התמצאות — כמה זה מספיק כדי שיתקיים חוק - ThermoLab

התמצאות: כמה זה מספיק כדי שיתקיים חוק¶

למודול הזה שני תפקידים. הראשון הוא לנסח את השאלה שכל הקורס הוא תשובה לה, במסגרת הקטנה ביותר שבה אפשר לשאול אותה ביושר — בלי חלקיקים, בלי אנרגיה, בלי מכל. השני הוא לגלות אילו כלים תצטרכו לחדד, לפני שבעיה פיזיקלית תהיה תלויה בהם.

החידה: קובייה אחת חסרת חוק, אלף קוביות הן חוק¶

הטילו קובייה הוגנת אחת. שום תיאוריה בפיזיקה לא תגיד לכם מה יעלה. המכניקה הניוטונית שולטת בגלגול במלואו, ואינה מועילה לכם: התוצאה תלויה בהטלה ברגישות כזו שניבוי שלה ידרוש ידיעת תנאי ההתחלה בדיוק שאיש אינו יכול להשיג. ההטלה הבודדת היא, למעשה, חסרת חוק.

עכשיו הטילו אלף קוביות וקחו את הממוצע. תקבלו 3.50, פלוס-מינוס בערך 0.05. עשו זאת שוב — שוב 3.50, בערך באותו טווח. עשו זאת בחדר אחר, עם סט קוביות אחר, בשנה הבאה. עדיין 3.50. הטילו מיליון וקחו ממוצע: כעת התשובה היא 3.500 בטווח של כ-0.002, ואפשר לכייל מכשיר מולה.

דבר לא השתנה באף קובייה בודדת. כל אחת מהן בלתי צפויה בדיוק כמו קודם. ובכל זאת גודל הבנוי כולו מדברים בלתי צפויים הפך לניתן לשחזור עד כדי כך שאפשר להתייחס אליו כאל תכונה של האוסף ולא כאל מקרה של ההטלה.

כל נושא בקורס הזה נבחן מארבעה כיוונים בבת אחת, וכדאי לראות את כולם על משהו פשוט כמו קוביות לפני שהם מגיעים כרוכים בתרמודינמיקה:

מבט	עבור קוביות	בהמשך, עבור גז
מאקרוסקופי	הממוצע, 3.50	לחץ, טמפרטורה, אנטרופיה
מיקרוסקופי	ההטלות הבודדות	המיקומים והמהירויות של מולקולות
מתמטי	תוחלות, שונויות, אי-תלות	אותה אלגברה, ובנוסף דיפרנציאלים ואסימפטוטיקה
חישובי	להטיל הרבה, למדוד את הפיזור	לדמות את הגז, למדוד את הפלוקטואציה

המודול הזה הוא גם כלי אבחון. פיזיקה תרמית נשענת בכבדות על ארבע מיומנויות — יחידות, מוסכמות, נגזרות והסתברות — והיא נשענת עליהן כבר מהשבוע הראשון. בסוף הדף הזה תדעו במדויק על איזו מהארבע כדאי לכם לבזבז סוף שבוע.

נבאו לפני שאתם מחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת מאלה לפני שאתם קוראים הלאה או מריצים משהו. כתבו אותן. המטרה אינה לצדוק; המטרה היא לגלות איזו מהאינטואיציות שלכם עומדת להתהפך, ואיזה מהכלים שלכם חלוד.

אתם ממצעים 100 קוביות הוגנות. איזה מספר אתם מצפים לקבל, ועל איזה מרחק ממנו הייתם מהמרים שניסוי בודד כזה ייפול?
עכשיו אתם ממצעים 400 קוביות במקום 100. האם המרחק האופייני מ-3.5 נחצה, מתרבע, או נשאר בערך אותו דבר?
אתם מסתכלים על הסכום של 400 הקוביות ולא על הממוצע שלהן. האם גם הפיזור שלו מצטמצם?
לחץ נמדד בפסקלים; צפיפות אנרגיה בג’אולים למטר מעוקב. האם לאלה אותם ממדים? ואם כן, האם זה צירוף מקרים?
יהי $f(x,y) = x^2 y$ . האם $(\partial f/\partial x)_y$ בנקודה $(1,1)$ הוא אותו מספר כמו $\mathrm{d}f/\mathrm{d}x$ בנקודה $x=1$ לאורך הישר $y = x$ ?

חקרו את המודל¶

הנה התופעה בתמונה אחת. משמאל, ארבע מאות הטלות של קובייה אחת, לפי הסדר. מימין, הממוצע הרץ של אותה סדרה עצמה, מתייצב על הקו המקווקו ב-3.5 בלי ששום דבר בצד שמאל הופך אי פעם מסודר.

משמאל: הטלות בודדות של קובייה, מפוזרות בין אחת לשש בלי שום תבנית שמופיעה אי פעם. מימין: הממוצע הרץ של אותן הטלות עצמן, מתכנס אל הקו המקווקו ב-3.5. הפאנל השמאלי הוא האקראיות הגולמית; הפאנל הימני הוא אותם נתונים, מצטברים. שום דבר לא הוחלק, סונן או תוקן — הפעולה היחידה שהופעלה הייתה חלוקה במספר ההטלות עד כה.

עכשיו התבוננו במה שמשתנה כאשר כל ניסוי גדל. למטה, הניסוי “מיצוע $N$ קוביות” חוזר 160 פעמים בשלושה ערכים של $N$ , עם נקודה אחת לכל ניסוי שהושלם:

שלושה פאנלים ב- $N = 10$ , 100 ו-1000, החולקים סקאלה אנכית, עם נקודה אחת לכל ניסוי שהושלם. הפיזור האנכי של עמודת נקודות הוא מידת השחזוריות של ניסוי בודד, והוא מצטמצם בחדות ככל ש- $N$ גדל. שאר הדף עוסק בשאלה כמה מהר.

מפרט המודל

מערכת: $N$ קוביות, כל אחת מראה אחד משישה פנים בעלי הסתברות שווה; הגודל הנמדד הוא הסכום או הממוצע שלהן.
דינמיקה: אין — כל דגימה בלתי תלויה בכל האחרות, בלי זיכרון ביניהן ובלי שדבר מתפתח בזמן.
גבול: סגור באופן טריוויאלי; $N$ קבוע בניסוי אחד ודבר אינו מוחלף עם דבר.
צבר: לכל פן הסתברות שווה, מכוח הנחה ולא מכוח הוכחה.
מוזנח: כל הפיזיקה של קוביות אמיתיות — הגלגול, הקפיצה, אי-סימטריה של הנקודות, גרר האוויר, והכאוס הדטרמיניסטי שהוא הסיבה האמיתית לכך שהטלה נראית אקראית.
תקף כאשר: האקראיות מתוארת היטב על ידי דגימות אחידות בלתי תלויות; מחולל פסאודו-אקראי עם זרע הוא כזה מעצם בנייתו.
אופני כשל: דגימות מתואמות, קוביות מוטות, וכל שאלה על הטלה בודדת מעבר להתפלגות שלה.

כל סימולציה בקורס נושאת בלוק כמו זה, וכדאי לדעת מדוע לפני שתפגשו דוגמה קשה יותר. שניים משבעת השדות עושים כאן עבודה חריגה. דינמיקה: אין הוא חריג — רוב המודלים בקורס מפתחים משהו — וזו הסיבה שקוביות הן נקודת ההתחלה הנכונה: מה שגורם לממוצע להתייצב אינו יכול להיות מנגנון דינמי, מפני שאין דינמיקה. ו צבר נראית מילה משונה עבור קוביות, אבל הרשומה היא הכנה: “לכל פן הסתברות שווה” היא הנחת יסוד שאנחנו בוחרים, לא עובדה שביססנו. מודול 8 מניח בדיוק הנחה מסוג זה על המיקרו-מצבים של גז, וכל המכניקה הסטטיסטית נשענת עליה.

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו. שלושה דברים כדאי לעשות לפני שתקראו הלאה:

התבוננו בממוצע הרץ עבור $N = 10$ , ואז עבור $N = 10{,}000$ . שימו לב שהעקומה משוננת באותה מידה בהתחלה בשני המקרים.
הריצו מחדש את אותו ניסוי עם זרע אחר, כמה פעמים, וראו כמה זזה התשובה הסופית.
הטו את הקובייה — עשו את השש סביר פי שניים מכל פן אחר — וראו אילו חלקים בתמונה משתנים ואילו לא.

גזרו את התוצאה¶

עכשיו נבצע את החישוב שהסימולציה מחקה. הוא אינו זקוק לחשבון דיפרנציאלי ולא למשפט הגבול המרכזי — רק להגדרות של תוחלת ושונות, ולתכונה אחת של גדלים בלתי תלויים.

מערכת. $N$ קוביות. משתנים בלתי תלויים. $N$ , וההתפלגות של קובייה אחת. הנחה. הדגימות בלתי תלויות — תוצאת אחת אינה מלמדת דבר על אף אחרת.

הגדרות, וקובייה אחת¶

משתנה מקרי, תוחלת, שונות, אי-תלות

משתנה מקרי $X$ מקבל את הערך $x_k$ בהסתברות $p_k$ , כאשר $\sum_k p_k = 1$ . התוחלת שלו והשונות שלו הן

\mu = \langle X \rangle = \sum_k p_k x_k , \qquad \sigma^2 = \big\langle (X - \mu)^2 \big\rangle = \langle X^2 \rangle - \mu^2 .

(1)

סטיית התקן $\sigma$ היא השורש הריבועי של השונות, ונושאת את אותן יחידות כמו $X$ עצמו. שני משתנים מקריים הם בלתי תלויים כאשר $\langle XY \rangle = \langle X \rangle \langle Y \rangle$ — ידיעת האחד אינה מלמדת דבר על האחר.

עבור קובייה הוגנת בעלת שישה פנים, $p_k = 1/6$ לכל $k = 1,\dots,6$ , ולכן

\mu_1 = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{7}{2} = 3.5 , \qquad \langle X^2 \rangle = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} ,

(2)

\sigma_1^2 = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{35}{12} \approx 2.917 , \qquad \sigma_1 \approx 1.708 .

(3)

בלי שום קירוב בשום מקום: אלה התכונות המדויקות של קובייה אחת.

התכונה האחת שעושה את כל העבודה¶

תוחלות תמיד מתחברות; שונויות מתחברות עבור גדלים בלתי תלויים

עבור כל שני משתנים מקריים, $\langle X + Y \rangle = \langle X \rangle + \langle Y \rangle$ . עבור השונות, פיתוח ההגדרה נותן

\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\big( \langle XY \rangle - \langle X \rangle \langle Y \rangle \big) .

(4)

הסוגר האחרון הוא השונות המשותפת. הוא מתאפס בדיוק כאשר $X$ ו- $Y$ בלתי תלויים, ואז — ורק אז —

\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) .

(5)

חזרה על הטיעון $N-1$ פעמים מרחיבה אותו לכל מספר של איברים בלתי תלויים הדדית.

שימו לב למה שההוכחה לא השתמשה: בשום דבר על קוביות, בשום דבר על שישה פנים, בשום דבר על צורת ההתפלגות. היא זקוקה רק לכך שלכל גודל יש שונות סופית ושהם בלתי תלויים הדדית. הכלליות הזו היא הסיבה שהחישוב האחד הזה עדיין יעשה את העבודה כאשר הגדלים המקריים יהיו מהירויות מולקולריות (מודול 4) או מספרי אכלוס (מודול 8) — והנחת אי-התלות היא בדיוק מה שנכשל במערכות שבהן פיזיקה תרמית נעשית קשה.

המסקנה¶

יהי $S_N = X_1 + \dots + X_N$ הסכום של $N$ קוביות בלתי תלויות, ו- $\bar{A}_N = S_N / N$ הממוצע שלהן. תוחלות מתחברות, ולכן לשניהם הערך הצפוי שהייתם מנחשים. שונויות מתחברות, ולכן $\operatorname{Var}(S_N) = N \sigma_1^2$ ; ומכיוון שהכפלת גודל ב- $1/N$ מכפילה את שונותו ב- $1/N^2$ ,

\boxed{\; \sigma_{S_N} = \sigma_1 \sqrt{N} , \qquad \sigma_{\bar{A}_N} = \frac{\sigma_1}{\sqrt{N}} \; }

(6)

קראו את שתי אלה יחד, מפני שהן התשובה לניבוי 3 והן מצביעות לכיוונים הפוכים. הסכום נעשה רועש יותר במונחים מוחלטים ככל ש- $N$ גדל; הממוצע נעשה יציב יותר. שתי הטענות נובעות מאותו $N\sigma_1^2$ , והבלבול ביניהן הוא הטעות הרגילה.

מדוע הניסוח הכן הוא יחס¶

הפיזור $\sigma$ נושא את היחידות של מה שנמדד. זה הופך אותו לחסר תועלת כמדד ל"יציבות" בפני עצמו: פיזור של 0.05 הוא עצום עבור גודל בסדר 0.01 ובלתי נראה עבור גודל בסדר 10⁶. הגודל בעל המשמעות הוא היחס חסר הממד

\frac{\sigma_{\bar{A}_N}}{\mu_1} = \frac{\sigma_1}{\mu_1} \, N^{-1/2} \qquad\text{with}\qquad \frac{\sigma_1}{\mu_1} = \frac{\sqrt{35/12}}{7/2} \approx 0.488 \ \text{for a die.}

(7)

זהו חוק $N^{-1/2}$ , על המקדם שלו. עבור $N = 100$ הוא נותן כ- $4.9\%$ ; עבור $N = 10^4$ , כ- $0.49\%$ ; עבור $N = 10^{23}$ , כ-10^-12 — וזו הסיבה שלגז יש לחץ ולקובייה בודדת אין ממוצע.

ההרגל הזה — השוואת שברים במקום הפרשים מוחלטים — אינו העדפה סגנונית. האנרגיות בקורס הזה הן דרך קבע $10^{-18}\,\mathrm{J}$ , וכל בדיקה ששואלת אם שתיים מהן מסכימות “עד כדי 10^-12” תשיב כן ולא משנה מה הפיזיקה עשתה.

שני דברים לא הוצגו בכוונה. לא הראינו איזו צורה מקבלת ההתפלגות של $\bar{A}_N$ — שהיא נעשית עקומת פעמון הוא משפט הגבול המרכזי, וזו תוצאה של מודול 3, לא שלנו. ולא הראינו שהממוצע מובטח להיות קרוב, אלא רק שהמרחק האופייני שלו מצטמצם; הפיכת זה לחסם הסתברותי אמיתי היא הסעיף המתקדם שלהלן.

אמתו חישובית¶

לגזור נוסחה ולסמוך עליה הם דברים שונים. המעבדה מודדת את החוק במקום להניח אותו, וכל בדיקה שלהלן היא גם מבחן בערכת הבדיקות של הפרויקט, כך שהטענות בדף הזה אינן יכולות להירקב בשקט.

1. המעריך. מדדו את הפיזור היחסי של $\bar{A}_N$ עבור $N \in \{4, 16, 64, 256, 1024\}$ , התאימו ישר ל- $\log \sigma$ כפונקציה של $\log N$ , וקראו את השיפוע. הוא יוצא -0.5.

2. המקדם. מעריך מותאם לבדו הוא ראיה חלשה — מודלים שגויים רבים מייצרים שיפוע קרוב ל- $-\tfrac{1}{2}$ . לכן אנחנו בודקים גם את המקדם: הפיזור הנמדד כפול $\sqrt{N}$ חייב להחזיר $\sigma_1/\mu_1 \approx 0.488$ , וכך אכן קורה, עד כדי אחוזים בודדים.

3. סכום מול ממוצע. אותם נתונים, בשתי קריאות: הפיזור המוחלט של הסכום מותאם ל-+0.5 בעוד הפיזור היחסי של הממוצע מותאם ל--0.5.

4. המנגנון. זה השווה להרצה עצמאית.

שלושת ההרגלים ההופכים את המספרים האלה לאמינים ראויים לשם, מפני שכל מודול מאוחר יותר משתמש בהם:

כל פונקציה אקראית מקבלת את המחולל שלה כארגומנט. שום דבר ב-thermolab אינו פונה למצב אקראי גלובלי, ולכן כל תוצאה שאתם רואים ניתנת לשחזור מדויק.
תוצאות אקראיות מושוות עם סרגל שגיאה, לעולם לא בערומן. מדידה ש"מסכימה עם התיאוריה" בלי אי-ודאות צמודה לא הושוותה לשום דבר.
הסכמה נשפטת כשבר. ראו את הסעיף הקודם לגבי מה משתבש אחרת.

העבירו את הרעיון¶

האלגברה שלמעלה באורך שלוש שורות והיא נושאת את משקל שאר הקורס.

מודול 3 — הסתברות והתהוות. אותו סכום של משתנים בלתי תלויים, עם השאלה שדחינו: לא כמה רחבה ההתפלגות של ממוצע, אלא איזו צורה היא מקבלת. התשובה היא משפט הגבול המרכזי.
מודול 4 — תורה קינטית. הגדלים המקריים הופכים למהירויות מולקולריות והממוצע הופך ללחץ על דופן. הפלוקטואציה היחסית יוצאת $N^{-1/2}$ , מאותו טיעון עצמו, ואפשר לראות אותה על מד לחץ מדומה: המקור המיקרוסקופי של הלחץ.
מודול 8 — אנטרופיה. העצמים הנספרים הופכים למיקרו-מצבים. שיא ריבוי המצבים מצטמצם כ- $N^{-1/2}$ , וזו הסיבה שגז מבודד לעולם אינו מתקבץ בפינה אחת: אנטרופיה וריבוי מצבים.

הדרך שלפנינו¶

#	מודול	השאלה שהוא עונה עליה
0	התמצאות	כיצד דברים בלתי צפויים רבים מסתכמים לדבר אמין אחד?
1	שיווי משקל תרמי	מה פירוש הדבר ששני גופים נמצאים “באותה טמפרטורה”?
2	משוואות מצב	כיצד לחץ, נפח וטמפרטורה קשורים זה לזה?
3	הסתברות והתהוות	איזו צורה מקבל ממוצע של גדלים מקריים רבים?
4	תורה קינטית	מהיכן מגיע הלחץ, מכנית?
5	החוק הראשון	מדוע האנרגיה המועברת תלויה בדרך שנבחרה?
6	תהליכים תרמודינמיים	מה מבדיל בין הדרכים זו מזו?
7	החוק השני	מדוע שום מנוע אינו יכול לעלות על נצילות מסוימת?
8	אנטרופיה	מדוע דברים קורים בכיוון אחד ולא באחר?
9–12	יחס היסוד, פוטנציאלים, צברים, פונקציות חלוקה	כיצד כל האמור לעיל הוא תיאוריה אחת ולא רשימת זהויות?
13–18	מתקדם	פוטנציאל כימי, מופעים, מעברי מופע, קרינה, סטטיסטיקה קוונטית, הולכה

מודולים 4, 5 ו-8 כתובים; השאר בדרך. שום דבר בדף הזה אינו תלוי בקריאתם לפי הסדר.

מפת המוכנות שלכם¶

השוו את חמשת הניבויים שלכם לתשובות, והשתמשו בחידון שלהלן כמבחן האמיתי. ואז השקיעו את הזמן שלכם היכן שהטבלה הזו שולחת אתכם.

מיומנות	נובאה ב	נבדקת ב	לרענון
תוחלת ושונות של משתנה מקרי	1	Q2	גזירה, בלוק ההגדרות
חוק $N^{-1/2}$ , וסכום מול ממוצע	2, 3	Q1, Q3, Q9	גזירה, התוצאה הממוסגרת
ניתוח ממדי ויחידות SI	4	Q4	רענון — ניתוח ממדי
נגזרות חלקיות והדיפרנציאל השלם	5	Q5, Q6	רענון — נגזרות חלקיות
דיפרנציאלים מדויקים ולא מדויקים	—	Q7	רענון — מדויק ולא מדויק
המוסכמות של הקורס	—	Q8, Q10	מוסכמות

שני דפי עזר יושבים מחוץ לרצף המודולים ונועדו לחזרה ולא לקריאה חד-פעמית: מוסכמות, המפרט את הבחירות שהקורס עושה ודבק בהן, והרענון המתמטי, שהוא ארגז הכלים שהוא מניח.

בדקו את הבנתכם¶

תנו לעצמכם ציון ביושר — זהו כלי אבחון ולא בחינה, והמשוב לכל פריט נוקב בסעיף שכדאי לחזור אליו. מפת המוכנות שלמעלה הופכת את התשובות השגויות שלכם לתוכנית לימוד.

מיצוע של 100 קוביות הוגנות נותן תשובה שנופלת בדרך כלל בטווח של כ-0.17 מ-3.5. כעת אתם ממצעים 10,000 קוביות במקום זאת. איזו טענה נכונה?
A. כ-0.017 — המרחק האופייני דועך כמו N^(-1/2), ולכן N גדול פי מאה מצמצם אותו פי עשרה. B. כ-0.017 — ההטלות המאוחרות מפצות על הסטיות המוקדמות ומבטלות אותן. C. כ-0.0017 — המרחק האופייני דועך כמו 1/N. D. כ-0.17 — מיצוע של יותר קוביות אינו משנה כמה ניסוי בודד סוטה.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — כ-0.017 — המרחק האופייני דועך כמו N^(-1/2), ולכן N גדול פי מאה מצמצם אותו פי עשרה.
- A. נכון, גם במספר וגם בנימוק. סטיית התקן של הממוצע היא sigma_1/sqrt(N), ולכן הכפלת N ב-100 מחלקת את הפיזור ב-10.
- B. המספר נכון והמנגנון שגוי, וזה שווה יותר ממחצית הנקודות בכיוון הלא נכון. לקוביות אין זיכרון: אחרי רצף של שישיות ההטלה הבאה עדיין מתמצעת ל-3.5, והמעבדה מודדת בדיוק את זה. העודף המוקדם לעולם אינו מבוטל — הוא מחולק ב-N ההולך וגדל עד שהוא מפסיק להיות משמעותי. ההתכנסות היא דילול, לא פיצוי.
- C. זו טעות הסקאלה הנפוצה ביותר. שונויות מתחברות, ולכן השונות של הממוצע דועכת כמו 1/N — והפיזור הוא השורש הריבועי של השונות, כלומר N^(-1/2). קראו מחדש את התוצאה הממוסגרת בסעיף הגזירה.
- D. אילו זה היה נכון, שום גודל מאקרוסקופי לא היה ניתן לשחזור אי פעם. הריצו את האנימציה השנייה של המעבדה: פיזור הנקודות מצטמצם לעין ככל ש-N גדל.
חשבו את השונות של הטלה בודדת של קובייה הוגנת בעלת שישה פנים. תנו מספר עשרוני.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 2.917 (± 0.05)
= 7/2 וגם <X^2> = 91/6, ולכן השונות היא 91/6 - 49/4 = 35/12 = 2.9167. סטיית התקן היא השורש הריבועי שלה, כ-1.708 — והיחס חסר הממד sigma_1/mu_1 הוא כ-0.488, המקדם שלפני N^(-1/2). אם קיבלתם 1.708 חישבתם את סטיית התקן במקום; אם קיבלתם 17.5 שכחתם להחסיר את ריבוע התוחלת.
ככל ש-N גדל, מה קורה לפיזור המוחלט של הסכום של N קוביות, ומה קורה לפיזור היחסי של הממוצע שלהן?
A. הפיזור המוחלט של הסכום גדל כמו sqrt(N); הפיזור היחסי של הממוצע דועך כמו N^(-1/2). B. שניהם מצטמצמים, שכן מיצוע תמיד מדכא אקראיות. C. שניהם גדלים, שכן יותר קוביות פירושן יותר הזדמנויות לתוצאה קיצונית. D. הפיזור של הסכום נשאר קבוע; זה של הממוצע דועך כמו 1/N.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — הפיזור המוחלט של הסכום גדל כמו sqrt(N); הפיזור היחסי של הממוצע דועך כמו N^(-1/2).
- A. נכון, ושניהם נובעים מהטענה היחידה ששונויות של גדלים בלתי תלויים מתחברות. הסכום נעשה פחות צפוי במונחים מוחלטים בו בזמן שהממוצע נעשה צפוי יותר במונחים יחסיים; אין כאן סתירה, מפני שאלה שאלות שונות על אותם נתונים.
- B. הממוצע מצטמצם, אבל הסכום לא. מתקיים Var(S_N) = N sigma_1^2, ולכן סטיית התקן של הסכום היא sigma_1 sqrt(N), הגדלה ללא חסם. רק אחרי חלוקה ב-N הפיזור מצטמצם.
- C. נכון לגבי הסכום, שגוי לגבי הממוצע. יותר קוביות אכן מגדילות סך קיצוני במונחים מוחלטים — אבל הסך שאליו הוא מושווה גדל מהר יותר (כמו N ולא כמו sqrt(N)), ולכן הסטייה היחסית של הממוצע דועכת.
- D. שני החצאים שגויים. שני המעריכים נובעים מ-Var(S_N) = N sigma_1^2: הוציאו שורש עבור הסכום, ואז חלקו ב-N עבור הממוצע.
איזה מהביטויים האלה יכול להיות מהירות מולקולרית? (k_B הוא קבוע בולצמן, T טמפרטורה, m מסת חלקיק.)
A. sqrt(3 k_B T / m) B. 3 k_B T / m C. sqrt(3 k_B T m) D. sqrt(3 k_B T / m^2)
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — sqrt(3 k_B T / m)
- A. נכון. הביטוי k_B T הוא אנרגיה, ולכן k_B T / m הוא אנרגיה ליחידת מסה, כלומר (אורך/זמן)^2; השורש הריבועי הוא מהירות. שימו לב למה שהבדיקה הזו אינה יכולה לומר לכם: אם המקדם הוא 1, 2 או 3. ממדים פוסלים נוסחאות שגויות; הם לעולם אינם מייצרים נכונות.
- B. לזה יש ממדים של מהירות בריבוע, לא של מהירות — אנרגיה ליחידת מסה. אתם במרחק שורש ריבועי אחד.
- C. הכפלה במסה במקום חלוקה בה נותנת אנרגיה כפול מסה, שהשורש הריבועי שלה הוא תנע ולא מהירות. בדקו על ידי כתיבת kg m^2 s^-2 כפול kg.
- D. זה נותן מהירות חלקי שורש של מסה. הרגל שימושי: צמצמו כל מועמד לחזקות של kg, m, s ו-K לפני שאתם מכריעים.
עבור f(x, y) = x^2 y, חשבו את הנגזרת החלקית של f לפי x בעוד y מוחזק קבוע, בנקודה (x, y) = (2, 3).
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 12 (± 0.01)
כאשר y מוחזק קבוע, הנגזרת של x^2 y לפי x היא 2xy, כלומר 223 = 12. אם קיבלתם 4 גזרתם את x^2 והשמטתם את הגורם y; אם קיבלתם 4 עבור הנגזרת האחרת חישבתם את הנגזרת לפי y, שהיא x^2.
מהו הדיפרנציאל השלם df של f(x, y) = x^2 y?
A. df = 2xy dx + x^2 dy B. df = x^2 dx + 2xy dy C. df = 2xy dx D. df = 2xy + x^2
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — df = 2xy dx + x^2 dy
- A. נכון — כל נגזרת חלקית מוכפלת בדיפרנציאל של המשתנה שלה. זהו העצם שהתרמודינמיקה מתמרנת בו ללא הרף; כל יחס מקסוול במודול 10 הוא טענה על דיפרנציאלים מסוג זה בדיוק.
- B. שני המקדמים הוחלפו. המקדם של dx חייב להיות הנגזרת לפי x כאשר y מוחזק קבוע, כלומר 2xy.
- C. זו התגובה לשינוי ב-x בלבד. הדיפרנציאל השלם מביא בחשבון את שני המשתנים המשתנים; השמטת האיבר dy היא בדיוק הטעות שגורמת לנגזרת חלקית ולנגזרת שלמה לא להסכים.
- D. תבנית דיפרנציאלית חייבת לשאת את הדיפרנציאלים dx ו-dy. בלעדיהם זהו רק סכום של שתי נגזרות, ואי אפשר לבצע עליו אינטגרציה לאורך מסלול.
האם התבנית הדיפרנציאלית w = y dx (כלומר M = y ו-N = 0) מדויקת?
A. לא — dM/dy = 1 אבל dN/dx = 0, ולכן אין פונקציה פוטנציאלית והאינטגרל תלוי במסלול. B. כן — זהו הדיפרנציאל של xy. C. כן — כל תבנית הבנויה מפונקציות חלקות היא מדויקת. D. אי אפשר להכריע בלי לבחור תחילה מסלול.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — לא — dM/dy = 1 אבל dN/dx = 0, ולכן אין פונקציה פוטנציאלית והאינטגרל תלוי במסלול.
- A. נכון. קריטריון הנגזרות המעורבות מכריע זאת בלי לבצע שום אינטגרציה, והאינטגרלים מאשרים: מ-(0,0) אל (1,1) התבנית הזו נותנת 0, 1/2 או 1 בהתאם לדרך. במודול 5 זו המתמטיקה שמאחורי היות החום והעבודה פונקציות מסלול.
- B. מתקיים d(xy) = y dx + x dy, ובזה יש איבר נוסף. גזרו את הפונקציה הפוטנציאלית שהצעתם והשוו לתבנית שקיבלתם; לאיבר x dy אין מהיכן להגיע.
- C. החלקות אינה העניין. מדויקות היא תנאי על היחס בין M ל-N זו לזה, ורוב התבניות החלקות אינן מקיימות אותו.
- D. זה הפוך: הקריטריון הוא בדיוק מה שמאפשר להכריע לפני בחירת מסלול כלשהו, וכל תוכנו הוא השאלה אם בחירת המסלול תשנה.
גז נדחס: הסביבה דוחפת בוכנה פנימה והנפח קטן. במוסכמת הסימנים שהקורס הזה משתמש בה בכל מקום, איבר העבודה המופיע בחוק הראשון הוא איזה מהבאים?
A. חיובי, מפני שאנרגיה הועברה אל תוך הגז. B. שלילי, מפני שנפח הגז קטן. C. שלילי, מפני שעבודה נכנסת לחוק הראשון תמיד עם סימן מינוס. D. אפס, מפני שדחיסה מעבירה חום ולא עבודה.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — חיובי, מפני שאנרגיה הועברה אל תוך הגז.
- A. נכון. הקורס הזה כותב את החוק הראשון עם העבודה הנעשית על המערכת, ולכן כל מה שנכנס למערכת מתווסף לאנרגיה הפנימית שלה ואין סימן מינוס שצריך לזכור. דחיסה מכניסה אנרגיה, ולכן האיבר חיובי.
- B. הסימן עוקב אחרי כיוון זרימת האנרגיה, לא אחרי כיוון שינוי הנפח. דחיסת הגז עושה עליו עבודה, ולכן אנרגיה נכנסה.
- C. זו המוסכמה הנפוצה האחרת, שבה העבודה הנספרת היא זו שהמערכת מבצעת. שתי המוסכמות הן פיזיקה נכונה והקורס הזה משתמש באחרת — ראו את עמוד המוסכמות, המציב את השתיים זו לצד זו.
- D. דחיפת בוכנה היא העברת אנרגיה מכנית, שהיא עבודה מעצם ההגדרה. ייתכן שגם חום זורם, אבל זהו איבר נפרד באותה משוואה.
לפני שאתם מחשבים דבר: מה צפוי יותר — תוצאה של הטלת קובייה אחת, או הממוצע של עשרת אלפים? אמרו בערך בכמה, ונקבו במנגנון האחראי במילים שלכם.
בדקו את התשובה
הטלה אחת סוטה מ-3.5 בכ-1.7 בדרך כלל; הממוצע של 10,000 סוטה בכ-0.017, שיפור פי מאה. המנגנון הוא העיקר. תשובה טובה אומרת שכל הטלה חדשה תורמת כמות קבועה של פיזור לסך בעוד היא תורמת יחידה שלמה למניין, ולכן הפיזור של הסך גדל רק כמו sqrt(N) בעוד הסך עצמו גדל כמו N. תשובה שאומרת “הסטיות מתבטלות” מתארת פיצוי, שאינו מתרחש: שום דבר בקוביות אינו משתנה אחרי רצף של שישיות. אם כתבתם זאת, הריצו את ניסוי ההתניה של המעבדה לפני שתמשיכו.
בשניים או שלושה משפטים: מה מסמן הדיפרנציאל החתוך ב-“delta Q”, ומדוע הקורס הזה מתייג טענות ממוסגרות מסוימות כ"משפט" ואחרות כ"תצפית נומרית"?

שאלות ברמת בחינה למודול הזה — אלה ששווה לפתור עם עט — מרוכזות בדף השאלות.

הסבירו במילים שלכם¶

ענו בכמה משפטים על כל אחת. אלה השאלות שחושפות אם הרעיונות נקלטו; שום מספר לא יציל אתכם.

הרווח של קזינו בסיבוב בודד אינו צפוי, ובכל זאת ההכנסה השנתית שלו מתוקצבת עד כדי שבריר האחוז. הסבירו מדוע, בלי לתת למילה “ממוצע” לעשות עבודה שלא נבחנה — התשובה שלכם חייבת לומר איזה תפקיד ממלא מספר הסיבובים.
סטודנט אומר: “הממוצע מתייצב מפני שרצף של הטלות גבוהות מבוטל על ידי רצף של נמוכות בהמשך.” תקנו את המשפט הזה, ואמרו במדויק מה שגוי בגרסה שניתנה.
מדוע יחס חסר ממד הוא הדרך הכנה היחידה לומר שמשהו “יציב”? תנו דוגמה שבה פיזור מוחלט היה מטעה אתכם.
הביטו חזרה בחמשת הניבויים שלכם. איזה מהם היה שגוי, או איזה לקח לכם הכי הרבה זמן? נקבו בכלי המסוים המעורב, ובמקום שאליו תלכו כדי לחדד אותו.

מתקדם: מ"קרוב בדרך כלל" ל"קרוב כמעט בוודאות"¶

הגזירה הראתה שהמרחק האופייני של $\bar{A}_N$ מ- $\mu$ מצטמצם כ- $N^{-1/2}$ . זו אינה אותה טענה כמו ערובה. הפיכתה לערובה דורשת שני צעדים קצרים.

אי-שוויון מרקוב. עבור משתנה מקרי $Y \ge 0$ וכל $a > 0$ מתקיים $\langle Y \rangle \ge a \, P(Y \ge a)$ , מפני שהסכום המגדיר את $\langle Y\rangle$ יכול רק להפסיד מהשמטת כל תוצאה מתחת ל- $a$ ומהחלפת השאר ב- $a$ . מכאן

P(Y \ge a) \le \frac{\langle Y \rangle}{a} .

(8)

אי-שוויון צ’בישב. הפעילו את מרקוב על $Y = (X - \mu)^2$ ועל $a = \varepsilon^2$ :

P\big(|X - \mu| \ge \varepsilon\big) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} .

(9)

בהפעלה על הממוצע של $N$ קוביות בלתי תלויות, ששונותו היא $\sigma_1^2/N$ , זה נותן

P\big(|\bar{A}_N - \mu_1| \ge \varepsilon\big) \le \frac{\sigma_1^2}{N \varepsilon^2} \;\xrightarrow[N \to \infty]{}\; 0 \qquad\text{for every fixed } \varepsilon > 0 .

(10)

זהו חוק המספרים הגדולים החלש, וכעת זו טענה הסתברותית של ממש: קבעו כל סבילות שתרצו, הדוקה ככל שתהיה, ואת הסיכוי להחטיא אותה אפשר להוריד מתחת לכל חסם על ידי לקיחת $N$ גדול מספיק. שימו לב מה נשא את הטיעון — רק קיומה של שונות סופית. בלי עקומת פעמון, בלי הנחה על צורה, בלי שום דבר על קוביות במיוחד.

מדוע שונות, ולא מדד פיזור אחר? הסטייה המוחלטת הממוצעת $\langle |X - \mu| \rangle$ היא בהחלט מדד טבעי יותר למרחק אופייני, והיא הכלי הלא נכון כאן מסיבה מכרעת אחת: היא אינה מתחברת. שונויות של גדלים בלתי תלויים מתחברות בדיוק, וזה מה שאפשר לנו לעבור מקובייה אחת ל- $N$ בשורה אחת. האדיטיביות הזו היא כל הסיבה שהמומנט השני, ולא הראשון, יושב במרכז הפיזיקה הסטטיסטית — והיא הסיבה שתפגשו את $\sigma^2$ שוב כפלוקטואציית אנרגיה הקשורה לקיבול חום במודול 18.