תהליכים תרמודינמיים - ThermoLab

החידה: שתי דרכים להכפיל נפח, ובאף אחת מהן לא חיממנו¶

גליל של הליום יושב בתוך מבודד מושלם. שום חום אינו יכול להיכנס אליו ושום חום אינו יכול לצאת ממנו. מה שלא נעשה לגז הזה, $Q = 0$ .

הדרך הראשונה. הגליל סגור בבוכנה שנושאת ערימת חול. הסירו את הגרגרים אחד אחד. הגז דוחף את הבוכנה החוצה גרגר אחר גרגר, וכשהנפח מוכפל, ההליום התקרר מ-300 קלווין ל-189 קלווין.

הדרך השנייה. הגליל הוא מחצית אחת של הקופסה המבודדת; המחצית השנייה ריקה מחומר, ומחיצה דקה מפרידה ביניהן. משכו את המחיצה החוצה. הגז מסתער אל המחצית הריקה. נפחו הוכפל. הטמפרטורה שלו עדיין 300 קלווין, עד הספרה האחרונה.

אותו גז, אותו בידוד, אותה התחלה, אותו נפח סופי. במקרה הראשון הטמפרטורה ירדה ב-37 אחוזים; בשני היא לא זזה כלל.

התשובה אינה דקות הקשורה לבידוד. היא שהתכונות “אדיאבטי” ו"כמו-סטטי" הן שני תנאים בלתי תלויים, והחוק המפורסם זקוק לשניהם. המודול הזה מפריד ביניהם, ומתברר שההפרדה שווה בערך מחצית מן העבודה שמנוע היה יכול להפיק.

לנבא לפני שמחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת מהשאלות לפני שתמשיכו לקרוא. כתבו אותן.

גז מבודד נדחס לאט למחצית נפחו. האם הטמפרטורה שלו עולה, יורדת או נשארת במקומה? כעת אותו גז, מבודד, מורשה להתפשט לאט לכפליים מנפחו. פי כמה משתנה הטמפרטורה שלו?
גז מתפשט אל תוך ריק בתוך קופסה מבודדת. מהם $Q$ , $W_{\mathrm{on}}$ , $\Delta U$ ו- $\Delta T$ ? היזהרו בשניים האחרונים: אין זו אותה שאלה.
אתם רוצים לחמם מול אחד של גז בדיוק במעלה אחת. האם דרוש יותר חום בנפח קבוע או בלחץ קבוע? לאן הולך ההפרש?
גז נדחס על ידי הטלת משקולת כבדה על הבוכנה שלו, כך שהיא נוחתת בטריקה במקום חדש ונעצרת. השוו את העבודה הנעשית על הגז לעבודה הנעשית בדחיסתו לאט בין אותם שני נפחים. איזו מהן גדולה יותר?

לחקור את המודל¶

המעבדה של המודול מריצה גז לאורך כל אחת מארבע המשפחות הכמו-סטטיות מתוך מצב התחלתי משותף, ואז מעמידה זו מול זו את שלוש הדרכים האדיאבטיות של החידה: התפשטות איטית, התפשטות כנגד עומס קבוע, והתפשטות חופשית אל תוך ריק.

תחילה, ארבע המשפחות. כל אחת מהן יוצאת מאותה נקודה במישור $P$ – $V$ , וכל אחת היא אילוץ אחר על מה שמוחזק קבוע:

משמאל, ארבע המשפחות הכמו-סטטיות יוצאות ממצב משותף אחד במישור הלחץ-נפח; מימין, שלוש חלוניות המעקב אחר העבודה הנעשית על הגז, החום הנכנס אליו, והשינוי באנרגיה הפנימית שלו ככל שכל דרך נעברת. כחול הוא איזוכורי — קו אנכי, שכן הנפח אינו משתנה כלל — כתום איזוברי (אופקי), ירוק איזותרמי, אדום אדיאבטי. שימו לב אילו עמודות נשארות שטוחות באפס: כחול בחלונית העבודה, מפני שגבול שאינו זז אינו מבצע עבודה; ירוק בחלונית האנרגיה, מפני שאיזותרמה מסתיימת בטמפרטורה שבה התחילה; ואדום בחלונית החום, וזו בדיוק משמעות המילה “אדיאבטי”. העקומה האדומה היא התלולה, היורדת מתחת לאיזותרמה הירוקה, מפני שהאנרגיה שהיא מוציאה על הבוכנה באה מן הגז עצמו.

וכעת החידה. שלוש דרכים, כולן אדיאבטיות, כולן מכפילות את הנפח, ומעבר לכך אין ביניהן דבר משותף:

שלוש התפשטויות אדיאבטיות ממצב אחד אל נפח סופי אחד, בשלוש חלוניות. משמאל, מישור הלחץ-נפח: הדרך האיטית (אדום) משרטטת עקומה ומצלילה את השטח הגדול ביותר, שהוא העבודה שהיא מספקת; הדרך כנגד עומס קבוע (כתום) מצלילה את המלבן שמתחת ללחץ החיצוני הקבוע שלה, קטן בשליש; ההתפשטות החופשית (ירוק) אינה מצלילה דבר, מפני שלחץ חיצוני אפס פירושו עבודה אפס. באמצע, העבודה המסופקת כעמודה לכל דרך — יש רק שתי עמודות נראות, והעמודה הירוקה החסרה היא כל העניין. מימין, טמפרטורה כנגד נפח: לדרך האיטית יש עקומה מפני שהיא עוברת דרך מצבי שיווי משקל ויש לה טמפרטורה בכל רגע, ואילו לשתי האחרות יש רק נקודת התחלה ונקודת סיום ובלי דבר משורטט ביניהן, מפני שבאמצע אין להן טמפרטורה כלל. שלוש הטמפרטורות הסופיות הן 189, 225 ו-300 קלווין.

מפרט המודל

מערכת: כמות קבועה של גז אידיאלי, $N$ חלקיקים ולכל אחד $f$ דרגות חופש ריבועיות, בגליל הסגור בבוכנה — או בקופסה מבודדת המחולקת במחיצה נשלפת.
דינמיקה: שני משטרים. כמו-סטטי, שבו הגז מחזיק $(P, V, T)$ יחיד לאורך כל הדרך ועובר דרך מצבי שיווי משקל בלבד; ובלתי הפיך, שבו רק נקודות הקצה הן מצבי שיווי משקל והעבודה עוקבת אחר הלחץ החיצוני.
גבול: בוכנה נטולת חיכוך המשובצת בדופן שהיא או דיאתרמית (חום יכול לחצות) או אדיאבטית (אינו יכול). המחיצה של ההתפשטות החופשית אדיאבטית ואינה מבצעת עבודה.
צבר: אינו רלוונטי לתרמודינמיקה; ההתפשטות החופשית המיקרוסקופית שבמעבדה היא מיקרו-קנונית, ומשמרת אנרגיה במדויק.
מוזנח: חיכוך, המסה והאינרציה של הבוכנה עצמה, אי-אידיאליות של הגז, דליפת חום דרך דופן אדיאבטית, והזמן שלוקח לגז לחזור לשיווי משקל אחרי כל צעד.
תקף כאשר: תוצאות כמו-סטטיות — התהליך איטי ביחס לזמן הרלקסציה של הגז; תוצאות בלתי הפיכות — הלחץ החיצוני ידוע ואחיד על הגבול הנע.
אופני כישלון: גזים ממשיים, שהאנרגיה הפנימית שלהם תלויה בנפח, ולכן ההתפשטות החופשית שלהם כן משנה את הטמפרטורה; דחיסות מהירות עד כדי כך שאפילו הלחץ החיצוני אינו אחיד; דופן דולפת, שהופכת את “אדיאבטי” לשקרי ולא לקירוב.

שלושה דברים שכדאי לעשות לפני קריאת הגזירה:

הזיזו את מספר דרגות החופש מ-3 ל-5 ול-6 והתבוננו באדיאבטה משתטחת לכיוון האיזותרמה. שאלו את עצמכם מה $f \to \infty$ היה אומר מבחינה פיזיקלית.
קבעו את הלחץ החיצוני של ההתפשטות הבלתי הפיכה לאפס ובדקו שהיא הופכת להתפשטות החופשית במדויק, לא בקירוב.
הריצו את ההתפשטות החופשית המיקרוסקופית, שבה קופסת חלקיקים מורחבת בבת אחת. שום דבר בקוד הזה אינו נוגע ולו במהירות אחת — התבוננו במה שהטמפרטורה הנמדדת עושה.

לגזור את התוצאה¶

מערכת וגבול. הגז שבגליל; הבוכנה היא הגבול הנע.

משתנים בלתי תלויים. $N$ , $V$ , $T$ ומספר דרגות החופש הריבועיות $f$ לכל חלקיק, כאשר $P$ נקבע על ידי משוואת המצב. כל תוצאה שלהלן היא תרמודינמיקה מאקרוסקופית — שום מיקרו-מצב אינו נספר בשום מקום בפרק הזה — למעט הבדיקה האחרונה במעבדה, שהיא קינטית.

מוסכמת סימנים. כמו בכל מקום בקורס הזה,

dU = \delta Q + \delta W_{\mathrm{on}}, \qquad \delta W_{\mathrm{on}} = -P_{\mathrm{ext}}\, dV .

(1)

שימו לב איזה לחץ מופיע שם. העבודה נעשית על הגבול, על ידי מה שהבוכנה דוחפת כנגדו, ולכן הניסוח הכן של המשוואה השנייה נושא את $P_{\mathrm{ext}}$ . מודול 5 כתב אותה עם $P$ של הגז עצמו, וזה נכון רק כאשר השניים שווים — והשוויון הזה הוא ההגדרה שאנו עומדים לדייק.

קיבולי חום, ומדוע יש שניים מהם¶

החום הדרוש כדי להעלות את טמפרטורת הגז תלוי במה שמחזיקים קבוע בזמן שעושים זאת. בנפח קבוע הגז אינו יכול להתפשט, ולכן לא נעשית עבודה וכל החום נכנס לאנרגיה הפנימית:

C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = \frac{f}{2} N k_B .

(2)

בלחץ קבוע הגז גם דוחף את הבוכנה שלו החוצה, ועל ההתפשטות הזו יש לשלם. נכתוב $\delta Q = dU + P\,dV$ ונשתמש ב- $P\,dV = N k_B\, dT$ לאורך איזובר:

C_P = C_V + N k_B .

(3)

האדיאבטה¶

כעת נסגור את זרימת החום ונזוז לאט. לאט מספיק כך שהגז נמצא בשיווי משקל בכל רגע, ולכן יש לו לחץ יחיד ומתקיים $P_{\mathrm{ext}} = P$ . אז $\delta Q = 0$ נותן

C_V\, dT = -P\, dV .

(5)

נגזור את משוואת המצב $PV = N k_B T$ כדי לסלק את $dT$ :

P\, dV + V\, dP = N k_B\, dT .

(6)

נציב, ונשתמש ב- $C_V = N k_B/(\gamma - 1)$ :

\frac{P\, dV + V\, dP}{\gamma - 1} = -P\, dV \qquad\Longrightarrow\qquad V\, dP = -\gamma P\, dV .

(7)

נפריד משתנים ונבצע אינטגרציה:

\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\; P V^{\gamma} = \text{constant} \;}

(8)

ובהחזרת משוואת המצב פנימה, אותו חוק במשתנים החשובים לחידה:

T V^{\gamma - 1} = \text{constant} .

(9)

עבור הליום ( $\gamma = 5/3$ ) הכפלת הנפח מכפילה את הטמפרטורה בגורם $2^{-2/3} = 0.630$ : מ-300 קלווין ל-189 קלווין, בדיוק כפי שעשה הגליל הראשון.

ארבע המשפחות, זו לצד זו¶

כל משפחה היא אילוץ אחד, והחוק הראשון עושה את השאר.

תהליך	מוחזק קבוע	$W_{\mathrm{on}}$	$Q$	$\Delta U$
איזוכורי	$V$	0	$C_V \Delta T$	$C_V \Delta T$
איזוברי	$P$	$-P \Delta V$	$C_P \Delta T$	$C_V \Delta T$
איזותרמי	$T$	$-N k_B T \ln(V_2/V_1)$	$+N k_B T \ln(V_2/V_1)$	0
אדיאבטי	$Q = 0$	$\dfrac{P_2V_2 - P_1V_1}{\gamma - 1}$	0	$C_V \Delta T$

העמודה האחרונה היא ביטוי אחד, $C_V \Delta T$ , בכל שורה — האפס של האיזותרמה הוא אותו ביטוי עצמו עם $\Delta T = 0$ — מפני ש- $U$ היא פונקציית מצב ואינה מתעניינת באיזו שורה היא נמצאת. כל מה שמבדיל בין השורות שוכן בשתי פונקציות המסלול שלצידה. שימו לב במיוחד ש- $C_V$ מופיע ב- $\Delta U$ של שורת האיזובר: קיבול החום בנפח קבוע הוא מה שממיר שינוי טמפרטורה לשינוי אנרגיה, יהיה התהליך אשר יהיה.

תהליכים בלתי הפיכים: העבודה עוקבת אחר הלחץ החיצוני¶

כעת נוותר על ההנחה הכמו-סטטית. הגז נדחס על ידי משקולת שנטרקה על הבוכנה, או מתפשט אל תוך ריק. במהלך התהליך הגז הסמוך לבוכנה נמצא בלחץ שונה מזה של הגז בקצה הרחוק; אין לחץ $P$ יחיד, אין נקודה במישור $P$ – $V$ , ולכן אין עקומה. מה שנותר בעינו הוא ההגדרה:

W_{\mathrm{on}} = -\int P_{\mathrm{ext}}\, dV .

(10)

עבור לחץ חיצוני קבוע זהו פשוט $-P_{\mathrm{ext}} (V_2 - V_1)$ , יהיה אשר יהיה מה שהגז עושה בתוכו.

ההתפשטות החופשית. נציב $P_{\mathrm{ext}} = 0$ : הגז מתפשט אל תוך ריק, ולכן דבר אינו דוחף בחזרה על הבוכנה — או, בגרסת המחיצה, אין בוכנה כלל. אז

W_{\mathrm{on}} = 0, \qquad Q = 0, \qquad \Delta U = 0 .

(11)

ועבור גז אידיאלי, שהאנרגיה הפנימית שלו תלויה בטמפרטורה בלבד, $\Delta U = 0$ כופה $\Delta T = 0$ . הגז אינו מתקרר. הוא אינו יכול: קירור פירושו איבוד אנרגיה, ואין ערוץ פתוח שדרכו אנרגיה תוכל לצאת.

התפשטות כנגד עומס קבוע. בין שני הקצוות יושב המקרה שבו הבוכנה נושאת משקולת קבועה, ולכן $P_{\mathrm{ext}}$ קבוע ושונה מאפס. הגז מתפשט עד שהלחץ שלו עצמו יורד עד לעומס, ומתקיים

T_2 = \frac{C_V T_1 + P_{\mathrm{ext}} V_1}{C_P} .

(12)

קבעו את העומס כך שהגז ייעצר בדיוק בכפליים מנפחו, וזה נותן 225 קלווין — בין 189 הקלווין של הדרך האיטית לבין 300 הקלווין של החופשית.

שלוש הדרכים, במספרים

כל שלושתן אדיאבטיות. כל שלושתן מתחילות ב-300 קלווין ומסיימות בכפליים מן הנפח.

דרך	$T$ סופית	$-W_{\mathrm{on}}$ ביחידות של $P_1V_1$
איטית (אדיאבטה כמו-סטטית)	189.0 קלווין	0.555
כנגד עומס קבוע	225.0 קלווין	0.375
התפשטות חופשית	300.0 קלווין	0

הדרך האיטית מספקת 48 אחוזים יותר עבודה מזו שכנגד העומס, ואינסוף מונים יותר מן החופשית, עבור שינוי נפח זהה. הסדר אינו מקרה של המספרים האלה, והסיבה לכך שהוא לעולם אינו יכול להתהפך היא נושאו של מודול 7.

כעת נריץ זאת לאחור, וזוהי שאלת ניבוי 4. דחסו את אותו גז למחצית נפחו, מבודד, בשתי דרכים. לאט, גרגר אחר גרגר: הוא מסיים ב-476 קלווין, לאחר שבלע $0.881\,P_1V_1$ של עבודה. או הטילו גוש כבד מספיק כדי להחזיק $P_{\mathrm{ext}} = 6P_1$ עד שהבוכנה נעצרת — וזו המשמעות הכמותית של “טריקה” — והוא מסיים ב-900 קלווין, לאחר שבלע $3.000\,P_1V_1$ .

הדחיסה הפתאומית עולה פי 3.4 בעבודה ומשאירה את הגז חם ב-424 קלווין, עבור שינוי נפח זהה. שתי העובדות הן אותה עובדה: $Q = 0$ , ולכן $\Delta U = W_{\mathrm{on}}$ , ולעבודה שנכנסה לא היה לאן ללכת. אם ניבאתם שטריקת הבוכנה זולה יותר מפני שהיא מהירה יותר, זו הפסקה שכדאי לקרוא שוב.

כך שהדרך האיטית היא הטובה שבעולמות, ואין זה מקרה: היא מפיקה את מרב העבודה בדרך החוצה ועולה את המחיר הנמוך ביותר בדרך פנימה. כל סטייה מן הכמו-סטטי משולמת, באותו כיוון, לא משנה לאיזה צד הבוכנה נעה.

לאמת חישובית¶

שש בדיקות, וכל אחת מהן היא גם מבחן אוטומטי בערכת המבחנים של הפרויקט, כך ששום דבר בעמוד הזה אינו יכול להירקב בשקט.

1. הצורות הסגורות. אינטגרציה נומרית של $-\int P\,dV$ לאורך כל משפחה משחזרת את השורה המתאימה בטבלה שלמעלה בשגיאה יחסית קטנה מ-10^-6, ושגיאת שיטת הטרפז יורדת בסדר שני ככל שהדגימה מעודנת.

2. יחס מאייר, כבדיקת עקביות ולא כהנחה. לאורך איזובר העבודה מחושבת מ- $-P\Delta V$ והחום מ- $C_P \Delta T$ , בשתי נוסחאות בלתי תלויות. החוק הראשון חייב אז להיסגר, והוא נסגר — וזהו מבחן חי של $C_P - C_V = N k_B$ , שכן כל ערך אחר היה שובר אותו.

3. השמורים האדיאבטיים, ומה שווה הבדיקה הזו. דגימת האדיאבטה והצבת $P V^{\gamma}$ ו- $T V^{\gamma-1}$ בכל נקודה נותנות שני קבועים, שטוחים עד דיוק המכונה לאורך העקומה כולה. כדאי להיות ברורים כמה מזה מהווה ראיה: העקומה משורטטת מתוך $P V^{\gamma} = \text{constant}$ , ולכן השמור הראשון נכון מעצם הבנייה ורק השני — שהצורה בטמפרטורה נובעת דרך משוואת המצב — הוא תוצאה. מבחן שיכול רק לעבור ראוי שייקרא בשמו ולא שייספר.

4. האדיאבטה שנבנית מלמטה, וזוהי הבדיקה שאינה מעגלית. חלקו את ההתפשטות ל- $n$ צעדים שווים ותנו לגז להתפשט בכל אחד מהם באופן בלתי הפיך כנגד עומס קבוע, המותאם ללחצו בתחילת אותו צעד. שום צעד אינו משתמש ב- $P V^{\gamma}$ בשום מקום; כל אחד מהם אינו אלא החוק הראשון ומשוואת המצב. צעד אחד נוחת על 100 קלווין, שישה-עשר על 185.6 קלווין, ו-256 בתוך 0.11 אחוזים מן הערך הכמו-סטטי 189.0 קלווין, כשהשגיאה יורדת כמו $1/n$ .

זהו טיעון גרגר החול שנעשה נומרית, וזו האימות היחיד החזק ביותר של המודול: הוא מראה שהאדיאבטה הכמו-סטטית היא הגבול של סדרת תהליכים בלתי הפיכים ולא חוק נפרד, והוא מגיע לאותם 189 קלווין בדרך שאינה מניחה את התשובה מראש.

5. הסדר בין שלוש הדרכים. הטמפרטורות הסופיות יוצאות 189.0, 225.0 ו-300.0 קלווין, בסדר הזה, בעוד העבודות רצות בכיוון ההפוך. עבור ההתפשטות החופשית גם $W_{\mathrm{on}}$ וגם $Q$ הם אפס מדויק — הם אינם מחושבים, הם מוצבים — והשינוי $\Delta U$ שלה יוצא בתוך חלק אחד מ-10¹⁵ מן האפס, וזה קרוב לאפס כפי שמספר צף יכול להיות. שימו לב שהבדיקה נעשית יחסית: האנרגיות האלה הן בסדר גודל של $10^{-18}\,\mathrm{J}$ , ולכן סבילות מוחלטת הייתה מדווחת שהעבודה בכל דרך שווה לזו של כל דרך אחרת.

6. ההתפשטות החופשית מלמטה. זוהי הבדיקה שכדאי להריץ בעצמכם.

ההתפשטות החופשית, רמה אחת למטה

קחו קופסת חלקיקים מן המודל הקינטי של מודול 4, והרחיבו אותה. זה הכול: שום מהירות אינה נוגעת, מפני שהסרת מחיצה אינה מזיזה דופן כנגד כוח. האנרגיה הקינטית זהה לפיכך לפני ואחרי, עד דיוק המכונה, ולכן הטמפרטורה הנמדדת אינה משתנה — הניסוח המיקרוסקופי של $\Delta U = 0$ .

כעת תנו לסימולציה לרוץ ומדדו את הלחץ. הוא ירד בדיוק ביחס הנפחים: אותם חלקיקים, באותן מהירויות, פוגעים כעת בקטע דופן נתון בתדירות חצי משהייתה. $P$ יורד פי שניים, $T$ נשמר, והמכפלה $PV$ נשמרת. מודל שבו ההתפשטות עצמה מקררת את הגז היה חייב להקטין איזושהי מהירות, ואין בקוד הזה מקום שבו זה יכול לקרות.

להעביר את הרעיון¶

האדיאבטה הכמו-סטטית ובנות דודתה הבלתי הפיכות נמצאות בכל מקום ברגע שמזהים את הצורה.

האטמוספירה. חבילת אוויר הנדחפת במעלה מדרון הר מתפשטת כאשר הלחץ סביבה יורד, מבצעת עבודה על האוויר שהיא מסיטה, ואין לה זמן להחליף חום — אדיאבטה כמו-סטטית בשמיים. קצב הצינון עם הגובה הנובע מכך, קרוב ל- $10\ \mathrm{K/km}$ עבור אוויר יבש, נובע מכך ש- $T V^{\gamma-1}$ קבוע ותו לא. עננים נוצרים היכן שהקירור מגיע לנקודת הטל.
מנוע הדיזל. ללא מצת. אוויר נדחס אדיאבטית בגורם של בערך 20, מה שלפי $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ מעלה אותו מעל 700 קלווין, והדלק המוזרק באותו רגע נדלק במגע. המנוע הוא הדגמה עובדת לכך שדחיסה אדיאבטית מחממת.
משאבת אופניים מתחממת בגליל מאותה סיבה, ופחית תרסיס מתקררת בתמונת הראי שלה. שניהם ערוץ העבודה, לא ערוץ החום.
חניקה. דחפו גז לאט דרך פקק נקבובי מלחץ גבוה לנמוך. התהליך בלתי הפיך ואדיאבטי, ומה שנשמר אינו $U$ אלא האנתלפיה $H = U + PV$ . עבור גז אידיאלי זה עדיין נותן $\Delta T = 0$ ; עבור ממשי זה נותן את הקירור שמנזל אוויר בתעשייה. האנתלפיה זוכה למודול משלה (10).
קול. גל קול דוחס אוויר מהר בהרבה מכפי שחום יכול להתפזר בין דחיסה להתרווחות, ולכן הדחיסות אדיאבטיות ולא איזותרמיות. ניוטון הניח איזותרמיות וטעה במהירות הקול בגורם $\sqrt{\gamma}$ ; לפלס סיפק את $\gamma$ מאה שנים אחר כך.

בדקו את ההבנה שלכם¶

גז אידיאלי מחומם בנפח קבוע, ודגימה זהה שנייה מחוממת בלחץ קבוע לאותה עלייה בטמפרטורה. איזו קביעה נכונה?
A. שתיהן צוברות אותה אנרגיה פנימית, אך השנייה בולעת יותר חום. B. שתיהן בולעות אותו חום, אך השנייה צוברת יותר אנרגיה פנימית. C. שתיהן בולעות אותו חום וצוברות אותה אנרגיה פנימית, שכן עליית הטמפרטורה זהה. D. הראשונה בולעת יותר חום, מפני שבנפח קבוע דבר מן החום אינו מבוזבז על עבודה.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — שתיהן צוברות אותה אנרגיה פנימית, אך השנייה בולעת יותר חום.
- A. נכון. עבור גז אידיאלי האנרגיה הפנימית תלויה בטמפרטורה בלבד, ולכן עליות טמפרטורה שוות פירושן שינויים שווים באנרגיה הפנימית. הדגימה שבלחץ קבוע גם דוחפת את הבוכנה החוצה, ועל העבודה הזו יש לשלם בחום נוסף — בדיוק N k_B לכל קלווין, וזהו יחס מאייר.
- B. שני הגדלים התהפכו כאן. האנרגיה הפנימית נקבעת על ידי הטמפרטורה בלבד, ולכן היא אינה יכולה להיות שונה בין שתי דגימות שעלו באותה טמפרטורה. החום אינו נקבע על ידי הטמפרטורה, משום שהוא פונקציית מסלול.
- C. האנרגיות הפנימיות אכן שוות, ובדיוק מהנימוק הזה. כמויות החום אינן שוות: הדגימה שבלחץ קבוע מוציאה חלק מהחום שלה על עבודת התפשטות, ולכן דרוש לה יותר חום כדי להגיע לאותה טמפרטורה.
- D. הסימן הפוך. העובדה שאין עבודה פירושה שהדגימה שבנפח קבוע זקוקה לפחות חום כדי להשיג עלייה נתונה בטמפרטורה, וזו הסיבה ש-C_V הוא הקטן מבין שני קיבולי החום.
גז אידיאלי ממלא מחצית מקופסה קשיחה ומבודדת בבידוד מושלם; המחצית השנייה ריקה מחומר. המחיצה מוסרת. מה קורה לטמפרטורת הגז?
A. היא אינה משתנה, מפני שלא נכנס ולא יצא חום והגז לא ביצע עבודה על דבר. B. היא יורדת, מפני שגזים מתפשטים מתקררים. C. היא יורדת, בגורם 2^(-2/3) שהחוק האדיאבטי נותן לגז חד-אטומי. D. היא עולה, מפני שלגז יש יותר מקום והמולקולות מאיצות.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — היא אינה משתנה, מפני שלא נכנס ולא יצא חום והגז לא ביצע עבודה על דבר.
- A. נכון. אין על מה לדחוף, ולכן W_on מתאפס; הקופסה מבודדת, ולכן Q מתאפס; מכאן שהאנרגיה הפנימית אינה משתנה, ועבור גז אידיאלי הדבר קובע את הטמפרטורה במדויק. הלחץ הסופי קטן פי שניים, אבל שום דבר אחר לא זז.
- B. גזים מתפשטים מתקררים כאשר הם מבצעים עבודה על משהו בעודם מבודדים — פחית תרסיס, חבילת אוויר עולה. כאן אין דבר מחוץ לגז שאפשר לדחוף עליו, ולכן שום אנרגיה אינה יוצאת באף אחד משני הערוצים. הקירור מעולם לא נגרם מן ההתפשטות; הוא נגרם מן התשלום, וכאן לא שולם דבר.
- C. הגורם הזה מגיע מן הקשר P V^gamma קבוע, שגזירתו מחייבת שלגז יהיה לחץ אחד מוגדר היטב בכל רגע. במהלך התפשטות חופשית אין לו לחץ כזה, ולכן החוק אינו חל כאן כלל.
- D. דבר אינו מאיץ את המולקולות. מהירויותיהן אינן מושפעות מהסרת מחיצה, וזו בדיוק הסיבה שהטמפרטורה אינה זזה לאף אחד משני הכיוונים.
בהתפשטות החופשית שבשאלה הקודמת Q מתאפס, ולכן התהליך אדיאבטי. האם הוא מקיים את הקשר P V^gamma קבוע?
A. לא. הקשר הזה דורש שהתהליך יהיה גם כמו-סטטי וגם אדיאבטי, והתפשטות חופשית אינה כמו-סטטית. B. כן. אדיאבטי פירושו Q מתאפס, והקשר P V^gamma קבוע הוא מה שנובע מכך. C. כן, אך רק בקירוב, מפני שההתפשטות מהירה. D. לא, מפני שהתפשטות חופשית אינה אדיאבטית — בהיעדר דפנות אין בידוד.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — לא. הקשר הזה דורש שהתהליך יהיה גם כמו-סטטי וגם אדיאבטי, והתפשטות חופשית אינה כמו-סטטית.
- A. נכון. הגזירה כותבת C_V dT שווה למינוס P dV, וה-P שם הוא הלחץ של הגז עצמו — שקיים רק אם הגז נמצא בשיווי משקל לאורך כל הדרך. התפשטות חופשית היא אדיאבטית ואלימה עד מאוד, ולכן היא מקיימת דווקא את הקשר P V קבוע, שאינו אלא האיזותרמה.
- B. התאפסות Q היא רק אחת משתי ההנחות שהגזירה משתמשת בהן. השנייה היא שלגז יש לחץ יחיד בכל רגע, ובלעדיה אין P שאפשר להציב בתוך P dV — אי אפשר אפילו לכתוב את המשוואה הדיפרנציאלית.
- C. זה אינו קירוב שנעשה גרוע יותר ככל שממהרים. ההתפשטות החופשית מקיימת את הקשר P V קבוע במדויק, והקשר P V^gamma קבוע היה חוזה לחץ סופי קטן יותר בגורם 2^(-2/3) — טעות של כ-37 אחוזים, לא סטייה קלה.
- D. הקופסה מבודדת, ולכן שום חום אינו חוצה את גבולה והתהליך אדיאבטי לפי כל הגדרה. זה בדיוק מה שהופך אותו לדוגמה הנגדית המעניינת: הוא מקיים את התנאי על החום ובכל זאת אינו מקיים את הקשר.
מדוע C_P גדול מ-C_V עבור גז אידיאלי, ובכמה?
A. מפני שחימום בלחץ קבוע משלם גם על עבודת התפשטות; העודף הוא בדיוק N k_B. B. מפני שגז בלחץ קבוע חם יותר, ולגזים חמים יש קיבול חום גדול יותר. C. מפני שבלחץ קבוע יש למולקולות יותר מקום לנוע, וכך נוספות דרגות חופש. D. מפני שהעודף N k_B מתאר את החום האובד לדפנות המכל.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — מפני שחימום בלחץ קבוע משלם גם על עבודת התפשטות; העודף הוא בדיוק N k_B.
- A. נכון, והעודף מרשים דווקא במה שאינו תלוי בו: לא במספר דרגות החופש, לא בטמפרטורה ולא בחומר. זוהי עבודת ההתפשטות לכל קלווין, כלומר P dV שווה ל-N k_B dT לאורך איזובר, ותו לא.
- B. שני קיבולי החום מושווים באותה טמפרטורה. יתרה מזו, עבור גז אידיאלי שניהם אינם תלויים בטמפרטורה כלל, ולכן הקביעה על גזים חמים אינה נכונה במסגרת המודל הזה.
- C. דרגות החופש נקבעות על ידי מבנה המולקולה, לא על ידי כמות המקום שיש לה. לגז חד-אטומי יש שלוש דרגות חופש של הסעה בכל נפח שהוא.
- D. דבר אינו אובד. האנרגיה העודפת יוצאת אל הסביבה כעבודה שמבצע הגז המתפשט, וזהו ערוץ שונה לחלוטין מדליפת חום דרך דופן — יחס מאייר מתקיים במדויק גם עבור מכל מבודד בבידוד מושלם.
גוש כבד מוטל על בוכנה ודוחס גז מבודד עד שהבוכנה נעצרת. איזה לחץ שייך לאינטגרל העבודה W_on שהוא מינוס האינטגרל של P dV?
A. הלחץ החיצוני הפועל על הגבול, שכאן הוא קבוע וגדול מן הלחץ של הגז עצמו. B. הלחץ של הגז עצמו, שהרי על הגז אנו מבצעים את העבודה. C. הממוצע של לחצי הגז ההתחלתי והסופי. D. אף אחד מהם — עבודה אינה מוגדרת בתהליך בלתי הפיך.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — הלחץ החיצוני הפועל על הגבול, שכאן הוא קבוע וגדול מן הלחץ של הגז עצמו.
- A. נכון. העבודה מבוצעת על הגבול, כנגד מה שהבוכנה דוחפת עליו, ולכן הלחץ החיצוני הוא המופיע. רק בתהליך כמו-סטטי השניים שווים — וזה כל תוכנה של המילה כמו-סטטי.
- B. הגז אכן מקבל את האנרגיה, אבל הכוח על הגבול נקבע על ידי הגוש ולא על ידי הגז. גרוע מכך, במהלך הדחיסה אין לגז לחץ יחיד כלל — הוא צפוף יותר סמוך לבוכנה מאשר בדופן הרחוקה.
- C. הממוצע הזה היה התשובה הנכונה עבור קו ישר במישור P-V שנעברת עליו בצורה כמו-סטטית. כאן אין קו שאפשר למצע לאורכו, והלחץ החיצוני הוא מספר שונה באמת משני הקצוות גם יחד.
- D. העבודה מוגדרת היטב; זהו כוח הפועל לאורך מרחק על הגבול, ומשקל הגוש ומהלך הבוכנה ניתנים שניהם למדידה. מה שאינו מוגדר הוא הלחץ של הגז עצמו במהלך התהליך, ולכן גם השטח מתחת לעקומה שאינה קיימת.
מול אחד של גז אידיאלי חד-אטומי בטמפרטורה של 400 קלווין מתפשט בצורה כמו-סטטית ואדיאבטית מ-5.0 ליטר ל-15.0 ליטר. מצאו את הטמפרטורה הסופית בקלווין.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 192.3 (± 2.0)
השתמשו בקשר T V^(gamma-1) קבוע עם gamma השווה ל-5/3, ולכן T2 שווה ל-T1 כפול (V1/V2)^(2/3), כלומר 400 כפול (1/3)^(2/3) שהם 192.3 קלווין. אם קיבלתם 400 קלווין הפעלתם את התנאי האיזותרמי במקום זאת; 64 קלווין פירושם שהצבתם gamma במעריך במקום gamma פחות אחד; 133 קלווין פירושם שהשתמשתם במעריך אחד, שהוא הקשר האיזוברי V חלקי T קבוע.
שני מולים של גז אידיאלי בגליל מבודד מתפשטים מ-10.0 ליטר ל-25.0 ליטר כנגד לחץ חיצוני קבוע של 1.0e5 פסקל. חשבו את העבודה הנעשית על הגז, ביחידות ג’אול.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: -1500.0 (± 20.0)
W_on שווה למינוס P_ext כפול (V2 פחות V1), כלומר מינוס (1.0e5) כפול (0.025 פחות 0.010) שהם מינוס 1500 ג’אול. הסימן שלילי מפני שהגז התפשט וביצע עבודה על סביבתו. שימו לב למה שלא הופיע בשום מקום: כמות הגז, הטמפרטורה שלו והלחץ של הגז עצמו. רק הלחץ החיצוני ושינוי הנפח קובעים.
איזותרמה ואדיאבטה עוברות דרך אותה נקודה במישור P-V. איזו מהן יורדת בתלילות רבה יותר כאשר הנפח גדל, ומדוע?
A. האדיאבטה, בגורם gamma, מפני שלאורכה הגז מידלל ומתקרר בעת ובעונה אחת. B. האיזותרמה, מפני שמאגר מזרים אליה חום ברציפות והדבר תומך בלחץ. C. לשתיהן אותה שיפוע בנקודה המשותפת; העקומות נפרדות רק בהמשך. D. האדיאבטה, מפני ש-gamma גדול מאחד והמעריך האדיאבטי מופעל על הטמפרטורה.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — האדיאבטה, בגורם gamma, מפני שלאורכה הגז מידלל ומתקרר בעת ובעונה אחת.
- A. נכון. גזירה נותנת מינוס P חלקי V עבור האיזותרמה ומינוס gamma כפול P חלקי V עבור האדיאבטה. לאורך האיזותרמה הלחץ יורד רק מפני שהצפיפות יורדת; לאורך האדיאבטה גם הטמפרטורה יורדת, ושתי ההשפעות דוחפות את הלחץ כלפי מטה.
- B. זרימת חום פנימה אכן תומכת בלחץ — ולכן האיזותרמה היא העקומה המתונה יותר, לא התלולה יותר. דווקא האדיאבטה, שאין אליה זרימת חום, נופלת מהר יותר.
- C. השיפועים בנקודה המשותפת נבדלים בדיוק בגורם gamma, שעבור גז חד-אטומי הוא 5/3. עקומות העוברות דרך נקודה משותפת בשיפועים שונים נפרדות מיד.
- D. המסקנה נכונה והנימוק אינו. המעריך gamma מופיע על הנפח בקשר P V^gamma קבוע; בצורה שבטמפרטורה מופיע במקומו gamma פחות אחד. כדאי לתפוס עכשיו תשובה נכונה שהושגה מן המעריך הלא נכון.
לפני החישוב: גז מבודד מכפיל את נפחו בשלוש דרכים — לאט כנגד עומס מותאם, בצעד אחד כנגד עומס קבוע קטן יותר, ובאופן חופשי אל תוך ריק. דרגו את שלושתן לפי העבודה שהגז מספק ולפי הטמפרטורה הסופית, ונבאו כיצד שני הדירוגים קשורים זה לזה.
בדקו את התשובה
העבודה המסופקת: לאט גדול מעומס קבוע גדול מחופשי (0.555, 0.375 ואפס ביחידות של P1 V1 עבור גז חד-אטומי). הטמפרטורה הסופית: חופשי (300 קלווין) גדול מעומס קבוע (225 קלווין) גדול מלאט (189 קלווין). הדירוגים הפוכים בדיוק, ושורה אחת מסבירה זאת: בשלושתם Q מתאפס, ולכן השינוי באנרגיה הפנימית שווה לעבודה הנעשית על הגז. כל ג’אול שנמסר לסביבה הוא ג’אול שנלקח מאנרגיית הגז עצמו, ועבור גז אידיאלי האנרגיה הפנימית היא הטמפרטורה. ניבוי שגוי נפוץ הוא שההתפשטות החופשית תספק את העבודה הרבה ביותר משום שהיא האלימה ביותר; אלימות אינה עבודה, ובהיעדר משהו לדחוף עליו היא אינה מספקת עבודה כלל.
בכמה משפטים, הסבירו לחבר לכיתה את ההבדל בין אדיאבטי לכמו-סטטי, בעזרת תהליך אחד שהוא אדיאבטי ואינו כמו-סטטי ותהליך אחד שהוא כמו-סטטי ואינו אדיאבטי.

שאלות ברמת בחינה למודול הזה מרוכזות בדף השאלות.

להסביר במילים שלכם¶

ענו על כל אחת בכמה משפטים.

חבר לכיתה אומר: “ההתפשטות החופשית אינה מקררת את הגז מפני שהיא קורית מהר מדי מכדי שהטמפרטורה תספיק להשתנות.” הסבירו מה שגוי בכך, ותנו את הנימוק הנכון.
מדוע $C_P$ גדול מ- $C_V$ ? ענו בלי לכתוב משוואה, במונחים של מה שהחום מוצא עליו.
גם ההתפשטות האיזותרמית וגם החופשית מעבירות גז אידיאלי מ- $V$ ל- $2V$ עם $\Delta T = 0$ . תארו כל דרך שבה הן בכל זאת נבדלות.
גז נדחס למחצית נפחו, פעם אחת לאט ופעם אחת בטריקת הבוכנה. שניהם מבודדים. מי מסיים חם יותר, ומדוע אין בכך הפרה של שימור האנרגיה?

מתקדם: משפחה אחת, ארבעה בנים¶

פוליטרופות. ארבע המשפחות אינן ארבעה עצמים נפרדים. הן ארבעה ערכים של פרמטר אחד ב-

P V^{n} = \text{constant},

(13)

כאשר $n = 0$ הוא איזוברי, $n = 1$ איזותרמי, $n = \gamma$ אדיאבטי, ו- $n \to \infty$ איזוכורי (העקומה הופכת אנכית). העבודה לאורך כל אחת מהן היא

W_{\mathrm{on}} = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{n - 1},

(14)

והיא משחזרת כל שורה בטבלה שלמעלה למעט האיזותרמה — והאיזותרמה אינה השמטה אלא לוגריתם אמיתי, שכן $\int dV/V$ אינו חזקה. הצבת הצורה הרציונלית ב- $n = 1 + 10^{-9}$ כדי “לעקוף” את הסינגולריות היא הדרך שבה נוצר מספר שגוי אך סביר למראה; המימוש בקורס מתפצל ב- $n = 1$ במקום זאת.

תהליך ממשי שבו חום דולף דרך מבודד לא מושלם יושב באיזשהו $n$ בין 1 ל- $\gamma$ , וכך בדיוק מהנדסים מתאימים נתוני מדחס מדודים.

מדוע להתפשטות החופשית אין מסלול. במהלכה הגז אינו בשיווי משקל, ולכן אין לו לחץ ואין לו טמפרטורה — לא “כאלה שמשתנים במהירות”, אלא אין כלל, מפני שהגדלים האלה מוגדרים עבור מצבי שיווי משקל. המישור $P$ – $V$ הוא מישור של מצבים, ותהליך שיוצא מקבוצת המצבים אינו יכול להיות עקומה בו. שרטוט קו מקווקו בין נקודות הקצה הוא הרגל נפוץ בספרי לימוד והוא שקר; התמונה הכנה כוללת שתי נקודות ודבר ביניהן.

לאן הלכה העבודה החסרה. שלוש הדרכים התחילו זהות והסתיימו באותו נפח, ובכל זאת סיפקו 0.555, 0.375 ו-0 של $P_1V_1$ . האנרגיה נשמרת בשלושתן — הגז שביצע פחות עבודה פשוט שמר יותר אנרגיה פנימית. כך ששום חוק שימור אינו אוסר על ההתפשטות החופשית; משהו אחר כן אוסר. מה שמבדיל ביניהן הוא שרק את הדרך האיטית אפשר להריץ לאחור בלי להשאיר עקבות ביקום, והגודל שמודד את העקבות הוא האנטרופיה. לשלושתן אותו $\Delta U$ ; יש להן $\Delta S$ שונה, כשהאדיאבטה הכמו-סטטית לבדה נמצאת ב- $\Delta S = 0$ . שם מתחילים גם טיעון הספירה של מודול 8 וגם המנועים של מודול 7.

מקדם ג’אול. האמירה “התפשטות חופשית אינה משנה את $T$ ” היא הערך של

\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_U ,

(15)

עבור גז אידיאלי, והוא מתאפס בדיוק כאשר $U$ אינה תלויה בנפח. עבור גז ואן דר ואלס הוא שלילי וקטן, ולכן התפשטות חופשית ממשית מקררת מעט. הניסוי המקורי של ג’אול מ-1845 לא הצליח להבחין בו — אמבט המים שלו היה גדול מדי — והאפקט נמצא רק כאשר הוא ותומסון עברו לחניקה, שמגבירה אותו.