אוסף בעיות — היחס היסודי - ThermoLab

אוסף בעיות: היחס היסודי¶

בעיות בסגנון בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שתיגעו במחשב; בעיות 4 ו-5 נועדו להסתיים במעבדה, ובעיה 6 נועדה להסתיים נומרית. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים עם חומרי המרצה ובמכוון אינם באתר הזה.

קחו $\kB = 1.381 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ וכן $R = 8.314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ לכל אורך הדרך.

בעיה 1 — מוצק איינשטיין מאפס¶

מוצק ממודל כאוסף של $n$ מתנדים בלתי תלויים, שכל אחד מהם מחזיק מספר שלם של קוונטי אנרגיה בגודל $\varepsilon$ , ובסך הכול $q$ קוונטים.

(א) הראו שמספר המיקרו-מצבים הוא

\Omega(q, n) = \frac{(q + n - 1)!}{q!\,(n - 1)!} ,

(1)

ובדקו זאת על ידי מניית כל המיקרו-מצבים עבור $q = 3$ ו- $n = 2$ .

(ב) בעזרת קירוב סטירלינג, ובהתייחס אל $q$ ואל $n$ כגדולים, הראו ש-

S(U, n) = \kB \Big[ (q + n) \ln (q + n) - q \ln q - n \ln n \Big] , \qquad q = \frac{U}{\varepsilon} .

(2)

(ג) גזרו כדי למצוא את $1/T$ , והפכו כדי למצוא את $U(T)$ .

(ד) הראו שעבור $U \gg n\varepsilon$ התוצאה שלכם מצטמצמת אל $U \approx n \kB T$ , ומצאו את התיקון הבא. הסבירו מה הניח מודול 01, שהחישוב הזה גוזר כעת.

(ה) שרטטו את $C_V(T)$ מתוך $U(T)$ שמצאתם, ותארו מה קורה לו כאשר $T \to 0$ .

בעיה 2 — אוילר וגיבס–דוהם על גז אידיאלי¶

האנטרופיה של סאקור–טטרודה עבור גז אידיאלי חד-אטומי היא

S(U, V, N) = N \kB \left[ \ln\!\left( \frac{V}{N} \left( \frac{4 \pi m U}{3 N h^2} \right)^{3/2} \right) + \frac{5}{2} \right] .

(3)

(א) הראו כי

S(\lambda U, \lambda V, \lambda N) = \lambda S(U, V, N) .

(4)

(ב) חשבו את שלושת השיפועים, ומהם את $T$ , $P$ ו- $\mu$ כפונקציות של $U$ , $V$ ו- $N$ .

(ג) אמתו את יחס אוילר איבר אחר איבר.

(ד) בטאו את $\mu$ כפונקציה של $T$ ושל $P$ בלבד. השתמשו בביטוי שלכם כדי לאמת ישירות את יחס גיבס–דוהם.

(ה) עבור מול אחד של הליום ( $m = 6.646 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ ) בטמפרטורה $300\ \mathrm{K}$ ובלחץ $1\ \mathrm{bar}$ , חשבו את $S$ , $U$ , $PV$ ו- $\mu N$ , ובדקו שהם מקיימים את יחס אוילר ברמת הדיוק שבה חישבתם.

בעיה 3 — עקמומיות ויציבות¶

(א) בהתחלה מן ההגדרה של הטמפרטורה כשיפוע $(\partial S/\partial U)_{V,N}$ , שהוא $1/T$ , הראו כי

\left(\frac{\partial^2 S}{\partial U^2}\right)_{V,N} = -\frac{1}{T^2 C_V} .

(5)

(ב) שתי חתיכות זהות של חומר, לכל אחת מהן אנרגיה $U$ , נמצאות במגע תרמי. רשמו את האנטרופיה הכוללת אחרי שכמות $\delta$ של אנרגיה עברה מאחת מהן לשנייה, פתחו אותה עד סדר שני בגודל $\delta$ , והראו שהחלוקה השווה היא מקסימום של האנטרופיה הכוללת אם ורק אם $C_V > 0$ .

(ג) לכדור גז הקשור בכבידה יש, לפי משפט הוויריאל, $U = -\tfrac{3}{2} N \kB T$ . מצאו את קיבול החום שלו. תארו במילים מה קורה לשני כדורים כאלה המובאים למגע תרמי בטמפרטורות שונות מעט, והסבירו איזו מהנחות היסוד של המודול הזה מפרה מערכת כזו.

(ד) תנו טיעון פיזיקלי, בלי חישוב, לכך שחומר יציב חייב לקיים $\kappa_T \ge 0$ : דמיינו דופן ניידת בין שתי דגימות זהות באותה טמפרטורה.

בעיה 4 — מוצקים שונים בגודלם ופנקס האנטרופיה¶

שני מוצקי איינשטיין, עם קוונטים בגודל $\varepsilon = (5\ \mathrm{K})\,\kB$ , מובאים למגע תרמי: למוצק A יש $n_A = 300$ מתנדים והוא מתחיל בטמפרטורה $500\ \mathrm{K}$ , ולמוצק B יש $n_B = 100$ מתנדים והוא מתחיל בטמפרטורה $250\ \mathrm{K}$ , לפי המיפוי של מודול 01, $T = q\varepsilon/(n\kB)$ .

(א) השתמשו בתנאי השיפועים השווים כדי לחזות כמה קוונטים מחזיק כל מוצק בשיווי משקל.

(ב) בהתייחס לכל מוצק כבעל קיבול חום קבוע $n\kB$ , חשבו את האנטרופיה המיוצרת ביחידות של $\kB$ .

(ג) במעבדה, אשרו את החלוקה שמצאתם בעזרת הממקסם של המערכת המורכבת, ואז הריצו את הסימולציה של מודול 01 והחילו עליה את פנקס האנטרופיה. דווחו על ערכו הסופי של הפנקס, על הירידה הגדולה ביותר שלו בצעד בודד, ועל הכמות הגדולה ביותר שבה הוא יורד אי פעם מתחת למקסימום הקודם שלו עצמו.

(ד) התשובה שלכם ל-(ב) והערך הסופי של הפנקס נבדלים בכמה אחוזים. זהו את שני הקירובים הנפרדים האחראים לכך, ותארו ניסוי מעבדה שמודד כל אחד מהם לחוד.

(ה) נסחו בזהירות מה התנהגות הפנקס כן מבססת, ומה אינה מבססת, לגבי החוק השני.

בעיה 5 — שחרור אילוצים על גז¶

קופסה קשיחה ומבודדת שנפחה הכולל $3.0\ \mathrm{L}$ מחולקת על ידי דופן. בצד A יש $0.010\ \mathrm{mol}$ של ארגון בנפח $0.5\ \mathrm{L}$ בטמפרטורה $600\ \mathrm{K}$ ; בצד B יש $0.020\ \mathrm{mol}$ של ארגון בנפח $2.5\ \mathrm{L}$ בטמפרטורה $300\ \mathrm{K}$ .

(א) הדופן נעשית מוליכת חום, אך נשארת קבועה במקומה ואטומה לחלקיקים. מצאו את הטמפרטורה הסופית ואת הלחץ הסופי בכל צד.

(ב) כעת משחררים את הדופן גם להחליק. מצאו את הנפחים הסופיים ואת הלחץ המשותף.

(ג) כעת מנקבים את הדופן. הסבירו, בעזרת יחס גיבס–דוהם, מדוע דבר אינו משתנה.

(ד) חשבו את האנטרופיה המיוצרת בכל אחד מהשלבים (א) ו-(ב), ובדקו את תשובותיכם מול הממקסם של המערכת המורכבת במעבדה.

(ה) הסבירו מדוע המעבדה מסרבת לשחרר את הדופן להחליק בלי לאפשר לה גם להוליך חום.

בעיה 6 — אתגר: קלורימטריה עם קיבול חום משתנה¶

גוש אלומיניום שמסתו $0.20\ \mathrm{kg}$ , בטמפרטורה $373\ \mathrm{K}$ , מוטל לתוך $0.50\ \mathrm{kg}$ של מים בטמפרטורה $283\ \mathrm{K}$ בכוס מבודדת. קחו את החום הסגולי של המים כקבוע, $4184\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ . החום הסגולי של אלומיניום תלוי בטמפרטורה; בתחום הזה הוא מתואר היטב על ידי

c_{\text{Al}}(T) = 765 + 0.459\,T \quad \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} .

(6)

(א) מצאו את הטמפרטורה הסופית מן הדרישה שהחום שאיבד האלומיניום שווה לחום שקיבלו המים. פתרו את המשוואה המתקבלת נומרית.

(ב) חשבו את האנטרופיה המיוצרת, תוך אינטגרציה של

\mathrm{d}S = \frac{C(T)\,\mathrm{d}T}{T}

(7)

עבור האלומיניום.

(ג) חזרו על (א) ועל (ב) עם חום סגולי קבוע לאלומיניום, המוערך בטמפרטורה $300\ \mathrm{K}$ , וציינו את גודל השגיאה שהקירוב הזה מכניס לכל אחת מהתשובות.

(ד) סטודנט מודד את הטמפרטורה הסופית בדיוק של $\pm 0.05\ \mathrm{K}$ . אמדו את אי-הוודאות הנובעת מכך באנטרופיה המיוצרת, ואמרו אם היא גדולה או קטנה מן השגיאה שב-(ג).