דף שאלות — תגובת מתקף וקונבולוציה

דף שאלות: תגובת מתקף וקונבולוציה¶

שאלות בסגנון בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שתיגעו במחשב; שתי האחרונות נועדו להסתיים נומרית. פתרונות ומחווני בדיקה נמצאים בחומרי המרצה ואינם באתר הזה במכוון.

לאורך כל הדף $\gamma \equiv b/m$, $Q = \wnat/\gamma$, וההתמרה הישרה נושאת $e^{-\ii\omega t}$, כך ש-$\hat{G}(\omega) = (1/m)/(\wnat^2 - \omega^2 + \ii\gamma\omega)$ והמשרעת הסרוקה של מודול 02 היא הצמוד שלה. אם סימן של איבר מפתיע אתכם, בדקו קודם את המוסכמה הזו — זהו הדבר היחיד במודול הזה שמשתבש בשקט באופן עקבי.

שאלה 1 — תגובת המדרגה, בקונבולוציה¶

כוח $F_0$ מופעל ב-$t = 0$ ונשאר מופעל. המתנד מתחיל ממנוחה.

(א) רשמו את $G(t)$ ואשרו את שלושת הדברים שהיא חייבת לעשות ב-$t = 0^+$: להתאפס, לצאת מהראשית בשיפוע $1/m$, ולא לשאת שום תלות ב-$k$ באותו שיפוע.

(ב) חשבו את $x(t) = \int_0^t G(t - t')F_0\,dt'$ ישירות וקבלו

בדקו את שני הגבולות שאתם יכולים לבדוק בלי לעבוד כלל: $t \to \infty$, ו-$\gamma \to 0$.

(ג) מצאו את המקסימום הראשון והראו שהחריגה היחסית היא $\exp\!\left(-\pi\gamma / 2\omega_d\right)$, פונקציה של $Q$ בלבד. חשבו אותה ב-$Q = 20$, ב-$Q = 2$ ובריסון קריטי.

(ד) מחוג של גלוונומטר חייב להגיע לקריאתו הסופית מהר ככל האפשר בלי לחלוף מעליה אף פעם. איזה $Q$ אתם מציינים במפרט, ומה אומרת התשובה לסעיף (ג) על $Q$ מעט מתחת לערך הזה?

שאלה 2 — תזמון בעיטות¶

שתי בעיטות זהות בעלות מתקף $J$ מגיעות, השנייה בזמן $\tau$ אחרי הראשונה.

(א) רשמו את התנועה עבור $t > \tau$ כסינוס דועך יחיד. תנו את משרעתו כפונקציה של $\tau$, וזהו את שני האפקטים המתחרים שקובעים אותה.

(ב) הראו שיחס המשרעות מול בעיטה בודדת הוא $1 + e^{-\pi/Q}$ עבור $\tau = T_d$ ו- $1 - e^{-\pi/2Q}$ עבור $\tau = T_d/2$, כאשר $T_d = 2\pi/\omega_d$. חשבו את שניהם ב-$Q = 10$.

(ג) מרווח של חצי מחזור אינו מבטל את התנועה לגמרי, בשום $Q$ סופי. הסבירו מדוע במשפט אחד, ונסחו את התנאי שבו הביטול היה מדויק.

(ד) מותר לכם לבחור את $\tau$ בחופשיות כדי לעשות את הצלצול בזמנים מאוחרים גדול ככל האפשר עבור שתי בעיטות בעלות מתקף קבוע. האם $\tau = T_d$ אופטימלי? נמקו — הנימוק חשוב יותר מהמספר.

שאלה 3 — סיבתיות ומה שהיא אוסרת¶

(א) נסחו את תנאי הסיבתיות על $G$ והראו שהוא זה ששם את הגבול העליון $t$ על אינטגרל הקונבולוציה.

(ב) מישהו מדווח על תגובת מתקף מדודה הקטנה אך אינה מתאפסת עבור $t < 0$, ומייחס זאת לציוד שלו. תנו שני הסברים ניסיוניים שגרתיים לפני שתפנו לפיזיקה חדשה.

(ג) המשוואה $m\ddot{G} + b\dot{G} + kG = \delta(t)$ מתירה גם את הפתרון המוקדם, המתאפס עבור $t > 0$. רשמו אותו ותארו את התנועה שהוא מייצג.

(ד) נניח שהפתרון המוקדם היה הפיזיקלי. תארו מכונה שתוכלו לבנות, ואמרו איזה חוק שימור — אם בכלל — היא מפרה. (זו אינה אנרגיה. זו הנקודה.)

שאלה 4 — תגובת התדר, בשתי דרכים¶

(א) חשבו את $\hat{G}(\omega) = \int_0^\infty G(t)e^{-\ii\omega t}\,dt$ וקבלו $(1/m)/(\wnat^2 - \omega^2 + \ii\gamma\omega)$. האינטגרל הוא זוג האקספוננט החד-צדדי של מודול 04 המופעל פעמיים; אמרו היכן פוצל ה-$\sin\omega_d t$.

(ב) הראו ש-$X(\omega) = F_0\hat{G}(\omega)^{*}$, והסבירו את הצמוד המרוכב במונחים של איזה חצי מהספקטרום תופס גורם הזמן $e^{-\ii\omega t}$ של הקורס.

(ג) מופעל כוח $F(t) = F_0 e^{-t/\tau}$ עבור $t \ge 0$. מצאו את $x(t)$ פעמיים — פעם בקונבולוציה, פעם כהתמרה ההפוכה של $\hat{G}\hat{F}$ — והראו שהשתיים מסכימות. אמרו מי מהן פחות עבודה ומדוע.

(ד) במעגל RLC טורי נתונים $L = 10\ \mathrm{mH}$, $R = 2.0\ \Omega$ ו- $C = 1.0\ \mathrm{\mu F}$. מצאו את $f_0$ ואת $Q$, ואז תנו את $(m, b, k)$ של מתנד מכני בעל אותה $G(t)$ בדיוק כאשר $x$ נמדד במטרים ו-$q$ בקולומבים.

שאלה 5 — למדוד $Q$ מבעיטה אחת, נומרית¶

הדמו דעיכה מצלצלת של מתנד בעל $Q = 15$, דגומה הרבה מעל $\omega_d$, והוסיפו רעש גאוסי בגובה $0.5\%$ מהמשרעת ההתחלתית. השתמשו בזרע קבוע ואמרו מהו.

(א) חלצו את $Q$ מהמעטפת בעזרת oscillators.q_from_ringdown, ושוב מרוחב הקו בעזרת oscillators.q_from_linewidth המופעלת על fourier.spectrum של אותה רשומה. דווחו על שניהם כערך ± אי-ודאות על פני שמונה זרעים לפחות.

(ב) כעת הפעילו את oscillators.q_from_bandwidth על אותו ספקטרום. היא תחזיר מספר בלי להתלונן. חשבו כמה תאי תדר נמצאים על פני הרוחב המלא של הקו שלכם, והשתמשו בזה כדי להסביר את הפער.

(ג) הראו שמספר התאים על פני רוחב הקו תלוי רק בכמה זמני דעיכה של המשרעת הרשומה שלכם מחזיקה, ולא ב-$Q$. הסיקו את אורך הרשומה הדרוש לעשרה תאים, ואת משרעת האות שנותרה בנקודה הזו.

(ד) רפדו את הרשומה באפסים פי שמונה וחזרו על (ב). האומדן משתפר. הסבירו בזהירות מדוע זה אינו אותו דבר כמו להקליט יותר נתונים.

שאלה 6 — סינתזה: גל ריבועי דרך מהוד¶

השאלה הזו לבדה משתמשת בכל מודול עד כה. מתנד מרוסן בעל $Q = 12$ מונע בגל ריבועי בתדירות יסוד $\wnat/3$ ובמשרעת $F_0$, עם מעט רעש מוסף.

(א) פתחו את הגל הריבועי לטור פורייה (מודול 03) וחזו את תגובת המצב המתמיד כסכום הרמוניות, כשכל אחת משוקללת ב-$X$ של מודול 02 בתדירות ההרמוניה. איזו הרמוניה שולטת, ובאיזה פקטור מעל היסוד?

(ב) שימו לב לסימן. הסינתזה של מודול 03 רושמת את ההנעה כ-$\sum_n c_n e^{+\ii n\omega_0 t}$, שתחת הגרעין של הקורס הזה ממקמת את ההרמוניה ה-$n$ ב-$\omega = -n\omega_0$. הראו שהמשקל הנכון לאיבר הזה הוא $X(n\omega_0)^{*}$ ולא $X(n\omega_0)$, ואמרו כיצד הייתה נראית התגובה אילו השתמשתם בשגוי.

(ג) חשבו את התגובה נומרית בשלוש דרכים: בסכימת ההרמוניות של (א), ב- oscillators.convolution_response, וב-oscillators.simulate_forced. הראו ששלושתן מסכימות במצב המתמיד, ואמרו מה מגביל את ההסכמה בכל אחת.

(ד) התמירו את התגובה המחושבת והשוו את הספקטרום שלה למכפלה $\hat{G}\hat{F}$. אחר כך הסבירו, בשני משפטים, מדוע מהוד המונע בגל ריבועי נשמע כמעט כצליל טהור.

שאלה 7 — אתגר: דה-קונבולוציה וגבולותיה¶

נתונים לכם $x(t)$ מדוד ו-$\hat{G}$ ידועה, ואתם מתבקשים לשחזר את הכוח.

(א) ממשו את $\hat{F} = \hat{x}/\hat{G}$ בחלוקה ספקטרלית על נתונים מדומים נטולי רעש ואשרו שאתם משחזרים את כוח הקלט.

(ב) הוסיפו רעש גאוסי בגובה 10^-6, 10^-4 ו-10^-2 מהתגובה השיאית וחזרו. שרטטו את הכוח המשוחזר בכל מקרה ודווחו על גודלו השיאי.

(ג) הסבירו את הכישלון כמותית: קשרו את הגברת הרעש בכל תדירות ל-$|\hat{G}(\omega)|$, וזהו את תחום התדרים שגורם לנזק.

(ד) חלצו את המצב באופן גס על ידי איפוס כל תדירות שבה $|\hat{G}|$ יורדת מתחת לסף שתבחרו. הראו שהתוצאה חסומה, ונסחו במדויק מה נזרק יחד עם הרעש. איזה מידע נוסף היה מאפשר לכם לעשות טוב יותר? מודול 53-computational-imaging עונה על כך כראוי; תנו קודם תשובה משלכם.