דף שאלות — עבודה ומסלולים תרמודינמיים

דף שאלות: עבודה ומסלולים תרמודינמיים¶

השתמשו לאורך כל הדף במוסכמה $dU = \delta Q + \delta W_{\mathrm{on}}$, וציינו זאת בפתרונכם. הניחו שהגז אידיאלי וחד-אטומי (כלומר $f = 3$ ו-$\gamma = 5/3$) אלא אם נאמר אחרת.

שאלה 1 — שלושה מסלולים, יעד אחד¶

מול אחד של גז מתחיל ב-$P_1 = 2.00 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$, $V_1 = 10.0\ \mathrm{L}$ ומסיים ב-$V_2 = 20.0\ \mathrm{L}$, $P_2 = 1.00 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$.

(א) הראו ששני המצבים נמצאים על אותה איזותרמה, ומצאו את הטמפרטורה הזו.

(ב) חשבו את $W_{\mathrm{on}}$ עבור שלושה מסלולים: (i) האיזותרמה; (ii) התפשטות בלחץ קבוע $P_1$ ואחריה קירור בנפח קבוע $V_2$; (iii) קירור בנפח קבוע $V_1$ ואחריו התפשטות בלחץ קבוע $P_2$.

(ג) חשבו את $\Delta U$ ואת $Q$ עבור כל מסלול. התייחסו לשאלה אילו גדלים יצאו שווים ואילו לא, ואמרו מדוע הדבר היה בלתי נמנע עוד לפני כל חשבון.

שאלה 2 — מחזור¶

גז מועבר בכיוון השעון סביב המלבן במישור $P$–$V$ שקודקודיו $(V_1, P_1)$, $(V_2, P_1)$, $(V_2, P_2)$, $(V_1, P_2)$, כאשר $V_2 > V_1$ ו-$P_1 > P_2$.

(א) חשבו את העבודה הנעשית על הגז בכל אחד מארבעת הקטעים, ואת העבודה נטו למחזור.

(ב) נסחו את השינוי נטו באנרגיה הפנימית למחזור, ונמקו אותו במשפט אחד בלי לחשב דבר.

(ג) הסיקו את החום נטו הנקלט למחזור. איזה כיוון סיבוב הופך את המתקן למנוע ולא למקרר?

(ד) הראו שגודל העבודה נטו שווה לשטח הכלוא במלבן, והסבירו מדוע השטח הכלוא — ולא השטח מתחת לעקומה בודדת — הוא הגודל הרלוונטי עבור מחזור.

שאלה 3 — איזותרמה מול אדיאבטה¶

גז ב-$(P_0, V_0)$ מתפשט ל-$2V_0$, פעם אחת איזותרמית ופעם אחת אדיאבטית.

(א) שרטטו את שני המסלולים על אותם צירים וקבעו מי מהם תלול יותר, בנימוק פיזיקלי ולא בהפניה למעריך.

(ב) חשבו את $W_{\mathrm{on}}$ עבור כל אחד.

(ג) חשבו את $Q$ עבור כל אחד, והשתמשו בתוצאות כדי להסביר מדוע ההתפשטות האדיאבטית מסתיימת בטמפרטורה נמוכה יותר.

(ד) לאיזה מצב סופי יש אנרגיה פנימית גדולה יותר? לאיזה יש אנטרופיה גדולה יותר? (על החלק השני מותר לענות איכותית; מודול 8 הופך זאת לכמותי.)

שאלה 4 — הבוכנה הפתאומית¶

גז בלחץ $P_1$ ובנפח $V_1$ נדחס ל-$V_2$ על ידי דחיפת הבוכנה בלחץ חיצוני קבוע $P_{\text{ext}} = 3P_1$, מהר מספיק כך שהגז אינו בשיווי משקל במהלך התהליך.

(א) חשבו את העבודה הנעשית על הגז.

(ב) הסבירו מדוע התשובה אינה $-\int P\,dV$ המחושב לאורך עקומה כלשהי במישור $P$–$V$, ומה היה צריך להיות נכון כדי שכן תהיה.

(ג) השוו את תשובתכם לעבודה הדרושה כדי להגיע לאותו נפח סופי באופן כמו-סטטי לאורך אדיאבטה. מי מהן גדולה יותר, ולאן הלכה האנרגיה העודפת?

(ד) חבר לכיתה מתנגד וטוען שהגז מסיים באותו נפח כך או כך, ולכן העבודה חייבת להיות זהה. אבחנו את שגיאתו במדויק.

שאלה 5 — מדויקוּת בחישוב¶

עבור מול אחד של גז אידיאלי, כתבו את $\delta Q$ במונחי $dT$ ו-$dV$.

(א) הפעילו את מבחן הנגזרות המעורבות והראו במפורש ש-$\delta Q$ אינו מדויק.

(ב) חזרו על המבחן עבור $\delta Q / T$ והראו שהוא מדויק. שימו לב לתפקידה של הטמפרטורה $T$.

(ג) בצעו אינטגרציה של $\delta Q/T$ לאורך שני מסלולים שונים בין אותן נקודות קצה ואמתו שאתם מקבלים את אותה תשובה. נקבו בשמה של פונקציית המצב שזה עתה בניתם.

(ד) הסבירו במילים מה פירוש הדבר שגודל הופך לפונקציית מצב רק לאחר חלוקה בטמפרטורה.

שאלה 6 — חישובית¶

בעזרת מחברת המעבדה של המודול והמודול thermolab.paths:

(א) בנו לפחות ארבעה מסלולים שונים בין אותן נקודות קצה, ובהם אחד שתמציאו בעצמכם, וערכו טבלה של $W_{\mathrm{on}}$, $\Delta U$ ו-$Q$ עבור כל אחד.

(ב) אמתו נומרית ש-$\Delta U$ מתלכד בכולם עד לדיוק המכונה ואילו $W_{\mathrm{on}}$ אינו מתלכד, וציינו את הפיזור היחסי של ערכי העבודה.

(ג) חשבו את העבודה האיזותרמית ברזולוציות דגימה עולות ואמתו שהשגיאה דועכת כריבוע גודל הצעד. דווחו את סדר ההתכנסות המותאם.

(ד) הסבירו מדוע הפיזור היחסי בסעיף (ב) הוא ההשוואה בעלת המשמעות, ומה היה משתבש אילו השוויתם את ערכי העבודה בסבילות מוחלטת.