מתנדים מצומדים: הסימפתיה של המטוטלות - WaveLab

החידה: המטוטלת שעוצרת את עצמה¶

תלו שתי מטוטלות זהות מאותו חוט רפוי מעט. הניעו אחת מהן והשאירו את השנייה תלויה במנוחה. חזרו כעבור דקה ותמצאו את ההפך: זו שהנעתם תלויה דוממת, וזו שמעולם לא נגעתם בה מתנדנדת.

המתינו את אותו זמן שוב וההפך התהפך. שום דבר אינו נבלע בריסון — דקה אחרי כן המטוטלת הראשונה מתנדנדת ברוחב שבו שחררתם אותה.

כריסטיאן הויגנס הבחין במשהו כזה ב-1665, ממיטת חוליו, כשצפה בשני שעונים תלויים על קורה משותפת מתיישרים זה לפי זה. הוא כינה זאת “סוג מוזר של סימפתיה”.

החזיקו בתחושה כמה מוזרה התנהגותה של המטוטלת הראשונה. היא מאטה עד עצירה מוחלטת ללא כל חיכוך, ואז, בלי שדבר יאיץ בה, מתחילה שוב.

לנבא לפני שמחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת לפני שתריצו משהו. רשמו אותן.

אתם מניעים את מטוטלת 1 לבדה ומחכים זמן רב. היכן האנרגיה — בעיקר עדיין במטוטלת 1, בעיקר במטוטלת 2, או מחולקת שווה בשווה ביניהן?
בכמה דרכים אפשר להתחיל את הזוג כך שלעולם לא תוחלף אנרגיה? אפס, אחת, שתיים, אינסוף?
אתם מקשיחים את הצימוד ביניהן. האם החילופין נעשים מהירים או איטיים יותר?
האם אחת מתנועות אי-החילופין הללו, אם הן קיימות, מתרחשת בדיוק בתדירות שהייתה למטוטלת בודדת לא מצומדת?

לחקור את המודל¶

שלוש אנימציות, כולן נוצרו מאותו קוד wavelab.coupled שהמעבדה מריצה.

מסה אחת מונעת לבדה, כששני ההעתקים באמצע והאנרגיה של כל מסה מימין. הביטו בעמודות ולא במסות: הן פועמות בפאזה הפוכה מתחת לקו המקווקו, המסמן את הסך הכול. הסך הכול אינו זז לעולם. מטוטלת 1 אינה מאטה מפני שמשהו מרוקן אותה — דבר אינו מרוקן — אלא מפני שהאנרגיה שלה נמצאת במקום אחר, והיא חוזרת.

שתי התנועות שאינן מחליפות דבר. למעלה: שתי המסות נעות יחד, וקפיץ הצימוד הירוק שומר בדיוק על אורך המנוחה שלו לאורך כל הזמן. למטה: הן נעות בכיוונים מנוגדים, וקפיץ הצימוד נמתח ונדחס פעמיים במחזור. כל אחת מהתנועות האלה חוזרת על עצמה לנצח בתדירות יחידה, ללא שום שכשוך.

אותה תנועה כמו באנימציה הראשונה, בשתי תמונות בבת אחת. משמאל: אנרגיה לכל מסה, שמתחלפת הלוך ושוב. מימין: אנרגיה לכל אופן, שאינה זזה. אף תמונה אינה נכונה יותר מרעותה. זו שמימין היא פשוט התמונה שבה התשובה כבר נתונה כשני מספרים קבועים, ומציאתה היא כל תכליתו של המודול הזה.

מפרט המודל

מערכת: שתי מסות נקודתיות זהות, כל אחת מוחזקת לקיר בקפיץ בקשיחות $k$ ומחוברת לרעותה בקפיץ צימוד בקשיחות $k_c$ — או לחלופין שתי מטוטלות בזוויות קטנות על תלייה משותפת; הגדלים הנמדדים הם שני ההעתקים, מהירויותיהם, והאנרגיה המיוחסת לכל מסה או לכל אופן.
דינמיקה: $M\ddot{\mathbf{x}} + K\mathbf{x} = 0$ עם $M = m\,\mathbb{1}$ , מאונטגרת ב-velocity Verlet ונפתרת בדיוק על ידי פירוק לשני מתנדים בלתי תלויים.
תנאי שפה: שני הקפיצים החיצוניים מעוגנים לתמיכות קשיחות שאינן זזות לעולם ואינן בולעות דבר.
אנסמבל: מסלול דטרמיניסטי אחד לכל בחירת תנאי התחלה; רעש מדידה, היכן שנוסף, הוא גאוסי, בלתי תלוי ובעל זרע קבוע.
מוזנח: ריסון והנעה — הזוג כאן חופשי ומשמר; וכן מסות הקפיצים, האי-ליניאריות של המטוטלת בזוויות גדולות, ומנגנון המלכוד של השעונים האמיתיים שנתנו להויגנס את תצפיתו.
תקף כאשר: ההעתקים נשארים בתחום הליניארי של הקפיצים האמיתיים (זוויות קטנות במטוטלות), וצעד הזמן נשאר הרבה מתחת למחזור האופן המהיר יותר.
אופני כישלון: משרעות גדולות מספיק כדי שאי-ליניאריות תצמיד את האופנים, ואז הסופרפוזיציה עצמה נכשלת; ריסון שנוסף ברשלנות, שכן האופנים נשארים בלתי תלויים רק עבור ריסון מיוחד; וקריאת תמונת האתרים כאילו הייתה יסודית.

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו. שלושה דברים כדאי לעשות לפני שתמשיכו לקרוא:

הניעו מסה אחת ומדדו כמה זמן לוקח לאנרגיה להגיע לשנייה ולחזור. אחר כך הקשיחו את הצימוד ומדדו שוב.
חפשו את התחלות אי-החילופין בעצמכם. קבעו את $x_2/x_1$ ליחסים שונים, שחררו ממנוחה, וצפו בעמודות האנרגיה. שני יחסים עוצרים את השכשוך לחלוטין; מצאו אותם לפני שמישהו יאמר לכם מהם.
לאחר שמצאתם אותם, בדקו אם אחד מהם מתנדנד בתדירות שהייתה למסה בודדת על קפיץ העיגון שלה.

לגזור את התוצאה¶

שתי מסות, שלושה קפיצים. יהיו $x_1$ ו- $x_2$ ההעתקים ממצב המנוחה. מסה 1 חשה את קפיץ העיגון שלה מושך אותה חזרה, ואת קפיץ הצימוד, שאכפת לו רק עד כמה שתי המסות רחוקות יותר זו מזו מאשר במנוחה:

m\ddot{x}_1 = -k x_1 - k_c\,(x_1 - x_2), \qquad m\ddot{x}_2 = -k x_2 - k_c\,(x_2 - x_1).

(1)

כל משוואה מכילה את הקואורדינטה של המסה האחרת. זו משמעות המילה “מצומדים”, וזו הסיבה שאי אפשר לפתור אף אחת מהן בנפרד. נאסוף אותן:

M\ddot{\mathbf{x}} + K\mathbf{x} = 0, \qquad M = \begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & m \end{pmatrix}, \qquad K = \begin{pmatrix} k + k_c & -k_c \\ -k_c & k + k_c \end{pmatrix}.

(2)

האיברים שמחוץ לאלכסון של $K$ הם הצימוד ותו לא. קבעו $k_c = 0$ והמטריצה אלכסונית, שתי המשוואות מתפרקות, והמסות לעולם אינן לומדות על קיומה של רעותה.

לחפש תנועה בתדירות יחידה. סעיף הניבוי שאל אם תנועות כאלה קיימות. נניח שכן ונראה מה עליה לקיים. ננסה $\mathbf{x} = \mathbf{a}\cos\omega t$ , עם צורה קבועה $\mathbf{a}$ ותדירות אחת לשתי המסות. שתי גזירות מורידות $-\omega^2$ , והקוסינוס מתחלק החוצה:

\left(K - \omega^2 M\right)\mathbf{a} = 0 .

(3)

מטריצה כפול וקטור שאינו אפס הנותנת אפס פירושה שלמטריצה אין הופכית, ולכן הדטרמיננטה שלה מתאפסת:

\det\begin{pmatrix} k + k_c - m\omega^2 & -k_c \\ -k_c & k + k_c - m\omega^2 \end{pmatrix} = \left(k + k_c - m\omega^2\right)^2 - k_c^2 = 0 .

(4)

זהו הפרש של שני ריבועים, ולכן הוא מתפרק מיד: $k + k_c - m\omega^2 = \pm k_c$ . שני שורשים, ואיתם שתי צורות:

\omega_s = \sqrt{\frac{k}{m}} = \wnat, \qquad \mathbf{a}_s \propto \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}; \qquad\qquad \omega_a = \sqrt{\frac{k + 2k_c}{m}}, \qquad \mathbf{a}_a \propto \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.

(5)

הנה התשובה לניבוי 2: בדיוק שתיים. ולניבוי 4, המעניין יותר.

האופן הסימטרי אינו מבחין בצימוד כלל

מתקיים $\omega_s = \wnat$ בדיוק, עבור כל עוצמת צימוד שהיא. אפשר לראות מדוע בלי האלגברה: בתנועה הזו שתי המסות נעות יחד, בקנה אחד, ולכן המרחק ביניהן אינו משתנה לעולם, ולכן קפיץ הצימוד אינו נמתח לעולם. קפיץ שאינו משנה את אורכו אינו מפעיל כוח משתנה ואינו יכול להשפיע על המחזור. הקשיחו את הצימוד כרצונכם והתנועה הזו לא תיגע.

האופן השני הוא המקרה ההפוך — המסות נעות זו כנגד זו, ולכן קפיץ הצימוד עובד קשה ביותר, והוא קשיח ומהיר יותר: $\omega_a > \omega_s$ בכל פעם ש- $k_c > 0$ .

שתי התנועות האלה הן אופני התנודה העצמיים. קיומן אינו מובן מאליו ומספרן אינו מקרי: שתי מסות, שני אופנים. ומאחר שהמשוואות ליניאריות, כל סכום של השתיים הוא גם פתרון — ומתברר שזה כל פתרון שקיים.

קואורדינטות נורמליות: אותה עובדה כהחלפת משתנים. חברו והחסירו את שתי משוואות התנועה והגדירו

q_+ = \frac{x_1 + x_2}{\sqrt2}, \qquad q_- = \frac{x_1 - x_2}{\sqrt2}.

(6)

החיבור נותן $m\ddot{q}_+ = -k q_+$ , מפני שאיברי הצימוד מתבטלים בדיוק. החיסור נותן $m\ddot{q}_- = -(k + 2k_c) q_-$ , מפני שהם מתחזקים. לכן

\ddot{q}_+ + \wnat^2 q_+ = 0, \qquad \ddot{q}_- + \omega_a^2 q_- = 0 .

(7)

שני מתנדים בלתי תלויים ממודול 01, בלי זכר זה לזה. דבר לא הושלך — $q_\pm$ נושאות בדיוק את המידע ש- $x_{1,2}$ נושאות — ובכל זאת בקואורדינטות האלה אין בבעיה שום צימוד. הצימוד מעולם לא היה בפיזיקה; הוא היה בבחירת הקואורדינטות, ובחירה אחרת מסלקת אותו. המשפט הזה הוא כל חלק II, וכל המשך הקורס מוסיף למצוא מערכות חדשות שהוא חל עליהן.

להתחיל מסה אחת. כעת נפתור את החידה. שחררו ממנוחה עם $x_1 = A$ , $x_2 = 0$ . בקואורדינטות נורמליות זהו $q_+ = q_- = A/\sqrt2$ : כמויות שוות משני האופנים. כל אחת מתנודדת אז בתדירות שלה, ובהמרה חזרה,

x_1(t) = A\cos\!\left(\frac{\Delta\omega}{2}t\right)\cos\bar\omega t, \qquad x_2(t) = A\sin\!\left(\frac{\Delta\omega}{2}t\right)\sin\bar\omega t,

(8)

עם $\Delta\omega = \omega_a - \omega_s$ ו- $\bar\omega = (\omega_s + \omega_a)/2$ .

זוהי זהות הנקישות של מודול 00, ללא שינוי. שתי תדירויות קרובות המחוברות נותנות תנודה מהירה בממוצע שלהן בתוך מעטפת איטית בחצי הפרשן — אלא שכאן שתי המעטפות שייכות לשני עצמים שונים, והיכן שאחת גדולה השנייה קטנה. האנרגיות הולכות כ- $\cos^2$ וכ- $\sin^2$ של $\Delta\omega t/2$ , ולכן הן מוסרות זו לזו במלואן וחוזרות:

T_{\text{ex}} = \frac{2\pi}{\Delta\omega} .

(9)

הנה התשובה לחידה. דבר אינו מנהל חשבון; שני האופנים פשוט רצים בקצבים שונים במעט, ותבנית מי-מחזיק-באנרגיה נקבעת על ידי כמה הם יצאו מסנכרון. העברה מלאה ב- $T_{\text{ex}}/2$ , חזרה מלאה ב- $T_{\text{ex}}$ .

כמה גדול הפיצול? עבור צימוד חלש, $k_c \ll k$ , פתחו את השורש:

\omega_a = \wnat\sqrt{1 + \frac{2k_c}{k}} \approx \wnat\left(1 + \frac{k_c}{k}\right) \qquad\Longrightarrow\qquad \Delta\omega \approx \wnat\,\frac{k_c}{k}, \qquad T_{\text{ex}} \approx \frac{2\pi}{\wnat}\,\frac{k}{k_c} .

(10)

צימוד קשיח יותר, פיצול רחב יותר, חילופין מהירים יותר — התשובה לניבוי 3, והיא הופכית ולא רק מונוטונית. הפכו זאת והיא הופכת למכשיר מדידה: חילופין איטיים ונקיים הם החתימה של פיצול קטן, ומדידת זמן השכשוך מודדת הפרש תדירויות קטן בהרבה מכדי להיראות בכל ספקטרום.

האומדן הוא אומדן לצימוד חלש וכדאי לבטוח בו בהתאם — הוא נמוך ב-1% ב- $k_c/k = 0.02$ , ב-5% ב-0.1, וב-17% ב-0.5, שם לפיתוח אין שום עסק להיות בשימוש.

לאמת חישובית¶

כל בדיקה למטה היא גם מבחן בערכת המבחנים של הפרויקט, כך שהטענות האלה אינן יכולות להירקב בשקט.

1. האופנים שנפתרו ביד. התדירויות והצורות שנגזרו למעלה בעזרת דטרמיננטה, מול normal_mode_solve העובדת נומרית על אותן מטריצות: הן מסכימות עד 10^-15, בצימודים מ- $k_c/k = 0.006$ עד 5. התדירות הסימטרית היא $\wnat$ עד הסיבית האחרונה בכל פעם.

2. הניסוי המפריך. בשחרור עם מסה אחת מוסטת, site_energies נמדדת לאורך מחזור חילופין מלא.

לאן האנרגיה באמת הולכת

חלקה של מסה 1 יורד מ-98% ל-0.06% מהסך הכול בתוך חצי מחזור חילופין, וחוזר ל-98% עד סופו. הסך הכול קבוע לאורך כל הדרך עד כדי חלק אחד ל-10³ — השארית היא של האינטגרטור, לא של הפיזיקה. אין שום ריסון במודל, ולכן דבר לא אבד; האנרגיה פשוט הייתה במקום אחר.

שני פרטים שווים עצירה. מסה 1 מתחילה עם 98% ולא 100% מפני שקפיץ הצימוד כבר מתוח ב- $t = 0$ , והאנרגיה שלו שייכת לשתי המסות בבת אחת. וזוהי תוצאה של צימוד חלש: ב- $k_c = k$ ההעברה באמת אינה שלמה, ו-7.4% אינם עוזבים את מסה 1 כלל.

3. החילופין הם הנקישה. ה- $x_1(t)$ המדומה מונח מעל phasors.beat_signal המחושבת בשתי תדירויות האופנים. הם מסכימים עד כדי $5\times 10^{-3}$ מהמשרעת, והאינטגרטור אינו יודע דבר על אף אחד מהאופנים — כך שזוהי מדידה של זהות מודול 00 בהקשר חדש, ולא חזרה עליה.

4. חוק החזקה. $T_{\text{ex}}$ נמדד על פני עשור של עוצמות צימוד ומותאם על צירים לוגריתמיים. המעריך יוצא -0.991 מול -1 החזוי, על פני $k_c/k \in [0.005, 0.05]$ . הרחיבו את הסריקה אל תוך צימוד חזק והוא נודד ל--0.830, וזהו הקירוב נכשל בדיוק היכן שנגזר להיכשל.

5. אופנים עומדים בשקט בזמן שאתרים משכשכים. אותו מסלול, נקרא בשתי הדרכים: אנרגיות האתרים חוצות כמעט את כל הסך הכול, בעוד אנרגיות האופנים קבועות עד כדי חלק אחד ל-10⁵. החסם אינו גדל כאשר ההרצה מוארכת פי ארבעה — האינטגרטור סימפלקטי, ולכן שגיאתו מתנדנדת במקום להצטבר.

להעביר את הרעיון¶

עוד מהכול. שתי מסות נתנו שני אופנים. עשרים נותנות עשרים, והספירה אינה מקרית; מודול 07 עושה את המקרה הכללי ואז נותן למספר המסות לברוח לאינסוף, ומשם באים הגלים.
שני מעגלי LC מצומדים. שני מעגלי תהודה זהים החולקים קבל מקיימים את המטריצות האלה עם מילון מודול 05 המופעל פעמיים. אנרגיה משכשכת בין המעגלים בקצב שנקבע על ידי הפיצול, ותכנון מסנני מעביר-פס הוא אמנות הבחירה שלו.
מולקולות. פחמן דו-חמצני הוא מסה בין שתי אחרות, והמתיחה הסימטרית שלה — שני החמצנים נעים החוצה יחד — היא אופן תנודה עצמי אמיתי בעל תדירות משלו, השונה מהמתיחה האנטי-סימטרית. אילו אופנים בולעים אור אינפרה-אדום ואילו לא הוא הסיבה שהמולקולה חשובה לאקלים.
מערכות דו-מפלסיות. מודול 52-quantum-optics מתאר אטום המחליף קוונט של עירור עם שדה אור בקצב שנקבע על ידי הפיצול בין שני מצבים מצומדים. החשבון הוא החשבון של המודול הזה, ולחילופין יש אותו שם בהיפוך: פיצול הנמדד בתחום התדר, מחזור החלפה הנמדד בזמן.

בחנו את הבנתכם¶

שתי מטוטלות זהות תלויות מתלייה משותפת, מצומדות חלושות. אתם מניעים אחת ומשאירים את השנייה דוממת, ואז צופים במשך כמה דקות. אין חיכוך. מה קורה לאנרגיה?
A. היא עוברת במלואה למטוטלת השנייה, ואז במלואה בחזרה, שוב ושוב. B. רובה נשארת במטוטלת הראשונה, וכמות קטנה דולפת הלוך ושוב. C. היא מתייצבת בחלוקה שווה, ושתי המטוטלות מתנדנדות בחצי משרעת לנצח. D. המטוטלת הראשונה נעצרת בהדרגה ונשארת עצורה, ואנרגייתה אובדת לתלייה.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — היא עוברת במלואה למטוטלת השנייה, ואז במלואה בחזרה, שוב ושוב.
- A. נכון. הנעת מטוטלת אחת מעוררת את שני אופני התנודה במידה שווה, והם רצים בתדירויות שונות במעט, ולכן הם יוצאים מסנכרון וחוזרים אליו. כשהם מחוץ לסנכרון התנועה עברה כולה למטוטלת השנייה. בצימוד חלש האנרגיה של המטוטלת הראשונה יורדת מתחת ל-0.1% מהסך הכול לפני שהיא חוזרת.
- B. זו האינטואיציה שיש לוותר עליה. דבר אינו מגביל את ההעברה: משרעות שני האופנים שוות, ולכן הנקישה ביניהן יורדת עד אפס עבור מטוטלת אחת ועולה עד המלוא עבור השנייה. הדמו זאת וצפו בעמודות האנרגיה — המטוטלת הראשונה נעצרת לגמרי, ללא שום חיכוך שיעצור אותה.
- C. חלוקה שווה הייתה דורשת משהו שיפזר את ההפרש ויחזיק את המצב שם, והמודל משמר לחלוטין. התנועה מחזורית: היא עוברת דרך החלוקה השווה פעמיים בכל מחזור חילופין וממשיכה הלאה.
- D. היא אכן נעצרת — החלק הזה נכון והוא ההפתעה. אבל דבר לא אובד: אין שום איבר ריסון במודל, והאנרגיה הכוללת קבועה לאורך כל הדרך. המתינו עוד חצי מחזור חילופין והמטוטלת הראשונה מתנדנדת ברוחב שבו שחררתם אותה.
לזוג מצומד יש תדירויות זוויתיות של אופני תנודה omega_s = 4.000 rad/s ו- omega_a = 4.195 rad/s. כמה זמן, בשניות, לוקח לאנרגיה לעבור ממתנד אחד לשני ולחזור?
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 32.2 (± 1.0)
T_ex = 2 pi / (omega_a - omega_s) = 2 pi / 0.195 = 32.2 שניות. רק הפיצול חשוב; תדירויות האופנים עצמן מתבטלות לחלוטין, וזו הסיבה שמדידת זמן של חילופין איטיים היא דרך למדוד הפרש תדירויות קטן בהרבה מכדי להיפרד בספקטרום. העברה מלאה מתרחשת בחצי מזה, בערך 16 שניות.
עבור שני מתנדים זהים מצומדים, בכמה דרכים אפשר להתחיל אותם ממנוחה כך שלעולם לא תוחלף אנרגיה ביניהם, ומהן ההתחלות האלה?
A. שתיים — להסיט את שתיהן במידה שווה לאותו כיוון, או להסיט את שתיהן במידה שווה לכיוונים מנוגדים. B. אחת — להסיט את שתיהן במידה שווה לאותו כיוון, כך שקפיץ הצימוד אינו עושה דבר. C. אינסוף — כל התחלה שבה x1 = x2 ביחס קבוע כלשהו תתאים. D. אף אחת — כל התחלה שהיא תחליף אנרגיה בסופו של דבר, בהינתן מספיק זמן.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — שתיים — להסיט את שתיהן במידה שווה לאותו כיוון, או להסיט את שתיהן במידה שווה לכיוונים מנוגדים.
- A. נכון, והספירה אינה מקרית: שתי מסות נותנות שני אופני תנודה. בראשון קפיץ הצימוד אינו משנה את אורכו לעולם, ולכן הזוג מתנדנד בתדירות הלא-מצומדת omega0. בשני הוא עובד קשה ביותר, ולכן התדירות גבוהה יותר, sqrt((k + 2 k_c)/m). כל התחלה אחרת היא תערובת של השתיים, ותערובות משכשכות.
- B. זו אחת מהן, והיא הקלה יותר לניחוש. אבל ההתחלה ההפוכה — הסטות שוות בכיוונים מנוגדים — גם היא מתנודדת בתדירות יחידה ולעולם אינה מחליפה. זהו האופן שבו קפיץ הצימוד עובד קשה ביותר, וזו הסיבה שתדירותו הגבוהה מבין השתיים.
- C. רק שני יחסים עובדים, ‎+1 ו-‎-1. נסו כל יחס אחר בסימולציה והאנרגיה תשכשך. הסיבה היא שלתנאי הדטרמיננטה יש בדיוק שני שורשים, וכל שורש קובע את צורתו במלואה.
- D. שתי ההתחלות המיוחדות באמת אינן מחליפות לעולם. זה מה שהופך אותן לראויות לשם, ומציאתן היא תכלית המודול: אלה התנועות שבהן המערכת המצומדת מתנהגת כמתנד הרמוני פשוט יחיד.
שתי מסות m מונחות על שולחן חסר חיכוך. מסה 1 מחוברת לקיר שמאלי בקפיץ בקשיחות k1, מסה 2 לקיר ימני בקפיץ k2, ושתי המסות זו לזו בקפיץ k_c. רשמו את משוואות התנועה והרכיבו את המטריצות M ו-K. אחר כך אמרו כיצד הייתם מזהים, מתוך K בלבד, אם שני המתנדים מצומדים בכלל.
בדקו את התשובה
ניוטון לכל מסה. מסה 1 חשה את קפיץ הקיר שלה, ‎-k1 x1, ואת קפיץ הצימוד, המגיב לשינוי במרחק, ‎-k_c (x1 - x2). מסה 2 בדומה, עם ‎-k2 x2 ו-‎-k_c (x2 - x1). לכן

m x1’’ = -k1 x1 - k_c (x1 - x2), m x2’’ = -k2 x2 - k_c (x2 - x1).

איסוף לצורה M x’’ + K x = 0 נותן M = m * מטריצת היחידה ו-

K = [[k1 + k_c, -k_c], [-k_c, k2 + k_c]].

שני דברים ראויים לתשומת לב. הצימוד מופיע על האלכסון וגם מחוצה לו — כל מסה מוחזקת קשיח מעט יותר משקפיץ הקיר שלה לבדו היה מחזיק אותה, מפני שגם קפיץ הצימוד מתנגד לתנועתה. ו-K סימטרית, וזה אינו מקרה: זה נובע מכך שהאנרגיה הפוטנציאלית היא פונקציה סקלרית אחת, וזה מה שמבטיח תדירויות ממשיות ואופנים שאינם משכשכים. הצימוד נראה ב-K כאיברים שמחוץ לאלכסון. אם K אלכסונית המשוואות נפרדות לחלוטין והמסות אינן משפיעות זו על זו לעולם. שימו לב שזו אמירה על הקואורדינטות לא פחות מאשר על הפיזיקה: כל תכליתן של הקואורדינטות הנורמליות היא שהן אלה שבהן K כן אלכסונית.


5. שני מתנדים זהים בעלי תדירות עצמית omega0 = 10.0 rad/s מצומדים חלושות עם k_c/k = 0.040. בעזרת אומדן הצימוד החלש, מהו פיצול האופנים omega_a - omega_s, ביחידות rad/s?

:::{dropdown} בדקו את התשובה
**התשובה הנכונה:** 0.4 (± 0.04)

Delta omega approx omega0 k_c / k = 10.0 * 0.040 = 0.40 rad/s. הערך המדויק קטן מעט יותר, 0.398, מפני ש-sqrt(1 + 2 k_c/k) נמצא מעט מתחת ל-1 + k_c/k; ב-k_c/k = 0.04 זה תיקון של 0.5%. זמן החילופין הוא 2 pi / 0.40 = 16 שניות, בערך 25 מחזורי תנודה, ולכן הזוג מתנדנד פעמים נקיות רבות בעוד משרעתו נודדת — החתימה של צימוד חלש.

הראו שהקואורדינטות הנורמליות q_plus = (x1 + x2)/sqrt(2) ו-q_minus = (x1 - x2)/sqrt(2) הופכות את שתי משוואות התנועה המצומדות לשתיים בלתי תלויות. אחר כך הסבירו מה בעצם הושג, בהינתן שלא נוסף ולא הוסר שום מידע.
בדקו את התשובה
התחילו מ-m x1’’ = -k x1 - k_c (x1 - x2) ומ-m x2’’ = -k x2 - k_c (x2 - x1).

חברו אותן. איברי הצימוד הם ‎-k_c (x1 - x2) ו-‎-k_c (x2 - x1), השווים והמנוגדים, ולכן הם מתבטלים בדיוק: m (x1 + x2)‘’ = -k (x1 + x2), כלומר q_plus’’ + omega0^2 q_plus = 0. החסירו אותן. כעת איברי הצימוד מתחזקים, ותורמים ‎-2 k_c (x1 - x2), ונותנים m (x1 - x2)‘’ = -(k + 2 k_c)(x1 - x2), כלומר q_minus’’ + omega_a^2 q_minus = 0 עם omega_a^2 = (k + 2 k_c)/m. כל אחת היא מתנד ממודול 01 בלי שום התייחסות לאחר. מה שהושג אינו מידע חדש — q_plus ו-q_minus נושאות בדיוק את מה ש-x1 ו-x2 נושאות, וההעתקה הפיכה — אלא תיאור חדש. הצימוד מעולם לא היה תכונה של הפיזיקה; הוא היה תכונה של הקואורדינטות שנבחרו לתאר אותה, ובחירה אחרת מסלקת אותו לחלוטין. זו הסיבה שהאופנים שווים את הטרחה. בתמונת האתרים עליכם לפתור שתי משוואות המתייחסות זו לזו; בתמונת האופנים אתם פותרים שתיים שאתם כבר יודעים את תשובתן, ואז ממירים חזרה. מודול 07 עושה את אותו הדבר עבור N מסות, שם ניחוש הצירופים הנכונים בעין מפסיק להיות אפשרי והמכונה חייבת להיבנות כראוי.

שאלות בסגנון בחינה למודול הזה — אלה ששווה לפתור עם עט — מרוכזות בדף השאלות.

להסביר במילים שלכם¶

ענו בכמה משפטים על כל אחת. שום מספר לא יציל אתכם.

הסבירו למישהו שלא עשה דבר מכל זה מדוע המטוטלת הראשונה נעצרת, בהינתן שאין במודל שום חיכוך. היכן האנרגיה שלה באותו רגע, וכיצד אתם יודעים שהיא עומדת לחזור?
מדוע האופן הסימטרי מתנודד בדיוק בתדירות של מטוטלת בודדת לא מצומדת? ענו בלי אלגברה — תארו מה קפיץ הצימוד עושה.
חילופי האנרגיה בין שתי מטוטלות והנקישה שאתם שומעים בין שני מיתרי גיטרה מכוונים מעט לא נכון הם אותה תופעה. אמרו באיזה מובן, ואמרו מה ממלא את תפקיד “שני המיתרים” במקרה של המטוטלות.
מה הייתם צריכים למדוד כדי להכריע אם זוג נתון מצומד חלושות או חזק, ומדוע “קפיץ הצימוד מרגיש קשיח” אינה תשובה?

מתקדם: צימוד חלש, צימוד חזק, וההצטלבות שאינה¶

שני משטרים, מספר אחד. הפיצול $\Delta\omega$ הוא הדבר היחיד שמבדיל בין זוגות מצומדים, והשוואתו ל- $\wnat$ ממיינת אותם לשני עולמות. כאשר $\Delta\omega \ll \wnat$ — צימוד חלש — החילופין איטיים בהשוואה לתנודה עצמה, ולכן מטוטלת משלימה תנודות נקיות רבות בעוד משרעתה נודדת, וההעברה שלמה למעשה. כאשר $\Delta\omega$ מתקרב ל- $\wnat$ , שני האופנים שונים כל כך בתדירות ש"תנודה שמשרעתה משתנה לאט" מפסיקה להיות תיאור שימושי בכלל, וההעברה חלקית: ב- $k_c = k$ , 7.4% מהאנרגיה אינם עוזבים לעולם את המסה שבה התחילו.

אותה הבחנה מארגנת פיזיקה רבה תחת שמות אחרים. ב-52-quantum-optics אטום בתוך מהוד מצומד חלושות אם הוא מאבד את עירורו לפני שהוא מספיק להחזיר אותו, ומצומד חזק אם ההחלפה מנצחת — וקצב ההחלפה הוא הפיצול בין שני מצבים, בדיוק כמו כאן. המטוטלות הקלאסיות אינן אנלוגיה למצב ההוא; הן אותה מתמטיקה עם עצמים כבדים יותר.

כיוונון, וההצטלבות שאינה. שברו את הסימטריה. הקשיחו את קפיץ העיגון של המסה השנייה בלבד, $k \to k(1 + \delta)$ , וסרקו את $\delta$ דרך האפס. ללא צימוד שתי התדירויות היו מצטלבות בנקייה ב- $\delta = 0$ — אחת עולה, אחת שטוחה. עם צימוד, הן אינן מצטלבות. הן מתקרבות, פונות זו מזו, ונפרדות שוב, ובשום ערך של $\delta$ הן אינן שוות לעולם.

הפער צר ביותר בדיוק היכן שהתדירויות הלא-מצומדות היו נפגשות, וערכו המזערי נקבע על ידי הצימוד בלבד: ב- $k_c/k = 0.1$ ההתקרבות המרבית היא 0.38 rad/s ולעולם לא פחות, לא משנה כמה בקפידה מכווננים את $\delta$ . זוהי הצטלבות נמנעת, ומרגע שראיתם אחת תראו אותה בכל מקום — ברמות אנרגיה מולקולריות, במבנה הפסים של 54-photonic-crystals, ובזוג מהודים אופטיים המכווננים זה דרך זה ב-44-resonators. שני דברים מצומדים אינם יכולים להיעשות מנוונים רק על ידי כיוונון.

היכן המודל הליניארי נגמר. השעונים של הויגנס לא עשו את מה שהמטוטלות למעלה עושות. שני שעוניו התיישבו לנעילה קבועה באנטי-פאזה ונשארו שם, וזאת שום מערכת ליניארית משמרת אינה יכולה לעשות: תנועת המודול הזה מחזורית ותמיד חוזרת. שעונים אמיתיים מונעים במלכודים ומאבדים אנרגיה לחיכוך, וזוג מונע, מרוסן ומעט לא ליניארי יכול להתיישב על מצב מסונכרן יציב ולהישאר עליו. זה שייך לתורת המתנדים המצומדים המקיימים את עצמם, וזהו נושא שונה באמת — כדאי לדעת שהתצפית המפורסמת שבראש העמוד הזה אינה, בדיוק, התופעה שנגזרה למטה.