דף שאלות — מתנדים מצומדים

דף שאלות: מתנדים מצומדים¶

שאלות בסגנון בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שתיגעו במחשב; שתי האחרונות נועדו להסתיים נומרית. פתרונות ומחווני בדיקה נמצאים בחומרי המרצה ואינם באתר הזה במכוון.

לאורך כל הדף שתי מסות $m$ מעוגנות כל אחת בקפיץ בקשיחות $k$ ומחוברות בקפיץ צימוד $k_c$, כך ש-$\wnat = \sqrt{k/m}$, $\omega_s = \wnat$ ו-$\omega_a = \sqrt{(k + 2k_c)/m}$.

שאלה 1 — מסות לא שוות¶

החליפו את המסה השנייה ב-$2m$, בלי לשנות את שני קפיצי העיגון ואת קפיץ הצימוד.

(א) רשמו את $M$ ואת $K$. שימו לב ש-$M$ אינה עוד כפולה של מטריצת היחידה, ואמרו איזה שלב בגזירת המודול השתמש בעובדה הזו.

(ב) מצאו את שתי התדירויות מתוך $\det(K - \omega^2 M) = 0$. ודאו שהן מצטמצמות לתשובות המודול כאשר המסה השנייה מוחזרת ל-$m$.

(ג) מצאו את שתי צורות האופנים. הראו שאף אחת מהן אינה $(1, \pm 1)$ עוד, ואמרו איזו מסה נעה יותר בכל אופן. האם המסה הכבדה או הקלה היא בעלת המשרעת הגדולה יותר באופן הנמוך?

(ד) המודול טען שהאופן הסימטרי שומר על $\wnat$ מפני שקפיץ הצימוד אינו נמתח לעולם. האם הטיעון הזה שורד מסות לא שוות? הסבירו מה נשבר.

שאלה 2 — אנרגיה בקואורדינטות הנורמליות¶

(א) בהתחלה מ-$q_\pm = (x_1 \pm x_2)/\sqrt2$, הראו כי $\tfrac12 m(\dot{x}_1^2 + \dot{x}_2^2) = \tfrac12 m(\dot{q}_+^2 + \dot{q}_-^2)$ — לאנרגיה הקינטית אותה צורה בשתי מערכות הקואורדינטות.

(ב) הראו שהאנרגיה הפוטנציאלית הופכת ל- $\tfrac12 k q_+^2 + \tfrac12 (k + 2k_c)\,q_-^2$, ללא איבר מעורב ב-$q_+q_-$. היעדרו של האיבר הזה הוא כל תוכן הטענה “האופנים בלתי תלויים”; אמרו מדוע.

(ג) הסיקו ש-$E_+ = \tfrac12 m\dot{q}_+^2 + \tfrac12 k q_+^2$ ובן זוגו נשמרים בנפרד, ושהסך הכול הוא סכומם.

(ד) אנרגיות האתרים של שתי המסות אינן נשמרות בנפרד. יישבו זאת עם (ג) במשפט אחד: שתי הטענות עוסקות באותה תנועה.

שאלה 3 — לקרוא מדידה¶

סטודנט מדווח שבמערכת שלו האנרגיה עוברת ממטוטלת אחת לשנייה וחזרה בתוך $12.0\ \mathrm{s}$, ושלמטוטלת בודדת, כשבת זוגה מהודקת, יש מחזור של $1.50\ \mathrm{s}$.

(א) מצאו את $\omega_s$, את $\Delta\omega$ ואת $\omega_a$.

(ב) האם הזוג הזה מצומד חלושות או חזק? נמקו במספר, לא בהתרשמות.

(ג) אמדו את $k_c/k$. אמרו באיזה קירוב השתמשתם ובדקו לאחר מכן שתנאיו מתקיימים.

(ד) הסטודנט רוצה שהחילופין ייקחו $3.0\ \mathrm{s}$ במקום. פי כמה צריך $k_c$ להשתנות? מה קורה ל-$\omega_s$?

שאלה 4 — שלוש מטוטלות מתוך סימטריה¶

שלוש מסות זהות בשורה, כל אחת מעוגנת בקפיץ $k$, עם קפיצי צימוד $k_c$ בין שכנות 1–2 ו-2–3 אך לא בין 1 ל-3.

(א) רשמו את $M$ ואת $K$.

(ב) בלי לחשב דטרמיננטה, נחשו את שלוש צורות האופנים מתוך הסימטריה של הסידור. (רמז: המערכת אינה משתנה אם משקפים אותה משמאל לימין, ולכן כל אופן חייב להיות או בלתי משתנה או הפוך בדיוק תחת השיקוף.)

(ג) אמתו את הניחושים על ידי הצבת כל אחד ב-$(K - \omega^2 M)\mathbf{a} = 0$ וקריאת התדירות. סדרו אותן.

(ד) באחד משלושת האופנים שלכם המסה האמצעית אינה זזה כלל. איזה, ומהי תדירותו? הסבירו את התדירות הזו במשפט אחד ללא אלגברה.

שאלה 5 — חוק זמן החילופין והיכן הוא נכשל¶

בעזרת coupled.two_mass_matrices ו-coupled.normal_mode_solve:

(א) חשבו את $T_{\text{ex}}$ על פני $k_c/k$ מ-0.002 עד 2 ושרטטו אותו על צירים לוגריתמיים. התאימו קו ישר לקצה הצימוד החלש ודווחו על המעריך.

(ב) המעריך החזוי הוא -1. באיזה תחום של $k_c/k$ ההתאמה שלכם נשארת בתוך 2% ממנו? סמנו את התחום הזה על השרטוט.

(ג) גזרו את $T_{\text{ex}}(k_c)$ המדויק ללא קירוב, והניחו אותו מעל. הסבירו את צורת הסטייה ב-$k_c$ גדול מהביטוי המדויק.

(ד) הראו שכאשר $k_c \to \infty$ זמן החילופין שואף לאפס אך השבר של האנרגיה המועברת אינו שואף לאחד. חשבו את השבר הזה ב-$k_c/k = 1$ וב-$k_c/k = 10$ בסימולציה, בעזרת coupled.site_energies.

שאלה 6 — סינתזה: להניע את הזוג¶

השאלה הזו משתמשת בכל מודול עד כה. חברו הנעה $F_0\cos\omega t$ למסה 1 בלבד, והוסיפו ריסון קל $b$ לשתי המסות, כך שיתקיים מצב מתמיד.

(א) בקואורדינטות נורמליות, הראו שהנעה על מסה 1 בלבד מעוררת את שני האופנים, כל אחד במשקל $1/\sqrt2$. זהו אותו פירוק שניסוי ההתחלה-מאחת השתמש בו, כעת עבור כוח ולא עבור תנאי התחלה.

(ב) כל קואורדינטה נורמלית היא אפוא מתנד מונע ממודול 02. חזו את תגובת המצב המתמיד של מסה 1 כסכום שתי תהודות לורנציאניות הממורכזות ב-$\omega_s$ וב-$\omega_a$, בעזרת oscillators.driven_amplitude בתדירות של כל אופן. שרטטו אותה.

(ג) אמתו באינטגרציה ישירה של המשוואות המצומדות המרוסנות והמונעות, בסריקת $\omega$ ורישום משרעת המצב המתמיד לאחר שתגובת המעבר דעכה. השוו ל-(ב).

(ד) תחת איזה תנאי על $b$ שני השיאים נראים כשניים, ולא מתמזגים לאחד? נסחו את התנאי כהשוואה בין פיצול האופנים לגודל ממודול 02, ובדקו אותו נומרית על ידי העלאת $b$ עד שהשיאים מתמזגים.

שאלה 7 — אתגר: ריסון שמשמר את האופנים¶

הוסיפו ריסון לזוג בצורה $M\ddot{\mathbf{x}} + C\dot{\mathbf{x}} + K\mathbf{x} = 0$.

(א) הראו שאם $C = \alpha M + \beta K$ עבור קבועים $\alpha, \beta$, הקואורדינטות הנורמליות של הבעיה הבלתי מרוסנת עדיין מפרקות את המרוסנת, וכל אחת הופכת למתנד מרוסן בלתי תלוי ממודול 02. זה נקרא ריסון ריילי.

(ב) מצאו את מקדם הטיב של כל אופן במונחי $\alpha$, $\beta$ ותדירות אותו אופן. האם לשני האופנים אותו $Q$?

(ג) בנו $C$ מפורשת שהיא סימטרית, חיובית מוגדרת, ואינה מהצורה הזו. הראו נומרית שאנרגיות האופנים אינן דועכות עוד באופן בלתי תלוי — אנרגיה עוברת בין אופנים.

(ד) מפרט המודל מונה “ריסון שנוסף ברשלנות” כאופן כישלון. לאור (ג), נסחו במדויק מה פירוש “ברשלנות”, ומה על מודליסט לבדוק לפני שהוא מניח שלמערכת מצומדת מרוסנת עדיין יש אופני תנודה.