המקור המיקרוסקופי של הלחץ

החידה: אלימות מלמטה, שלווה מלמעלה¶

לחצו בכף היד על שולחן, והכוח שתחושו יהיה יציב. עכשיו לחצו על האוויר — האטמוספרה דוחפת בחזרה על כל סנטימטר רבוע של העור בכוח של כעשרה ניוטון, וגם הדחיפה הזו יציבה. יציבה מספיק כדי שברומטר שנבנה בשנת 1643 יעבוד גם היום.

אלא שהאוויר אינו נוזל חלק הלוחץ עליכם. הוא כ-$3 \times 10^{19}$ מולקולות בסנטימטר מעוקב, כל אחת נעה במאות מטרים לשנייה, כל אחת פוגעת בעור, ניתזת וממשיכה הלאה. אין דבר עדין או סדיר בהתנגשות בודדת. מולקולה מגיעה ברגע אקראי, מכיוון אקראי ובמהירות אקראית.

וכאן החידה שהמודול הזה קיים כדי לפתור:

התשובה, כפי שיתברר, אינה קשורה כלל להתמתנות ההתנגשויות. היא קשורה לכמות שלהן, והיא תיתן לנו את חוק המספרים הגדולים הכמותי הראשון שלנו: הגודל היחסי של הרעש דועך כמו $1/\sqrt{N}$.

לנבא לפני שמחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת מהשאלות הבאות לפני שתריצו משהו. רשמו אותן. המטרה אינה לצדוק — המטרה היא לגלות איזו מן האינטואיציות שלכם הסימולציה תהפוך על פיה.

1. גז של $N$ חלקיקים בטמפרטורה $T$ נמצא בקופסה שנפחה $V$. אתם מכפילים את $N$ פי שניים בעוד $T$ ו-$V$ קבועים. מה קורה ללחץ? ומה קורה לגודל היחסי של הפלוקטואציות שלו?

2. אתם מכפילים את המסה $m$ של כל חלקיק פי שניים תוך שמירה על טמפרטורה קבועה. כל חלקיק נושא כעת יותר תנע בכל התנגשות. האם הלחץ עולה?

3. שתי קופסאות מכילות אותו גז באותה טמפרטורה. באחת יש 100 חלקיקים, בשנייה 10⁶. באיזו מהן מד הלחץ ירטוט באופן נראה לעין?

4. בשיווי משקל, האם התנועה המיקרוסקופית נפסקה?

לחקור את המודל¶

מחברת המעבדה של המודול מאפשרת לכם לקבוע את $N$, את $T$, את מסת החלקיק ואת גודל הקופסה, ואז לצפות בשלושה דברים בו-זמנית: המתקפים הבודדים המגיעים לדופן, הממוצע בזמן של הלחץ, והערך $N k_B T / V$ שחוק הגזים האידיאליים חוזה.

הנה התופעה בתמונה אחת. משמאל, שישים אטומי ארגון בטמפרטורה של 300 קלווין, בעיסוקיהם. מימין, הממוצע המצטבר של הלחץ שהם מפעילים, מתכנס אל הקו המקווקו — חוק הגזים האידיאליים — מבלי שמשהו בצד שמאל יהפוך אי פעם לסדור.

שימו לב מה משתנה כשיש יותר חלקיקים. שלוש הפאנלים הבאים מריצים את אותה מדידה בדיוק עבור $N = 20$, 200 ו-2000, ומציגים אותה כשבר מן הלחץ החזוי כדי שההשוואה תהיה הוגנת:

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו לכאן. שלושה דברים שכדאי לעשות לפני שממשיכים לקרוא:

• קבעו $N = 20$ וצפו בגרף הלחץ. אחר כך קבעו $N = 2000$ וצפו שוב.

• שמרו על $T$ קבועה והכפילו את המסה. הביטו במה שקורה למהירויות, ובמה שקורה ללחץ.

• כווצו את הקופסה בעוד $N$ ו-$T$ קבועים, וראו כיצד משתנה קצב ההתנגשויות.

לגזור את התוצאה¶

כעת נבצע את החישוב שהסימולציה מחקה. כל מה שלהלן מדויק עבור המודל שלמעלה; דבר אינו מקורב אלא במקום שבו נאמר במפורש שהוא כזה.

מערכת וגבול. הגז שבתוך המיכל. הדופן היא הגבול, ואנחנו מחשבים את הכוח שהיא חשה.

משתנים בלתי תלויים. הגדלים $N$, $V$, $T$ ומסת החלקיק $m$.

מוסכמת סימנים. תנע המועבר אל הדופן נספר כחיובי.

חלקיק אחד, דופן אחת¶

נבחר דופן הניצבת לציר $x$. חלקיק שרכיב מהירותו הוא $v_x$ פוגע בה וניתז באופן אלסטי, ועוזב עם $-v_x$. התנע של החלקיק השתנה ב-$-2 m v_x$, ולכן מחוק שימור התנע קיבלה הדופן

בין התנגשות להתנגשות עם אותה דופן על החלקיק לחצות את הקופסה ולחזור, מסלול הלוך ושוב באורך $2L_x$, שנמשך

לכן החלקיק היחיד הזה מעביר תנע לדופן היחידה הזו בקצב ממוצע של

שימו לב מה קרה: הגודל המסורבל $|v_x|$ הפך ל-$v_x^2$. הכיוון נשר, ורק גודל דמוי-אנרגיה שרד. זהו הרמז הראשון לכך שהלחץ יתגלה כעניין של אנרגיה, ולא של פגיעות.

כל החלקיקים¶

נסכם על $N$ החלקיקים ונחלק בשטח הדופן, $A = V/L_x$:

כאשר $\langle v_x^2 \rangle$ הוא הממוצע על פני החלקיקים. זוהי תוצאה מדויקת עבור המודל.

הכנסת הטמפרטורה¶

עד כאן לא נכנסה שום תרמודינמיקה — זו מכניקה טהורה, והיא הייתה תקפה עבור כל התפלגות מהירויות שהיא. הטמפרטורה נכנסת דרך טענה נוספת אחת:

בהצבה מתקבל

שימו לב שהמסה הצטמצמה. הכפלת $m$ בטמפרטורה $T$ קבועה הופכת כל חלקיק לאיטי יותר, שכן $\langle v_x^2\rangle = k_B T/m$, ובדיוק במידה המקזזת את המכה הכבדה יותר. אם ניבאתם שחלקיקים כבדים דוחפים חזק יותר, זהו המשפט שכדאי לקרוא שוב.

אימות חישובי¶

גזירת נוסחה ואמון בה הם שני דברים שונים. המעבדה בודקת את התוצאה בארבע דרכים, וכל בדיקה היא גם מבחן בחבילת הבדיקות של הפרויקט, כך שהטענות בעמוד הזה אינן יכולות להירקב בשקט.

1. משוואת המצב. מודדים את הלחץ מסכום המתקפים על הדפנות, $P = \sum \Delta p / (t \cdot \text{wall})$, ומשווים ל-$N k_B T/V$. התוצאות מתלכדות בתוך השגיאה הסטטיסטית, על פני שמונה זרעים אקראיים בלתי תלויים.

2. שימור האנרגיה. התזה אלסטית רק הופכת את סימנו של רכיב מהירות, ולכן האנרגיה הקינטית הכוללת חייבת להישמר עד לדיוק המכונה — לא בקירוב. אם היא נסחפת, הסימולציה שגויה, לא הפיזיקה.

3. חלוקת האנרגיה השווה. האנרגיה הקינטית הממוצעת הנמדדת לחלקיק חייבת להיות שווה ל- $\tfrac{d}{2} k_B T$, כלומר $k_B T$ בשני ממדים.

4. פלוקטואציות. זו התשובה לחידת הפתיחה.

זהו הפתרון. ההתנגשויות מעולם לא נעשו עדינות. פשוט יש כל כך הרבה מהן, שהרעש היחסי צנח אל מתחת לרצפת הרעש של המציאות.

להעביר את הרעיון¶

אותו קו טיעון בדיוק — גודל מאקרוסקופי יציב כממוצע על פני אירועים מיקרוסקופיים אקראיים רבים, עם פלוקטואציות יחסיות כמו $N^{-1/2}$ — חוזר לאורך כל הקורס ומעבר לו.

• לחץ אוסמוטי. מולקולות של חומר מומס מפציצות ממברנה בדיוק כפי שמולקולות גז מפציצות דופן, ומתקבל $\Pi V = N k_B T$: אותו חוק, הקשר פיזיקלי אחר.

• לחץ קרינה. פוטונים נושאים תנע $E/c$ במקום $mv$, והגזירה מתנהלת באותו אופן ונותנת $P = u/3$ עבור קרינה איזוטרופית (מודול 16).

• רעש ירי. זרם חשמלי הוא זרם של אלקטרונים בדידים; גם הפלוקטואציה היחסית שלו דועכת כמו $N^{-1/2}$, וזו הסיבה שזרם קטן של גלאי אור נראה רועש וזרם גדול אינו נראה כך.

• סקרי דעת קהל. מדגם של $N$ מצביעים מעריך שיעור באוכלוסייה בשגיאה מסדר גודל $N^{-1/2}$ — הסיבה לכך שלסקר של אלף אנשים יש טעות דגימה של כ-$3\%$, ללא תלות בגודל המדינה.

בדקו את הבנתכם¶

1. גז נמצא בשיווי משקל במיכל אטום, ומד הלחץ שלו יציב לחלוטין. מה עושות המולקולות?

   A. נעות מהר כתמיד ומתנגשות ללא הרף; רק הממוצעים התייצבו. B. הן נעצרו, ולכן הלחץ אינו משתנה עוד. C. הן נעות אך אינן פוגעות עוד בדפנות, ולכן לא מועבר עוד תנע. D. הן מתנדנדות במקומן סביב מיקומים קבועים, כמו במוצק.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — נעות מהר כתמיד ומתנגשות ללא הרף; רק הממוצעים התייצבו.

   • A. נכון. שיווי משקל הוא טענה על ממוצעים מאקרוסקופיים, לא על התנועה המיקרוסקופית. בטמפרטורה של 300 קלווין מולקולות חנקן נעות בממוצע בכ-500 מטר לשנייה, בין אם המד זז ובין אם לא.

   • B. מצב כזה מחייב אנרגיה קינטית אפסית, כלומר אפס מוחלט. הוא גם אינו עקבי עם עצמו: מולקולות חסרות תנועה אינן מפעילות לחץ כלל, ולכן המד היה מראה אפס ולא ערך יציב.

   • C. התנגשויות עם הדפנות הן בדיוק מה שהלחץ הוא. הן נמשכות בקצב עצום; מה שיציב הוא הקצב, לא היעדרו.

   • D. זה תיאור של מוצק, שבו האטומים כבולים לאתרי סריג. בגז המולקולות נעות חופשית בין התנגשויות וסורקות את כל המיכל.

2. מיכל א’ מכיל מול אחד של הליום בטמפרטורה של 300 קלווין. מיכל ב’ מכיל שני מולים של הליום בטמפרטורה של 300 קלווין, בנפח כפול. איזו טענה נכונה?

   A. לשניהם אותו לחץ ואותה אנרגיה ממוצעת לאטום; למיכל ב’ יש אנרגיה פנימית כפולה. B. למיכל ב’ לחץ כפול, משום שיש בו פי שניים אטומים. C. למיכל ב’ טמפרטורה כפולה, משום שיש בו אנרגיה פנימית כפולה. D. למיכל א’ לחץ גבוה יותר, משום שהאטומים בו צפופים יותר.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — לשניהם אותו לחץ ואותה אנרגיה ממוצעת לאטום; למיכל ב’ יש אנרגיה פנימית כפולה.

   • A. נכון, וזו ההבחנה שכדאי לשאת הלאה: טמפרטורה מודדת אנרגיה לחלקיק, ואנרגיה פנימית מודדת את הסך הכול. הכפלת מספר החלקיקים והנפח יחד אינה משנה את היחס ולכן אינה משנה את הלחץ.

   • B. מספר החלקיקים לבדו אינו קובע את הלחץ — הצפיפות קובעת. במיכל ב’ יש פי שניים חלקיקים בנפח כפול, ולכן הצפיפות המספרית, ואיתה הלחץ, אינה משתנה.

   • C. זהו הבלבול הנפוץ ביותר בכל הנושא. טמפרטורה עוקבת אחר האנרגיה הממוצעת לחלקיק; פיזור אנרגיה כפולה על פני פי שניים חלקיקים משאיר את הממוצע, ולכן גם את הטמפרטורה, בדיוק במקומו.

   • D. האטומים אינם צפופים יותר: לשני המיכלים אותה צפיפות מספרית, וזו משמעות “צפוף” כאן.

3. אתם מכפילים את מסת כל חלקיק בעוד הטמפרטורה והצפיפות נשמרות קבועות. מה קורה ללחץ?

   A. הוא אינו משתנה, משום שהחלקיקים הכבדים נעים לאט יותר בדיוק בגורם המקזז. B. הוא מוכפל, משום שכל התנגשות מעבירה תנע כפול. C. הוא נחצה, משום שהחלקיקים הכבדים נעים לאט יותר. D. הוא אינו משתנה, משום שהלחץ לעולם אינו תלוי בחומר שממנו עשוי הגז.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — הוא אינו משתנה, משום שהחלקיקים הכבדים נעים לאט יותר בדיוק בגורם המקזז.

   • A. בדיוק. מתקיים P = N m <v_x^2> / V, ומשפט חלוקת האנרגיה השווה קובע m<v_x^2> = k_B T, ולכן המסה מצטמצמת. חלקיקים כבדים פוגעים חזק יותר אך לעיתים רחוקות יותר, ושני האפקטים מתקזזים בזהות ולא בקירוב.

   • B. כל התנגשות אכן מעבירה יותר תנע — אך בטמפרטורה קבועה החלקיקים הכבדים איטיים יותר, שכן <v_x^2> = k_B T / m, ולכן הם מגיעים לדופן לעיתים רחוקות יותר ובמהירות נמוכה יותר. עברו על P = N m <v_x^2>/V וצפו במסה מצטמצמת.

   • C. שמרתם על ההאטה אך ויתרתם על המכה הכבדה יותר. שני האפקטים קיימים והם מתקזזים.

   • D. המסקנה נכונה אך הנימוק אינו. הלחץ בלתי תלוי במסה רק עבור גז אידיאלי; גזים אמיתיים בצפיפות גבוהה נבדלים זה מזה משום שלחלקיקיהם גדלים ומשיכות שונים.

4. קופסה מכילה 10,000 חלקיקים ללא אינטראקציה בשיווי משקל תרמי. העריכו את סטיית התקן היחסית של הלחץ, כלומר sigma_P חלקי , בעזרת החוק N^(-1/2). תנו את התשובה כשבר עשרוני.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 0.01 (± 0.002)

   sigma_P/ = N^(-1/2) = 1/100 = 0.01, כלומר אחוז אחד. שימו לב במהירות שהגודל הזה הופך לבלתי מדיד: עבור מול אחד מתקבל כ-4e-13.

5. איזה שינוי בודד יהפוך את פלוקטואציות הלחץ של גז לקלות ביותר לגילוי?

   A. מדידת מדגם קטן מאוד, כך ש-N קטן. B. העלאת הטמפרטורה, כדי שההתנגשויות יהיו אלימות יותר. C. שימוש במולקולות כבדות יותר, כדי שכל פגיעה תהיה גדולה יותר. D. דחיסת הגז, כדי שההתנגשויות יתרחשו לעיתים קרובות יותר.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — מדידת מדגם קטן מאוד, כך ש-N קטן.

   • A. כן. הפלוקטואציה היחסית תלויה ב-N וכמעט בלא כלום מלבדו — לא בטמפרטורה, לא בסוג הגז, ולא בלחץ עצמו. N קטן הוא הידית היחידה.

   • B. התנגשויות חמות יותר אכן אלימות יותר, אך יש בהתאם יותר מהן וגם הלחץ הממוצע עולה. הפלוקטואציה היחסית היא N^(-1/2), ללא תלות בטמפרטורה.

   • C. המסה מצטמצמת מן הלחץ בטמפרטורה קבועה, והיא מצטמצמת גם מן הפלוקטואציה היחסית.

   • D. דחיסה מעלה גם את הלחץ הממוצע וגם את הפלוקטואציה המוחלטת, ומשאירה את היחס ביניהם על N^(-1/2).

6. באיזה מצב המודל הקינטי שבמודול הזה אמין פחות מכול?

   A. הליום בטמפרטורה של 4 קלווין ובצפיפות גבוהה, סמוך להתנזלות. B. חנקן בטמפרטורת החדר ובלחץ אטמוספרי. C. ארגון בתא ואקום בצפיפות נמוכה מאוד. D. אוויר בחדר גדול מאוד ולא בבקבוק קטן.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — הליום בטמפרטורה של 4 קלווין ובצפיפות גבוהה, סמוך להתנזלות.

   • A. נכון בשני היבטים. צפיפות גבוהה הופכת את הכוחות הבין-חלקיקיים ואת גודל החלקיקים למשמעותיים, וטמפרטורה נמוכה מכניסה לתמונה סטטיסטיקה קוונטית — שני אופני הכישלון שצוינו במפרט המודל.

   • B. זהו מגרשו הביתי של המודל: המולקולות תופסות כאלפית מן הנפח והאפקטים הקוונטיים זניחים לחלוטין.

   • C. צפיפות נמוכה הופכת את המודל לטוב יותר, לא לגרוע יותר — זהו בדיוק הגבול הדליל שבו “ללא אינטראקציה” הוא תיאור מצוין.

   • D. גודל המיכל אינו רלוונטי לתקפות המודל; הצפיפות והטמפרטורה הן שקובעות. אם כבר, N גדול יותר הופך את התיאור המאקרוסקופי לחד יותר.

7. לפני קריאת הגזירה: אתם מכפילים את מספר החלקיקים בטמפרטורה ובנפח קבועים. נבאו מה קורה (א) ללחץ, (ב) לגודל היחסי של הפלוקטואציות שלו, (ג) לאנרגיה הקינטית הממוצעת לחלקיק.

   בדקו את התשובה

   הלחץ מוכפל (הוא פרופורציוני ל-N בטמפרטורה ובנפח קבועים). הפלוקטואציה היחסית קטנה בשורש שתיים, שכן היא מתנהגת כמו N^(-1/2). האנרגיה הקינטית הממוצעת לחלקיק אינה משתנה — היא נקבעת על ידי הטמפרטורה בלבד, וזו בדיוק הסיבה שהטמפרטורה היא גודל אינטנסיבי שימושי. אם ניבאתם שהאנרגיה הממוצעת לחלקיק עולה עם N, אתם מתייחסים לטמפרטורה כאל מדד לאנרגיה כוללת; כדאי לתת לבלבול הזה שם עכשיו, אחרת הוא יצוץ מחדש בכל מודול הבא.

8. בשניים-שלושה משפטים, הסבירו מדוע הלחץ של גז יציב, באופן שלא ינבא גם (בטעות) שהלחץ של עשר מולקולות יציב.

   בדקו את התשובה

   תשובה טובה מזהה את המנגנון כמיצוע על פני מספר גדול של אירועים בלתי תלויים, ומטילה את העבודה על גודלו של N: הפלוקטואציה המוחלטת גדלה כשורש N בעוד הסכום גדל כמו N, ולכן היחס דועך כמו N^(-1/2). עבור עשר מולקולות היחס הזה הוא כשלושים אחוזים, שאינו יציב כלל. תשובות האומרות “ההתנגשויות מתמצעות” בלי להזכיר את N אינן מבחינות בין שני המקרים וכדאי לדרוש מהן יותר.

שאלות ברמת בחינה עבור המודול — אלה שכדאי לפתור עם עט — מרוכזות בדף השאלות.

להסביר במילים שלכם¶

ענו על כל אחת בכמה משפטים. אלה השאלות שחושפות אם הרעיונות נקלטו; שום מספר לא יציל אתכם.

1. סטודנט אומר: “הלחץ יציב משום שכל ההתנגשויות מתמצעות לכדי דחיפה חלקה.” שפרו את המשפט כך שיהיה נכון באמת, ואמרו במדויק מה היה שגוי בו.

2. הסבירו מדוע הכפלת מסת החלקיקים בטמפרטורה קבועה אינה משנה את הלחץ, בלי לכתוב משוואה.

3. שני מיכלים מכילים גז באותה טמפרטורה. באחד הנפח כפול ומספר החלקיקים כפול. השוו את הלחצים ואת הגדלים היחסיים של פלוקטואציות הלחץ.

4. הגזירה שלכם הניחה שהחלקיקים אינם מתנגשים זה בזה. מולקולות אוויר אמיתיות מתנגשות כ-10⁹ פעמים בשנייה. מדוע התוצאה שורדת?

מתקדם: מעבר לתמונה הפשוטה¶

מדוע התנגשויות בין חלקיקים אינן משנות את הלחץ. בגזירה, כל חלקיק מעביר לדופן $m v_x^2 / L_x$. התנגשויות בין חלקיקים מחלקות מחדש את המהירויות אך משמרות תנע ואנרגיה כוללים, ולכן הסכום $\sum m v_{x,i}^2$ אינו משתנה על פני זמנים ארוכים ביחס להתנגשות. הלחץ תלוי רק בסכום הזה. זו הסיבה שחוק הגזים האידיאליים שורד בגז שמתנגש ללא הרף — וזו גם הסיבה שהטיעון מפסיק לעבוד ברגע שההתנגשויות אינן רגעיות או שהחלקיקים חשים זה את זה מרחוק, שכן אז מצטרפת תרומה של אנרגיה פוטנציאלית לשטף התנע.

לחץ כשטף תנע. הניסוח החד יותר הוא שהלחץ הוא שטף של תנע בכיוון $x$ דרך פאה הניצבת ל-$x$, כלומר רכיב של טנזור המאמצים $\Pi_{ij} = \sum_i m v_i v_j / V$. בניסוח הזה אין צורך בדופן כלל: לחץ קיים גם בתוך הנוזל, במקום שאין ממה להיתז. הדפנות הן קב פדגוגי, וכדאי להניח אותו בצד בשלב מסוים.

תיקון הוויריאל. עבור חלקיקים המקיימים אינטראקציה, התוצאה המדויקת היא משוואת הוויריאל

כאשר האיבר השני אוסף את הכוחות הבין-חלקיקיים. כוחות מושכים הופכים אותו לשלילי ומורידים את הלחץ אל מתחת לערך האידיאלי — המקור הפיזיקלי לאיבר $a$ במשוואת ואן דר ואלס (מודול 14).

פלוקטואציות והצבר. התוצאה $N^{-1/2}$ שלמעלה משווה מיקרו-מצבים שנדגמו באופן בלתי תלוי בטמפרטורה $T$ קבועה, וזו טענה קנונית. אם במקום זאת האנרגיה מקובעת בדיוק (מיקרו-קנוני), פלוקטואציות הלחץ שונות בפרטיהן אך עדיין דועכות כמו $N^{-1/2}$. שקילות הצברים בגבול התרמודינמי היא משפט שראוי לפגוש כראוי במודול 11 — והיא הסיבה שאנו יכולים להרשות לעצמנו לא לדקדק באיזה מהם מתאר ניסוי אמיתי.