אופני תנודה עצמיים: הבסיס הנכון, שרשרת N המסות, והדרך אל הרצף - WaveLab

החידה: מדוע מיתר גיטרה משמיע צליל¶

פרטו על מיתר גיטרה ואתם שומעים צליל אחד. זה אמור להפתיע.

מיתר אינו מתנד אחד. הוא מספר עצום של מתנדים — חשבו עליו כעל שרשרת אטומים, שכל אחד קשור לשכניו, משהו כמו 10²³ מסות מצומדות. מודול 06 הראה מה קורה כשמצמדים שני מתנדים ומתחילים אותם באופן שרירותי: האנרגיה משתכשכת הלוך ושוב לנצח ולאף מסה אין תדירות יחידה. צמדו 10²³ כאלה, הזיזו אותם לצורה שרירותית כלשהי, ושחררו.

לפי אותו היגיון המיתר אמור להפיק בלגן. הוא אינו עושה זאת. הוא מפיק גובה צליל מוגדר, עם קבוצה מוגדרת של הרמוניות מעליו, והוא מחזיק בהם עד שהחיכוך נוטל את הצליל.

לנבא לפני שמחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת לפני שתריצו משהו.

שרשרת של 5 מסות בין שני קירות קבועים. כמה תדירויות שונות יש לה — פחות מ-5, בדיוק 5, יותר מ-5, או אינסוף?
אתם ממשיכים להוסיף מסות באותו מרווח, ומאריכים את השרשרת. האם התדירות הגבוהה ביותר במערכת גדלה ללא גבול?
אתם מושכים את המסה האמצעית הצידה כך שהשרשרת יוצרת משולש, ומשחררים. האם השרשרת נשארת בצורת משולש בזמן שהיא נעה, ומשתנה רק בקנה המידה?
שתי המטוטלות של מודול 06 החליפו את האנרגיה שלהן במלואה, הלוך ושוב. האם האופנים של שרשרת שפרטו עליה מחליפים אנרגיה זה עם זה באותו אופן?

לחקור את המודל¶

שלוש אנימציות, כולן נוצרו מאותו קוד wavelab.coupled שהמעבדה מריצה. השרשראות מצוירות לרוחב — מסות במרווח קבוע, מוזזות מעלה ומטה — בעוד המודול עצמו הוא קו חד-ממדי של מסות המחליקות לאורך הציר שלהן. אלה אותן משוואות, והתמונה הרוחבית היא זו שבה אופן נראה כפי שהוא.

חמשת האופנים של שרשרת בת חמש מסות, לפי סדר התדירות מלמעלה למטה. כל אחד שומר על צורה קבועה וחוזר על עצמו בקצב יחיד לנצח. ספרו את המקומות שבהם השרשרת עומדת דום: לאופן 1 אין אף אחד, לאופן 2 יש אחד, לאופן 5 יש ארבעה. כל נקודת דממה נוספת עולה בתדירות, והסדר אינו מופר לעולם. כל חמש הפאנלים רצים לאותו משך זמן, כך שמה שאתם רואים הוא באמת הקצבים השונים שלהם — העליון משלים מחזור וחצי בזמן שהתחתון משלים שישה.

הוספת מסות באורך כולל קבוע. משמאל: צורת האופן האיטי ביותר, מול חצי הסינוס החלק שהיה למיתר. בשתי מסות זהו אוהל, שגוי ב-4.5% בתדירות; בחמישים הוא שגוי ב-1.6 חלקי 10⁴ ואי אפשר להבחין בין שתי העקומות. מימין: כל שרשרת מטילה את אופניה כנקודות על עקומת הנפיצה, וככל ש- $N$ גדל הן נדחסות עד שהן משרטטות את הסינוס שעליו ישבו מלכתחילה. העקומה אינה תלויה ב- $N$ כלל. רק אילו נקודות שלה מותרות לשרשרת נתונה — כן.

שרשרת בת עשרים מסות, שפרטו עליה באמצע ושוחררה. פאנל אמצעי: האנרגיה השייכת לכל מסה, עם קווים מקווקווים בערכי הפתיחה. היא עוזבת אותם תוך פריים או שניים ולעולם אינה מתייצבת. פאנל ימני: האנרגיה השייכת לכל אופן, עם אותם קווים מקווקווים. הפסים האלה אינם זזים כלל, לאורך כל הריצה — כולל תשעה-עשר שנמוכים מכדי להיראות, שמחזיקים באנרגיה שלהם עד כדי חלק אחד ל-10⁷ מן הסך הכול. שני הפאנלים הם אותו מסלול, שנקרא בשתי דרכים.

מפרט המודל

המערכת: $N$ מסות נקודתיות שוות $m$ בטור, מחוברות בקפיצים זהים בקשיחות $k_s$ ולא בשום דבר אחר, כשהקצוות מקובעים לקירות קשיחים כברירת מחדל; קצוות חופשיים וטבעת מחזורית זמינים כווריאנטים, והפותר עצמו מקבל כל מטריצות מסה וקשיחות סימטריות. נצפים: הזזות, מהירויות, תדירויות וצורות אופנים, והאנרגיה המיוחסת לכל מסה או לכל אופן.
הדינמיקה: $M\ddot{\mathbf{x}} + K\mathbf{x} = 0$ , נפתרת בדיוק על ידי פירוק לאופנים — הטלה על האופנים, קידום כל אחד כמתנד בלתי תלוי של מודול 01, וסכימה מחדש — ובנפרד אינטגרציה בשיטת ורלה-מהירות כבדיקה צולבת שאינה יודעת דבר על אופנים.
תנאי השפה: קירות שאינם זזים לעולם ואינם בולעים דבר. שרשרת חופשית או מחזורית נושאת במקום זאת אופן בתדירות אפס — המערכת כולה נעתקת — וזו פיזיקה ולא כשל נומרי.
האנסמבל: מסלול דטרמיניסטי יחיד לכל בחירה של תנאי התחלה; רעש מדידה, היכן שהוא מתווסף, הוא גאוסי, בלתי תלוי ובעל זרע קבוע.
מה מוזנח: ריסון, הנעה, מסת הקפיצים, אי-ליניאריות, היענות הקירות, וההבחנה בין תנועה רוחבית לאורכית — קיטוב אחד, ממד אחד.
תקף כאשר: הקפיצים ליניאריים וההזזות קטנות; $M$ סימטרית ומוגדרת חיובית ו- $K$ סימטרית ומוגדרת אי-שלילית; וטענות על הרצף נטענות רק לאופנים שעבורם $p \ll N$ .
אופני כשל: מטריצות שאינן סימטריות; נוסחאות רצף שמופעלות ליד קצה הסרט, שם הן שגויות בעשרות אחוזים ולא במעט; משרעות גדולות מספיק כדי שאי-ליניאריות תשפיע, ואז האופנים חדלים להיות בלתי תלויים וכל המבנה קורס בבת אחת.

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו. ארבעה דברים שכדאי לעשות לפני שתמשיכו לקרוא:

פתרו את הזוג של מודול 06 עם המכונה הכללית ובדקו מול התשובה שקיבלתם מדטרמיננטה. ההתאמה אמורה להיות עד הסיבית האחרונה.
הביטו בחמשת האופנים של שרשרת בת חמש מסות וספרו נקודות דממה לפני שאתם מביטים בתדירויות.
פרטו על שרשרת בת עשרים מסות וצפו בשתי קבוצות פסי האנרגיה. אחת מהן זזה.
העלו את $N$ מ-2 ל-100 וצפו בתדירות הנמוכה ביותר מפסיקה להשתנות.

לגזור את התוצאה¶

בעיית הערכים העצמיים, ומדוע תמיד יש לה פתרון¶

מודול 06 הניח תנועה בתדירות יחידה, $\mathbf{x} = \mathbf{a}\cos\omega t$ , ומצא שהיא מחייבת

K\mathbf{a} = \omega^2 M \mathbf{a} .

(1)

לשתי מסות זו משוואה ריבועית ופותרים אותה בעט. לעשרים זהו פולינום ממעלה 20, ואת אלה אף אחד לא פותר. מה שמציל את המצב הוא שאיננו צריכים: מבנה הבעיה מבטיח שהתשובה קיימת ושיש לה בדיוק את התכונות שהפיזיקה דורשת.

משפט הפירוק הספקטרלי למערכת מכנית

אם $M$ סימטרית ומוגדרת חיובית ו- $K$ סימטרית ומוגדרת אי-שלילית — וזה מה ש"המסות חיוביות" ו"האנרגיה הפוטנציאלית מינימלית במנוחה" אומרים כשכותבים אותם כמטריצות — אז ל- $K\mathbf{a} = \omega^2 M\mathbf{a}$ יש בדיוק $N$ פתרונות. כל $\omega_p^2$ ממשי ואי-שלילי, ולכן כל תדירות ממשית. אפשר לבחור את הצורות אורתונורמליות ביחס ל- $M$ ,

\mathbf{a}_p^{\mathsf T} M \mathbf{a}_q = \delta_{pq},

(2)

והן פורשות הכול: כל תנועה של המערכת היא סכום שלהן.

תדירויות ממשיות אינן פרט טכני. $\omega$ מרוכב היה אומר תנועה שגדלה מעריכית ממערכת שאין בה מקור אנרגיה, ומה שפוסל זאת היא הסימטריה של $K$ — שנובעת מכך שהקפיצים אוגרים אנרגיה פוטנציאלית ולא עושים משהו מוזר יותר.

הדרך אל ההוכחה היא גם הדרך אל החישוב. מכיוון ש- $M$ מוגדרת חיובית יש לה פירוק כולסקי $M = LL^{\mathsf T}$ . הציבו $\mathbf{a} = L^{-\mathsf T}\mathbf{b}$ :

K L^{-\mathsf T}\mathbf{b} = \omega^2 L L^{\mathsf T} L^{-\mathsf T}\mathbf{b} \qquad\Longrightarrow\qquad \left(L^{-1} K L^{-\mathsf T}\right)\mathbf{b} = \omega^2 \mathbf{b} .

(3)

המטריצה בסוגריים סימטרית, מפני ש- $K$ סימטרית. כך שהבעיה המוכללת הפכה לבעיית ערכים עצמיים רגילה למטריצה סימטרית — שהוא המקרה היחיד שבו כל זה מובטח, והמקרה שעבורו נכתבות שגרות ספרייה מהירות. זו הסיבה ש-normal_mode_solve קורא ל-numpy.linalg.eigh, השגרה למטריצות סימטריות, ולא ל-eig הכללי: eig היה מחזיר מספרים מרוכבים עם חלקים מדומים זעירים ומשאיר לכם להחליט אם יש להם משמעות.

עבור $2\times 2$ אפשר לבדוק את כל המשפט ביד — זו הדטרמיננטה של מודול 06. מעבר לכך אנחנו מאמתים במקום להוכיח, והאימות אמיתי: הפותר מסכים עם הצורה הסגורה של השרשרת עד $3.5\times 10^{-15}$ ב- $N = 100$ .

קידום מודאלי: N בעיות בלתי תלויות של מודול 01¶

ברגע שהצורות בידינו, תנועה שרירותית אינה עולה דבר נוסף. כתבו את המצב כצירוף שלהן, $\mathbf{x}(t) = \sum_p \mathbf{a}_p\, q_p(t)$ . האורתונורמליות ביחס ל- $M$ שולפת את המקדמים:

q_p(0) = \mathbf{a}_p^{\mathsf T} M \mathbf{x}(0), \qquad \dot q_p(0) = \mathbf{a}_p^{\mathsf T} M \dot{\mathbf{x}}(0) .

(4)

שימו לב שההטלה נושאת את $M$ איתה. זהו הפיתוח של מודול 03 בבסיס אורתוגונלי, ב- $N$ ממדים במקום באינסוף, כשמטריצת המסה מספקת את המכפלה הפנימית — והסיבה שהמכפלה הפנימית חייבת להיות זו היא שהיא זו שבה האנרגיה הקינטית היא סכום ריבועים פשוט.

כל $q_p$ מקיים אז $\ddot q_p + \omega_p^2 q_p = 0$ : מתנד של מודול 01, לבדו. ולכן

x_j(t) = \sum_{p=1}^{N} a_p(j) \left[\, q_p(0)\cos\omega_p t + \frac{\dot q_p(0)}{\omega_p}\sin\omega_p t \,\right] .

(5)

זו התשובה למשפט השני של החידה. יש נקודת מבט שבה מאה משוואות מצומדות הן מאה בלתי תלויות, והחלפת הקואורדינטות שמגיעה אליה היא ההטלה שלמעלה. שום דבר אינו מקורב ושום דבר אינו מצטבר: המצב אחרי מיליון שניות עולה בדיוק כמו המצב אחרי שנייה אחת.

אופן אפס הוא המקרה היחיד שדורש זהירות. אם $\omega_p = 0$ נוסחת הקוסינוס מחלקת באפס; קחו את הגבול והאופן נסחף ליניארית, $q_p(0) + \dot q_p(0)\,t$ — שרשרת חופשית מחליקה במהירות קבועה, וזו שימור התנע לבוש כערך עצמי.

השרשרת, פתורה¶

עכשיו נתמקד. $N$ מסות שוות, קפיצים זהים $k_s$ , קירות בשני הקצוות. מסה $j$ נמשכת על ידי שתי שכנותיה ולא על ידי דבר אחר:

m\ddot x_j = k_s\left(x_{j+1} - x_j\right) - k_s\left(x_j - x_{j-1}\right) = k_s\left(x_{j+1} - 2x_j + x_{j-1}\right),

(6)

כאשר $x_0 = x_{N+1} = 0$ מייצגים את הקירות. בצורה מטריצית $K$ היא תלת-אלכסונית: $2k_s$ לאורך האלכסון, $-k_s$ לידו, אפס בכל מקום אחר. מסה מרגישה רק את מה שהיא קשורה אליו, ורוחב הרצועה ב- $K$ הוא טווח האינטראקציה.

החזיקו בצירוף $x_{j+1} - 2x_j + x_{j-1}$ . זהו הפרש שני, ושם המודול הזה מסתיים.

הצבת תנועה בתדירות יחידה $x_j = a(j)\cos\omega t$ נותנת את הנסיגה

-m\omega^2 a(j) = k_s\left[\,a(j+1) - 2a(j) + a(j-1)\,\right] .

(7)

נסו $a_p(j) = \sin\!\left(\dfrac{p\pi j}{N+1}\right)$ . תנאי הקצה מתקיימים בחינם: $\sin 0 = 0$ ב- $j = 0$ , ו- $\sin(p\pi) = 0$ ב- $j = N+1$ , לכל $p$ שלם. בפנים, נוסחת חיבור הזוויות של הסינוס מכווצת את הסוגריים לכפולה של $a_p(j)$ עצמו,

a_p(j+1) + a_p(j-1) = 2\cos\!\left(\frac{p\pi}{N+1}\right) a_p(j),

(8)

כך שהנסיגה מתקיימת לכל $j$ בבת אחת, עם

m\omega^2 = 2k_s\left[1 - \cos\!\left(\frac{p\pi}{N+1}\right)\right] = 4k_s\sin^2\!\left(\frac{p\pi}{2(N+1)}\right) .

(9)

\boxed{\; \omega_p = 2\sqrt{\frac{k_s}{m}}\; \sin\!\left(\frac{p\pi}{2(N+1)}\right), \qquad a_p(j) \propto \sin\!\left(\frac{p\pi j}{N+1}\right), \qquad p = 1, \dots, N .\;}

(10)

שלוש תשובות נופלות מכאן מיד. יש בדיוק $N$ אופנים שונים, מפני ש- $p$ ו- $p + 2(N+1)$ נותנים אותן הזזות בכל מסה ו- $p = N+1$ נותן אפס בכל מקום — ניבוי 1, והמניין הוא מספר המסות, ולא צירוף מקרים. הצורות הן גלי סינוס שנדגמו במסות, כך שלאופן $p$ יש $p-1$ נקודות דממה פנימיות והסדר לפי נקודות דממה והסדר לפי תדירות הם אותו סדר. והתדירויות חסומות: הסינוס אינו יכול לעלות על אחד, ולכן

\omega_{\max} < 2\sqrt{k_s/m}

(11)

לשרשרת בכל אורך שהוא — ניבוי 2, והתשובה היא לא.

יחס הנפיצה¶

צורת הסינוס הדגום מזמינה כתיבה מחדש. הציבו את המסות במקומות $x = ja$ במרווח $a$ , וכתבו את האופן כגל מתקדם שמוערך במקומות האלה,

x_j \propto \Real\!\left[e^{\ii(kja - \omega t)}\right], \qquad k_p = \frac{p\pi}{(N+1)a} .

(12)

הנסיגה מתקיימת אז כאשר

\boxed{\;\omega(k) = 2\sqrt{\frac{k_s}{m}}\;\left|\sin\!\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\;}

(13)

וזו אותה נוסחה כמו קודם כשמשנים את שם $p\pi/(N+1)$ ל- $ka$ . שינוי השם הוא כל העניין. $\omega_p$ היא טענה על שרשרת אחת באורך אחד; $\omega(k)$ היא טענה על התווך, וכל שרשרת עשויה מהמסות האלה ומהקפיצים האלה מקיימת אותה יהיה אורכה אשר יהיה. שרשראות של 5, 20 ו-100 מסות מניחות את התדירויות שלהן על העקומה הזו עד כדי חלק אחד ל-10¹⁶; מה שנבדל הוא רק אילו נקודות שלה מותרות להן.

זהו יחס נפיצה, הראשון מרבים. שתי תכונות שלו יחזרו בכל אחד מן הבאים אחריו.

$ka$ קטן: ישר, ולכן גל. עבור $ka \ll 1$ הסינוס שווה לארגומנט שלו ולכן

\omega \approx \left(a\sqrt{k_s/m}\right) k = c\,k .

(14)

תדירות ביחס ישר למספר גל פירושה שכל גל ארוך נע באותה מהירות $c$ , ולכן פולס הבנוי מהם שומר על צורתו בדרכו. זה מה שנדרש כדי להיות גל במובן הרגיל, וזו הסיבה שגלים ארוכים על שרשרת מתנהגים כמו גלים על מיתר.

$ka$ גדול: שטוח, ולכן תקרה. כאשר $k \to \pi/a$ העקומה מתיישרת על $2\sqrt{k_s/m}$ . בקצה הסרט, מסות שכנות נעות בפאזה הפוכה בדיוק — הדבר האלים ביותר ששרשרת קפיצים מסוגלת לו — ואין דבר מהיר יותר. זהו קטעון, והוא קיים רק מפני שהתווך עשוי מחלקים בדידים. למיתר רציף אין גבול כזה, וההבדל ניתן למדידה.

מעבר ל- $k = \pi/a$ לא קורה שום דבר חדש: $k$ ו- $k + 2\pi/a$ מזיזים את המסות באופן זהה, ולכן השרשרת אינה יכולה להבחין ביניהם והנוסחה פשוט חוזרת על עצמה. טור של דוגמים בדידים אינו יכול להבחין בין גל קצר לגל ארוך — וזה שיערוך, שמגיע לכאן קורס אחד לפני שמשפט הדגימה של מודול 04 יזדקק לו שוב.

גבול הרצף, והיכן הוא מפסיק לעבוד¶

החזיקו את האורך הכולל $L = (N+1)a$ קבוע ותנו ל- $N$ לגדול. מספרי הגל $k_p = p\pi/L$ אז אינם זזים כלל, והאופנים הנמוכים מתיישבים על

\omega_p \;\longrightarrow\; \omega_p^{\infty} = \frac{p\pi c}{L},

(15)

במרווחים שווים, ביחס ישר מדויק ל- $p$ . זה מה שכלי נגינה דורש: תדירות יסוד עם הרמוניות בכפולות שלמות שלה, וזה מה שהאוזן שומעת כגובה צליל אחד ולא כאקורד.

כמה מהר, וכמה רחוק? פתחו את הסינוס. עם $x = p\pi/(2(N+1))$ ו- $\sin x \approx x - x^3/6$ ,

\frac{\omega_p}{\omega_p^{\infty}} = \frac{\sin x}{x} \approx 1 - \frac{x^2}{6} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{\omega_p^{\infty} - \omega_p}{\omega_p^{\infty}} \approx \frac{(p\pi)^2}{24\,(N+1)^2} .

(16)

שרשרת היא מיתר, עבור האופנים שבתחתית

השגיאה היחסית יורדת כ- $1/N^2$ וגדלה כ- $p^2$ . שני החצאים חשובים, והשני הוא זה שנשכח בדרך כלל: מגיעים אל הרצף מתחתית הסרט כלפי מעלה. ב- $N = 100$ האופן הנמוך ביותר מדויק עד $4\times 10^{-5}$ , השישה-עשר עד $1\times 10^{-2}$ — פי 250 גרוע יותר עבור פי 16 במספר האופן — והאופן הגבוה ביותר מכולם יושב 36% מתחת לתדירות המיתר שאליה הוא כביכול מתקרב, ונשאר שם יהיה $N$ גדול כאשר יהיה.

לכן “ $N$ מסות בדידות מייצגות מיתר רציף” היא טענה עם תחום מוצהר, $p \ll N$ , ולא טענה על המערכת כולה. ליד קצה הסרט הבדידוּת היא כל הסיפור, וזה בדיוק המשטר ש-54-photonic-crystals בנוי עליו.

שימו לב במה השגיאה אינה תלויה. היחס $\sin x / x$ אינו נושא מסה ואינו נושא קשיחות: שרשרת מכל חומר מתכנסת באותו קצב, וזה הסימן שהטענה עוסקת בבדידוּת ולא בקפיצים.

היכן המודול הזה עוצר¶

חזרו אל ההפרש השני. עם המסות במרווח $a$ , כתבו $\mu = m/a$ לצפיפות המסה האורכית ו- $T = k_s a$ למתיחות, ומשוואת התנועה של מסה $j$ קוראת

\mu\,\ddot x_j = T\,\frac{x_{j+1} - 2x_j + x_{j-1}}{a^2} .

(17)

השבר מימין הוא הקירוב הסטנדרטי בהפרשים סופיים לנגזרת שנייה. תנו ל- $a \to 0$ בעוד $\mu$ ו- $T$ קבועים, והוא הופך לנגזרת:

\mu\,\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = T\,\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} .

(18)

זו משוואת הגלים, והמודול הזה עוצר כאן — בנקודה שבה הצעד גלוי ועדיין לא נעשה. מודול 08 עושה אותו, ומתחיל בגילוי מחדש של $c = \sqrt{T/\mu} = a\sqrt{k_s/m}$ , שאותו כבר מדדתם.

לאמת חישובית¶

כל בדיקה למטה היא גם מבחן בערכת המבחנים של הפרויקט, כך שהטענות האלה אינן יכולות להירקב בשקט.

1. הצורה הסגורה, מול הפותר הכללי. ל-normal_mode_solve נמסרות מטריצות השרשרת והוא אינו יודע דבר על סינוסים; chain_mode_frequencies מעריך את הנוסחה שלמעלה ואינו יודע דבר על מטריצות. הם מסכימים עד $3.5\times10^{-15}$ יחסית ב- $N = 100$ , ובכל גודל ממסה אחת ומעלה. המסה הקבועה היחידה נכללת בכוונה: יש עליה שני קפיצים, ולכן היא רצה ב- $\sqrt{2k_s/m}$ , ובונה שרשראות שכותב $2k_s$ לאורך האלכסון בלי להבין מדוע יצליח בכל גודל אחר וייכשל דווקא בזה.

צורות האופנים מסכימות עד כדי סימן. וקטורים עצמיים מוגדרים רק עד כדי סימן, וצורת אופן הפוכה היא אותה תנועה ששוחררה חצי מחזור מאוחר יותר.

2. הניסוי המפריך. שרשרת בת עשרים מסות מותנעת ומקודמת בשיטת ורלה-מהירות, שאין לה מושג של אופן; אנרגיות האופנים מחושבות אחר כך בהטלה. המעבדה מתניעה אותה בפריטה; ערכת המבחנים מתניעה אותה ממצב אקראי בעל זרע קבוע, כדי שכל אופן יישא אנרגיה כלשהי וטענה על כל אופן בנפרד תהיה בעלת משמעות.

מה האופנים עושים בזמן שהמסות משתכשכות

כל אחת מעשרים אנרגיות האופנים קבועה עד $2.5\times 10^{-4}$ מערכה שלה — והשארית הזו היא של האינטגרטור, ויורדת פי ארבעה כשמחצים את הצעד, ולא של הפיזיקה. לאורך אותו מסלול, חלקה של מסה בודדת באנרגיה מיטלטל על פני שליש מן הסך הכול.

הריצו פי ארבעה יותר זמן והחסם המודאלי אינו גדל. זו הערובה של האינטגרטור הסימפלקטי, ובדיקתה היא מה שמבדיל בין “האופנים אינם מחליפים” לבין “החילוף איטי מכדי להיראות עדיין”.

הגרסה שפורטו עליה נותנת את אותו פסק דין עם מספרים אחרים — אנרגיות אופנים יציבות עד 10^-6 מן הסך הכול מול חלק אתר שמיטלטל ב-17% — ועובדה נוספת אחת. פריטה סימטרית אורתוגונלית לכל אופן זוגי, ולכן שנים-עשר מתוך העשרים מחזיקים בדיוק אפס. אפס נשאר אפס, אבל לשאול כמה נסחף אופן שמחזיק 10^-31 מן האנרגיה ביחס לעצמו מחזיר מספר גדול וחסר משמעות, וזו הסיבה שהטענה לכל אופן בנפרד שלמעלה נטענת על מצב שמעורר את הכול.

המטוטלות של מודול 06 אכן החליפו אנרגיה במלואה — בין אתרים. בין אופנים לא הוחלף דבר, לא אז ולא עכשיו.

3. קידום מודאלי מול אינטגרציה. evolve בונה את התנועה מהפתרון העצמי ואינו מקדם דבר; simulate_coupled מקדם ואינו מלכסן דבר. בהתנעה ממצבים אקראיים בעלי זרע קבוע על שרשרת בת שתים-עשרה מסות, הם מסכימים עד $1.7\times 10^{-4}$ מהמשרעת לאורך שלושה מחזורים של האופן האיטי ביותר — והפער הזה הוא שגיאת האינטגרטור, שכן ל-evolve אין שגיאה שתצטבר. ב- $t = 0$ המסע הלוך ושוב דרך האופנים מדויק עד 10^-14.

4. ניסוי ההתכנסות. תדירויות האופנים הנמוכים של השרשרת מושוות ל-chain_continuum_frequencies על פני $N = 10$ עד 160 והשגיאה מותאמת בצירים לוגריתמיים.

בנפרד, גידול השגיאה עם מספר האופן מותאם ב- $N = 100$ : מעריך 1.999 מול $p^2$ החזוי.

5. קריסת הנפיצה. שרשראות של 5, 20 ו-100 מסות נוחתות על $\omega(k) = 2\sqrt{k_s/m}\,|\sin(ka/2)|$ עד 10^-16. השיפוע ב- $k$ קטן נופל מ- $c = a\sqrt{k_s/m}$ בדיוק ב- $(\pi/(N+1))^2/24$ — 1.1% ב- $N = 5$ , $4\times 10^{-5}$ ב- $N = 100$ — וזה אותו פיתוח שגבול הרצף רץ עליו, שמופיע במדידה שנייה.

6. קצוות חופשיים וטבעות. הסירו את הקירות ותדירות אחת צונחת לאפס, עם צורה אחידה: השרשרת נעתקת. ערכה המחושב הוא $8.5\times 10^{-8}$ ב- $N=5$ ובדיוק 0 ב- $N=20$ , וזו הסיבה שאופן אפס נבדק תמיד מול סבילות ולעולם לא מול שוויון — שורש ריבועי הופך שגיאת עיגול של ערך עצמי לשגיאה יחסית גדולה בהרבה. חברו את הקצוות לטבעת והאופנים שמעל האפס מגיעים בזוגות שווים בדיוק.

להעביר את הרעיון¶

אופנים מכניים, אופנים אופטיים

זהו המוטיב שכדאי לשאת הלאה. תהודן לייזר הוא שתי מראות עם אור ביניהן, והאור יכול לקיים רק את אותן תבניות שדה שמתאימות למראות — קבוצה בדידה, לכל אחת תדירות משלה, כל אחת שומרת על צורתה. סיב אופטי תומך בקבוצה בדידה של אופנים מונחים ובלא אחרים. בשני המקרים המתמטיקה היא של המודול הזה: מערכת ליניארית עם תנאי שפה, בעיית ערכים עצמיים, קבוצה בת מנייה של צורות שמתמידות, ועירור שרירותי שנכתב כסכום עליהן.

השרשרת היא הגרסה שאפשר לצפות בה. 44-resonators עוסק באופני תהודן, 46-waveguides באופנים מונחים, ואף אחד מהם אינו מציג רעיון שאינו בעמוד הזה.

משוואת הגלים. מודול 08 מתחיל היכן שהגזירה שלמעלה עוצרת, כשההפרש השני הופך לנגזרת שנייה. הכול מחלק III ואילך הוא תווך רציף, וזו הפעם האחרונה שאפשר לספור את החלקים.
גלים עומדים. 11-standing-waves מוצא את צורות המיתר כבעיית ערך שפה ומקבל $\sin(p\pi x/L)$ — הגבול $N \to \infty$ של $a_p(j)$ שבעמוד הזה, עם אותו $p$ שלם שסופר את אותן נקודות דממה.
נפיצה באופן כללי. 13-dispersion לוקח את $\omega(k)$ כנושא בפני עצמו, שם יחס מעוקל פירושו שפולס מתפשט בדרכו. סינוס הסריג הוא דוגמת הייחוס שלו, ואתם כבר שרטטתם אותו.
פונונים. אופני השרשרת, כשאנרגיותיהם מקוונטות ביחידות של $\hbar\omega_p$ , הם מה שקורס במצב מוצק מכנה פונונים, וה- $\omega(k)$ הזה הוא סרט פונונים חד-ממדי אמיתי. קיבול חום, מוליכות תרמית ומהירות הקול בגביש נקראים כולם מעקומות בצורה הזו.
מכניקת הקוונטים. החלק המתקדם של 01-sho רמז על “ליכסון ההמילטוניאן”. זו הפעולה הזו, בהקשר שבו אפשר לראות מה משמעותה: גדלים מצומדים, בעיית ערכים עצמיים, ובסיס שבו הכול בלתי תלוי.

יחס נפיצה

יחס נפיצה הוא הפונקציה $\omega(k)$ שנותנת את תדירות התנודה של גל בעל מספר גל $k$ בתווך נתון. זו תכונה של התווך, ולא של מערכת מסוימת הבנויה ממנו: תנאי השפה מחליטים אילו $k$ מותרים, והיחס מחליט איזו תדירות כל אחד מהם נושא.

היכן ש- $\omega(k)$ הוא קו ישר דרך הראשית, כל אורכי הגל נעים באותה מהירות $\omega/k$ ופולס שומר על צורתו — התווך חסר נפיצה. היכן שהקו מתעקל, הם אינם והוא אינו. השרשרת חסרת נפיצה עבור $ka \ll 1$ ובעלת נפיצה חזקה כאשר $k$ מתקרב לקצה הסרט $\pi/a$ , שם $\omega(k)$ מתיישר על תדר הקטעון $2\sqrt{k_s/m}$ והשרשרת אינה יכולה לשאת דבר מהיר יותר.

בדקו את הבנתכם¶

שרשרת של 12 מסות שוות מוחזקת בין שני קירות קבועים על ידי 13 קפיצים זהים. כמה תדירויות שונות של אופני תנודה יש לה?
A. שתים-עשרה — אחת לכל מסה. B. שלוש-עשרה — אחת לכל קפיץ. C. אינסוף, שהרי אפשר להתניע את השרשרת באינסוף דרכים. D. שש — האופנים מגיעים בזוגות שווי-תדירות.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — שתים-עשרה — אחת לכל מסה.
- A. נכון, והספירה כפויה ולא נצפית. לכל מסה יש דרגת חופש אחת, האופנים מהווים בסיס לכל התנועות האפשריות, ולבסיס של מרחב 12-ממדי יש 12 איברים. הצורה הסגורה אומרת את אותו דבר: p רץ מ-1 עד N, ו-p = N + 1 נותן sin(pi j) = 0 בכל מסה, כלומר אין תנועה כלל.
- B. הקפיצים קובעים את הקשיחות, לא את מספר האופנים. מה שיכול לזוז הוא המסות, ולמערכת עם 12 דברים שיכולים לזוז יש 12 דרכים בלתי תלויות לזוז. הוסיפו קפיץ בלי להוסיף מסה — הקשיחו את הקירות, נניח — והתדירויות ישתנו בעוד המניין יישאר.
- C. אינסוף התנעות, נכון — וכל אחת מהן היא סכום של אותם 12 אופנים. זה בדיוק מה שהופך את האופנים לשווים את מציאתם: קבוצה אינסופית של תנועות המתוארת ב-12 מספרים ו-12 תדירויות.
- D. זוגות מנוונים הם דבר אמיתי, אבל הם זקוקים לסימטריה שתייצר אותם, ולשרשרת בין שני קירות אין סימטריה מן הסוג הנכון. חברו את הקצוות לטבעת והאופנים שמעל אופן האפס אכן מזדווגים, מפני שגל שרץ בכיוון אחד סביב הטבעת עולה כמו אותו גל שרץ בכיוון השני.
לשרשרת עם קצוות קבועים יש N = 4 מסות של m = 0.5 kg המחוברות בקפיצים של k_s = 8.0 N/m. מהי התדירות של האופן השני שלה, omega_2, ברדיאן לשנייה?
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 4.702 (± 0.05)
omega_p = 2 sqrt(k_s/m) sin(p pi / (2(N+1))). כאן 2 sqrt(8.0/0.5) = 8.0 rad/s, ועבור p = 2, N = 4 מתקבל sin(2 pi / 10) = sin(36 מעלות) = 0.5878, ולכן omega_2 = 4.702 rad/s. שתי בדיקות שכדאי לעשות: היא מתחת לתקרה 2 sqrt(k_s/m) = 8.0 rad/s, כפי שחייב להיות לכל אופן של כל שרשרת; והיא קטנה מפי שניים omega_1 = 2.472, מפני שהסינוס מתעקל מתחת למשיק שלו וההרמוניות של שרשרת קצרה שטוחות בהשוואה לאלה של מיתר.
יחס הנפיצה של שרשרת הוא omega(k) = 2 sqrt(k_s/m) |sin(k a / 2)|, כאשר a הוא המרווח. איזו טענה עליו נכונה?
A. העקומה ישרה ליד k = 0 בשיפוע a sqrt(k_s/m), ומתיישרת בקצה הסרט k = pi/a, כך ששום תנודה של השרשרת אינה עולה על 2 sqrt(k_s/m). B. התדירות העליונה גדלה ללא גבול כשמוסיפים מסות, שהרי בשרשרת ארוכה יותר נדחסים יותר אופנים. C. היחס תלוי במספר המסות, ולכן לשרשרת בת 5 ולשרשרת בת 100 יש עקומות נפיצה שונות. D. מעבר לקצה הסרט התדירות ממשיכה לטפס, ולכן גלים קצרים מספיק מתנדנדים מהר כרצוננו.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — העקומה ישרה ליד k = 0 בשיפוע a sqrt(k_s/m), ומתיישרת בקצה הסרט k = pi/a, כך ששום תנודה של השרשרת אינה עולה על 2 sqrt(k_s/m).
- A. שני החצאים נכונים. ישרה ליד הראשית פירושה שכל גל ארוך נע באותה מהירות, ולכן פולס הבנוי מהם שומר על צורתו — זה המשטר שבו השרשרת מתנהגת כמו מיתר. שטוחה בקצה הסרט פירושה שמסות שכנות נמצאות בפאזה הפוכה בדיוק, וזו התנועה האלימה ביותר ששרשרת קפיצים מסוגלת לה, ואין דבר מהיר יותר להשיג.
- B. הוספת מסות מוסיפה אופנים, אבל היא מוסיפה אותם מתחת לתקרה, ודוחסת את אותה קשת בצפיפות רבה יותר. הסינוס אינו יכול לעלות על אחד, ולכן 2 sqrt(k_s/m) חוסם כל שרשרת בכל אורך. העלאת התקרה דורשת קפיצים קשיחים יותר או מסות קלות יותר — תווך אחר, ולא עוד מאותו אחד.
- C. יש להן אותה עקומה עד כדי חלק אחד ל-10^16, וזו הסיבה שכדאי לתת לה שם. יחס נפיצה הוא תכונה של התווך; אורכה של שרשרת מסוימת מחליט רק אילו נקודות של העקומה מותרות, k_p = p pi / L.
- D. אין מעבר לקצה הסרט שום דבר לטפס אליו. מספרי הגל k ו-k + 2 pi/a מזיזים את המסות באופן זהה, ולכן השרשרת אינה יכולה להבחין ביניהם והנוסחה חוזרת על עצמה. זהו שיערוך: טור של דוגמים בדידים אינו יכול להבחין בין גל קצר לגל ארוך.
שרשרת של 20 מסות נמשכת למשולש ומשוחררת, בלי שום ריסון במודל. אתם מחשבים את האנרגיה בכל אופן תנודה וצופים בה במשך מאות מחזורי תנודה. מה עושות אנרגיות האופנים?
A. כל אחת נשארת קבועה בדיוק, בעוד האנרגיה של כל מסה בודדת משתנה ברציפות. B. הן משתוות לאט ככל שהשרשרת מצלצלת, עד שכל עשרים האופנים מחזיקים אותה אנרגיה. C. הן מתנדנדות בפאזה הפוכה, בדיוק כמו שתי המטוטלות של מודול 06. D. הן דועכות יחד, שהרי שרשרת שפרטו עליה נעצרת בסופו של דבר.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — כל אחת נשארת קבועה בדיוק, בעוד האנרגיה של כל מסה בודדת משתנה ברציפות.
- A. נכון, וזו ההגדרה של אופן תנודה שעושה את עבודתו. כל קואורדינטה מודאלית מקיימת משוואת מתנד בלתי תלויה משלה בלי שום התייחסות לאחרות, ולכן אין לאנרגיה שלה עם מי להחליף. כשמודדים זאת על אינטגרטור שמעולם לא שמע על אופן, עשרים אנרגיות האופנים מחזיקות עד 2.5e-4 מערכיהן — והשארית הזו היא של האינטגרטור, ויורדת פי ארבעה כשמחצים את הצעד.
- B. זו האינטואיציה שיש לוותר עליה, ומודול 06 הוא מה ששותל אותה. שתי המטוטלות אכן החליפו את האנרגיה שלהן במלואה — אבל בין אתרים, בין שני העצמים שיכולתם לראות. בין אופנים לא הוחלף דבר גם אז: האופן הסימטרי והאנטי-סימטרי החזיקו כל אחד באנרגיה שלו כל הזמן. השתוות הייתה דורשת צימוד בין אופנים, ובמערכת ליניארית אין כזה. הוסיפו קפיץ אי-ליניארי והסיפור משתנה, וזה הניסוי של פרמי, פסטה, אולם וצינגו.
- C. הפעימה בפאזה הפוכה במודול 06 הייתה של אנרגיות שתי המסות, לא של שני האופנים. קראו את אותו מסלול עצמו בתמונת האופנים ותקבלו שני קווים ישרים. שווה להריץ מחדש: תנועה אחת, שתי תמונות, ורק באחת מהן משהו זז.
- D. מיתר אמיתי אכן נעצר, ולמודל הזה אין שום מנגנון לכך — שום איבר ריסון אינו מופיע ב-M x’’ + K x = 0. האנרגיה הכוללת נשמרת עד לדיוק האינטגרטור לכל אורך הדרך. דעיכה היא אפקט פיזיקלי נפרד שמודול 02 מוסיף בכוונה, והוספתו הרשלנית למערכת מצומדת הורסת גם את אי-התלות בין האופנים.
האופן הנמוך ביותר של שרשרת בת N = 10 מסות יושב 0.34% מתחת לתדירות המיתר שאליה הוא מתקרב. בהחזקת האורך הכולל קבוע, מהי בקירוב אותה שגיאה יחסית ב-N = 100, באחוזים?
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 0.004 (± 0.0012)
השגיאה יורדת כ-1/(N+1)^2, ולכן פי עשרה מסות נותנות בערך פי מאה פחות שגיאה: 0.34% הופך לכ-0.0034%. אם מדייקים, היחס הוא (11/101)^2 = 1/84, ומכאן 0.0040% — והערך הנמדד הוא 0.0040%. כל אחד מן האומדנים מקובל; מה שחשוב הוא לזהות חוק מסדר שני ולא ליניארי. אותו פיתוח נושא גם p^2, ולכן אופן 16 של אותה שרשרת בת 100 גרוע פי 250 מאופן 1, והאופן העליון מכולם אינו מתכנס כלל.
סטודנט מוסר לכם את מטריצות המסה והקשיחות M ו-K של מערכת מצומדת כלשהי ושואל כיצד למצוא את אופני התנודה שלה. רשמו את הבעיה שיש לפתור, אמרו מה משמעותם הפיזיקלית של שני חלקי התשובה, והסבירו מדוע הפותר שמשמש הוא זה שמיועד למטריצות סימטריות ולא שגרת ערכים עצמיים כללית.
בדקו את התשובה
הבעיה היא בעיית הערכים העצמיים המוכללת K a = omega^2 M a. היא נובעת מהנחת תנועה שבה הכול מתנדנד בתדירות אחת עם תבנית קבועה של משרעות יחסיות, x = a cos(omega t): שתי גזירות מורידות -omega^2, הקוסינוס מתחלק, ומה שנשאר הוא המשוואה הזו.

הערכים העצמיים הם ריבועי תדירויות והווקטורים העצמיים הם צורות האופנים. כך שערך עצמי של 16 s^-2 פירושו אופן ב-4 rad/s, והווקטור העצמי שלו (1, 0, -1) פירושו תנועה שבה המסה הראשונה והשלישית נעות בכיוונים מנוגדים והשנייה אינה זזה כלל. הצורה נושאת יחסים בלבד; קנה המידה הכולל הוא המשרעת, שנקבעת בעוצמת ההתנעה של המערכת ולא במטריצות. ואשר לשגרה: M מוגדרת חיובית, ולכן היא מתפרקת כ-M = L L^T (כולסקי), והצבת a = L^-T b הופכת את הבעיה ל-(L^-1 K L^-T) b = omega^2 b. המטריצה הזו סימטרית, מפני ש-K סימטרית. לבעיית ערכים עצמיים סימטרית מובטחים ערכים עצמיים ממשיים ווקטורים עצמיים אורתוגונליים, וזה בדיוק מה שהפיזיקה דורשת — תדירויות ממשיות, ואופנים שאינם מפריעים זה לזה. שגרה כללית הייתה מחזירה מספרים מרוכבים עם חלקים מדומים זעירים ומשאירה לכם להחליט אם יש להם משמעות, והיא לא הייתה מספקת אורתוגונליות כלל. שני פרטים שכדאי לציין. האורתוגונליות היא ביחס ל-M ולא ביחס למכפלה הסקלרית הרגילה: a_p^T M a_q = delta_pq, וההטלה ששולפת את הקואורדינטות המודאליות נושאת את M איתה מאותה סיבה. וערך עצמי אפס אינו שגיאה — למערכת חופשית או צפה יש כזה, וזהו שימור התנע שמופיע כאופן שנסחף במקום להתנדנד.


7. שתי מסות זהות m מצומדות כך שאופני התנודה שלהן הם המוכרים (1, 1)/sqrt(2) ב- omega_s = 4.0 rad/s ו-(1, -1)/sqrt(2) ב-omega_a = 5.0 rad/s. הזוג משוחרר ממנוחה עם x1 = 0.10 m ו-x2 = 0. מהו x1, במטרים, ב-t = 1.0 s?

:::{dropdown} בדקו את התשובה
**התשובה הנכונה:** -0.0185 (± 0.002)

הטלה, קידום, סכימה מחדש — שלושת הצעדים, על המערכת הקטנה ביותר שזקוקה להם.
הטלה: ההתנעה (0.10, 0) נותנת q_s = a_s . x = 0.10/sqrt(2) ו-q_a = 0.10/sqrt(2), כמויות שוות משני האופנים, ושניהם משוחררים ממנוחה ולכן כל qdot מתאפס.
קידום: כל קואורדינטה מודאלית היא מתנד בלתי תלוי, ולכן q_s(t) = (0.10/sqrt2) cos(4t) ו-q_a(t) = (0.10/sqrt2) cos(5t).
סכימה מחדש: x1 = [q_s + q_a]/sqrt(2) = 0.05 [cos(4t) + cos(5t)]. ב-t = 1.0 s, ברדיאנים, cos(4.0) = -0.6536 ו-cos(5.0) = 0.2837, ולכן x1 = 0.05 * (-0.3700) = -0.0185 m.
המסה הראשונה חלפה על פני האפס ונמצאת עכשיו בצד הרחוק, וזו תחילת מסירת האנרגיה שמודול 06 מדד את זמנה. שום דבר כאן אינו ייחודי לשתי מסות: אותם שלושה צעדים רצים ללא שינוי עבור עשרים, וזה כל העניין במכונה הזו.

בעיות בסגנון בחינה למודול הזה — אלה שכדאי לעשות בעט — אסופות במערך הבעיות.

להסביר במילים שלכם¶

ענו בכמה משפטים על כל אחת. שום מספר לא יציל אתכם.

הסבירו למי שעשה את מודול 06 אבל לא את זה מדוע מיתר גיטרה שפרטו עליו נשמע כצליל ולא כרעש. ההסבר שלכם חייב להשתמש במילים “אופן” ו"בלתי תלוי", וחייב לומר מה ל-10²³ המשוואות המצומדות של המיתר ולגובה הצליל היחיד שאתם שומעים.
שרשרת של 50 מסות ושרשרת של 5 מסות, אותן מסות ואותם קפיצים. אילו טענות עליהן זהות ואילו שונות? ענו במונחי $\omega(k)$ ובמונחי אילו $k$ מותרים לכל שרשרת.
מדוע התדירות הגבוהה ביותר של שרשרת מפסיקה לגדול כשמוסיפים מסות, בעוד התדירות הגבוהה ביותר של מיתר אינה מפסיקה? ענו בלי אלגברה, בתיאור איך נראית התנועה המהירה ביותר האפשרית של שרשרת.
אנרגיות אתרים אינן נשמרות; אנרגיות אופנים כן. שתי הטענות מתארות את אותה תנועה. אמרו כיצד זה ייתכן, ואז תנו שאלה אחת על שרשרת שפרטו עליה שתמונת האתרים עונה עליה מהר יותר, ואחת שתמונת האופנים עונה עליה מהר יותר.

מתקדם: סימטריה, ניוון, פגמים, וחישוב שנכשל באופן מועיל¶

ניוון בא מסימטריה. חברו את קצות השרשרת לטבעת והאופנים שמעל האפס מגיעים בזוגות שווי-תדירות בדיוק — מאומת עד 10^-12, וזו אינה תאונה נומרית אלא טענה מדויקת. לטבעת אין כיוון מועדף, ולכן גל שרץ סביבה בכיוון אחד ואותו גל שרץ בכיוון השני חייבים לעלות בדיוק אותו דבר, והם שתי תנועות שונות. בכל מקום שבו שני אופנים חולקים תדירות, חפשו את הסימטריה שהופכת אותם להחלפיים; הכלל תקף ממולקולות ועד אורביטלים אטומיים.

שבירתה מסירה את הניוון. הפכו אחת משש מסות הטבעת לכבדה ב-10% והזוגות נפרדים: $(4.000, 4.000)\to(3.935, 4.000)$ וגם $(6.928, 6.928)\to(6.818, 6.928)$ . רק בן זוג אחד מכל זוג זז, ואיזה מהם — אינו שרירותי: המסה שהופרעה יושבת בנקודת דממה של האופן שנשאר במקומו, ולכן אותו אופן אינו מבחין בשינוי כלל. העבירו את ההפרעה דרך אפס ותשרטטו שוב את החצייה הנמנעת של מודול 06, עכשיו כפיצול של זוג מנוון ולא כדחייה בין שני מתנדים מכוונים. זהו פיצול אופנים בתהודן טבעתי, ו-44-resonators חוזר אליו עם אור בטבעת.

פגם יוצר אופן שאינו בשום מקום אחר. החליפו את המסה האמצעית של שרשרת בת 41 באחת קלה יותר, $0.3m$ . אופן מופיע ב-11.2 רדיאן לשנייה — מעל ראש הסרט שהוא 8.0 רדיאן לשנייה, שם לשרשרת המושלמת אין דבר — וצורתו אינה גל סינוס. משרעתו יורדת פי 0.177 לכל מסה משני צדי הפגם, ולכן הוא כלוא בתוך קומץ מסות מן הפגם ומתאפס בדיוק בקצוות עד 10^-15.

מסה קלה יכולה לנוע מהר יותר ממה שהסרט מתיר, ולכן שום גל מתקדם אינו יכול לשאת את התנועה משם ואין לה לאן ללכת מלבד להישאר במקומה. זה כל המנגנון של תהודן פגם: 54-photonic-crystals בונה סריג עם סרט של תדירויות אסורות, שם בו פגם מכוון, ולוכד בו אור בדיוק מן הסיבה הזו.

פרמי, פסטה, אולם וצינגו. כל מה שלמעלה מניח שהקפיצים ליניאריים. ב-1953, על מחשב MANIAC בלוס אלמוס, ארבעה חוקרים הכניסו איבר אי-ליניארי חלש לשרשרת של 64 מסות והתניעו אותה באופן הנמוך שלה. הם ציפו שהאי-ליניאריות תדליף אנרגיה בין האופנים עד שתתחלק שווה בשווה — תרמליזציה, שזה מה שהמכניקה הסטטיסטית אומרת שאמור לקרות ומה שכולם הניחו שמחשב יאשר בתוך אחר צהריים.

היא לא עברה תרמליזציה

האנרגיה עברה אל האופנים הגבוהים, ואז חזרה. אחרי זמן ארוך כמעט כולה שבה אל אופן 1 — כמעט-הישנות של מצב ההתחלה, שחוזרת על עצמה. התוצאה הייתה בלתי רצויה דיה כדי שהמאמר יישאר דוח פנימי של לוס אלמוס במשך שנים.

ההסבר, כשהגיע, קישר את השרשרת לסוליטונים ולמערכות אינטגרביליות, והשאלה מתי בדיוק מערכת אי-ליניארית מגיעה לשיווי משקל ומתי לא נותרה פתוחה. הפרשה מובאת גם בדרך כלל כניסוי הנומרי האמיתי הראשון: חישוב שהורץ לא כדי לקבל מספר אלא כדי לגלות מה מערכת עושה, ושענה על משהו שאיש לא שאל.

מרי צינגו כתבה את קוד ה-MANIAC ולא נמנתה עם המחברים ששמם הופיע על הדוח; התוצאה מצוטטת יותר ויותר בשם פרמי–פסטה–אולם–צינגו.