Skip to article frontmatterSkip to article content
Site not loading correctly?

This may be due to an incorrect BASE_URL configuration. See the MyST Documentation for reference.

אוסף בעיות — פוטנציאלים תרמודינמיים

אוסף בעיות: פוטנציאלים תרמודינמיים

בעיות בסגנון בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שתיגעו במחשב; בעיות 4 ו-5 נועדו להסתיים במעבדה, ובעיה 6 היא אתגר. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים עם חומרי המרצה ובמכוון אינם באתר הזה.

קחו kB=1.381×10−23 J K−1\kB = 1.381 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}} וכן R=8.314 J mol−1 K−1R = 8.314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} לכל אורך הדרך.

בעיה 1 — יחס מקסוול של גיבס על גז אידיאלי

(א) החל מ-dG=−S dT+V dP\mathrm{d}G = -S\,\mathrm{d}T + V\,\mathrm{d}P כאשר NN קבוע, גזרו את יחס מקסוול

(∂S∂P)T=−(∂V∂T)P.\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P .
(1)

(ב) השתמשו בו כדי להראות שעבור גז אידיאלי

(∂S∂P)T=−NkBP,\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T = -\frac{N \kB}{P} ,
(2)

ומכאן מצאו את שינוי האנטרופיה של מול אחד של גז אידיאלי הנדחס באופן איזותרמי מ-1 ל-10 bar10\ \mathrm{bar}.

(ג) בדקו את התשובה שלכם ל-(ב) מול צורת הנפח של שינוי האנטרופיה, בעזרת (∂S/∂V)T=(∂P/∂T)V(\partial S/\partial V)_T = (\partial P/\partial T)_V במקום זאת.

(ד) הסבירו במילים מדוע דחיסת גז בטמפרטורה קבועה מורידה את האנטרופיה שלו, ולאן האנטרופיה הולכת.

בעיה 2 — הפוטנציאלים ויחס אוילר

(א) בעזרת יחס אוילר U=TS−PV+μNU = TS - PV + \mu N, הראו ש-G=μNG = \mu N, ומצאו את הביטויים המתאימים עבור FF ועבור HH.

(ב) החל מ-F=U−TSF = U - TS ומן הצורה הדיפרנציאלית של היחס היסודי ממודול 09, גזרו את dF=−S dT−P dV+μ dN\mathrm{d}F = -S\,\mathrm{d}T - P\,\mathrm{d}V + \mu\,\mathrm{d}N.

(ג) עבור מול אחד של ארגון ב-300 K300\ \mathrm{K} וב-1 bar1\ \mathrm{bar}, אנטרופיית סאקור–טטרודה היא S=155.0 J K−1S = 155.0\ \mathrm{J\,K^{-1}}. חשבו את UU, HH, FF ו-GG. מודול 09 מצא שעבור הגז הזה μN=−T (S−52NkB)\mu N = -T\,(S - \tfrac{5}{2} N \kB); בדקו שה-GG שלכם מסכים עם זה.

(ד) סטודנט כותב את האנרגיה של הגז האידיאלי כ-U(T,V)=32NkBTU(T, V) = \tfrac{3}{2} N \kB T וגוזר לפי VV כדי למצוא את הלחץ. מה הוא מקבל, ומה השתבש?

בעיה 3 — פיצול מים: חום לעומת אנתלפיה

ב-298 K298\ \mathrm{K} וב-1 bar1\ \mathrm{bar}, לפיצול מול אחד של מים נוזליים לגזי מימן וחמצן יש ΔH=285.8 kJ\Delta H = 285.8\ \mathrm{kJ} ו-ΔG=237.1 kJ\Delta G = 237.1\ \mathrm{kJ}.

(א) הראו שכאשר TT ו-PP קבועים העבודה החשמלית הנעשית על התא היא לפחות ΔG\Delta G.

(ב) מצאו את המתח הקטן ביותר שיכול לפצל מים, בהינתן ששני אלקטרונים עוברים לכל מולקולה וקבוע פאראדיי הוא 96 485 C mol−196\,485\ \mathrm{C\,mol^{-1}}.

(ג) תא פועל ב-1.80 V1.80\ \mathrm{V}. לכל מול מים מפוצל, מצאו את העבודה החשמלית, את החום החוצה את הגבול, ואת כיוונו.

(ד) הסבירו מדוע “ΔH\Delta H הוא החום של התגובה” נכון עבור אותה תגובה המתבצעת כשריפת מימן בכיוון ההפוך בלחץ קבוע, ושגוי עבור התא.

בעיה 4 — האנרגיה החופשית של מוצק איינשטיין, נומרית

למוצק איינשטיין של מודול 09 יש, לכל מתנד,

U=εeε/kBT−1,S=kB[(1+x)ln⁡(1+x)−xln⁡x],x=Uε.U = \frac{\varepsilon}{e^{\varepsilon / \kB T} - 1} , \qquad S = \kB \Big[ (1 + x) \ln (1 + x) - x \ln x \Big] , \qquad x = \frac{U}{\varepsilon} .
(3)

(א) הראו אלגברית ש-F=U−TSF = U - TS שווה ל-kBTln⁡(1−e−ε/kBT)\kB T \ln\left(1 - e^{-\varepsilon/\kB T}\right) לכל מתנד.

(ב) במעבדה, בנו טבלה של U(S)U(S) על רשת של NN נקודות ובצעו לה התמרת לז’נדר נומרית. שרטטו את השגיאה הגדולה ביותר של התוצאה כפונקציה של NN, כשהיא נמדדת בשתי דרכים: בטמפרטורה שכל נקודה אמורה הייתה לקבל, ועל העקומה F(T)F(T). דווחו על שני הסדרים הנצפים.

(ג) הסבירו מדוע שני הסדרים שונים, בעזרת העובדה ש-f−p xf - p\,x סטציונרית ב-xx בנקודת ההשקה האמיתית.

(ד) מדוע ההתמרה זקוקה לכך ש-U(S)U(S) תהיה קמורה, ואיזו תכונה של המוצק ממודול 09 מבטיחה זאת?

בעיה 5 — אנטרופיה ממד לחץ: אידיאלי לעומת ממשי

(א) הראו שעבור גז ואן דר ואלס

(∂P∂T)V=NkBV−Nb,\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = \frac{N \kB}{V - N b} ,
(4)

ובצעו אינטגרציה של יחס מקסוול מתוך FF כדי למצוא את שינוי האנטרופיה בהתפשטות איזותרמית מ-V1V_1 ל-V2V_2.

(ב) עבור מול אחד של פחמן דו-חמצני (b=4.27×10−5 m3 mol−1b = 4.27 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^3\,mol^{-1}}) המתפשט מ-0.20 ל-0.60 L0.60\ \mathrm{L} בטמפרטורה קבועה, חשבו את שינוי האנטרופיה, והשוו אותו לערך של הגז האידיאלי.

(ג) במעבדה, הדמו קריאות מד לחץ עם רעש של 0.5%0.5\% בחמש טמפרטורות ועל רשת של נפחים, ושחזרו את ΔS\Delta S עם פס השגיאה שלו. כמה נפחים נחוצים לכם לפני ששגיאת כלל האינטגרציה קטנה משגיאת הרעש?

(ד) הסבירו מדוע לקבוע המשיכה aa אין כל חלק בתשובה.

בעיה 6 — אתגר: שרשרת אידיאלית והגומייה

מדלו פולימר כשרשרת של nn חוליות באורך ℓ\ell, שכל אחת מהן מצביעה שמאלה או ימינה לאורך קו ישר, בלי מחיר אנרגטי לאף אחד מן הכיוונים. כאשר n+n_+ חוליות מצביעות ימינה, האורך מקצה לקצה של השרשרת הוא L=(2n+−n) ℓL = (2 n_+ - n)\,\ell.

(א) הראו שמספר הסידורים עם אורך LL הוא המקדם הבינומי (nn+)\binom{n}{n_+}, ושעבור ∣L∣≪nℓ|L| \ll n\ell האנטרופיה היא בקירוב

S(L)=S(0)−kBL22nℓ2.S(L) = S(0) - \frac{\kB L^2}{2 n \ell^2} .
(5)

(ב) האנרגיה של השרשרת אינה תלויה ב-LL. בעזרת dF=−S dT+f dL\mathrm{d}F = -S\,\mathrm{d}T + f\,\mathrm{d}L, הראו שהמתיחות הנחוצה כדי להחזיק אותה באורך LL היא

f=−T(∂S∂L)T=kBTLnℓ2.f = -T\left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)_T = \frac{\kB T L}{n \ell^2} .
(6)

(ג) נבאו מה עושה שרשרת המחזיקה משקולת קבועה כשהיא מחוממת, ומה קורה לטמפרטורה שלה כשהיא נמתחת במהירות.

(ד) הגומייה של המעבדה נותנת (∂f/∂T)L=5.79±0.17 mN K−1(\partial f/\partial T)_L = 5.79 \pm 0.17\ \mathrm{mN\,K^{-1}} במתיחות של 2.00 N2.00\ \mathrm{N} וב-295 K295\ \mathrm{K}. השרשרת האידיאלית מנבאת מתיחות היחסית בדיוק ל-TT. כמה רחוק הגומייה סוטה מכך, ומה הסטייה מודדת?

תרמודינמיקה
10 · פוטנציאלים
מכניקה סטטיסטית
03 · הילוכים אקראיים