מערך בעיות — אופני תנודה עצמיים ושרשרת N המסות

מערך בעיות: אופני תנודה עצמיים ושרשרת N המסות¶

בעיות בסגנון בחינה. עבדו עליהן בעט לפני שאתם נוגעים במחשב; שלוש האחרונות נועדו להסתיים נומרית. פתרונות ומחווני בדיקה נמצאים בחומר למרצה ובכוונה אינם באתר הזה.

לאורך כל הדף, שרשרת פירושה $N$ מסות שוות $m$ המחוברות בקפיצים זהים בקשיחות $k_s$ במרווח $a$, כשהקצוות קבועים אלא אם נאמר אחרת, כך ש

בעיה 1 — אימות הניחוש¶

(א) רשמו את משוואת התנועה של מסה $j$ בשרשרת עם קצוות קבועים, ואמרו במדויק איזה תפקיד ממלאים התנאים $x_0 = x_{N+1} = 0$ — הם אינם משוואות תנועה.

(ב) הציבו $x_j = a(j)\cos\omega t$ וצמצמו את הבעיה לנסיגה ב-$a(j)$ בלבד.

(ג) הראו ש-$a_p(j) = \sin(p\pi j/(N+1))$ מקיים את שני תנאי הקצה לכל $p$ שלם, ושהוא מקיים את הנסיגה הפנימית עבור ה-$\omega_p$ שצוטט למעלה. (רמז: $\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) = 2\sin\theta\cos\varphi$.)

(ד) הראו ש-$p$ ו-$p + 2(N+1)$ מתארים את אותה תנועה, ושה-$p = N+1$ אינו מתאר תנועה כלל. הסיקו שיש בדיוק $N$ אופנים ולא יותר, ואמרו מדוע המספר הזה היה חייב לצאת שווה למספר המסות.

בעיה 2 — שלוש מסות ביד, צורות תחילה¶

קחו $N = 3$.

(א) לפני שאתם מחשבים משהו, שרטטו את שלוש צורות האופנים מן הצורה הסגורה וסדרו אותן לפי תדירות. ציינו את מספר נקודות הדממה הפנימיות בכל אחת.

(ב) רשמו את $M$ ואת $K$ ופתחו את $\det(K - \omega^2 M) = 0$. תקבלו משוואה ממעלה שלישית; פרקו אותה לגורמים תוך שימוש בצורה ששרטטתם לאופן האמצעי כרמז לאחד השורשים.

(ג) הראו ששלושת השורשים הם $\omega = \sqrt{k_s/m}\,\{\sqrt{2 - \sqrt2},\ \sqrt2,\ \sqrt{2 + \sqrt2}\}$, ובדקו אותם מול הצורה הסגורה.

(ד) באופן האמצעי, המסה המרכזית אינה זזה. הסבירו זאת במשפט אחד בלי אלגברה, ואמרו מה משמעות הדבר לתדירות של אותו אופן — שהיא זהה לזו של מערכת פשוטה יותר.

בעיה 3 — השרשרת החופשית משני הקצוות¶

הסירו את שני הקירות, ונותרות $N$ מסות המחוברות ב-$N-1$ קפיצים.

(א) רשמו את $K$ והראו שסכום כל שורה הוא אפס. הסיקו ש-$\mathbf{a} = (1,1,\dots,1)$ הוא אופן עם $\omega = 0$.

(ב) הראו שהקואורדינטה המודאלית של אופן האפס פרופורציונלית לתנע הכולל חלקי המסה הכוללת, ושמשוואת התנועה שלה, $\ddot q_0 = 0$, היא שימור התנע בניסוח אחר.

(ג) הסבירו מדוע נוסחת אנרגיית האופן $\tfrac12(\dot q_p^2 + \omega_p^2 q_p^2)$ עדיין נכונה לאופן הזה ומצטמצמת ל-$\tfrac12 \dot q_0^2$.

(ד) הערך העצמי האפס חוזר מפותר נומרי כמספר קטן בעל סימן כלשהו, ולקיחת שורשו הריבועי הופכת שגיאה מוחלטת של 10^-16 לשגיאת תדירות של 10^-8. אמרו מה מבחן לאופן אפס חייב לפיכך לטעון, ומדוע טענת omega == 0 תהיה שגויה אף שהפיזיקה אומרת שהוא אפס.

בעיה 4 — קריאת גרף נפיצה¶

נמסר לכם גרף של $\omega$ מול $k$ עבור שרשרת לא מוכרת. זו קשת סינוס, אפס ב-$k=0$, שמגיעה למקסימום של $6.0\times10^{13}$ רדיאן לשנייה ב-$k = 1.6\times10^{10}$ מ$^{-1}$.

(א) מצאו את המרווח $a$ ואת הצירוף $\sqrt{k_s/m}$.

(ב) מצאו את מהירות הגל באורכי גל ארוכים $c$, והשוו אותה למהירות הקול במוצק טיפוסי, כמה אלפי מטרים לשנייה. הגיבו.

(ג) גל עם $k = 2\times 10^{9}$ מ$^{-1}$: מצאו את $\omega$ מן היחס המדויק ומן הקירוב הליניארי, ותנו את שגיאת הקירוב באחוזים.

(ד) עמית מציע להכפיל את מספר האטומים בדגימה כדי להעלות את התדירות המקסימלית. הסבירו במשפט אחד מדוע זה אינו יכול לעבוד, ואמרו מה היה צריך להשתנות במקום זאת.

בעיה 5 — השרשרת שפרטו עליה כטור פורייה¶

שרשרת של $N = 20$ נמשכת למשולש סימטרי — מסה $j$ מוזזת ב-$A\min(j, N+1-j)/\tfrac{N+1}{2}$ — ומשוחררת ממנוחה.

(א) חשבו את הקואורדינטות המודאליות $q_p(0)$ בהטלה. הראו שכל קואורדינטה עם $p$ זוגי מתאפסת, ואמרו איזו סימטריה של צורת ההתחלה אחראית לכך.

(ב) מקדמי פורייה של גל משולש יורדים כ-$1/p^2$ עם סימן מתחלף. אמתו נומרית ש- $q_1/q_3 \approx -9$ ו-$q_1/q_5 \approx 25$, וזהו את הסטיות הקטנות מ--9 ומ-25 המדויקים — הנמדדות -9.07 ו-25.6 — כתוצאה של דגימת משולש ב-20 נקודות ולא ברציפות.

(ג) חשבו את שיעור האנרגיה הכוללת שנמצא ביסוד. קשרו את תשובתכם לחידה שבראש עמוד המודול.

(ד) עכשיו פרטו בנקודת הרבע במקום. חשבו מחדש את אנרגיות האופנים והסבירו, במונחי אינטגרל ההטלה, מדוע גיטריסט שפורט ליד הגשר מקבל צליל בהיר יותר.

בעיה 6 — גבול הרצף, נמדד¶

בעזרת coupled.chain_mode_frequencies ו-coupled.chain_continuum_frequencies:

(א) עבור $p = 1$, חשבו את השגיאה היחסית מול ערך הרצף עבור $N \in \{10, 20, 40, 80, 160\}$ והתאימו את סדרה בצירים לוגריתמיים. דווחו את המעריך.

(ב) חזרו על ההתאמה כשאתם משתמשים ב-$N$ כפרמטר העידון במקום ב-$N+1$. תקבלו בערך 1.95. הסבירו איזה מהם נכון ומדוע, בלי להיעזר בשאלה איזה מהם קרוב יותר ל-2.

(ג) הניחו את השגיאה החזויה $(p\pi)^2/(24(N+1)^2)$ מעל המדידות שלכם. דווחו את הפער היחסי הגדול ביותר על פני הרשת שלכם.

(ד) חזרו על (א) עבור $p = 1, 2, 4, 8, 16$ ב-$N = 100$ קבוע והתאימו את המעריך ב-$p$. ציינו את ה-$p$ הגדול ביותר שעבורו הייתם מוכנים לכנות שרשרת בת 100 מסות “מיתר עד כדי 1%”, ותנו את המספר שמצדיק את הבחירה.

בעיה 7 — אתגר: פגם שלוכד אופן¶

בנו שרשרת קבועה של $N = 41$ והחליפו את המסה המרכזית ב-$\alpha m$.

(א) עבור $\alpha = 0.3$, פתרו את האופנים והראו שהתדירות הגבוהה ביותר נמצאת מעל ראש הסרט של השרשרת המושלמת $2\sqrt{k_s/m}$. דווחו את שני המספרים.

(ב) שרטטו את צורת אותו אופן על ציר אנכי לוגריתמי והתאימו את דעיכת המעטפת שלו הרחק מן הפגם. דווחו את הגורם למסה.

(ג) הסבירו מדוע אופן שמעל הסרט אינו יכול להתפשט, ומדוע זו אותה טענה כמו “הוא מקומי”. ההסבר שלכם צריך להשתמש ב-$\omega(k)$ ולומר מה $k$ היה צריך להיות.

(ד) סרקו את $\alpha$ מ-1 כלפי מטה ומצאו היכן האופן המקומי נפרד מן הסרט. אחר כך חזרו עם $\alpha > 1$: דווחו אם פגם כבד מייצר אופן מקומי מעל הסרט, מתחתיו, או כלל לא, והסבירו את חוסר הסימטריה.

בעיה 8 — אתגר: פרמי–פסטה–אולם–צינגו¶

הוסיפו איבר קובי חלש לכל קפיץ, כך שהכוח בין שכנים הופך ל-$k_s\,\delta\,(1 + \beta\,\delta)$ כאשר $\delta$ היא ההתארכות ו-$\beta$ קטן.

(א) שנו אינטגרטור ורלה-מהירות כך שיטפל בכוח הזה. אמתו שב-$\beta = 0$ הוא משחזר את coupled.simulate_coupled.

(ב) התניעו שרשרת של $N = 32$ באופן הנמוך שלה ועקבו אחר אנרגיות האופנים לאורך ריצה ארוכה, כשאתם מטילים על צורות האופנים הליניאריות לכל אורכה. אמרו מדוע השימוש בצורות הליניאריות לגיטימי כאן ומה היה נשבר אילו $\beta$ היה גדול.

(ג) הראו שהאנרגיה דולפת אל אופנים גבוהים יותר ואז חוזרת, ואמדו את זמן ההישנות. דווחו את השיעור הגדול ביותר מן הסך הכול שאי פעם עוזב את אופן 1.

(ד) שוויון החלוקה חוזה שהאנרגיה אמורה להתחלק שווה בשווה בין כל 32 האופנים. ציינו מה הריצה שלכם מראה במקום זאת, ואמרו במדויק איזו הנחה של מפרט המודל של המודול הזה התוצאה מפרה.