רענון מתמטי

פיזיקה תרמית משתמשת בקבוצה קטנה ומסוימת של כלים מתמטיים, והיא משתמשת בהם ללא הרף. הדף הזה הוא ארגז הכלים — לא קורס בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, אלא אותן פינות מסוימות שלו שהתחום נשען עליהן, עם הסימון שהקורס ישתמש בו עבורן.

זהו דף עזר, לא סיפור. קראו את הסעיף שמפת המוכנות שלחה אתכם אליו, פתרו את הדוגמאות שלו עם עט, וחזרו כאשר מודול מאוחר יותר יטיל בכם ספק.

ניתוח ממדי ויחידות¶

לכל גודל פיזיקלי יש ממדים, הבנויים מגדלי היסוד של SI. ארבעה מתוך השבעה חשובים לנו:

כל השאר הוא מכפלה של חזקות של אלה. אנרגיה היא $\mathsf{M}\mathsf{L}^2\mathsf{T}^{-2}$ (הג’אול); לחץ הוא כוח ליחידת שטח, $\mathsf{M}\mathsf{L}^{-1}\mathsf{T}^{-2}$ (הפסקל).

קריאת היחידות של קבוע לא מוכר. לעולם אין צורך לשנן אותן. מתוך $PV = N \kB T$, כאשר $N$ הוא מניין טהור,

ולכן $\kB$ הוא אנרגיה ליחידת טמפרטורה — וזה כל תוכנה של הטענה שהטמפרטורה היא מדד לאנרגיה לכל דרגת חופש.

בדיקת נוסחה מועמדת. נניח שאינכם זוכרים אם המהירות הריבועית הממוצעת של מולקולת גז היא $\sqrt{3\kB T/m}$ או $\sqrt{3\kB T/m^2}$ או $\sqrt{3\kB T m}$. רק אחת מהן היא מהירות:

שתי האחרות נכשלות. זה עולה עשר שניות ותופס חלק גדול מכל שגיאות האלגברה.

כאשר שני גדלים שונים חולקים יחידה. לחץ הוא כוח ליחידת שטח וצפיפות אנרגיה היא אנרגיה ליחידת נפח, והם זהים ממדית:

זה אינו צירוף מקרים — זה הרמז שהלחץ עתיד להתגלות כעניין של אנרגיה — אבל זו גם אינה זהות. לגז אידיאלי חד-אטומי מתקיים $P = \tfrac{2}{3}u$ ולקרינה איזוטרופית $P = \tfrac{1}{3}u$, כאשר $u$ היא צפיפות האנרגיה. שיתוף ממד מלמד ששני גדלים יכולים להיות קשורים; הוא לעולם אינו מלמד באיזה מקדם. (זהו ניבוי 4 בדף ההתמצאות; הפיזיקה שמאחורי המקדמים מגיעה במודולים 4 ו-16.)

השוואת מספרים ביושר. שני גדלים מסכימים כאשר ההפרש היחסי ביניהם קטן:

הפרשים מוחלטים חסרי משמעות בלי סקאלה להשוות אליה: האנרגיות בקורס הזה הן דרך קבע בסדר גודל של $10^{-18}\,\mathrm{J}$, ולכן בדיקה ששואלת אם שתיים מהן נבדלות בפחות מ-$10^{-12}\,\mathrm{J}$ תשיב “אין הבדל” יהיה אשר יהיה מה שהפיזיקה עשתה.

נגזרות חלקיות, ואמירת מה מוחזק קבוע¶

עבור פונקציה של כמה משתנים, הנגזרת החלקית לפי אחד מהם היא הנגזרת הרגילה כאשר האחרים מוחזקים קבועים. עבור $f(x,y) = x^2 y$:

המציין התחתי אינו קישוט. בחשבון רגיל הסימון $\partial f/\partial x$ חד-משמעי מפני שרשימת המשתנים נקבעת מאופן הכתיבה של $f$. בתרמודינמיקה זה אינו כך: $P$, $V$, $T$ ו-$N$ קשורים זה לזה במשוואת מצב, ולכן אפשר לסלק כל אחד מהם לטובת האחרים, ו"הנגזרת לפי $T$" פירושה דברים שונים בהתאם למה שבחרתם להחזיק.

נגזרות מעורבות מתחלפות. עבור כל פונקציה בעלת נגזרות שניות רציפות,

עבור $f = x^2y$ שני המסלולים נותנים $2x$. העובדה התמימה הזו הופכת למכונה לייצור זהויות תרמודינמיות — יחסי מקסוול של מודול 10 אינם אלא הטענה הזו המיושמת על הפוטנציאלים התרמודינמיים — והיא גם קריטריון המדויקות שלהלן.

הדיפרנציאל השלם¶

הדיפרנציאל השלם של $f(x,y)$ אוסף את שתי התגובות מסדר ראשון:

עבור $f = x^2 y$ זה נקרא $\mathrm{d}f = 2xy\,\mathrm{d}x + x^2\,\mathrm{d}y$. במונחים מעשיים: הוא אומר בכמה משתנה $f$ כאשר מזיזים את $x$ ואת $y$ בכמויות קטנות, עד לסדר ראשון בהזזות.

לאורך מסלול, הנגזרת החלקית והנגזרת השלמה נבדלות. נניח שאנחנו נעים לאורך הישר $y = x$. הצבה מראש נותנת $f = x^3$, ומכאן $\mathrm{d}f/\mathrm{d}x = 3x^2$, שהוא 3 בנקודה $x=1$. אבל $(\partial f/\partial x)_y$ בנקודה $(1,1)$ הוא $2xy = 2$. שני המספרים שונים ושניהם נכונים — הם עונים על שאלות שונות. חלוקת הדיפרנציאל השלם ב-$\mathrm{d}x$ מראה בדיוק מהיכן נובע הפער:

הנגזרת החלקית מתעלמת מכך ש-$y$ משתנה גם הוא. הנגזרת השלמה אינה מתעלמת. אם ניבוי 5 בדף המודול תפס אתכם, זו הזהות שמיישבת אותו.

אינטגרלים קוויים של תבנית דיפרנציאלית¶

ביטוי מהצורה $\omega = M(x,y)\,\mathrm{d}x + N(x,y)\,\mathrm{d}y$ נקרא תבנית דיפרנציאלית. הוא אינו מספר; הוא הופך למספר רק אחרי שמספקים מסלול $C$ לאינטגרציה לאורכו:

כדי לחשב אותו, פרמטרו את המסלול כ-$\big(x(t), y(t)\big)$ עבור $t$ מ-$t_0$ עד $t_1$ והציבו:

דוגמה פתורה. קחו את $\omega = y\,\mathrm{d}x$ ולכו מ-$(0,0)$ אל $(1,1)$ בשלוש דרכים.

• לאורך האלכסון $y = x$: הציבו $x = t$, $y = t$, ולכן $\int_0^1 t \,\mathrm{d}t = \tfrac{1}{2}$.

• לרוחב, ואז למעלה: בקטע הראשון $y = 0$, ולכן הביטוי שתחת האינטגרל מתאפס; בקטע השני $x$ קבוע ולכן $\mathrm{d}x = 0$. סך הכול: 0.

• למעלה, ואז לרוחב: בקטע הראשון $\mathrm{d}x = 0$; בשני $y = 1$ ו-$x$ רץ מ-0 עד 1, ומכאן $\int_0^1 1 \,\mathrm{d}x = 1$. סך הכול: 1.

אותה התחלה, אותו סוף, שלוש תשובות שונות: 0, $\tfrac{1}{2}$, 1. האינטגרל של תבנית דיפרנציאלית הוא בדרך כלל תכונה של הדרך, לא של נקודות הקצה.

תבניות מדויקות ולא מדויקות¶

לפעמים תבנית היא הדיפרנציאל השלם של פונקציה כלשהי, ואז הדרך מפסיקה להיות חשובה.

הפעילו את הבדיקה על שתי התבניות שבהן השתמשנו:

• $\omega_1 = y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y$: כאן $\partial M/\partial y = 1$ וגם $\partial N/\partial x = 1$. שווים, ולכן $\omega_1$ מדויקת — ואכן $\omega_1 = \mathrm{d}(xy)$. כל דרך מ-$(0,0)$ אל $(1,1)$ נותנת $1 \cdot 1 - 0 = 1$.

• $\omega_2 = y\,\mathrm{d}x$: כאן $\partial M/\partial y = 1$ אבל $\partial N/\partial x = 0$. אינם שווים, ולכן $\omega_2$ אינה מדויקת — וזו הסיבה ששלוש הדרכים למעלה לא הסכימו. אין פונקציה שזהו הדיפרנציאל שלה, וכתיבת “$\mathrm{d}(\text{something})$” עבורה תהיה שגיאה.

ההבחנה הזו היא הסיבה שהדף הזה קיים. במודול 5 המישור הופך למישור $P$–$V$, ואחת התבניות שתבצעו עליהן אינטגרציה היא מדויקת ואחרת אינה. המדויקת מתאינטגרלת לשינוי באנרגיה פנימית, התלוי רק בנקודות הקצה; הלא מדויקת מתאינטגרלת לחום או לעבודה, התלויים בדרך. אין צורך בשום דבר פיזיקלי כדי לראות את ההבדל — הוא כבר כאן, ב-$y\,\mathrm{d}x$.

בדיקה עצמית מהירה¶

אם אתם יכולים לפתור את אלה בלי הערות, לדף הזה אין עוד מה להציע לכם.

1. תנו את יחידות SI של $\kB$, ושל $\kB T / m$.

2. עבור $f(x,y) = x/y$, כתבו את $(\partial f/\partial x)_y$, את $(\partial f/\partial y)_x$ ואת $\mathrm{d}f$.

3. האם $x\,\mathrm{d}x + y\,\mathrm{d}y$ מדויקת? אם כן, תנו את הפונקציה הפוטנציאלית שלה.

4. האם $x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x$ מדויקת? בצעו עליה אינטגרציה מ-$(1,0)$ אל $(0,1)$ לאורך הישר, ואחר כך לאורך מעגל היחידה, והשוו.

5. נוסחה נותנת תשובה של $2.7 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ במקום שבו הערך הצפוי הוא $2.6 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$. האם הם מסכימים?