דף שאלות — התמצאות

דף שאלות: התמצאות¶

שאלות ברמת בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שאתם נוגעים במחשב; האחרונה נועדה להסתיים נומרית. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים בחומר המרצה ובכוונה אינם באתר הזה.

קחו $\kB = 1.381 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ לאורך כל הדף.

שאלה 1 — הקובייה הישרה¶

(א) מתוך ההגדרות, חשבו את התוחלת $\mu_1$ ואת השונות $\sigma_1^2$ של קובייה הוגנת אחת בעלת שישה פנים. הראו את הסכומים; אל תצטטו את הנוסחה הסגורה.

(ב) קובייה מוטה כך שהשש עולה בהסתברות $1/3$ וכל אחד מחמשת הפנים האחרים בהסתברות $2/15$. חשבו את התוחלת ואת השונות שלה, ואמרו במשפט אחד מדוע השונות זזה לכיוון שאליו זזה.

(ג) שתי קוביות הוגנות מוטלות באופן בלתי תלוי. על ידי מנייה של כל 36 התוצאות שוות ההסתברות, חשבו ישירות את $\langle X + Y \rangle$ ואת $\operatorname{Var}(X+Y)$, ובדקו את שניהם מול כללי החיבור שנגזרו בדף המודול.

(ד) כעת יהי $Y = X$ — “הקובייה השנייה” היא עותק של הראשונה, הנקרא פעמיים. חשבו את $\operatorname{Var}(X + Y)$ למקרה הזה והשוו ל-(ג). איזו הנחה של כלל החיבור הופרה, ובכמה משתנה התשובה?

שאלה 2 — הנהלת חשבונות של פיזור¶

(א) אתם ממצעים 100 קוביות הוגנות. תנו את התוחלת ואת סטיית התקן של התוצאה.

(ב) כמה קוביות יש למצע כדי שסטיית התקן של התשובה תרד ל-0.001? העירו אם זהו ניסוי מעשי.

(ג) עבור אותו $N$ כמו ב-(ב), תנו את סטיית התקן של הסכום של אותן קוביות, ואמרו כיצד היא השתנתה יחסית ל-$N = 100$. הסבירו במשפט אחד כיצד הסכום יכול להיעשות פחות צפוי בעוד הממוצע נעשה צפוי יותר.

(ד) מדידה במעבדה חוזרת $M$ פעמים והתוצאות ממוצעות. אומרים שהדיוק משתפר כ-$\sqrt{M}$. נסחו במדויק מה חייב להתקיים במדידות הבודדות כדי שזה יהיה נכון, ותנו דרך מציאותית אחת שבה ניסוי יכול להפר זאת — ובמקרה כזה מיצוע נתונים נוספים קונה לכם הרבה פחות מ-$\sqrt{M}$.

שאלה 3 — בלש ממדי¶

(א) מוצעים שלושה ביטויים מועמדים למהירות מולקולרית: $\sqrt{3\kB T/m}$, $\quad 3\kB T/m$, $\quad \sqrt{3\kB T m}$. פסלו את אלה שאינם יכולים להיות מהירות, והראו את הממדים של כל אחד.

(ב) מתוך $PV = N\kB T$, כאשר $N$ הוא מספר טהור, הסיקו את יחידות SI של $\kB$.

(ג) הראו שהפסקל והג’אול למטר מעוקב הם אותה יחידה. בהינתן זאת, האם מותר להסיק שהלחץ של גז שווה לצפיפות האנרגיה שלו? הסבירו מה ניתוח ממדי מתיר ומה אינו מתיר כאן.

(ד) חישוב מחזיר אנרגיה פנימית של $6.214 \times 10^{-21}\ \mathrm{J}$ במקום שבו התיאוריה חוזה $6.207 \times 10^{-21}\ \mathrm{J}$. סטודנט בודק הסכמה על ידי בחינה אם השניים נבדלים בפחות מ-$10^{-12}\ \mathrm{J}$ ומדווח על התאמה מושלמת. אמרו מה שגוי בבדיקה, הציעו בדיקה טובה יותר, והפעילו אותה.

שאלה 4 — נגזרות חלקיות בפעולה¶

לגז אידיאלי מתקיים $P(V,T) = N \kB T / V$ כאשר $N$ קבוע.

(א) חשבו את $(\partial P/\partial T)_V$ ואת $(\partial P/\partial V)_T$, וכתבו את הדיפרנציאל השלם $\mathrm{d}P$.

(ב) קחו $N = 1.00\times10^{22}$, $V = 1.00\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ ו-$T = 300\ \mathrm{K}$. השתמשו בדיפרנציאל השלם כדי לאמוד את השינוי בלחץ כאשר הטמפרטורה עולה ב-$3\ \mathrm{K}$ בעוד הנפח יורד ב-$1.0\times10^{-5}\ \mathrm{m^3}$. אחר כך חשבו את השינוי במדויק ותנו את השגיאה היחסית של האומדן.

(ג) חזרו על (ב) כאשר הנפח עולה ב-$1.0\times10^{-5}\ \mathrm{m^3}$ במקום זאת. הסבירו את התוצאה בלי חישוב, תוך שימוש בצורה של $P(V,T)$ בלבד.

(ד) עבור $f(x,y) = x^2 y$, חשבו את $(\partial f/\partial x)_y$ בנקודה $(1,1)$ ואת $\mathrm{d}f/\mathrm{d}x$ בנקודה $x=1$ לאורך הישר $y=x$. השניים נבדלים. אמרו במדויק על איזו שאלה עונה כל אחד מהם, וזהו את האיבר בדיפרנציאל השלם שאחראי להפרש.

שאלה 5 — מדויקת או לא¶

התבוננו בשתי התבניות הדיפרנציאליות

(א) הפעילו את קריטריון הנגזרות המעורבות על כל אחת ואמרו איזו מהן מדויקת.

(ב) עבור המדויקת, מצאו את הפונקציה הפוטנציאלית $f$ שלה במפורש.

(ג) בצעו אינטגרציה על שתי התבניות מ-$(0,0)$ אל $(1,1)$ לאורך (i) הישר $y=x$ ו-(ii) המסלול הדו-שלבי לרוחב עד $(1,0)$ ואז למעלה. הציגו את ארבעת המספרים בטבלה והעירו על התבנית.

(ד) חשבו את $\oint \omega_2$ נגד כיוון השעון סביב ריבוע היחידה בעל הפינות $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$. הסבירו מדוע התשובה הייתה חייבת להיות שונה מאפס.

(ה) במודול 5 המישור הופך למישור $P$–$V$ ואחת התבניות שתבצעו עליהן אינטגרציה אינה מדויקת. במשפט אחד, אמרו איזו תוצאה פיזיקלית נובעת מאי-המדויקות הזו — בלי חישוב.

שאלה 6 — חישובית¶

בעזרת מחברת המעבדה של המודול והמודול thermolab.sampling:

(א) עבור $N \in \{4, 16, 64, 256, 1024\}$, מדדו את הפיזור היחסי של הממוצע של $N$ קוביות על פני לפחות 500 חזרות. שרטטו אותו כפונקציה של $N$ בצירים לוגריתמיים והתאימו את המעריך בעזרת validation.scaling_exponent. דווחו על הערך שהתקבל.

(ב) בדקו את המקדם ולא רק את המעריך: הכפילו כל פיזור נמדד ב-$\sqrt{N}$ והשוו ל-$\sigma_1/\mu_1$. הסבירו מדוע בדיקה של המעריך לבדו היא ראיה חלשה.

(ג) תכננו והריצו את הניסוי המפריך לטענה “הממוצע מתייצב מפני שהטלות מאוחרות מפצות על מוקדמות”: ייצרו הרצות רבות, השאירו רק את אלה שעשר ההטלות הראשונות שלהן מיצעו מעל 4.5, ומדדו את התוחלת של ההטלות הבאות באותן הרצות. דווחו על התוצאה עם אי-ודאות ואמרו מה היא פוסלת.

(ד) חזרו על (א) עם קובייה מוטה לבחירתכם. אמרו איזה משני המספרים — המעריך או המקדם — השתנה, ומדוע הגזירה בדף המודול חוזה בדיוק את זה.

(ה) נסחו דבר אחד שהתוצאות הנומריות שלכם אינן מוכיחות.