דף שאלות — שיווי משקל תרמי

דף שאלות: שיווי משקל תרמי¶

שאלות ברמת בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שאתם ניגשים למחשב; האחרונה נועדה להיפתר נומרית. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים בחומרי המרצה ואינם מופיעים באתר הזה במכוון.

שאלה 1 — לקרוא את החוק האפס¶

(א) נסחו במדויק את החוק האפס של התרמודינמיקה.

(ב) סטודנט טוען: “אם A חם מ-C, ו-B חם מ-C, אז A ו-B חייבים להיות באותה טמפרטורה.” הסבירו במדויק מה שגוי בטיעון הזה, והעמידו אותו מול מה שהחוק האפס באמת אומר.

(ג) הסבירו במשפט אחד מדוע החוק האפס הוא זה שהופך למשמעותי לכייל מדחום יחיד פעם אחת ואז לסמוך על קריאתו עבור עצמים רבים ושונים.

שאלה 2 — טמפרטורת שיווי המשקל¶

כוס המכילה $0.20\ \mathrm{kg}$ של קפה בטמפרטורה $90\,{}^\circ\mathrm{C}$ (חום סגולי $c = 4200\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$) נמזגת לתוך ספל ריק שקיבול החום שלו $C_{\text{mug}} = 150\ \mathrm{J/K}$, ושטמפרטורתו ההתחלתית $20\,{}^\circ\mathrm{C}$. התייחסו לזוג כאל מבודד מרגע המזיגה.

(א) חשבו את קיבול החום של הקפה, $C_A = mc$.

(ב) חשבו את טמפרטורת שיווי המשקל בעזרת הנוסחה המשוקללת בקיבולי החום.

(ג) השוו את תשובתכם לממוצע התמים והלא משוקלל של שתי טמפרטורות ההתחלה. לאיזו טמפרטורת התחלה קרוב יותר שיווי המשקל האמיתי, ומדוע?

שאלה 3 — לפתור את משוואת הרלקסציה¶

שני גופים בעלי $C_A = 40\ \mathrm{J/K}$ ו-$C_B = 120\ \mathrm{J/K}$ מחוברים דרך מגע שמוליכותו $\kappa = 0.50\ \mathrm{W/K}$. הם מתחילים בפער טמפרטורות של $60\ \mathrm{K}$.

(א) גזרו את זמן הרלקסציה $\tau$ מזוג משוואות הקצב עבור $dT_A/dt$ ועבור $dT_B/dt$, והראו את האלגברה.

(ב) חשבו את $\tau$ נומרית עבור הערכים שלמעלה.

(ג) כמה זמן נדרש כדי שהפער יירד ל-$5\%$ מערכו ההתחלתי? בטאו את תשובתכם גם סימבולית (במונחי $\tau$) וגם נומרית.

שאלה 4 — קירור בחקירה פורנזית¶

גופה מתגלה בחדר המוחזק בטמפרטורה קבועה של $18\,{}^\circ\mathrm{C}$. החוקרים מודדים את טמפרטורת הגופה ומקבלים $30\,{}^\circ\mathrm{C}$, ושעה לאחר מכן מודדים אותה שוב ומקבלים $27\,{}^\circ\mathrm{C}$. טמפרטורת גופו של אדם חי היא $37\,{}^\circ\mathrm{C}$.

(א) בעזרת $T(t) - T_{\text{room}} = (T_0 - T_{\text{room}})e^{-t/\tau}$, השתמשו בשתי המדידות כדי לחלץ את $\tau$.

(ב) בעזרת $\tau$ מסעיף (א) ובהנחת טמפרטורת התחלה של $37\,{}^\circ\mathrm{C}$ ברגע המוות, העריכו כמה זמן לפני המדידה הראשונה אירע המוות.

(ג) נקבו בשתי הנחות של המודל שסביר ביותר שיופרו בזירה פורנזית אמיתית (שקלו: האם $\kappa$ באמת קבוע? האם טמפרטורת החדר באמת קבועה? האם $37\,{}^\circ\mathrm{C}$ היא הנחה בטוחה עבור כל אדם?), ואמרו לאיזה כיוון תטה כל הפרה כזו את זמן המוות המוערך.

שאלה 5 — היכן המודל נשבר¶

מודל ההחלפה הבדיד של המעבדה מניח ששני הגופים נמצאים במשטר הקלאסי של חלוקת האנרגיה השווה בטמפרטורה גבוהה, ושהם מחליפים ביניהם קוונטים בעלי גודל שווה.

(א) בעזרת אופני הכישלון המפורטים במפרט המודל, הסבירו מה משתבש כאשר טמפרטורות שני הגופים מתקרבות לאפס המוחלט.

(ב) הסבירו מדוע גוף שיש בו קומץ מתנדים בלבד (נאמר $n_A = 2$) הופך את “הטמפרטורה” למושג רעוע עוד לפני שהסטטיסטיקה הקוונטית נכנסת לתמונה. קשרו את תשובתכם לשלב העיגול ב- from_temperatures המתואר בסעיף המתקדם של עמוד המודול.

(ג) שני חומרים אמיתיים ושונים במגע ישיר אינם מחליפים ביניהם, פשוטו כמשמעו, קוונטים בעלי גודל שווה בדיוק. תנו נימוק פיזיקלי לכך שהדבר אינו מונע מן המסקנות המאקרוסקופיות של המודול הזה (נוסחת טמפרטורת שיווי המשקל, הרלקסציה המעריכית) להתקיים, אף שהוא אכן פוסל את המנגנון המיקרוסקופי המסוים שמדומה במעבדה.

שאלה 6 — חישובית¶

בעזרת מחברת המעבדה של המודול והמודול thermolab.equilibrium:

(א) בנו מצב בעזרת from_temperatures, ובחרו בעצמכם $n_A \ne n_B$ וטמפרטורות התחלה משלכם. הריצו סימולציות ארוכות, רבות ובלתי תלויות, ואמתו שהטמפרטורה הסופית הממוצעת מתיישבת עם equilibrium_temperature, תוך ציון אי-ודאות להערכתכם.

(ב) בכמה נקודות ביקורת (בערך $0.5\tau$, $1\tau$, $2\tau$ ו-$4\tau$), מדדו את פער הטמפרטורות הממוצע על פני זרעים אקראיים בלתי תלויים והשוו אותו ל-predicted_relaxation. האם ההתאמה נשמרת בכל נקודת ביקורת, או רק סמוך לשיווי משקל?

(ג) חזרו על התרגיל בשני גדלים שונים של מערכת (נאמר, פי עשרה זה מזה במספר המתנדים), ומדדו את הפיזור היחסי של הפער בין ריצה לריצה לאחר זמן רלקסציה אחד. אמתו שהפיזור מצטמצם ככל שהמערכת גדלה.

(ד) ציינו דבר אחד שהתוצאה הנומרית שלכם אינה מוכיחה על מגע תרמי אמיתי.