל הסיפור.

אז אפשר לבנות קומקום שקט? אלג’ישי וטטרקייביץ’ שאלו בדיוק את זה, והמאמר שלהם עוסק בשאלה, אבל רק התקציר שלו פתוח לקריאה, ולכן לא אצטט כאן את התשובה. מה שכן אפשר לומר מהפיזיקה שבנינו: כל עוד בועות אדים נולדות על משטח חם ונמעכות במים קרים יותר, יהיה רעש. השאלה היא רק כמה ממנו יגיע לאוזניים.

אז הנה התשובות לשתי השאלות מההתחלה. במים ב-100 מעלות יש יותר בועות מאשר במים ב-90, והן גדולות יותר, אבל כמעט שום דבר לא מועך אותן, ולכן הם שקטים יותר. והבועות הרועשות נולדות בחריצים זעירים בתחתית הלוהטת, ומתות, כמעט כולן, מילימטרים ספורים ממנה, בתוך אלפיות שנייה. הרעש של הקומקום הוא לא הקול של מים שרותחים. הוא הקול של מים שמנסים לרתוח, ועוד לא מצליחים.

ניסוי שאפשר לעשות במטבח

שני המודלים לא מסכימים איפה השיא, ורק מדידה יכולה להכריע. הנה איך עושים אותה בבית, ומה מחפשים.

מה צריך. טלפון שמקליט קול, או אפליקציה של מד רעש שרושמת את העוצמה לאורך זמן, ומדחום מטבח. גם בלי מדחום אפשר להסתדר: כפי שראינו, בקומקום בהספק קבוע הטמפרטורה עולה כמעט בקו ישר עם הזמן.

איך מודדים.

ממלאים את הקומקום בכמות ידועה של מים מהברז, ומודדים את הטמפרטורה שלהם לפני שמתחילים.
מניחים את הטלפון במרחק קבוע מהקומקום, נניח 20 סנטימטרים, ולא מזיזים אותו עד הסוף. עוצמה שנמדדת במרחק אחר היא מספר אחר.
מתחילים להקליט, ורק אז לוחצים על הכפתור של הקומקום, כך שהאפס של ההקלטה הוא גם האפס של החימום.
רושמים את הזמן שבו הקומקום כבה. לא פותחים את המכסה ולא מכניסים שום דבר למים בזמן החימום: אדים ומים רותחים שורפים, ובקומקומים רבים המכסה משפיע גם על המתג.

מה מחשבים. מחלקים את ההקלטה לחלונות של שנייה, ומחשבים לכל חלון את עוצמת הקול בדציבלים. אחר כך ממירים זמן לטמפרטורה. אם המים התחילו בטמפרטורה $T_0$ , והקומקום כבה אחרי $t_1$ שניות, אז בקירוב

T(t) \approx T_0 + (100 - T_0)\,\frac{t}{t_1}

ובירושלים מחליפים את 100 ב-97.5.

מה מחפשים. שלושה דברים:

מתי מתחיל הרחש. לפי המודל שלנו, רק כשהתחתית עוברת את נקודת הרתיחה, כשהמים סביב 36 מעלות. אם שומעים רחש ברור מוקדם בהרבה, או שהחום לא מתפזר באחידות על התחתית, או שמשהו אחר מרעיש.
איפה השיא. אם הוא מגיע בערך אחרי שלושה רבעים מזמן החימום, כשהמים סביב 75 עד 80 מעלות, מודל ב׳ קרוב יותר. אם הוא ממש לפני הסוף, כשהמים חמים מ-90 מעלות, מודל א׳.
כמה חדה הירידה. במודל א׳ ההספק צונח רק בשתי המעלות האחרונות. במודל ב׳ הוא יורד בהדרגה, כבר מ-85 מעלות.

וכמה אזהרות. הקלטה רגילה בטלפון לא קולטת תדירויות מעל כ-20 קילוהרץ, ולכן היא תחמיץ חלק מהקול של הבועות הקטנות. הקומקום עצמו מהדהד, ולכן קומקומים שונים ייתנו עקומות שונות. והקליק בסוף הוא הצליל החזק ביותר, אז אל תתבלבלו בינו לבין השיא. את הזמנים של הקומקום שלכם אפשר להעריך מאותו חשבון אנרגיה: ליטר מים ב-2,000 ואט רותח אחרי כ-167 שניות, וחצי ליטר ב-2,200 ואט אחרי כ-76.

הערה על המספרים

שום דבר בפוסט הזה לא נמדד בקומקום. כך נוצרו המספרים, ומה עדיין פתוח.

מה חושב. כל ההמחשות מריצות בדפדפן אותו קטע קוד בדיוק. לחץ הרוויה ונקודת הרתיחה מחושבים מהנוסחה התעשייתית של IAPWS למים ולקיטור (IF97), ומתח הפנים מהנוסחה של IAPWS למתח פנים. לפני הפרסום הרצתי העתק של הקוד ב-Node, והוא משחזר את כל שש הבדיקות שהתקן מפרסם לנוסחאות הרוויה, עד תשע ספרות. תכונות המים, כמו צפיפות, צמיגות ומוליכות, לקוחות מהטבלאות של NIST. הקומקום עצמו, 1.7 ליטר, 2,200 ואט ודיסקה בקוטר 16 סנטימטרים, הוא דוגמה, לא דגם מסוים.
מה בא מנוסחאות אמפיריות. מקדם ההסעה (לויד ומורן, 1974), השטף שרתיחה מעבירה (רוזנאו, 1952), השטף הקריטי (זובר, 1959) ומהירות העלייה של בועה (מנדלסון, 1967) הם סיכומים של מדידות, ולכל אחד מהם טווח תקפות ושגיאה משלו. קבוע המשטח של רוזנאו לבדו מזיז את חימום-היתר של התחתית בין 4.3 ל-9.4 מעלות.
מה מודל ומה פתוח. שני המודלים של הרעש הם מודלים של צעצוע. הם מראים שהרעש חייב לעלות ואחר כך להיעלם, אבל לא איפה השיא: אחד שם אותו ב-77.5 מעלות והשני ב-96.0, וההבדל ביניהם הוא בדיוק מה שהם לא יודעים. שעון החום הוא הערכה של הולכה בלבד, ולכן איטי מהמציאות. המודלים מתעלמים מאוויר מומס, מהלחץ של עמוד המים, מאיבודי חום, מחימום לא אחיד של התחתית ומהתנודות של הקומקום.
מה נמדד, בידי אחרים. התצפית שהרעש בשיא לפני הרתיחה ושהקליק הוא הצליל החזק ביותר היא של ShouldIt. המדידות של הקול מחוט חם ושל הקוויטציה הן של אוסבורן והולנד, והתדירויות שלהן מצוטטות דרך סקירה מ-2026. הצילומים של הבועות הם של Gunther. את המאמר של אלג’ישי וטטרקייביץ’ קראתי רק בתקציר.

מקורות.

S. Aljishi and J. Tatarkiewicz, “Why does heating water in a kettle produce sound?”, American Journal of Physics 59, 628–632 (1991).
M. F. M. Osborne and F. H. Holland, “The acoustical concomitants of cavitation and boiling, produced by a hot wire”, Journal of the Acoustical Society of America 19, 13–20 (1947), ו-M. F. M. Osborne, JASA 19, 21–29 (1947).
B. Suriyaprasaad, A. Upadhyay, A. Thakur and R. Raj, “A roadmap for decoding the sound of boiling”, npj Thermal Science and Engineering 1, 2 (2026).
Lord Rayleigh, “On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity”, Philosophical Magazine 34, 94–98 (1917).
M. Minnaert, “On musical air-bubbles and the sounds of running water”, Philosophical Magazine 16, 235–248 (1933).
L. W. Florschuetz and B. T. Chao, “On the mechanics of vapor bubble collapse”, Journal of Heat Transfer 87, 209–220 (1965).
F. C. Gunther, “Photographic study of surface-boiling heat transfer to water with forced convection”, Transactions of the ASME 73, 115–123 (1951).
S. Nukiyama (1934); English translation in International Journal of Heat and Mass Transfer 9, 1419–1433 (1966).
W. M. Rohsenow, Transactions of the ASME 74, 969–975 (1952); N. Zuber, AEC report AECU-4439 (1959); J. R. Lloyd and W. R. Moran, ASME paper 74-WA/HT-66 (1974); H. D. Mendelson, AIChE Journal 13, 250–253 (1967); Y. Y. Hsu, Journal of Heat Transfer 84, 207–213 (1962).
IAPWS R7-97(2012) ו-IAPWS R1-76(2014); תכונות המים מ-NIST Chemistry WebBook.
ShouldIt, בדיקת הרעש של קומקומים חשמליים; FDA, דף המידע על תנורי מיקרוגל; Explain that Stuff, איך קומקומים חשמליים עובדים; The Naked Scientists, למה הקומקום מתחזק ואחר כך נחלש.