דף שאלות — תהליכים תרמודינמיים

דף שאלות: תהליכים תרמודינמיים¶

שאלות ברמת בחינה. פתרו אותן בעט לפני שאתם ניגשים למחשב; האחרונה נועדה להסתיים נומרית. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים בחומרי המרצה ואינם מופיעים באתר הזה במכוון.

השתמשו לאורך כל הדף ב-$R = 8.314\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}$ וב-$k_B = 1.381 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$, ובמוסכמת הסימנים $dU = \delta Q + \delta W_{\mathrm{on}}$.

שאלה 1 — ארבע החתימות¶

מול אחד של גז אידיאלי חד-אטומי מתחיל ב-$300\ \mathrm{K}$ בנפח של $10.0\ \mathrm{L}$.

(א) חשבו את $W_{\mathrm{on}}$, $Q$ ו-$\Delta U$ עבור כל אחד מן התהליכים הבאים, כאשר כל אחד מהם נלקח בפני עצמו מאותו מצב התחלתי: חימום בנפח קבוע עד $600\ \mathrm{K}$; התפשטות בלחץ קבוע עד $20.0\ \mathrm{L}$; התפשטות איזותרמית עד $20.0\ \mathrm{L}$.

(ב) באחד מן השלושה $Q$ ו-$W_{\mathrm{on}}$ הם בעלי סימנים מנוגדים וגודל שווה, ובאחד מתקיים $W_{\mathrm{on}} = 0$. אמרו באיזה ומדוע, בלי לחשב מחדש.

(ג) בין אותם שני נפחים, ההתפשטות האיזוברית בלעה בערך פי שלוש וחצי חום מזו האיזותרמית, בעודה מבצעת פחות מפי אחד וחצי עבודה. תנו דין וחשבון על מלוא ההפרש, ואמרו לאיזה משני הערוצים נכנס החום העודף.

שאלה 2 — גזירת האדיאבטה¶

(א) החל מן החוק הראשון עם $\delta Q = 0$ וממשוואת המצב של הגז האידיאלי, גזרו את $P V^{\gamma} = \text{constant}$ עבור תהליך אדיאבטי כמו-סטטי. ציינו בבירור באיזו נקודה השתמשתם בהנחה הכמו-סטטית, ומה היה משתבש בלעדיה.

(ב) הראו שאותו חוק ניתן לכתיבה גם כ-$T V^{\gamma - 1} = \text{constant}$ וגם כ-$T^{\gamma} P^{1 - \gamma} = \text{constant}$.

(ג) סטודנט טוען: “$\gamma > 1$, ולכן האדיאבטה תלולה יותר מן האיזותרמה בכל נקודה.” הפכו זאת להוכחה על ידי השוואת $(\partial P/\partial V)$ עבור שתי העקומות דרך נקודה משותפת.

(ד) הסבירו במשפט אחד מדוע גז דו-אטומי ($\gamma = 7/5$) מתקרר פחות בהתפשטות אדיאבטית מגז חד-אטומי ($\gamma = 5/3$).

שאלה 3 — קיבולי חום¶

(א) גזרו את $C_P = C_V + n R$ עבור גז אידיאלי מתוך $\delta Q = dU + P\,dV$, תוך שאתם מציינים במפורש היכן נכנסת משוואת המצב של הגז האידיאלי.

(ב) חשבו את $C_V$, $C_P$ ו-$\gamma$ עבור גז חד-אטומי, עבור גז דו-אטומי בטמפרטורת החדר (שתי דרגות חופש סיבוביות פעילות), ועבור גז דו-אטומי חם מספיק כך שאופן הרטט שלו נספר כשתיים נוספות.

(ג) הערך הנמדד של $\gamma$ עבור מימן הוא בערך 1.41 ב-$300\ \mathrm{K}$, 1.60 ב-$50\ \mathrm{K}$, ו-1.33 ב-$2000\ \mathrm{K}$. הסבירו את המגמה, ואמרו איזה מבין שלושת הערכים תיאוריה קלאסית טהורה מסוגלת להסביר. שימו לב שאף אחד מן השלושה אינו שווה ל-$(f+2)/f$ עבור $f$ שלם; אמרו מה זה מלמד אתכם על האופן שבו דרגת חופש נדלקת.

(ד) האם $C_P - C_V = n R$ היה עדיין מתקיים עבור גז ואן דר ואלס? ענו כן או לא ונמקו מתוך המקום שבו הגזירה בסעיף (א) השתמשה באידיאליות.

שאלה 4 — שלוש התפשטויות אדיאבטיות¶

מול אחד של הליום ב-$300\ \mathrm{K}$ תופס $10.0\ \mathrm{L}$ בתוך גליל מבודד בבידוד מושלם. בכל אחד מן הסעיפים הבאים הוא מסיים ב-$20.0\ \mathrm{L}$.

(א) הוא מתפשט באופן כמו-סטטי. מצאו את הטמפרטורה והלחץ הסופיים ואת $W_{\mathrm{on}}$.

(ב) המחיצה אל תא ריק מחומר בנפח $10.0\ \mathrm{L}$ מוסרת. מצאו את הטמפרטורה והלחץ הסופיים ואת $W_{\mathrm{on}}$.

(ג) הוא דוחף בוכנה העמוסה בלחץ חיצוני קבוע, שנבחר כך שהגז נעצר בדיוק ב-$20.0\ \mathrm{L}$. מצאו את הלחץ החיצוני הזה, את הטמפרטורה הסופית, ואת $W_{\mathrm{on}}$.

(ד) בכל שלושת המקרים $Q = 0$. דרגו אותם לפי $|W_{\mathrm{on}}|$ ולפי הטמפרטורה הסופית, וציינו את הסיבה הפיזיקלית האחת לכך ששני הדירוגים הפוכים.

(ה) איזה מן השלושה מקיים את $P V^{\gamma} = \text{constant}$? עבור כל אחד מן השניים האחרים, נקבו בהנחת הגזירה שאינה מתקיימת.

שאלה 5 — דחיסה בלתי הפיכה¶

גליל מבודד מכיל $0.50\ \mathrm{mol}$ של ארגון ב-$300\ \mathrm{K}$ בנפח $8.0\ \mathrm{L}$. גוש מוטל על הבוכנה כך שהלחץ החיצוני קופץ מיד ל-$4.0 \times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$ ונשאר שם עד שהבוכנה נעצרת.

(א) מצאו את הטמפרטורה והנפח הסופיים. (רמז: הגז נעצר כאשר לחצו שלו משתווה ללחץ החיצוני, ומתקיים $\Delta U = W_{\mathrm{on}}$.)

(ב) חשבו את $W_{\mathrm{on}}$, והשוו אותו לעבודה הדרושה כדי להגיע לאותו נפח סופי באופן כמו-סטטי ואדיאבטי.

(ג) איזו משתי הדחיסות משאירה את הגז חם יותר? הסבירו מדוע זה מה ששימור האנרגיה דורש, בהינתן תשובתכם לסעיף (ב).

(ד) סטודנט מחשב את העבודה כשטח מתחת לעקומת $P$–$V$ של הגז עצמו בין המצב ההתחלתי לסופי ומקבל מספר אחר. הסבירו במדויק איזה שלב בהיגיון שלו אינו תקף, ומדוע העובדה שנקודות הקצה הן מצבי שיווי משקל אינה מספיקה כדי להציל אותו.

שאלה 6 — האטמוספירה¶

חבילת אוויר יבש עולה דרך האטמוספירה מהר מספיק כדי לא להחליף חום עם סביבתה, אך לאט מספיק כדי להישאר בשיווי משקל מכני איתה בכל רגע.

(א) הסבירו מדוע זהו תהליך אדיאבטי כמו-סטטי אף על פי שלחבילה אין מכל ואין בוכנה. זהו מה ממלא את תפקיד הלחץ החיצוני.

(ב) בעזרת $\gamma = 1.4$ ושיווי המשקל ההידרוסטטי $dP/dz = -\rho g$, הראו שהטמפרטורה יורדת ליניארית עם הגובה ושקצב הצינון עם הגובה הוא $g/c_p$ ליחידת מסה. חשבו אותו עבור אוויר, שקיבול החום הסגולי שלו בלחץ קבוע הוא בערך $1005\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}$.

(ג) קצב הצינון עם הגובה הממוצע הנצפה בטרופוספירה הוא בערך $6.5\ \mathrm{K/km}$, ולא הערך שחישבתם. תנו סיבה פיזיקלית אחת לפער.

שאלה 7 — חישובית¶

בעזרת מחברת המעבדה של המודול והמודול thermolab.processes:

(א) עבור $f \in \{3, 5, 6\}$, חשבו את הטמפרטורה הסופית של התפשטות אדיאבטית כמו-סטטית בגורם שתיים, ובדקו כל אחת מהן מול $T V^{\gamma - 1} = \text{constant}$.

(ב) סרקו את הלחץ החיצוני של התפשטות בלתי הפיכה אל $2V_1$ מאפס ועד לערך הגדול ביותר שעבורו הבוכנה עדיין מגיעה אל $2V_1$ לפני שהיא נעצרת, ושרטטו את הטמפרטורה הסופית כנגדו. זהו איזה קצה של הסריקה שלכם הוא ההתפשטות החופשית. אחר כך הסבירו מדוע שום לחץ חיצוני קבוע אינו משחזר את הטמפרטורה הסופית של האדיאבטה הכמו-סטטית, ומה היה צריך להיעשות אחרת כדי להגיע אליה.

(ג) הריצו את ההתפשטות החופשית המיקרוסקופית עבור חמישה זרעים בלתי תלויים לפחות. דווחו את היחס בין הטמפרטורה הקינטית הסופית לזו ההתחלתית יחד עם הפיזור שלו בין הזרעים, ואת היחס בין הלחץ הנמדד הסופי לזה ההתחלתי.

(ד) יחס הטמפרטורות שלכם בסעיף (ג) אמור להיות 1 בדיוק, ללא פיזור. הסבירו מדוע זו תכונה של הקוד ולא מדידה, וציינו מה היה צריך להשתנות במודל כדי שהתפשטות חופשית תקרר את הגז.