דף שאלות — המקור המיקרוסקופי של הלחץ

דף שאלות: המקור המיקרוסקופי של הלחץ¶

שאלות ברמת בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שאתם ניגשים למחשב; שתי האחרונות נועדו להיפתר נומרית. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים בחומרי המרצה ואינם מופיעים באתר הזה במכוון.

השתמשו לאורך כל הדף בערך $k_B = 1.381 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$.

שאלה 1 — הנהלת חשבונות של תנע¶

חלקיק בעל מסה $m$ הנע ברכיבי מהירות $(v_x, v_y)$ פוגע בדופן קשיחה הניצבת לציר $x$ וניתז באופן אלסטי.

(א) נסחו את התנע המועבר לדופן, והסבירו במשפט אחד מדוע $v_y$ אינו מופיע.

(ב) החלקיק נמצא בקופסה שאורך צלעה בכיוון $x$ הוא $L_x$. הראו שתרומתו הממוצעת בזמן לכוח על אותה דופן היא $m v_x^2 / L_x$, וציינו במפורש היכן אתם משתמשים בהנחה שהוא אינו מתנגש בדבר בדרך.

(ג) סטודנט כותב את הכוח בצורה $2m|v_x| \times (\text{collision rate})$ ומקבל תוצאה כפולה משלכם. מצאו את שגיאתו.

שאלה 2 — קריאת משוואת המצב¶

מיכל אטום וקשיח שנפחו $2.0\ \mathrm{L}$ מכיל $N = 5.0 \times 10^{22}$ אטומי ארגון בטמפרטורה של $300\ \mathrm{K}$.

(א) חשבו את הלחץ.

(ב) הגז מחומם ל-$600\ \mathrm{K}$. חשבו את הלחץ החדש, את האנרגיה הקינטית הממוצעת החדשה לאטום ואת האנרגיה הפנימית הכוללת החדשה. ציינו איזה משלושת הגדלים הוכפל ואיזה לא, ומדוע.

(ג) הארגון מוחלף באותו מספר אטומי הליום באותה טמפרטורה. אילו מן הגדלים בסעיף (ב) משתנים? נמקו כל תשובה במשפט אחד.

שאלה 3 — פרדוקס המסה¶

שני מיכלים זהים מכילים אותו מספר חלקיקים באותה טמפרטורה. החלקיקים במיכל ב’ כבדים פי ארבעה מאלה שבמיכל א’.

(א) השוו את המהירויות הממוצעות, את האנרגיות הקינטיות הממוצעות, את התנע המועבר בכל התנגשות ואת קצבי ההתנגשויות בשני המיכלים.

(ב) הראו שהלחצים שווים, וזהו במדויק אילו שני אפקטים מתקזזים.

(ג) כעת השוו את המיכלים במהירויות חלקיקים שוות במקום בטמפרטורה שווה. האם הלחצים עדיין שווים? הסבירו מה הדבר מלמד על הגודל שהלחץ “באמת” עוקב אחריו.

שאלה 4 — עד כמה יציב הוא יציב¶

הפלוקטואציה היחסית של הלחץ בגז אידיאלי מקיימת $\sigma_P/\langle P\rangle \simeq N^{-1/2}$.

(א) מד לחץ מבחין בהפרשים של חלק אחד מ-10⁴. מעל איזה מספר חלקיקים $N$ יראה המד לחץ יציב לחלוטין?

(ב) מיקרון מעוקב של אוויר בטמפרטורת החדר ובלחץ אטמוספרי מכיל כ-$2.5 \times 10^{7}$ מולקולות. העריכו את הפלוקטואציה היחסית של הלחץ. האם היא ניתנת לגילוי?

(ג) הנפח הקטן ביותר שבו הלחץ עודנו מושג שימושי הוא בקירוב זה שבו הפלוקטואציה מגיעה ל-$1\%$. העריכו נפח זה עבור אוויר בטמפרטורת החדר, והשוו אותו לגודלו של חיידק.

(ד) הסבירו מדוע התשובה לסעיף (ג) היא טענה על $N$ ולא על אורך.

שאלה 5 — היכן המודל נשבר¶

הגזירה בעמוד המודול מניחה חלקיקים נקודתיים שאינם מקיימים אינטראקציה.

(א) קוטרם של אטומי ארגון אמיתיים הוא כ-$0.34\ \mathrm{nm}$. העריכו את שבר הנפח שהם תופסים בטמפרטורת החדר ובלחץ אטמוספרי, והתייחסו לשאלה אם הזנחתו סבירה.

(ב) תנו נימוק פיזיקלי לשאלה אם המשיכה בין האטומים אמורה להעלות או להוריד את הלחץ ביחס לערך הגז האידיאלי, בעוד $N$, $V$, $T$ קבועים.

(ג) שני סטודנטים חלוקים. האחד טוען שחוק הגזים האידיאליים נכשל בטמפרטורה נמוכה משום שהאטומים נעים לאט מכדי לפגוע בדפנות לעיתים קרובות. השנייה טוענת שהוא נכשל משום שמשיכה וסטטיסטיקה קוונטית נעשות משמעותיות. הכריעו.

שאלה 6 — חישובית¶

בעזרת מחברת המעבדה של המודול והמודול thermolab.kinetics:

(א) מדדו את הלחץ עבור $N \in \{50, 100, 200, 400, 800\}$ עבור $T$ ו-$V$ קבועים, ואמתו ש-$P$ פרופורציוני ל-$N$. דווחו את השיפוע המותאם בצירוף אי-ודאות.

(ב) עבור כל $N$, דגמו לפחות שלושים מיקרו-מצבים בלתי תלויים (השתמשו ב- initialise_gas(..., fix_temperature=False)) ומדדו את הפיזור היחסי של הלחץ. שרטטו אותו מול $N$ בצירים לוגריתמיים והתאימו את המעריך.

(ג) ההתאמה שלכם אמורה לתת -0.5. הסבירו מדוע שימוש ב-fix_temperature=True היה נותן פיזור קטן בהרבה, ואמרו איזו משתי האפשרויות מתאימה לגז אמיתי במגע עם מאגר תרמי.

(ד) ציינו דבר אחד שהתוצאה הנומרית שלכם אינה מוכיחה.