החוק השני ומנועי חום

החידה: האוקיינוס עצום וחסר תועלת¶

האוקיינוס האטלנטי מכיל בערך $10^{24}\ \mathrm{J}$ של אנרגיה תרמית. אונייה שהייתה מקררת את המים שדרכם עברה במעלה אחת בלבד, והופכת את האנרגיה הזו לתנועה קדימה, הייתה חוצה את האוקיינוס על חשבון האוקיינוס עצמו ומגיעה כשהים קר יותר במידה בלתי מורגשת. בלי דלק, בלי פליטות, בלי לצרוך דבר שמישהו היה מתגעגע אליו.

דבר בחוק הראשון אינו אוסר זאת. האנרגיה הייתה נשמרת במדויק: חום עוזב את המים, עבודה מופיעה במדחף, והמאזן נסגר עד הג’אול האחרון. המנוע אינו מכונת תנועה תמידית במובן הישן — הוא אינו יוצר אנרגיה, אלא רק שואל מעט מזו שכבר נמצאת שם ושופעת מעבר לכל דמיון.

ואי אפשר לבנות אותו. לא “טרם נבנה”, ולא “קשה מאוד לבנותו”: יש משפט האוסר עליו, והמשפט הזה הוא נושאו של המודול.

התשובה לא תזכיר נצילות, הנדסה או חיכוך. יתברר שמנוע חום זקוק לשתי טמפרטורות, שהחזקה באחת בלבד היא כל הפגם, ושהדרישה היחידה הזו קובעת את הביצועים הטובים ביותר האפשריים של כל מנוע שייבנה אי פעם — מתוך מספר שאינו יודע דבר על החומר שממנו עשוי המנוע.

לנבא לפני שמחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת מאלה לפני שתמשיכו לקרוא. רשמו אותן.

1. מנוע בולע $1000\ \mathrm{J}$ של חום מכבשן בכל מחזור ומספק $400\ \mathrm{J}$ של עבודה. היכן נמצאים $600\ \mathrm{J}$ הנותרים, והאם תכנון טוב יותר היה יכול להשיב חלק מהם?

2. שני מנועים פועלים בין אותו כבשן ואותו נהר. האחד משתמש בקיטור והשני בהליום. את מי מהם אפשר לעשות נציל יותר?

3. מקרר מוציא $300\ \mathrm{J}$ של חום מן החלל הפנימי הקר שלו על כל $100\ \mathrm{J}$ של חשמל שהוא צורך. האם יש פגם במספר הזה?

4. המקרר שבמטבח שלכם מוריד את האנטרופיה של המזון שבתוכו. האם הוא מפר את החוק השני?

5. הקיטור של תחנת כוח נמצא בטמפרטורה $550\,{}^\circ\mathrm{C}$ ונהר הקירור שלה בטמפרטורה $20\,{}^\circ\mathrm{C}$. אמדו את הנצילות הטובה ביותר שהייתה יכולה להיות לה. כעת נחשו מה היא משיגה בפועל.

6. תהליך מתבצע באיטיות אינסופית, כך שהכול נמצא בשיווי משקל בכל רגע. האם הוא הפיך משום כך — האם אפשר לבטל אותו בלי להשאיר שום עקבות?

לחקור את המודל¶

מנוע חום הוא חומר עבודה המובל סביב מסלול סגור — בחזרה בדיוק למצב שממנו יצא — תוך כדי מגע במאגר חום חם ובמאגר חום קר. הסגירה אינה פרט טכני. היא זו שמאפסת את השינוי באנרגיה הפנימית לאורך מחזור, כך שכל ג’אול של עבודה המסופקת חייב היה להגיע כחום, והיא הסיבה לכך שהמנוע אינו יכול פשוט לשמור אצלו מעט אנרגיה ולקרוא לה תפוקה.

כל מכונה במודול הזה משורטטת באותו אופן:

הנה מחזור קרנו פועל, ולצידו מאזן האנרגיה שלו מתמלא.

כעת התבוננו במה שקורה כאשר מבקשים מן המנוע לפעול בין מאגרי חום שהטמפרטורות שלהם מתקרבות זו לזו, וכאשר המגע התרמי שלו נעשה רשלני במכוון:

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו. ארבעה דברים כדאי לעשות לפני שתמשיכו לקרוא:

• נסו לתכנן מנוע שיכה את $1 - T_c/T_h$. שנו את הגז, את הגודל, את צורת המסלול. התבוננו בחסם מסרב לזוז.

• הקטינו את פער הטמפרטורות בין המאגרים והתבוננו בנצילות מתמוטטת.

• הריצו את המחזור לאחור וקראו מה נעשתה המכונה.

• הכניסו התפשטות חופשית לתוך מחזור, והתבוננו בסכום של החום חלקי טמפרטורת המאגר סביב המסלול הופך שלילי. מהו הסכום הזה יהיה הרעיון האחרון של הגזירה.

לגזור את התוצאה¶

מערכת וגבול. חומר העבודה, המובל סביב מחזור סגור. המאגרים נמצאים מחוצה לו, ואנו מנהלים ספרים נפרדים למה שהם מאבדים ומרוויחים.

משתנים בלתי תלויים ואילוץ. שתי טמפרטורות המאגרים $T_h$ ו-$T_c$, ששום דבר במחזור אינו משנה, והנפח והטמפרטורה של הגז עצמו, שהמחזור מוביל סביב המסלול; כל גודל מצב אחר נובע מהם דרך משוואת המצב. האילוץ היחיד הוא הסגירה: הגז מסיים כל מחזור במצב שבו התחיל, ולכן האנרגיה הפנימית שלו — ומשהוגדרה, גם האנטרופיה שלו — חוזרת לערכה ההתחלתי. הטיעון תרמודינמי מתחילתו ועד סופו: שום מיקרו-מצב אינו נספר בשום מקום בפרק הזה.

מוסכמת סימנים. מוסכמת הקורס $\mathrm{d}U = \dbar Q + \dbar \Won$ תקפה לכל אורך הדרך, כאשר $\dbar Q$ חיובי אל תוך המערכת. מנועים מדורגים לפי המוסכמה לפי העבודה שהם מספקים, ובלוק אחד מסומן בבירור להלן ממיר אליה וממיר בחזרה.

מסלול. הגזירה מתקדמת בקו ישר, וכל שלב בה משתמש רק בשלבים שקדמו לו: החוק השני כשני איסורים; מה פירוש “הפיך”, ומדוע חיכוך ודליפות חום אינם כאלה; מדוע מנוע זקוק לשני מאגרים; משפט קרנו והמספר שהוא מציב על כל מנוע; ולבסוף אי-שוויון קלאוזיוס, ההופך את כל הסיפור לפונקציית מצב חדשה, האנטרופיה.

מה החוק השני אומר בפועל¶

בשונה מן החוק הראשון, החוק השני אינו משוואה. הוא טענה על מה שאינו יכול לקרות, והוא מגיע בשתי צורות היסטוריות הנשמעות בלתי קשורות.

שניהם חוקים אמפיריים: הם מסכמים את העובדה שאיש מעולם לא צפה אחרת, והם אינם נגזרים ממכניקה. שתי מילים בהם עושות את כל העבודה. מחזורי פירושו שהמכונה חוזרת למצב ההתחלתי שלה, כך שתוכל לעשות את אותו הדבר שוב — התפשטות יחידה יכולה להמיר חום כולו לעבודה, והתפשטות איזותרמית עושה בדיוק זאת, אבל היא מותירה את הגז גדול יותר, ולכן אין זה מחזור ואי אפשר לחזור עליו. תוצאה יחידה פירושו ששום דבר אחר אינו נותר משונה בשום מקום; מקרר מעביר חום מקר לחם מדי יום, אך לא כתוצאתו היחידה, משום שהוא גם צורך חשמל.

בכך כבר נענתה חידת הפתיחה. אוניית האוקיינוס היא מנוע מחזורי המושך חום ממאגר אחד ומייצר עבודה בלי שום שינוי נוסף — בדיוק המכונה האסורה של ניסוח קלווין. מה שחסר לאונייה אינו נצילות אלא מאגר שני, קר יותר, שאליו תשפוך.

שני הניסוחים הם ניסוח אחד¶

הם נראים כטענות על מכונות שונות. אין זה כך: כל אחד מהם משמש לבניית הפרה של האחר, ולכן או ששניהם תקפים או שאף אחד מהם אינו תקף. הכי קל לעקוב אחר הטיעון כתמונה.

נניח שקלאוזיוס נכשל — לוח (a).

1. מתקן כלשהו $C$ מעביר חום $Q_c$ מן הגוף הקר אל החם בלי שום השפעה אחרת.

2. הפעילו לצידו מנוע רגיל $E$: המנוע מושך $Q_h$ מן הגוף החם, מספק עבודה $W$, ומכויל לשפוך בדיוק $Q_c$ אל הקר.

3. כעת הביטו בצמד כמכונה אחת. הגוף הקר קיבל $Q_c$ מן המנוע ומסר $Q_c$ למתקן הקסום — ללא שינוי.

4. מה שנותר הוא שהגוף החם איבד $Q_h - Q_c$ ועבודה $W$ הופיעה. מאגר יחיד, שהומר כולו לעבודה: גם קלווין נכשל.

נניח שקלווין נכשל — לוח (b).

1. מתקן כלשהו $K$ מושך $Q$ מן הגוף החם והופך את כולו לעבודה.

2. הזינו את העבודה הזו למקרר רגיל $F$, המשתמש בה כדי להעביר $Q_c$ מן הגוף הקר אל החם.

3. יחדיו: הגוף הקר איבד $Q_c$; הגוף החם מסר $Q$ וקיבל $Q + Q_c$, ברווח נטו של $Q_c$; ולא נותרה עבודה.

4. חום עבר מקר לחם כתוצאה יחידה: גם קלאוזיוס נכשל.

תהליכים הפיכים ובלתי הפיכים¶

משפט קרנו, שיבוא בעוד שני פרקים, משווה כל מנוע למנוע הפיך, ולכן יש לחדד את המילה לפני שמשתמשים בה. מודול 06 הגדיר אותה; החוק השני הוא שנותן להגדרה שיניים.

בפועל נדרשים שלושה תנאים יחד: התהליך כמו-סטטי, אין בו חיכוך או דיסיפציה אחרת, ושום חום אינו חוצה הפרש טמפרטורות סופי. איטיות מספקת רק את הראשון. הנה הדרכים הנפוצות שבהן תהליך נכשל, ובכל מקרה החוק השני הוא שמוכיח שהכישלון קבוע: הניחו שאפשר היה לבטל את התהליך בלי עקבות, ומכונה אסורה מופיעה.

1. חום החוצה הפרש טמפרטורות סופי. חום $Q$ זורם בהולכה מגוף ב-$T_h$ אל גוף ב-$T_c < T_h$. כדי לבטל זאת בלי עקבות, $Q$ היה צריך לחזור מ-$T_c$ אל $T_h$ בלי ששום דבר אחר ישתנה — בדיוק מה שניסוח קלאוזיוס אוסר. באיטיות רבה ככל שתהיה הדליפה, היא בלתי הפיכה, משום שאיטיות אינה מקטינה את פער הטמפרטורות שהיא חוצה.

2. חיכוך. גוש מחליק עד שהוא נעצר, והאנרגיה הקינטית שלו $W$ מסתיימת כחום בשולחן בטמפרטורה $T$. ביטול פירושו להוציא את החום הזה מן השולחן ולהחזיר את כולו לגוש כתנועה, בלי שום שינוי אחר: חום ממאגר יחיד שהומר כולו לעבודה, וזו התוצאה האסורה של ניסוח קלווין. התנגדות חשמלית, היסטרזיס מגנטי וערבול צמיג הם אותו דבר בלבוש אחר — עבודה ההופכת לחום בטמפרטורה אחת.

3. התפשטות בלתי מרוסנת. גז בטמפרטורה $T$ מתפשט בחופשיות מ-$V$ אל תוך ריק עד שהוא ממלא $2V$. נניח שמתקן כלשהו היה יכול להחזירו ל-$V$ באותה טמפרטורה, בלי להשאיר שום עקבות אחרים. אז תנו לגז להתפשט שוב, והפעם באופן הפיך, לאורך האיזותרמה ב-$T$ במגע עם מאגר חום: הוא בולע $N \kB T \ln 2$ של חום ומספק אותה כמות של עבודה. החזירו אותו בעזרת המתקן. הגז עבר מחזור, מאגר אחד איבד חום, ובדיוק אותה כמות של עבודה הופיעה: שוב קלווין.

4. ערבוב. שני גזים אידיאליים שונים החולקים קופסה לאחר שמחיצה הוסרה מתנהגים כשתי התפשטויות חופשיות בלתי תלויות, כשכל גז מתפשט אל כל הנפח כאילו האחר אינו קיים. הפרדתם בלי עקבות הייתה מבטלת שתי התפשטויות חופשיות בבת אחת, ולכן ערבוב בלתי הפיך מאותה סיבה כמו (3). מודול 08 בוחן אותו שוב באמצעות ספירה.

מודול 06 הסתיים בסדר שהוא יכול היה למדוד אך לא להסביר. כאשר גז התפשט אדיאבטית לפי שניים מנפחו, המסלול האיטי הסתיים ב-$189.0\ \mathrm{K}$, המסלול כנגד עומס קבוע ב-$225.0\ \mathrm{K}$ וההתפשטות החופשית ב-$300.0\ \mathrm{K}$ — והמסלול האיטי סיפק את העבודה הרבה ביותר. בדחיסה לחצי מן הנפח, המסלול האיטי הסתיים ב-$476\ \mathrm{K}$ והטחת הבוכנה ב-$900\ \mathrm{K}$, בעלות גבוהה פי 3.4. ניסוח קלווין מסביר את שניהם בבת אחת.

הוכחה. קראו לנקודת הסיום הכמו-סטטית $B$, בטמפרטורה $T_B$, ונניח שמסלול אדיאבטי כלשהו הסתיים באותו נפח אך ב-$T' < T_B$. סגרו מחזור. תחילה חממו את הגז בנפח קבוע מ-$T'$ ל-$T_B$, בעזרת מאגר חום יחיד כלשהו בטמפרטורה $T_R \ge T_B$, ונתקו אותו כשהגז מגיע ל-$T_B$. החימום הזה עצמו בלתי הפיך — חום חוצה פער — אך שום דבר בטיעון אינו דורש שלא יהיה. הגז נמצא כעת במצב $B$, ולכן החזירו אותו אל $A$ לאורך האדיאבטה הכמו-סטטית. סביב המחזור $\Delta U = 0$, והחום היחיד שחצה היה $C_V (T_B - T')$, שנבלע מן המאגר היחיד; לכן הגז ביצע בדיוק כמות כזו של עבודה נטו על סביבתו. מחזור שתוצאתו היחידה הופכת חום של מאגר אחד לעבודה: קלווין אוסר זאת. $\blacksquare$

הטיעון מעולם לא שאל אם הנפח עלה או ירד, ולכן הוא מכסה את שני הניסויים של מודול 06. עבור תהליך אדיאבטי $Q = 0$, ולכן העבודה הנעשית על הגז היא

וטמפרטורת סיום חמה יותר פירושה יותר עבודה מושקעת ופחות עבודה מופקת. ביציאה, המסלול הכמו-סטטי מספק את העבודה הרבה ביותר שהתפשטות אדיאבטית כלשהי יכולה לספק; בכניסה, הוא עולה את המעט ביותר שדחיסה אדיאבטית כלשהי יכולה לעלות. המספרים של מודול 06 הם המשפט המתקיים, והם לא יכלו לצאת הפוך. אותה טענה תופיע שוב להלן, בשורה אחת, בשפת האנטרופיה.

מדוע מנוע זקוק לשני מאגרים, ומדוע למחזור קרנו יש את צורתו¶

ניסוח קלווין אומר שמנוע מחזורי אינו יכול לפעול על מאגר אחד. עבור גז אפשר לראות מדוע, והתמונה גם מראה לשם מה נחוץ המאגר השני.

מאגר אחד. כדי להישאר הפיך, הגז רשאי להחליף חום רק בזמן שהוא בטמפרטורה של המאגר עצמו, $T$ — כל פער ביניהם הוא מקור 1 שלמעלה. לכן כל צעד המעביר חום שוכן על האיזותרמה היחידה ב-$T$, וכל צעד אחר הוא אדיאבטי. אבל אדיאבטה, שלאורכה $P V^{\gamma}$ נשאר קבוע, תלולה יותר מאיזותרמה, שלאורכה $P V$ נשאר קבוע, ולכן השתיים נחתכות פעם אחת בדיוק (לוח a): עזבו את האיזותרמה לאורך אדיאבטה, והדרך היחידה לחזור אליה היא אותה אדיאבטה. כל מסלול שאפשר לשרטט מן החלקים האלה חוזר על עצמו ואינו כולא שטח. אין שטח, אין עבודה. מגע תרמי רשלני אינו מציל זאת — זהו ניסוח קלווין באופן כללי; הנקודה כאן היא רק לראות זאת קורה לגז.

שני מאגרים. כעת הוסיפו מאגר קר יותר ב-$T_c$ (לוח b). הגז מתפשט על האיזותרמה החמה, בולע חום ומבצע עבודה; התפשטות אדיאבטית מקררת אותו ל-$T_c$ בלי שחום יזרום; הוא נדחס חזרה על האיזותרמה הקרה; ודחיסה אדיאבטית מחזירה אותו לנקודת ההתחלה. כל מסע החזרה מתנהל בלחץ נמוך יותר ממסע היציאה — הגז קר יותר, ובנפח נתון גז קר דוחף פחות — ולכן הדחיפה חזרה עולה פחות עבודה ממה שהגז סיפק בדרכו החוצה. ההפרש הוא השטח הכלוא, והוא התפוקה של המנוע.

את המחיר משלמים על האיזותרמה הקרה. דחיסת גז מחממת אותו; כדי להשאירו ב-$T_c$ בזמן הדחיסה, החום הזה חייב לעזוב, וחום עוזב רק אל משהו שנמצא בטמפרטורת הגז או מתחתיה. רק המאגר הקר יקבל אותו. החום הנשפך הזה הוא $Q_c$, והוא אינו פסולת במובן ההנדסי: הוא מה שמאפשר את הדחיסה הזולה.

הצורה כפויה. אותו נימוק קובע כיצד חייב להיראות מנוע הפיך בעל שני מאגרים, בתנאי שחומר העבודה שלו מחליף חום רק עם שני המאגרים. חום רשאי להיכנס רק בזמן שהחומר נמצא ב-$T_h$ ולעזוב רק בזמן שהוא ב-$T_c$, ולכן הצעדים האלה הם איזותרמות בדיוק בטמפרטורות האלה; והחומר חייב לנוע בין שתי הטמפרטורות בלי לגעת באף אחד מן המאגרים, ולכן הצעדים האלה הם אדיאבטות. שתי איזותרמות המחוברות בשתי אדיאבטות: מחזור קרנו. אין זה תכנון אחד מני רבים; בתנאי הזה הוא ההפיך היחיד. (מנוע עם אגירת חום פנימית, מחדש חום, חומק מן התנאי — הפרק המתקדם מראה כיצד.)

משפט קרנו¶

כעת התוצאה המרכזית, והיא יוצאת דופן דווקא במה שאינה מזכירה.

נגדיר נצילות כשבר החום הנבלע העוזב כעבודה.

ההוכחה. נניח שלמנוע $X$ הייתה נצילות $\eta_X > \eta_R$, כאשר $R$ הפיך ופועל בין אותם שני מאגרים. מאחר ש-$R$ הפיך, אנו יכולים להריץ אותו לאחור כמשאבת חום. כיילו את שתי המכונות כך שהעבודה ש-$X$ מספק תהיה בדיוק העבודה ש-$R$ צורך, וחברו אותן: $X$ מניע את $R$, ואין עבודה הנכנסת אל הצירוף או יוצאת ממנו.

בכל מחזור, $X$ מושך $Q_h^X = W/\eta_X$ מן המאגר החם, ו-$R$ הפועל לאחור מחזיר אליו $Q_h^R = W/\eta_R$. מאחר ש-$\eta_X > \eta_R$, מתקיים $Q_h^X < Q_h^R$: המאגר החם מסיים כל מחזור ברווח נטו של $Q_h^R - Q_h^X > 0$. האנרגיה נשמרת, שום עבודה לא חצתה את הגבול, ולכן האנרגיה הזו הגיעה מן המאגר הקר.

תוצאתה היחידה של המכונה המצורפת היא חום שעבר מקר לחם. קלאוזיוס אוסר זאת, ולכן $X$ כזה אינו קיים. ויישום הטיעון עם שני מנועים הפיכים בכל אחד מן התפקידים נותן $\eta_{R_1} \le \eta_{R_2}$ ו-$\eta_{R_2} \le \eta_{R_1}$, ומכאן שוויון. $\blacksquare$

מדוע ההפיכות היא השלב הקובע. ההוכחה מריצה את $R$ לאחור ומניחה שלאחור הוא צורך בדיוק את העבודה שנהג לספק ומעביר בדיוק את החומים שנהג להעביר — כל חץ מתהפך, כל גודל נשאר. זו משמעות המילה הפיך, ורק מנוע הפיך עושה זאת. הריצו מנוע עם חיכוך לאחור, והחיכוך אינו מתהפך: הוא עדיין אוכל עבודה, כעת בדרך פנימה, והמכונה ההפוכה היא משאבת חום גרועה יותר משהמכונה הקדמית הייתה מנוע. לכן המשפט משווה כל מנוע למנוע הפיך, ולכן היה צריך להגדיר הפיכות תחילה.

סאדי קרנו פרסם את הטיעון הזה ב-1824, כאשר האמינו שחום הוא נוזל נשמר, קלוריק, הנופל מחם לקר דרך מנוע כפי שמים נופלים דרך גלגל טחנה. התאוריה הזו הייתה שגויה — חום אינו נשמר; חלק ממנו הופך לעבודה — ובכל זאת מסקנתו שרדה בשלמותה. קלאוזיוס וקלווין בנו מחדש את ההוכחה בסביבות 1850 על שמירת אנרגיה ועל החוק השני, והגרסה שלמעלה היא שלהם. תוצאה ששרדה את התאוריה שבה נולדה היא הפן ההיסטורי של מה שההוכחה מראה: היא מעולם לא נזקקה לדעת ממה עשוי חום.

לשים על זה מספר¶

משפט קרנו אומר שהנצילות ההפיכה היא פונקציה אוניברסלית כלשהי של שתי הטמפרטורות. כדי למצוא את הפונקציה די לנו להעריך אותה פעם אחת, עבור מנוע הפיך נוח כלשהו — והגז האידיאלי נוח.

קחו את מחזור קרנו: התפשטות איזותרמית מ-$V_1$ ל-$V_2$ בטמפרטורה $T_h$; התפשטות אדיאבטית אל $V_3$, המקררת את הגז ל-$T_c$; דחיסה איזותרמית בטמפרטורה $T_c$ אל $V_4$; ודחיסה אדיאבטית בחזרה לנקודת ההתחלה.

על האיזותרמה החמה מתקיים $\Delta U = 0$, ולכן כל החום הנבלע עוזב כעבודה:

על האיזותרמה הקרה הגז נדחס, ולכן נעשית עבודה עליו, ומאחר שגם כאן $\Delta U = 0$ אותה כמות עוזבת כחום. גודלה הוא

כעת שתי האדיאבטות עושות את העבודה המהותית. לאורך אדיאבטה הגודל $T V^{\gamma - 1}$ קבוע. האדיאבטה המתפשטת מחברת את $V_2$ ב-$T_h$ אל $V_3$ ב-$T_c$, והדוחסת מחברת את $V_4$ ב-$T_c$ אל $V_1$ ב-$T_h$:

שתי האדיאבטות מחברות את אותו זוג טמפרטורות, ולכן שתיהן מותחות את הנפח באותו גורם, וחלוקת תנאי אחד בשני נותנת

הנה המחזור כולו כמאזן, במוסכמת הסימנים של הקורס — חום אל תוך הגז ועבודה הנעשית עליו נספרים שניהם חיוביים — עם $C_V = \tfrac{f}{2} N \kB$ ו-$r = V_2/V_1$:

שני דברים שכדאי לשים לב אליהם. העמודה האחרונה מסתכמת באפס, כפי שחייב להיות סביב מסלול סגור. ועבודות שתי האדיאבטות שוות והפוכות, משום שכל אחת מהן היא $C_V$ כפול אותו טווח טמפרטורות: הן מצטמצמות בדיוק, וכל ג’אול שהמחזור מניב נטו בא משתי האיזותרמות. זו החריגה בעמודה האמצעית של ההנפשה — ההתפשטות האדיאבטית מוסיפה עבודה שהדחיסה האדיאבטית מחזירה מיד.

שני הלוגריתמים שווים אפוא, והם מצטמצמים:

שתי מסקנות נובעות מיד. מאחר ש-$T_c > 0$ תמיד, גם $Q_c > 0$ תמיד: מנוע מחזורי חייב לפלוט חום, ו-$600\ \mathrm{J}$ של ניבוי 1 אינם פסולת בת-השבה אלא דרישה מבנית. ו-$\eta \to 1$ היה דורש $T_c \to 0$ או $T_h \to \infty$, ואף אחד מהם אינו זמין.

טמפרטורה בלי מדחום¶

הנה מסקנה שכדאי לעצור אצלה. היחס $Q_c/Q_h$ עבור מנוע הפיך תלוי בשני המאגרים בלבד, ושווה ל-$T_c/T_h$. לכן אפשר להשתמש ביחס הזה כדי להגדיר טמפרטורה.

זהו סולם קלווין, ומעלתו היא שאינו מזכיר שום חומר כלל: לא התפשטות של כספית, לא לחץ של גז דליל, שום דבר שהיה יכול להתנהג אחרת בחומר אחר. כל מדחום אמפירי הוא ממלא מקום להגדרה הזו.

מאז 2019 מעגנת מערכת היחידות הבינלאומית את הסולם בדרך אחרת, בהגדרת קבוע בולצמן כ-$\kB = 1.380649 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ בדיוק, ולכן הנקודה המשולשת של המים, $273.16\ \mathrm{K}$, היא כעת ערך נמדד ולא הגדרה. הסולם הוא אותו סולם; רק אופן העיגון שלו השתנה.

להריץ את המחזור לאחור¶

כל צעד של מחזור הפיך ניתן להיפוך — זו משמעות המילה — ולכן מנוע קרנו הנקרא מימין לשמאל הוא מקרר קרנו. עבודה נכנסת, חום $Q_c$ יוצא מן המאגר הקר, ו-$Q_h = Q_c + W$ נכנס אל החם. אין צורך לגזור דבר חדש; אותם לוגריתמים מצטמצמים נותנים

שימו לב לזהות המדויקת $\mathrm{COP}_{\text{pump}} = \mathrm{COP}_{\text{fridge}} + 1$. זוהי שמירת אנרגיה ותו לא: כל מה שהמכונה מרימה מן הצד הקר, בתוספת העבודה שצרכה, מגיע אל הצד החם.

אלה המקדמים של מקרר קרנו. שאף מקרר אחר אינו יכול לעשות טוב יותר עדיין לא הוכח — משפט קרנו עסק במנועים — והפרק הבא מוכיח זאת יחד עם הרבה מעבר לכך.

אי-שוויון קלאוזיוס¶

משפט קרנו הוא טענה על מנועים. החוק השני רחב מזה — הוא מגביל מקררים, דליפות חום ומכונות הנוגעות בתריסר מאגרים — וקלאוזיוס מצא את הצורה שלו המכסה את כולם בבת אחת. היא נובעת מניסוח קלווין בכמה שלבים.

חומים מסומנים. בפרק הזה נכתוב $q$ עבור חום אל תוך המתקן ממאגר, חיובי או שלילי לפי העניין: הסימן הרגיל של הקורס, המוחל על כל החלפה עם מאגר בנפרד. למנוע יש $q_h > 0$ ו-$q_c < 0$; למקרר יש $q_h < 0$ ו-$q_c > 0$.

שני מאגרים. תנו למתקן כלשהו לבצע מחזור אחד בין מאגרים ב-$T_h$ וב-$T_c$, תוך החלפת $q_h$ ו-$q_c$. חברו מכונת קרנו הפיכה $C$ בין אותם שני מאגרים, מכוילת ומופעלת בכיוון שגורם לה להחזיר למאגר הקר בדיוק את מה שהמתקן נטל ממנו, כך שהמאגר הקר אינו מרוויח ואינו מפסיד: $C$ קולטת $c_c = -q_c$ בצדה הקר. החומים של מכונה הפיכה עומדים ביחס הטמפרטורות — זה מה שאומר הסולם התרמודינמי — ולכן $c_h / T_h + c_c / T_c = 0$, ו-$C$ קולטת $c_h = q_c T_h / T_c$ בצדה החם.

כעת קראו את המתקן ואת $C$ יחד. לאחר מחזור אחד כל אחד מהם חוזר למקום שבו התחיל, המאגר הקר בדיוק כפי שהיה, והדבר היחיד שנגעו בו הוא המאגר החם, שמסר

אילו זה היה חיובי, הצמד היה מחזור שתוצאתו היחידה הופכת חום של מאגר אחד לעבודה, וקלווין אוסר זאת. לכן זה אפס או שלילי. חלוקה ב-$T_h$:

מתי מתקיים שוויון? אם המתקן הפיך, הריצו אותו לאחור: כל $q$ מחליף סימן, ולכן אותו טיעון נותן כעת $q_h/T_h + q_c/T_c \ge 0$, ושניהם יחד כופים שוויון. להפך, אם מתקיים שוויון, הצמד אינו משאיר שום עקבות — גם המאגר החם אינו מרוויח ואינו מפסיד — ולכן $C$ ביטלה את כל מה שהמתקן עשה, וזה בדיוק פירוש היות המתקן הפיך. שוויון עבור מתקנים הפיכים; אי-שוויון ממש עבור כל אחד אחר.

מה זה מחזיר. עבור מנוע, בגדלים שבהם השתמשנו עד כה, $q_h = Q_h$ ו-$q_c = -Q_c$, ואי-השוויון קורא $Q_c / Q_h \ge T_c / T_h$ — שזהו $\eta \le 1 - T_c/T_h$, חסם קרנו שוב. עבור מקרר $q_c = Q_c$ ו-$q_h = -Q_h$, כאשר $Q_h = Q_c + W$, ואי-השוויון נעשה

תקרה על כל מקרר, לא רק על מקרר קרנו שהוערך למעלה.

מאגרים רבים. מתקן ממשי פוגש טווח שלם של טמפרטורות — גז המחומם בנפח קבוע עובר בכל טמפרטורה בדרכו מעלה. קלאוזיוס טיפל בכך בכך שנתן לכל החלפה מכונת עזר משלה.

כל מנוע עזר $C_i$ מספק למתקן בדיוק את החום $\delta Q_i$ שהוא קולט בטמפרטורה $T_i$ — שלילי במקום שבו המתקן מוסר חום — ומאחר שהוא הפיך, הוא מושך לשם כך $\delta Q_i\, T_0 / T_i$ ממאגר הייחוס. במחזור אחד של כל מה שבתוך הקו, המאגר היחיד שנגעו בו הוא זה שב-$T_0$, והוא מוסר

קלווין אוסר שזה יהיה חיובי, ובגבול של החלפות קטנות רבות הסכום הופך לאינטגרל סביב המחזור.

שימו לב איזו טמפרטורה מחלקת: זו של המאגר, לא זו של המתקן. עבור מחזור של צעדים כמו-סטטיים, חלוקה בטמפרטורת הגז עצמו נותנת אפס בין שהחום חצה פער בדרכו פנימה ובין שלא, ואינה מוכיחה דבר — כל תוכנו של אי-השוויון שוכן בפער שבין שתי הטמפרטורות.

אנטרופיה: פונקציית מצב חדשה¶

החילו את אי-השוויון על מחזור הפיך והוא הופך לשוויון. בהחלפה הפיכה אין פער בין המערכת למאגר שלה, ולכן $T$ היא פשוט הטמפרטורה של המערכת עצמה:

כעת קחו שני מצבי שיווי משקל $a$ ו-$b$ ושני מסלולים הפיכים כלשהם ביניהם, I ו-II. יציאה לאורך I וחזרה לאורך II היא מחזור הפיך, והיפוך מסלול הופך את הסימן של כל $\dbar Q_{\text{rev}}$, ולכן

האינטגרל אינו תלוי באיזה מסלול הפיך נבחר, אלא רק בנקודות הקצה שלו — וזה בדיוק התנאי לכך שהוא השינוי בפונקציית מצב.

הדיפרנציאל הלא מדויק $\dbar Q$ הפך למדויק על ידי חלוקה ב-$T$ — הגודל $1/T$ הוא גורם אינטגרציה עבור חום, במובן שקובע דף המוסכמות. זהו השכר שמודול 05 וריענון המתמטיקה הכינו אותו, והוא הושג בלי אזכור אחד של אטומים.

הגז האידיאלי. לאורך צעד הפיך מתקיים

חלקו ב-$T$, השתמשו ב-$P/T = N \kB / V$, וכל איבר מתכנס בנפרד:

שני מקרים פרטיים ראויים לשם משלהם. לאורך איזותרמה השינוי הוא $N \kB \ln(V_b/V_a)$, שהוא החום הנבלע חלקי $T$. לאורך אדיאבטה הפיכה, $\Delta S = 0$ — אין חום, אין שינוי אנטרופיה — ולכן אדיאבטה הפיכה נקראת גם איזנטרופה. זו הנוסחה ש-thermolab.engines.entropy_change_of_gas מחשבת.

מאגר חום. מאגר נשאר בטמפרטורה הקבועה שלו $T$ בזמן שהוא מחליף חום, והוא גדול כל כך שהוא לעולם אינו יוצא משיווי משקל, ולכן כל החלפה הפיכה מצדו שלו. אם הוא מקבל חום $Q$,

גוף בעל קיבול חום קבוע. חממו אותו באופן הפיך מ-$T_1$ ל-$T_2$, צעד קטן אחר צעד קטן, עם $\dbar Q_{\text{rev}} = C\,\mathrm{d}T$:

כעת הביטו שוב בהתפשטות החופשית של מודול 06: מ-$V$ ל-$2V$ בטמפרטורה קבועה, בלי חום ובלי עבודה. שום חום לא חצה, ולכן קריאה נאיבית אומרת שאין שינוי אנטרופיה. אבל $S$ היא פונקציית מצב, והאיזותרמה ההפיכה בין אותם שני מצבים נותנת שינוי אנטרופיה של $N \kB \ln 2$, שהוא חיובי. האנטרופיה של הגז עלתה אף ששום דבר לא זרם פנימה — וכך זה נראה כאשר תהליך מייצר אנטרופיה במקום לקבל אותה.

אנטרופיה מיוצרת, ולאן הולכת העבודה האבודה¶

כל תהליך, לא רק מחזורים. קחו מערכת ממצב $a$ למצב $b$ בתהליך כלשהו, תוך החלפת חום עם מאגרים, והחזירו אותה לאורך מסלול הפיך. המסע הלוך-ושוב הוא מחזור, ולכן אי-שוויון קלאוזיוס חל, והחזרה ההפיכה מ-$b$ אל $a$ תורמת בדיוק $S_a - S_b$. לכן

עם שוויון בדיוק עבור תהליך הפיך. האנטרופיה של מערכת יכולה לעלות יותר ממה שהחום שקיבלה מביא עמו, לעולם לא פחות. שתי מסקנות נובעות מיד.

• עבור תהליך אדיאבטי דבר אינו מתקבל, ולכן $\Delta S \ge 0$. עבור גז אידיאלי המגיע לנפח הסופי של האדיאבטה הכמו-סטטית, נוסחת האנטרופיה נותנת שינוי של $C_V \ln(T'/T_B)$, ולכן $\Delta S \ge 0$ אומר $T' \ge T_B$ — המשפט מפרק ההפיכות, בשורה אחת.

• עבור מערכת מבודדת דבר אינו מתקבל גם כן, ולכן האנטרופיה שלה יכולה רק לעלות או להישאר כשהייתה. מדוע היא עולה אל מקסימום, ומה בוחר המקסימום הזה, הוא עניינו של מודול 09.

המאזן. כעת כללו את המאגרים. האנטרופיה של כל מאגר משתנה בחום שהוא מקבל חלקי הטמפרטורה שלו, זו של המערכת ב-$\Delta S$ שלה עצמה, ומה שנותר הוא חדש.

החום שכל מאגר קיבל הוא החום שהמערכת נטלה ממנו בסימן הפוך, ולכן אי-השוויון שלמעלה הוא טענה על הסכום הזה.

המקרר והמזון שבו — ניבוי 4. מקרר שומר על החלל הפנימי שלו ב-$T_c$ על ידי הרמת חום $Q_c$ ממנו, והמטבח ב-$T_h$ מקבל $Q_h = Q_c + W$. החלל הפנימי מאבד אנטרופיה $Q_c / T_c$, וזה כל מה שהשאלה הבחינה בו. המטבח מרוויח $(Q_c + W)/T_h$, ואי-שוויון קלאוזיוס אומר שזה לפחות אותו הדבר:

החוק השני מגביל את הסך הכול, לא חלק כלשהו ממנו. ירידה באנטרופיה במקום אחד משולמת תמיד בעלייה גדולה יותר במקום אחר — כאן במטבח — והתשלום הוא החשמל.

דליפת חום. תנו לחום $Q$ לזרום בהולכה ישירות ממאגר ב-$T_h$ אל מאגר ב-$T_c$ דרך מוט המסיים את התהליך בדיוק כפי שהתחיל. אז

חיובית ממש בכל פעם ש-$T_h > T_c$: מקור 1 מפרק ההפיכות, כעת כמספר.

לאן הולכת העבודה האבודה. השוו מנוע ממשי למנוע הפיך המושך את אותו חום $Q_h$ מאותו מאגר חם. ההפיך מספק $Q_h (1 - T_c/T_h)$; הממשי מספק $W = Q_h - Q_c$, בגדלים כמו לכל אורך הדרך. החוסר הוא

והסוגריים הם בדיוק האנטרופיה המיוצרת במחזור.

החילו זאת על דליפת החום. המוט ייצר $Q/T_c - Q/T_h$, ולכן השליך

בדיוק העבודה שמנוע קרנו שהוצב על פני אותו פער היה מייצר. חום הזורם במורד בלי מנוע בדרכו אינו רק נותר בלתי מנוצל. הוא משמיד את ההזדמנות שנשא.

לאמת חישובית¶

הגזירה שלמעלה היא שרשרת של טענות מדויקות, ולכן תפקידה של המעבדה הוא לבדוק שהשרשרת הורכבה נכון — ולהפוך את החסם למשהו שניסיתם לשבור ונכשלתם, במקום למשהו שנאמר לכם. כל בדיקה להלן היא גם מבחן בערכת המבחנים של הפרויקט.

1. המחזור נסגר. כל אחד מארבעת הצעדים מחשב את נקודת הסיום שלו מן הצורה הסגורה שלו עצמו. החזרה אל $(P, V, T)$ ההתחלתיים היא ארבע נוסחאות בלתי תלויות המסכימות ביניהן, עד כדי 10^-12 מן האנרגיה הפנימית.

2. החוק הראשון נסגר סביב המסלול. $Q_{\text{net}} + \Won^{\text{net}} = \Delta U = 0$ עבור כל מחזור שנבנה כאן, מנוע ומקרר כאחד.

3. הנצילות יוצאת $1 - T_c/T_h$. דבר בבנייה אינו מכניס את המספר הזה פנימה — הצעדים יודעים רק נפחים וטמפרטורות. השבתו היא הבדיקה.

4. משפט קרנו, כניסוי.

5. מגע לא מושלם עולה בדיוק כמה שהוא מייצר. תנו למנוע גז היושב $\Delta T$ מתחת למאגר החם ו-$\Delta T$ מעל הקר — וזה מה שנדרש כדי שחום יזרום בקצב סופי — ושני מספרים זזים יחד: הנצילות יורדת, והאנטרופיה המיוצרת בכל מחזור, $S_{\text{gen}} = -\oint \dbar Q / T_{\text{res}}$, עולה מאפס. כל צעד של המנוע הזה כמו-סטטי, ולכן הוא גם הדוגמה הנגדית שניבוי 6 חיפש: איטי ככל שתרצו, ובכל זאת בלתי הפיך, משום שהחום שלו חוצה פער טמפרטורות סופי, לאט ככל שינוע.

6. מחזור ממשי נופל מן החסם מסיבה, לא מחוסר זהירות. מנוע הבנזין המאודיאל — שתי אדיאבטות ושני צעדי חום בנפח קבוע, כל אחד מהם הפיך — מגיע ל-$\eta = 1 - r^{1-\gamma}$ עבור יחס דחיסה $r$, עד שתים-עשרה ספרות, ותמיד פחות מ-$1 - T_{\min}/T_{\max}$ בין המצבים הקר והחם ביותר שלו עצמו. בקשו מן המעבדה את סכום קלאוזיוס שלו והיא מסרבת: צעדי החום שלו מתרחשים בזמן שטמפרטורת הגז משתנה, ולכן אף טמפרטורת מאגר יחידה אינה מתארת אף אחד מהם. דוגמה פתורה 5 להלן מסבירה את החוסר.

7. שום מסלול אדיאבטי אינו גובר על המסלול הכמו-סטטי. שחררו את הבוכנה כנגד עומס קבוע — כל עומס, קל מלחץ הגז כך שהוא מתפשט או כבד ממנו כך שהוא נדחס — והשוו לאדיאבטה הכמו-סטטית עד אותו נפח סופי. המסלול המועמס מסתיים חם יותר בכל פעם, כפי שדורש המשפט מפרק ההפיכות. גם זה מבחן הפרכה: דוגמה נגדית אחת הייתה פירושה שהקוד, או המשפט, שגוי.

8. אנטרופיה היא פונקציית מצב, וסכום קלאוזיוס אינו כזה. תנו לגז להתפשט בחופשיות לפי שניים מנפחו, ואז דחפו אותו חזרה לאורך האיזותרמה במגע עם מאגר בטמפרטורה שלו עצמו.

להעביר את הרעיון¶

התבנית — המרה שהחוק הראשון מתיר אך חוק שני ובלתי תלוי אוסר — מגיעה הרחק מעבר למנועים.

• תחנות כוח. קיטור ב-$550\,{}^\circ\mathrm{C}$ מול נהר ב-$20\,{}^\circ\mathrm{C}$ נותן חסם קרנו של 0.64, מתוך $1 - 293/823$. תחנות ממשיות מגיעות לכ-0.40. זה אינו כישלון הנדסי של 24 נקודות: נצילות ההספק המרבי $1 - \sqrt{T_c/T_h} = 0.40$, הנגזרת בפרק המתקדם, נוחתת כמעט בדיוק עליה, משום שתחנה הממוטבת לתפוקה ולא לסגולה תרמודינמית פותרת בעיה אחרת.

• מדוע מטוסים מפעילים את הטורבינות שלהם חם. כל רווח ב-$\eta$ חייב לבוא מהעלאת $T_h$, משום ש-$T_c$ הוא השמיים ואינו נתון למשא ומתן. תולדות מנוע הסילון הן במידה רבה מאוד תולדות החומרים השורדים כניסת טורבינה חמה יותר.

• משאבות חום למבנים. מקדם ביצועים של 4 פירושו קילוואט של חשמל המספק ארבעה קילוואט של חימום, מה שנשמע כהפרה ואינו כזה. זהו ניסוח קלאוזיוס מכובד: חום עולה במעלה, אך לא כתוצאה יחידה.

• ביולוגיה. שרירים אינם מנועי חום — תא הוא איזותרמי בעיקרו, ולכן למנוע חום בתוכו היה $T_h = T_c$ והוא לא היה יכול לעשות דבר. החיים פועלים על אנרגיה חופשית כימית במקום זאת, ולכן הפוטנציאלים של מודול 10 חשובים לביוכימיה יותר מן המודול הזה.

• אינפורמציה. מנוע סילארד מפיק $\kB T \ln 2$ של עבודה לכל סיביט של מידע על מיקומה של מולקולה, ועקרון לנדאואר גובה את אותו סכום בדיוק עבור מחיקת הסיביט. המאזן נסגר רק כאשר המידע נכלל בו, וזהו אחד המקומות העמוקים ביותר שאליהם מגיע החוק הזה.

הגשר אל הספירה. מודול 08 מגדיר אנטרופיה אחרת לגמרי, כ-$S = \kB \ln \Omega$ — ספירה של מיקרו-מצבים, בלי שום מנוע באופק. נסו זאת על ההתפשטות החופשית: הכפלת הנפח מכפילה את המקומות הפתוחים בפני כל אחד מ-$N$ החלקיקים, ולכן $\Omega$ גדל פי $2^N$ ו-$\Delta S = N \kB \ln 2$ — המספר שהדף הזה קיבל מאיזותרמה הפיכה ומאינטגרל של חום. שתי ההגדרות מסכימות, עד כדי הקבוע החיבורי שטיעון ספירה אינו יכול לקבע ושאינטגרל קלאוזיוס מעולם לא נזקק לו. ההסכמה אינה מקרית; בגללה משתמשים באותה מילה עבור שתיהן, ובגללה חסם שנגזר ממנועי קיטור מתברר כשולט בערבוב גזים ובקיפול חלבונים. היא גם אומרת מה הופך חום ל"נחות": חום הוא אנרגיה המפוזרת באקראי על פני כ-10²³ קואורדינטות מולקולריות, עבודה היא אנרגיה בקואורדינטה אחת — הבוכנה — וריכוז הראשונה בחזרה אל השנייה בלתי סביר באופן מוחץ. זהו ניסוח קלווין, כשקוראים אותו רמה אחת מתחת.

דוגמאות פתורות¶

נסו כל אחת לפני שתפתחו את הפתרון שלה.

דוגמה פתורה 1 — בדיקת טענה. חברה מציעה תחנה גאותרמית המושכת חום ממי מלח תת-קרקעיים ב-$150\,{}^\circ\mathrm{C}$ ופולטת אותו לאוויר ב-$25\,{}^\circ\mathrm{C}$, ומפרסמת נצילות של $30\%$. האם כדאי להשקיע?

דוגמה פתורה 2 — מחזור קרנו, צעד אחר צעד. גז אידיאלי חד-אטומי ($f = 3$), כאשר $N$ נבחר כך ש-$N \kB = 1.000\ \mathrm{J\,K^{-1}}$, מבצע מחזור קרנו בין $500\ \mathrm{K}$ ל-$300\ \mathrm{K}$, ומכפיל את נפחו על האיזותרמה החמה. מלאו את המאזן, מצאו את הנצילות, ועקבו אחר האנטרופיה.

דוגמה פתורה 3 — דליפת חום היא עבודה שהושלכה. דופן כבשן ב-$900\ \mathrm{K}$ מדליפה $1000\ \mathrm{J}$ של חום דרך הבידוד שלה אל חדר ב-$300\ \mathrm{K}$. כמה אנטרופיה מיוצרת, וכמה עבודה אבדה?

דוגמה פתורה 4 — כוס קפה מתקררת. כוס קפה של $0.25\ \mathrm{kg}$ — התייחסו אליה כאל מים, עם חום סגולי $4184\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ — מתקררת מ-$353\ \mathrm{K}$ אל $293\ \mathrm{K}$ של החדר. מצאו את שינוי האנטרופיה של הקפה, של החדר ושל שניהם יחד, ואת העבודה שאפשר היה להפיק בדרך.

דוגמה פתורה 5 — מנוע אוטו. מנוע בנזין מאודיאל קולט אוויר ב-$T_1 = 300\ \mathrm{K}$, דוחס אותו אדיאבטית לפי $r = 8$ (לאוויר $\gamma = 7/5$), מחמם אותו בנפח קבוע ל-$2000\ \mathrm{K}$ על ידי שריפת הדלק, מרחיב אותו אדיאבטית בחזרה לנפח המלא, ופולט את החום בנפח קבוע. מצאו את נצילותו, השוו אותה לחסם קרנו בין $300\ \mathrm{K}$ ל-$2000\ \mathrm{K}$, והסבירו את הפער — כל צעד הפיך.

בחנו את הבנתכם¶

1. מנוע בולע 1000 ג’אול של חום מכבשן בכל מחזור ומספק 400 ג’אול של עבודה. מה מעמדם של 600 הג’אול הנותרים?

   A. הם חייבים להיפלט אל מאגר חום קר יותר; שום תכנון אינו יכול להשיב את כולם. B. הם אובדים לחיכוך ולדליפות חום, ותכנון טוב יותר היה משיב את רובם. C. הם נאגרים בחומר העבודה ומשתחררים במחזור מאוחר יותר. D. הם מעולם לא נבלעו באמת; הנתון 1000 ג’אול ודאי נובע משגיאת מדידה.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — הם חייבים להיפלט אל מאגר חום קר יותר; שום תכנון אינו יכול להשיב את כולם.

   • A. נכון. סביב מחזור השינוי באנרגיה הפנימית מתאפס, ולכן העבודה המסופקת היא Q_h - Q_c, והחוק השני מחייב Q_c גדול מאפס בכל מנוע מחזורי. החום הנפלט הוא דרישה מבנית ולא דליפה — גם המנוע הטוב ביותר שניתן להעלות על הדעת בין שני המאגרים האלה עדיין פולט את היחס Q_c/Q_h = T_c/T_h ממה שבלע.

   • B. זו הקריאה השגויה הנפוצה ביותר של החוק השני. חיכוך ודליפות אכן קיימים ואכן עולים ביוקר, אבל לא בהם עוסק החוק: מנוע נטול חיכוך לחלוטין, מבודד לחלוטין, שכל צעדיו הפיכים, עדיין פולט חום. אפסו כל אובדן והחסם 1 - T_c/T_h נשאר על כנו.

   • C. מחזור מחזיר את חומר העבודה בדיוק למצב ההתחלתי שלו, ולכן האנרגיה הפנימית שלו זהה בסוף ובהתחלה. אין מקום שבו אנרגיה יכולה להצטבר — וזה בדיוק מה שהופך את המאזן W = Q_h - Q_c למדויק.

   • D. החום הנמשך מהכבשן והעבודה המסופקת ניתנים למדידה בלתי תלויה, והם נבדלים זה מזה בפקטור כזה בדיוק באופן שגרתי. אין שום פגם במספרים; נצילות של 0.4 היא דבר רגיל.

2. שני מנועים פועלים בין אותו כבשן ואותו נהר. האחד משתמש בקיטור והשני בהליום. את מי מהם אפשר לעשות נציל יותר?

   A. אף אחד מהם — הנצילות המרבית זהה, משום שהיא תלויה בשתי הטמפרטורות בלבד. B. קיטור, משום ששינוי המופע שלו מאפשר לו לבלוע הרבה יותר חום לכל קילוגרם. C. הליום, משום שלגז חד-אטומי אין מודים פנימיים לבזבז בהם אנרגיה. D. זה שקיבול החום שלו גדול יותר, משום שהוא מעביר יותר אנרגיה בכל מחזור.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — אף אחד מהם — הנצילות המרבית זהה, משום שהיא תלויה בשתי הטמפרטורות בלבד.

   • A. נכון, וזהו חציו המפתיע של משפט קרנו. ההוכחה אינה פותחת אף אחד מהמנועים: היא נשענת רק על כך שהאחד מפיק עבודה משני מאגרי חום ושאת השני אפשר להפוך. מאחר שחומר העבודה אינו נכנס לטיעון כלל, הוא אינו יכול להופיע בתשובה.

   • B. קיטור אכן נושא יותר חום לכל קילוגרם, ולעובדה הזו חשיבות עצומה לגודלו ולעלותו של מתקן. אבל נצילות היא יחס בין עבודה לבין החום הנבלע, והחום הנוסף מופיע גם במונה וגם במכנה. התקרה אינה זזה.

   • C. אנרגיה במודים סיבוביים או רטטיים אינה מבוזבזת — היא מוחזרת כשהגז נדחס בחזרה, משום שהמחזור נסגר. עברו על גזירת קרנו וראו כיצד גאמא מצטמצם: הנצילות יוצאת 1 - T_c/T_h עבור כל מספר דרגות חופש.

   • D. יותר אנרגיה במחזור פירושה מנוע חזק יותר, לא נציל יותר. אלו שאלות שונות, וכדאי להיזהר מערבובן — הספק ונצילות נסחרים זה כנגד זה בכל תכנון ממשי.

3. מקרר מוריד את האנטרופיה של המזון שבתוכו. האם הדבר מפר את החוק השני?

   A. לא — האנטרופיה הנפלטת אל המטבח גדולה מן האנטרופיה שהוסרה מן החלל הפנימי. B. כן, אך במידה מזערית בלבד, ולמקררים ממשיים מותרת הפרה קטנה. C. לא, משום שאנטרופיה אינה חלה על עצמים יומיומיים כמו מזון. D. כן, ולכן מקררים זקוקים לאספקת חשמל רציפה.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — לא — האנטרופיה הנפלטת אל המטבח גדולה מן האנטרופיה שהוסרה מן החלל הפנימי.

   • A. בדיוק. החוק השני מגביל את הסך הכולל, לא כל רכיב בנפרד. המקרר פולט את הסכום Q_c + W אל המטבח בטמפרטורה הגבוהה יותר, והמאזן הכולל יוצא אי-שלילי, עם שוויון רק במכונה הפיכה.

   • B. החוק השני אינו מתיר הפרות, קטנות כגדולות. אין כאן דבר לתרץ: האנטרופיה הכוללת אכן גדלה, משום שהחום הנפלט אל המטבח החם נושא אנטרופיה רבה יותר מן החום שהוסר מן החלל הפנימי הקר.

   • C. אנטרופיה מוגדרת עבור כל מערכת בשיווי משקל, ובכלל זה מזון. הפתרון אינו שהחוק אינו חל אלא שהגבול שורטט צר מדי — הביטו במקרר ובמטבח יחד.

   • D. החשמל אכן נחוץ, והאינטואיציה מצביעה על משהו אמיתי, אבל המסקנה הפוכה. הזנת העבודה היא מה שמאפשר למכונה לציית לניסוח קלאוזיוס, שכן העברת חום מקר לחם אסורה רק כתוצאה יחידה. התשלום עבורה הוא מה שהופך אותה למותרת.

4. דוד הקיטור של תחנת כוח נמצא בטמפרטורה 811 קלווין והמעבה שלה בטמפרטורה 311 קלווין. חשבו את הנצילות המרבית האפשרית, כשבר עשרוני בין 0 ל-1.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 0.6165 (± 0.005)

   הנצילות המרבית היא 1 - T_c/T_h = 1 - 311/811 = 0.6165. אם קיבלתם 0.3835 חישבתם את היחס T_c/T_h ושכחתם לחסר אותו מ-1. אם קיבלתם ערך בסביבות 0.93 השתמשתם בצלזיוס: יחס בין טמפרטורות הוא בעל משמעות רק בסולם מוחלט, וזו השגיאה היחידה היקרה ביותר במודול הזה. התחנה משיגה בפועל כ-0.40, והפער הזה הוא ברובו מכוון — ראו את נצילות ההספק המרבי.

5. איזו מן המכונות הבאות, לו נבנתה, הייתה מפרה את ניסוח קלווין של החוק השני?

   A. אונייה המושכת חום מן האוקיינוס וממירה אותו כולו להנעה, מחזור אחר מחזור, בלי לשנות דבר נוסף. B. גז המתפשט איזותרמית, בולע חום ומבצע עבודה השווה לו. C. מקרר המעביר חום מן החלל הפנימי הקר שלו אל המטבח החם יותר. D. מנוע המשיג נצילות של 0.35 בין מאגרי חום בטמפרטורות 600 קלווין ו-300 קלווין.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — אונייה המושכת חום מן האוקיינוס וממירה אותו כולו להנעה, מחזור אחר מחזור, בלי לשנות דבר נוסף.

   • A. נכון: זוהי מכונה מחזורית שתוצאתה היחידה היא חום הנמשך ממאגר חום יחיד ומופיע כעבודה. שני התנאים חשובים — היא חוזרת על עצמה, ודבר נוסף בשום מקום אינו משתנה. שימו לב שהאנרגיה נשמרת בשלמות, ולכן לחוק הראשון אין דבר לומר על כך.

   • B. זהו תהליך הממיר חום כולו לעבודה, בנצילות מלאה, והוא מותר לחלוטין — משום שאינו מחזורי. הגז נותר גדול יותר ולחצו נמוך יותר, ולכן אי אפשר לחזור על התרגיל בלי לשלם תחילה על דחיסתו בחזרה.

   • C. מותר, ועומד במטבח שלכם. ניסוח קלאוזיוס אוסר זאת רק כתוצאה יחידה; מקרר צורך גם חשמל, ולכן דבר נוסף אכן משתנה.

   • D. מותר לחלוטין: הערך 0.35 נמצא מתחת לחסם 1 - 300/600 = 0.50. החוק השני קובע תקרה, והמנוע הזה מתחתיה.

6. משאבת חום מחממת בית בטמפרטורה 295 קלווין באמצעות אוויר חיצוני בטמפרטורה 273 קלווין. חשבו את מקדם הביצועים המרבי האפשרי שלה (חום מסופק ליחידת עבודה מושקעת).

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 13.41 (± 0.2)

   מקדם הביצועים של המשאבה הוא T_h/(T_h - T_c) = 295/22 = 13.41. אם קיבלתם 12.41 חישבתם את מקדם הביצועים של המקרר, T_c/(T_h - T_c) = 273/22, והשניים נבדלים בדיוק ב-1 — גם העבודה המושקעת מגיעה כחום אל הצד החם. ערך הגדול בהרבה מ-1 אינו שגיאה: דבר אינו מומר כאן, אנרגיה מועברת, והעברתה עולה פחות מן הכמות המועברת.

7. מדוע אפשר להשתמש ביחס החומים שמחליף מנוע הפיך כדי להגדיר סולם טמפרטורה?

   A. משום שמשפט קרנו קובע שהיחס הזה זהה בכל מנוע הפיך בין אותם שני מאגרי חום, יהיה עשוי ממה שיהיה. B. משום שקל יותר למדוד חום בדיוק מאשר טמפרטורה. C. משום שמשוואת הגז האידאלי כבר קושרת לחץ וטמפרטורה בקשר ליניארי. D. משום שאנטרופיה מוגדרת כחום חלקי טמפרטורה.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — משום שמשפט קרנו קובע שהיחס הזה זהה בכל מנוע הפיך בין אותם שני מאגרי חום, יהיה עשוי ממה שיהיה.

   • A. בדיוק. הגדרה אינה רשאית להיות תלויה במכשיר המשמש ליישומה, והיחס הזה אכן אינו תלוי בו, וניתן להוכיח זאת. קיבוע נקודת ייחוס אחת מקבע אז את הסולם כולו, והתוצאה אינה מתייחסת לשום חומר — וזו משמעות המילה מוחלט כאן.

   • B. בדרך כלל ההפך הוא הנכון, ומכל מקום מנוע הפיך נמשך זמן אינסופי בכל מחזור ואי אפשר לבנותו. ערכה של ההגדרה הוא רעיוני: היא אומרת מהי טמפרטורה, ללא תלות בשום מדחום.

   • C. זה נותן את סולם הגז האידאלי, שהוא מדחום אמפירי טוב בהחלט אך תלוי בכך שחומר מסוים יתנהג אידאלית. כל עניינה של ההגדרה התרמודינמית הוא לא להזדקק לשום חומר.

   • D. זה הופך את סדר ההיגיון. יחס החומים ההפיך בא ראשון ומגדיר את סולם הטמפרטורה; האנטרופיה נבנית אחר כך מן החום חלקי אותה טמפרטורה. שימוש באנטרופיה כדי להגדיר את הטמפרטורה כאן היה מעגלי.

8. לפני קריאת הפרק על אנטרופיה מיוצרת: למנוע הפועל בין מאגרי חום בטמפרטורות 600 קלווין ו-300 קלווין יש מחליפי חום לא מושלמים, ולכן הגז שלו נמצא בטמפרטורה 560 קלווין בעת הבליעה ובטמפרטורה 340 קלווין בעת הפליטה. כל צעד שהוא מבצע הפיך בפנים. חזו את (א) הנצילות שלו, (ב) האם אינטגרל המסילה של delta-Q חלקי טמפרטורת המאגר מתאפס או שלילי, ו-(ג) לאן הלכה העבודה שאינו מספק.

   בדקו את התשובה

   (א) הנצילות נקבעת על ידי הטמפרטורות שביניהן פועל הגז, לא המאגרים: 1 - 340/560 = 0.393, מול חסם קרנו של 0.500. (ב) אינטגרל המסילה שלילי ממש, ושווה 0.357- ג’אול לקלווין לכל 1000 ג’אול נבלעים, משום שהמכנים הם טמפרטורות המאגרים 600 ו-300 ולא 560 ו-340. חלוקה בטמפרטורת הגז עצמו נותנת אפס בדיוק עבור המחזור הזה של צעדים כמו-סטטיים ואינה מוכיחה דבר — כל אי-השוויון שוכן בפער שבין שתי הטמפרטורות. האנטרופיה המיוצרת בכל מחזור היא אפוא S_gen = 0.357 ג’אול לקלווין. (ג) העבודה האבודה היא 107 = 393 - 500 ג’אול, והיא שווה למכפלת T_c באנטרופיה המיוצרת: 107 = 0.357 * 300 ג’אול. עבודה אבודה ואנטרופיה מיוצרת הן גודל אחד הנראה משני צדדים. אם חזיתם את הנצילות מטמפרטורות המאגרים, שימו לב למה שהמנוע באמת “רואה”: הוא נוגע אך ורק בגז שלו.

9. בשניים-שלושה משפטים, הסבירו מדוע מנוע חום מחזורי חייב לפלוט חום אל מאגר חום קר, באופן שאינו נסמך על חיכוך, על דליפות או על תכנון לקוי.

   בדקו את התשובה

   תשובה טובה עוברת דרך תנאי המחזוריות: סגירת המחזור מאלצת את השינוי באנרגיה הפנימית להתאפס, ולכן העבודה המסופקת היא בדיוק Q_h - Q_c, וניסוח קלווין אוסר על Q_c = 0 במכונה מחזורית. תשובות חזקות יותר מוסיפות את הגרסה הכמותית — היחס Q_c/Q_h = T_c/T_h במנוע הפיך, שהוא חיובי משום שטמפרטורות מוחלטות חיוביות — ומציינות שזו הסיבה לכך שהחום הנפלט הוא מבני ולא בזבזני. תשובות הטוענות ש"תמיד אובדת קצת אנרגיה" לא הבחינו בין החוק השני לבין הנדסה רשלנית, וכדאי ללחוץ עליהן: שאלו מה עושה מנוע מושלם וחסר חיכוך.

10. כל אחד מן התהליכים האלה מתבצע באיטיות רבה מאוד. את איזה מהם אפשר לעשות הפיך?

A. גז הנדחס על ידי בוכנה נטולת חיכוך בזמן שהוא במגע עם מאגר חום בטמפרטורה של הגז עצמו. B. גוש הנדחף לאט מאוד על פני שולחן מחוספס, כשהחיכוך שלו מחמם את השולחן. C. חום הדולף לאט מאוד דרך קיר עבה מחדר ב-300 קלווין אל האוויר שבחוץ ב-270 קלווין. D. גז הדולף לאט מאוד דרך חור זעיר אל תא ריק.

11. 1000 ג’אול של חום עוברים בהולכה דרך מוט מתכת ממאגר ב-800 קלווין אל מאגר ב-400 קלווין. המוט מסיים באותו מצב שבו התחיל. כמה אנטרופיה מיוצרת, בג’אול לקלווין?

12. למנוע בנזין (אוטו) מאודיאל אין חיכוך וכל אחד מארבעת הצעדים שלו הפיך, ובכל זאת נצילותו נמוכה בהרבה מ-1 - T_min/T_max, כאשר T_min ו-T_max הן הטמפרטורות הקרה והחמה ביותר שהגז שלו מגיע אליהן. מדוע?

A. הוא קולט חום בזמן שהגז שלו עדיין מתחמם, מתחת ל-T_max, ופולט אותו בזמן שהוא מתקרר, מעל T_min. B. חלק מן העבודה תמיד אובד לחיכוך בבוכנות. C. אוויר אינו גז אידיאלי, ולכן נוסחת קרנו אינה חלה עליו. D. יחס הדחיסה שלו נמוך מדי; ביחס גבוה מספיק הוא היה מגיע לחסם קרנו.

13. 1.0e23 חלקיקים של גז אידיאלי מכפילים את נפחם בטמפרטורה קבועה של 300 קלווין. קחו k_B = 1.381e-23 ג’אול לקלווין. מהו שינוי האנטרופיה של הגז, בג’אול לקלווין?

14. כוס קפה חם מתקררת על שולחן עד שהיא מגיעה לטמפרטורת החדר, והאנטרופיה שלה יורדת. איזו טענה נכונה?

A. האנטרופיה של החדר עולה ביותר ממה שזו של הקפה יורדת, ולכן האנטרופיה הכוללת עולה. B. החוק השני מופר, אבל רק לזמן קצר, עד שהקפה מגיע לטמפרטורת החדר. C. האנטרופיה של הקפה אינה יכולה לרדת באמת; היא רק נראית כך, משום שחום עוזב אותו. D. האנטרופיה הכוללת אינה משתנה, משום שהחום שהקפה מאבד שווה לחום שהחדר מקבל.

בעיות בסגנון בחינה למודול הזה — אלה שכדאי לעשות עם עט — נאספו בדף הבעיות.

להסביר במילים שלכם¶

ענו בכמה משפטים על כל אחת. שום מספר לא יציל אתכם כאן.

1. סטודנט אומר: “החוק השני אומר שמנועים אינם נצילים בגלל חיכוך ואובדני חום.” הסבירו במדויק מה פסול בכך, ותנו גרסה נכונה.

2. הסבירו למי שמכיר את החוק הראשון מדוע אוניית האוקיינוס נכשלת, בלי להשתמש במילה אנטרופיה.

3. מדוע הנצילות המרבית אינה יכולה להיות תלויה בחומר שממנו עשוי המנוע? הצביעו על השלב בטיעונו של קרנו ההופך זאת לבלתי נמנע.

4. המקרר שלכם מוריד את האנטרופיה של המזון שבתוכו. אמרו בדיוק מדוע אין זו הפרה, והיכן מתרחשת העלייה המפצה.

5. עמית מציע להכפיל את נצילותה של תחנת כוח על ידי שיפור להבי הטורבינה שלה. באילו נסיבות הוא עשוי להיות צודק, ומה תצטרכו למדוד כדי לברר זאת?

6. ציינו ארבע דרכים שבהן תהליך עשוי שלא להיות הפיך. עבור אחת מהן, הראו צעד אחר צעד שביטולה בלי עקבות היה מפר את ניסוח קלווין או את ניסוח קלאוזיוס.

7. התפשטות חופשית אינה מחליפה חום, ובכל זאת האנטרופיה של הגז עולה. הסבירו מדוע הגדרת אנטרופיה דורשת מסלול הפיך, ומדוע אפשר בכל זאת לייחס אותה לסופו של תהליך בלתי הפיך באלימות.

מתקדם: הספק, מחדשי חום, ומהיכן בא סולם הטמפרטורה¶

מנועים אנדו-הפיכים. המנוע עם פערי הטמפרטורות ראוי למבט שני. תנו לחום לזרום בקצב הפרופורציוני להפרש הטמפרטורות, ומטבו את ההספק ולא את הנצילות; האופטימום יושב ב-

נצילות קורזון–אלבורן. זהו אינו חסם — זו התשובה לשאלה אחרת — אך התאמתה לתחנות כוח ממשיות מרשימה, והיא מבהירה נקודה שכדאי לשאת: חסם קרנו מושג רק על ידי מנוע שמחזורו נמשך זמן אינסופי ולכן מספק הספק אפס. כל תכנון ממשי סוחר נצילות בהספק במכוון.

מחדשי חום: להגיע לקרנו בלי צורתו של קרנו. מנוע סטירלינג מפעיל שתי איזותרמות המחוברות בשני צעדים בנפח קבוע. בין האיזותרמות יש לקרר את הגז מ-$T_h$ ל-$T_c$, ומאוחר יותר לחמם אותו בחזרה; אילו נעשה הדבר כנגד המאגרים, היה החום נדחף על פני פערי טמפרטורות גדולים, וזה בלתי הפיך ועולה בנצילות. מחדש חום חוסך זאת: מטריצה של תיל דק שהגז עובר דרכה בדרכו מטה, ומשאיר בה את החום שלו בשכבות המדורגות מ-$T_h$ בקצה אחד ועד $T_c$ בקצה השני, ואוסף אותו בחזרה בדרכו מעלה, כשכל שכבה מחזירה חום בטמפרטורה שבה הופקד. עבור גז אידיאלי שני הצעדים בנפח קבוע מעבירים אותו חום, $C_V (T_h - T_c)$, בכיוונים מנוגדים, ולכן מחדש חום מושלם מתאזן בדיוק, והחום היחיד העובר אל החוץ הוא זה שעל שתי האיזותרמות, ב-$T_h$ וב-$T_c$. המנוע אז הפיך, מחליף חום כלפי חוץ עם שני מאגרים בלבד, ומגיע ל-$1 - T_c/T_h$ בצעדים בנפח קבוע. לכן הליבה אמרה שצורת קרנו כפויה רק עבור מנוע שחומר העבודה שלו מחליף חום רק עם המאגרים: מחדש החום הוא דבר שלישי להחליף עמו. אי-שוויון קלאוזיוס מכסה אותו בלי שינוי; תמונת ארבעת הצעדים של המעבדה במודול הזה אינה מכסה אותו.

מדוע יחס החומים חייב להתפרק לגורמים. הליבה הגדירה טמפרטורה תרמודינמית על ידי יחס החומים ההפיך והשתמשה בגז האידיאלי כדי לקבע את צורתו. יש טיעון שאינו זקוק לשום גז. משפט קרנו אומר שיחס החומים של מנוע הפיך בין שני מאגרים הוא פונקציה אוניברסלית שלהם בלבד, $Q_c/Q_h = f(t_c, t_h)$, כאשר $t$ היא טמפרטורה אמפירית כלשהי. ערמו שני מנועים הפיכים: אחד בין $t_1$ ל-$t_2$, ושני הלוקח את החום שהראשון פולט ב-$t_2$ וממשיך מטה עד $t_3$. הצמד הוא מנוע הפיך בין $t_1$ ל-$t_3$ שאינו משנה את המאגר האמצעי, ולכן

לכל $t_2$. קבעו את $t_2$ בערך ייחוס, והאגף הימני מתפרק לפונקציה של $t_3$ כפול פונקציה של $t_1$, ולכן $f(t_c, t_h) = \theta(t_c)/\theta(t_h)$ עבור פונקציה עולה יחידה $\theta$. ה-$\theta$ הזו היא הטמפרטורה התרמודינמית, עד כדי גורם קבוע; החישוב עם הגז האידיאלי רק אישר ש-$\theta$ פרופורציונית ל-$T$ של מדחום הגז.