שיווי משקל תרמי - ThermoLab

החידה: מה הופך שתי טמפרטורות ל"אותה טמפרטורה"?¶

היכנסו לחדר וגעו ברגל המתכת של השולחן, ואז בלוח העץ שלצדה. המתכת נחווית קרה בבירור, אף שמדחום יראה ששניהם נמצאים בדיוק באותה טמפרטורה כמו החדר. אין כאן שום תעתוע של מדחומים: כף ידכם אינה מודדת טמפרטורה במישרין, היא מודדת כמה מהר עוזב החום אותה, והמתכת מוליכה את החום הזה הלאה מהר בהרבה מן העץ. הטמפרטורה עצמה — הגודל שהמדחום מדווח עליו — אינה מושפעת כלל מן החומר שנמצא בידכם.

אם כן, מהו הגודל שהמדחום מדווח עליו, מוגדר די הצורך כדי ששני עצמים שונים כל כך — רגל שולחן וחדר מלא אוויר — ייחשבו כמי שחולקים אותו? ומדוע החום, ברגע ששני גופים מובאים במגע, זורם מאליו מן החם אל הקר, מאט, ונעצר בדיוק בנקודה שבה שתי הטמפרטורות שוות — לא לפני כן ולא אחרי כן?

התשובה מתחילה במשהו מובן מאליו כמעט מכדי לנסח אותו, וזו נקודת הפתיחה של המודול הזה.

לנבא לפני שמחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת מהשאלות הבאות לפני שתריצו משהו. רשמו אותן.

גוש נחושת בטמפרטורה $80\,{}^\circ\mathrm{C}$ נלחץ אל גוש נחושת זהה בטמפרטורה $20\,{}^\circ\mathrm{C}$ , והזוג מבודד מכל השאר. היכן לדעתכם תשכון הטמפרטורה המשותפת הסופית? כעת נניח שהגוש השני כבד פי עשרה — האם הטמפרטורה הסופית נעה לעבר ערך ההתחלה של הגוש החם, לעבר זה של הגוש הקר, או נשארת באמצע?
שרטטו כיצד לדעתכם ייראו $T_A(t)$ ו- $T_B(t)$ לאחר שהגושים באים במגע: ישרים המצטלבים, עקומות שחורגות מן היעד וניתרות בחזרה, או עקומות שמתעגלות בהדרגה ומתיישרות? האם הפער ביניהם מחליף סימן אי פעם?
ברגע שבו שני הגושים מגיעים לטמפרטורה משותפת, האם זרימת החום ביניהם נפסקה, או רק התאזנה בשני הכיוונים?
אתם מכפילים פי שניים את שני קיבולי החום ומשאירים את שתי טמפרטורות ההתחלה קבועות. האם טמפרטורת שיווי המשקל הסופית משתנה? האם הזמן שנדרש כדי להגיע אליה משתנה?

לחקור את המודל¶

מחברת המעבדה מאפשרת לכם לקבוע את גודלם ואת טמפרטורות ההתחלה של שני גופים, ואז לצפות בקוונטים בודדים של אנרגיה מדלגים הלוך ושוב ביניהם בעוד שתי הטמפרטורות מתייצבות על ערך משותף.

הנה התופעה בתמונה אחת: שני גופים בגדלים שונים, המתחילים בטמפרטורות רחוקות זו מזו, נרגעים אל ערך משותף השוכן קרוב יותר לטמפרטורת ההתחלה של הגוף הגדול מאשר לזו של הקטן.

שני גופים המחליפים ביניהם קוונטים של אנרגיה באקראי, צעד אחד בכל פעם. גוף A (אדום) מתחיל חם, גוף B (כחול) מתחיל קר; שתי העקומות מתעגלות בהדרגה אל הקו המקווקו של טמפרטורת שיווי המשקל, והקו השחור המקווקו הוא הניבוי האנליטי הנגזר להלן. שום דבר כאן לא הוחלק — העקומות הן פלט הסימולציה הגולמי.

שימו לב מה משתנה כששני הגופים נעשים גדולים יותר, בטמפרטורות התחלה קבועות. שלושת הפאנלים שלהלן מריצים את אותה מדידה בדיוק כשגודלו הכולל של הזוג מוגדל בכל פעם בערך פי עשרה, ומציגים אותה כשבר מן הפער ההתחלתי בטמפרטורות כדי שההשוואה תהיה הוגנת:

אותה רלקסציה בדיוק, בשלושה גדלים של מערכת, כל אחת משורטטת כ- $(T_A - T_B)/(T_{A,0} - T_{B,0})$ מול הניבוי האנליטי (המקווקו). הפיזור סביב העקומה החלקה אינו נובע מכך שמשהו נעשה עדין יותר — הוא מצטמצם משום שיש יותר קוונטים של אנרגיה לממֵּעַ עליהם, אותה תופעה בדיוק שתשוב במודול 4 כפלוקטואציות של הלחץ ובמודול 8 כשיא ריבוי המצבים.

מפרט המודל

מערכת: שני גופים A ו-B במגע תרמי, ממודלים כמוצקי איינשטיין בעלי $N_A$ ו- $N_B$ מתנדים בלתי תלויים.
דינמיקה: בכל צעד מדלג קוונט אנרגיה אחד שנבחר באקראי, העוזב את הגוף שבו הוא נמצא בהסתברות פרופורציונית לחלקו של אותו גוף בקוונטים, ונוחת על מתנד אקראי אחיד מבין המתנדים של שני הגופים גם יחד.
גבול: הזוג סגור ומבודד יחדיו; דבר אינו נכנס אל המערכת המשולבת ואינו יוצא ממנה, ולכן מספר הקוונטים הכולל — האנרגיה הכוללת — נשמר בדיוק.
צבר: מיקרו-קנוני עבור המערכת המשותפת, כשהקוונטים נספרים כאילו כל אחד מהם הוא חלקיק ניתן להבחנה: כל דרך להציב את הקוונטים המסומנים האלה על המתנדים של שני הגופים היא שווה-הסתברות. את הקוונטים של מוצק איינשטיין אמיתי אי אפשר להבחין זה מזה, ומודול 9 סופר אותם כך; שתי הספירות מיישבות את האנרגיה כמעט באותו מקום, ונבדלות בעיקר במידה שבה היא נודדת סביבו. הטמפרטורה של כל גוף נקראת מתוך הקוונטים שלו עצמו לפי חלוקת האנרגיה השווה.
מוזנח: הקצב הפיזיקלי שבו נעשים ניסיונות ההחלפה (הזמן נמדד בצעדים ולא בשניות), כל מבנה מרחבי בתוך גוף, וכל צימוד מלבד החלפת הקוונטים עצמה.
תקף כאשר: שני הגופים נמצאים במשטר הקלאסי של חלוקת האנרגיה השווה בטמפרטורה גבוהה, והקוונטים המוחלפים הם בעלי אותו גודל בשני הצדדים.
אופני כישלון: טמפרטורה נמוכה, שבה סטטיסטיקה קוונטית מחליפה את חלוקת האנרגיה השווה; גדלי קוונט שונים בין הגופים; ומעט מדי מתנדים מכדי ש"טמפרטורה" תהיה גודל מאקרוסקופי בעל משמעות.

מה המודל הזה אינו יכול לעשות

כלל דילוג הקוונטים שלמעלה הוא מנגנון מיקרוסקופי אחד, מסוים ונקי, להחלפת אנרגיה — ולא מודל של ההולכה בחומר אמיתי כלשהו. מגע תרמי אמיתי בין רגל שולחן לכף יד מתרחש דרך פונונים, אלקטרונים והתנגשויות מולקולריות, ואף אחד מאלה אינו נראה כמו קוונט בודד המקפץ בין שני מוצקים אידיאליים. מה שהמודל כן יכול להראות הוא שמנגנון הבנוי מלא יותר מ"החלפה אקראית, סבירה יותר מן הצד המלא יותר" משחזר את אותו חוק מאקרוסקופי הנגזר להלן — עדות לכך שהחוק חסין לפרטים המיקרוסקופיים, ולא טענה שכך אכן מוליך חום חומר מסוים כלשהו.

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו לכאן. שלושה דברים שכדאי לעשות לפני שממשיכים לקרוא:

התחילו כששני הגופים באותו גודל אך בטמפרטורות שונות, ואז חזרו על כך כשגוף אחד גדול פי עשרה מן האחר. שימו לב לאיזו טמפרטורת התחלה קרוב יותר ערך שיווי המשקל.
עקבו אחרי הפער $T_A - T_B$ לאורך הזמן. שימו לב אם הוא חוצה אי פעם את האפס וממשיך, או רק מצטמצם לעברו.
השוו זוג גופים קטן לזוג גדול בהרבה, וראו עד כמה ההתקרבות אל שיווי המשקל נראית רועשת יותר עבור הקטן.

לגזור את התוצאה¶

מערכת וגבול. זוג הגופים A ו-B, המבודד יחדיו כמכלול; אין ביניהם החלפת עבודה (הגבול קשיח), ולכן כל העברת אנרגיה ביניהם היא חום.

משתנים בלתי תלויים. שני קיבולי החום $C_A$ , $C_B$ ושתי טמפרטורות ההתחלה $T_{A,0}$ , $T_{B,0}$ .

החוק האפס של התרמודינמיקה

אם גוף A נמצא בשיווי משקל תרמי עם גוף C, וגוף B נמצא בנפרד בשיווי משקל תרמי עם גוף C, אזי A ו-B נמצאים בשיווי משקל תרמי זה עם זה. זוהי עובדה אמפירית על העולם ולא הכרח לוגי — שום דבר אינו אוסר יקום שבו היחס “בשיווי משקל עם” אינו טרנזיטיבי, והחוק מנוסח כאקסיומה דווקא משום שאי אפשר לגזור אותו מן החוקים האחרים. הוא זה שהופך את הטמפרטורה לתכונה מוגדרת היטב מלכתחילה: בלעדיו, מדחום (גוף C) המראה אותו ערך על שני עצמים שונים לא היה מלמד אתכם דבר על השאלה אם שני העצמים האלה מסכימים זה עם זה.

שימור האנרגיה נותן את טמפרטורת שיווי המשקל¶

הזוג מבודד, ולכן כל אנרגיה שגוף A מאבד גוף B מקבל, ולהפך: אין לה לאן ללכת. בכל תחום עבודה של קיבול חום הצר דיו כדי ש- $C$ ייחשב קבוע, שינוי האנרגיה הפנימית של גוף הוא $\Delta U = C\,\Delta T$ — ההגדרה המעשית של קיבול החום. שימור האנרגיה הכוללת של הזוג הוא אפוא

C_A (T_{\text{eq}} - T_{A,0}) + C_B (T_{\text{eq}} - T_{B,0}) = 0 ,

(1)

ולאחר סידור מחדש

\boxed{\; T_{\text{eq}} = \frac{C_A T_{A,0} + C_B T_{B,0}}{C_A + C_B} \;}

(2)

זהו ממוצע של שתי טמפרטורות ההתחלה, משוקלל בקיבולי החום — ולא הממוצע הפשוט, אלא אם כן $C_A = C_B$ . זו הסיבה שהגוש הכבד פי עשרה מניבוי 1 מושך את הטמפרטורה הסופית לעבר ערך ההתחלה שלו עצמו: נדרשת אנרגיה רבה יותר, ביחס ישר, כדי להזיז את הטמפרטורה שלו במעלה אחת, ולכן הוא “מנצח” בממוצע.

חוק הקירור של ניוטון נותן את הרלקסציה בזמן¶

שימור האנרגיה קובע היכן יסיים הזוג, אך אינו אומר דבר על באיזו מהירות. המרכיב החסר הוא טענה על קצב זרימת החום:

חוק הקירור של ניוטון

קצב זרימת החום בין שני גופים במגע פרופורציוני להפרש הטמפרטורות ביניהם, והזרימה היא מן הגוף החם אל הקר:

\frac{\delta Q_{\text{into }A}}{dt} = \kappa (T_B - T_A) ,

(3)

עבור קבוע חיובי כלשהו $\kappa$ (המוליכות התרמית של המגע, ביחידות $\mathrm{W/K}$ ). כמו חוק הגזים האידיאליים, זוהי טענה אמפירית על אופן ההתנהגות של חומרים אמיתיים סמוך לשיווי משקל ולא משפט — זוהי האידיאליזציה של הולכת החום במשטר התגובה הליניארית, והיא נכשלת ברגע שהפרש הטמפרטורות גדול מספיק כדי ש- $\kappa$ עצמו יתחיל להיות תלוי ב- $T_A - T_B$ .

בשילוב עם $C_A\,dT_A = \delta Q_{\text{into }A}$ ועם הטענה המשקפת עבור B, מתקבל

\frac{dT_A}{dt} = \frac{\kappa}{C_A}(T_B - T_A) , \qquad \frac{dT_B}{dt} = \frac{\kappa}{C_B}(T_A - T_B) .

(4)

חיסור המשוואה השנייה מן הראשונה נותן משוואה סגורה אחת עבור הפער $\Delta T = T_A - T_B$ :

\frac{d(\Delta T)}{dt} = -\kappa\left(\frac{1}{C_A} + \frac{1}{C_B}\right)\Delta T = -\frac{\Delta T}{\tau} , \qquad \tau = \frac{C_A C_B}{\kappa\,(C_A + C_B)} .

(5)

זוהי משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון, ופתרונה הוא המעריכי הסטנדרטי:

\boxed{\; T_A(t) - T_B(t) = \big(T_{A,0} - T_{B,0}\big)\, e^{-t/\tau} \;}

(6)

שימו לב מה קובע את $\tau$ : מוליכות תרמית $\kappa$ גדולה יותר (מגע טוב יותר) עושה את $\tau$ קטן יותר (הגעה מהירה יותר לשיווי משקל), ואילו קיבולי חום גדולים יותר עושים את $\tau$ גדול יותר (יש יותר מסה תרמית להזיז). שני הגופים מתכנסים אל $T_{\text{eq}}$ מן הנוסחה הממוסגרת שלמעלה — צורת ההתקרבות היא מעריכית, אך היעד נקבע כבר על ידי שימור האנרגיה לבדו.

הסימולציה הבדידה מממשת בדיוק את החוק הזה

מודל דילוג הקוונטים שבמעבדה אינו רק עקבי עם החוק המעריכי שלמעלה — עבור המנגנון המסוים הזה, תוחלת הפער $T_A(t) - T_B(t)$ מצייתת לו במדויק, ללא כל קירוב מלבד החלפת מניין הצעדים בזמן רציף. הטיעון המלא נמצא בסעיף המתקדם: ההסתברות שקוונט יעזוב את גוף A פרופורציונית בדיוק למספר הקוונטים שגוף A מחזיק באותו רגע, וזה מה שהופך את תוחלת השינוי בקוונטים של A לפונקציה ליניארית בדיוק של המצב הנוכחי, בכל צעד, ולא רק סמוך לשיווי משקל.

אימות חישובי¶

גזירת נוסחה ואמון בה הם שני דברים שונים. המעבדה בודקת את התוצאה בכמה דרכים, וכל בדיקה היא גם מבחן בחבילת הבדיקות של הפרויקט, כך שהטענות בעמוד הזה אינן יכולות להירקב בשקט.

1. שימור האנרגיה. כל צעד בסימולציה רק מסמן מחדש איזה גוף מחזיק קוונט אחד, ולכן מספר הקוונטים הכולל — ומכאן גם האנרגיה הכוללת — נשמר עד הסיבית האחרונה, ולא בקירוב.

2. טמפרטורת שיווי המשקל. בממוצע על פני ריצות רבות ובלתי תלויות, הטמפרטורה של גוף A בזמנים ארוכים מתכנסת אל $T_{\text{eq}} = (C_A T_{A,0} + C_B T_{B,0})/(C_A + C_B)$ , בתוך השגיאה הסטטיסטית של המדידה.

3. עקומת הרלקסציה. הפער הממוצע בטמפרטורות על פני ריצות בלתי תלויות, הנמדד לאחר זמן רלקסציה אחד, תואם את הניבוי בצורה הסגורה $e^{-t/\tau}$ — לא רק את צורתו, אלא גם את ערכו.

4. התכנסות עם גודל המערכת. הפיזור בין ריצה לריצה סביב העקומה האנליטית מצטמצם ככל ששני הגופים גדלים — אותה התייצבות התלויה ב- $N$ שפוגשים לאורך כל הקורס.

אזהרה בנוגע למה שהסימולציה מוכיחה

מודל החלפת הקוונטים הבדיד מדגים שמנגנון מיקרוסקופי פשוט אחד — החלפה אקראית, משוקללת לפי האכלוס — משחזר את חוק הקירור של ניוטון במדויק. הוא אינו מבסס שחוק הקירור של ניוטון מתקיים עבור כל מנגנון של מגע תרמי אמיתי, ואינו גוזר מעקרונות ראשונים את המוליכות $\kappa$ של חומר ממשי כלשהו; לשם כך יש להכיר את הפיזיקה המסוימת של המגע (הולכת פונונים, קרינה, הסעה), שהמודול הזה נמנע במכוון מלמדל. ההתאמה כאן תומכת בסבירותו של החוק המאקרוסקופי; היא אינה מוכיחה אותו כפי שהגזירה מן המשוואה הדיפרנציאלית מוכיחה אותו.

הבדיקה האחת ששום סימולציה אינה יכולה לספק היא מגע תרמי אמיתי, וזה בדיוק מה שחלק 6 של המעבדה מבקש: ספל מים חמים, מדחום מטבח, קריאה כל שתי דקות, ו- $\tau$ המותאם בדקות ולא בצעדים.

להעביר את הרעיון¶

התבנית שכאן — שני מאגרים המחליפים ביניהם גודל נשמר בקצב פרופורציוני להפרש ביניהם, ונרגעים באופן מעריכי אל שיווי משקל של ממוצע משוקלל — חוזרת לאורך כל הפיזיקה ומעבר לה.

קלורימטריה. ערבוב מסה מדודה של מים חמים לתוך מסה מדודה של מים קרים וקריאת הטמפרטורה הסופית הם יישום ישיר של נוסחת $T_{\text{eq}}$ הממוסגרת, עם קיבולי חום במקום $C_A$ , $C_B$ — השיטה הסטנדרטית למדידת קיבול חום שאינו ידוע.
קירור בחקירה פורנזית. טמפרטורת גופה לאחר המוות עוקבת אחרי אותה רלקסציה מעריכית לעבר טמפרטורת החדר; הערכת זמן המוות מקריאת טמפרטורה יחידה היא בדיוק הבעיה ההופכית של פתרון $T(t) - T_{\text{room}} = (T_0 - T_{\text{room}})e^{-t/\tau}$ עבור $t$ .
מעגלי RC. קבל טעון המתפרק דרך נגד מציית לאותה משוואה ליניארית בדיוק, עם מטען במקום אנרגיה ועם $RC$ במקום $\tau$ — אותה מתמטיקה בכל מקום שבו גודל זורם במורד ההפרש של עצמו.
איבוד חום בבניין. הטמפרטורה בתוך בניין נרגעת לעבר טמפרטורת החוץ עם קבוע זמן הנקבע על ידי המסה התרמית והבידוד שלו — אותו מבנה $\tau = C/\kappa$ בדיוק, אלא שכעת “גוף” אחד (החוץ) גדול כל כך עד שטמפרטורתו שלו כמעט אינה זזה.

גם שני מוצקי איינשטיין עצמם שבים ומופיעים, שלוש פעמים, וכל ביקור מיישב משהו שהמודול הזה נאלץ להשאיר פתוח:

פנקס האנטרופיה (מודול 9). אותם מסלולים ממש שהמעבדה מייצרת כאן מורצים שם מחדש בצירוף פנקס אנטרופיה, דילוג אחר דילוג. הפנקס הזה עונה על השאלה שהמודול הנוכחי מציג ואינו יכול עדיין לענות עליה: שימור האנרגיה קובע היכן רשאי הזוג להתייצב, אך אינו אומר דבר על מדוע הוא מתייצב שם ולא באיזון אחר כלשהו. התשובה היא שהאנטרופיה הכוללת של הזוג מטפסת כל עוד נותר הפרש טמפרטורות, ומפסיקה לטפס בדיוק כשההפרש הזה מתאפס.
פונקציית החלוקה (מודול 12). אותם מתנדים נמסרים למנגנון של הצבר הקנוני, והמיפוי לטמפרטורה שבו משתמשים לאורך כל המודול הזה, $T = q\,\varepsilon/(n k_B)$ , נושר מתוך פונקציית החלוקה $Z$ לבדה — אותו מספר בדיוק, המושג מכיוון שאינו מניח דבר על חלוקת האנרגיה השווה.
קיבול חום שאינו קבוע (מודול 16). ה- $C_V(T)$ של מוצק איינשטיין נגזר שם, וזה מה שפורע סוף-סוף את תיבת הקירוב של $C$ הקבוע שלמעלה: הוא אומר כמה גדולה שגיאת הקירוב ההוא, ובאיזו טמפרטורה הקירוב מפסיק להיות בטוח.

בדקו את הבנתכם¶

גוף א’ נמצא בשיווי משקל תרמי עם גוף ג’, וגוף ב’ נמצא בנפרד בשיווי משקל תרמי עם גוף ג’. מה ניתן להסיק על א’ ו-ב’?
A. א’ ו-ב’ נמצאים בשיווי משקל תרמי זה עם זה -- זו בדיוק הטענה של החוק האפס של התרמודינמיקה. B. שום דבר אינו נובע מכך -- שיווי משקל אינו בהכרח טרנזיטיבי. C. לא’ ו-ב’ חייב להיות אותו קיבול חום. D. א’ ו-ב’ כל אחד בשיווי משקל עם ג’, אך ייתכן שתרמומטר יקרא ערך שונה על א’ לעומת ב’.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — א’ ו-ב’ נמצאים בשיווי משקל תרמי זה עם זה -- זו בדיוק הטענה של החוק האפס של התרמודינמיקה.
- A. נכון. זו הסיבה המדויקת לכך שניתן לסמוך על תרמומטר מכויל יחיד (בתפקיד ג’) כשהוא נוגע בשני עצמים בזה אחר זה -- בלי החוק האפס, קריאות זהות בתרמומטר על שני עצמים לא היו אומרות דבר על כך שהעצמים עצמם מסכימים זה עם זה.
- B. זה בדיוק מה שהחוק האפס שולל. הוא מנוסח כאקסיומה אמפירית בדיוק משום שהטרנזיטיביות אינה נובעת בהכרח מדבר בסיסי יותר -- זוהי עובדה על האופן שבו מגע תרמי אמיתי מתנהג.
- C. קיבול חום אינו משחק כאן תפקיד. שני גופים יכולים להימצא באותה טמפרטורה בעלי קיבולי חום שונים לגמרי -- זו בדיוק הסיבה שטמפרטורת שיווי המשקל של זוג גופים היא ממוצע משוקלל בקיבול החום, ולא טענה שבה C_A שווה ל-C_B.
- D. תרמומטר מכויל כראוי קורא אותו ערך על כל שני גופים באותה טמפרטורה. העקביות הזו היא בדיוק מה שהחוק האפס מבטיח, לא משהו שהוא משאיר פתוח.
שני גושי מתכת זהים, אחד חם ואחד קר, נלחצים זה אל זה ולאחר מכן מבודדים משאר העולם. נכון או לא נכון: הם מגיעים לאותה טמפרטורה ברגע המגע עצמו.
A. לא נכון -- הטמפרטורות מתקרבות זו לזו בהדרגה, על פני זמן רלקסציה שנקבע על ידי קיבולי החום ואיכות המגע. B. נכון -- מגע לבדו מספיק כדי להשוות את הטמפרטורה מיידית. C. נכון, אך רק אם שני הגושים עשויים מאותו חומר. D. לא נכון -- אך רק משום שהגושים מוצקים; נוזלים וגזים היו משתווים מיידית.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — לא נכון -- הטמפרטורות מתקרבות זו לזו בהדרגה, על פני זמן רלקסציה שנקבע על ידי קיבולי החום ואיכות המגע.
- A. נכון. למגע תרמי אמיתי יש מוליכות סופית, kappa, ולכן הפער T_A - T_B דועך כמו exp(-t/tau) ולא קורס לאפס ברגע המגע.
- B. זה מתעלם מכך שחום חייב לזרום דרך המגע בפועל, בקצב שנקבע על ידי kappa. שום מגע אמיתי אינו בעל מוליכות אינסופית, ולכן השוואת הטמפרטורות תמיד אורכת זמן רלקסציה סופי, תהיה אשר תהיה קצרה.
- C. התאמת החומרים אינה מבטלת את הצורך של החום לזרום דרך המגע בקצב סופי. היא עשויה לקצר את tau, אך אינה יכולה להפוך אותו לאפס בדיוק.
- D. כל מצב צבירה מעביר חום בקצב סופי. נוזלים וגזים יכולים להשתוות מהר יותר בעזרת זרימת חום, אך “מיידית” אינה מושגת בפועל באף מצב צבירה.
לגוף א’ קיבול חום של 300 J/K, והוא מתחיל בטמפרטורה של 80 מעלות צלזיוס. לגוף ב’ קיבול חום של 900 J/K, והוא מתחיל ב-20 מעלות צלזיוס. הזוג מבודד יחד. מצאו את טמפרטורת שיווי המשקל במעלות צלזיוס.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 35 (± 0.5)
T_eq = (C_A T_A + C_B T_B)/(C_A + C_B) = (30080 + 90020)/1200 = 42000/1200 = 35 מעלות צלזיוס. לגוף ב’ קיבול חום גדול פי שלושה מזה של א’, ולכן שיווי המשקל יושב בשלושה-רבעים מהדרך מהערך ההתחלתי של א’ לזה של ב’ -- קרוב הרבה יותר ל-20 מעלות מאשר לאמצע הפשוט, 50 מעלות.
שני גופים בעלי קיבולי חום שונים מאוד מובאים למגע ומגיעים לשיווי משקל. איזו טענה נכונה?
A. T_eq הוא ממוצע משוקלל בקיבול החום של שתי הטמפרטורות ההתחלתיות, כך שהגוף בעל ה-C הגדול יותר מושך את T_eq קרוב יותר לערך ההתחלתי שלו. B. T_eq הוא תמיד בדיוק הממוצע החשבוני של T_A ו-T_B, ללא תלות בשני קיבולי החום. C. T_eq שווה לטמפרטורה ההתחלתית של הגוף בעל קיבול החום הגדול יותר. D. T_eq תלוי רק במי מהגופים היה חם יותר, ולא בשני קיבולי החום.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — T_eq הוא ממוצע משוקלל בקיבול החום של שתי הטמפרטורות ההתחלתיות, כך שהגוף בעל ה-C הגדול יותר מושך את T_eq קרוב יותר לערך ההתחלתי שלו.
- A. נכון: T_eq = (C_A T_A + C_B T_B)/(C_A+C_B). קיבול חום גדול יותר לגוף א’ פירושו שהטמפרטורה שלו צריכה לזוז פחות כדי לשמר את האנרגיה הכוללת של הזוג -- באותו אופן שמסה גדולה יותר זזה פחות באיזון מוטה של מנוף.
- B. זה נכון רק במקרה הפרטי שבו C_A = C_B. באופן כללי, הטמפרטורה ההתחלתית של כל גוף משוקללת בקיבול החום שלו, ולא נספרת באופן שווה.
- C. זו הפרזה בכיוון הנגדי. הגוף בעל ה-C הגדול מושך את T_eq לכיוונו אך אינו קובע אותו שם בדיוק, אלא אם קיבול החום שלו גדול לאין שיעור מזה של הגוף השני.
- D. T_eq תמיד יושב בין T_A(0) ל-T_B(0), אך המיקום המדויק בתוך התחום הזה תלוי ביחס C_A:C_B, ולא רק במי היה חם יותר.
שני גופים מתחילים עם פער טמפרטורה של 100 קלווין. בערך מהו גודל הפער לאחר זמן רלקסציה tau אחד בדיוק?
A. כ-37 קלווין -- פי 1/e קטן מהפער ההתחלתי. B. 0 קלווין -- שיווי המשקל מושג למעשה לאחר זמן רלקסציה אחד. C. 50 קלווין -- זמן רלקסציה אחד מחצה את הפער. D. עדיין 100 קלווין או יותר -- הפער אינו מתחיל להצטמצם עד שכמה זמני רלקסציה חלפו.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — כ-37 קלווין -- פי 1/e קטן מהפער ההתחלתי.
- A. נכון. T_A(t) - T_B(t) = (T_A(0) - T_B(0)) exp(-t/tau), ו-exp(-1) = 0.368, כך שלאחר tau אחד הפער יורד לכ-37% מהערך ההתחלתי -- היחס הזה הוא בדיוק ההגדרה של tau.
- B. זמן רלקסציה אחד מקטין את הפער בפקטור של כ-1/e, לא לאפס. הפונקציה האקספוננציאלית אינה מגיעה לאפס באופן פורמלי; לאחר כמה tau הפער הופך זניח, אך tau עצמו אינו “הגעה”.
- C. חציית הפער אורכת ln(2)*tau, כ-0.69 tau, לא בדיוק tau אחד. tau מוגדר על ידי הפקטור 1/e, לא על ידי פקטור חצי.
- D. הפער מצטמצם באופן רציף מהרגע הראשון; אין עיכוב לפני שהדעיכה מתחילה.
לפני קריאת הגזירה: אתם מכפילים את שני קיבולי החום, C_A ו-C_B, תוך שמירה על שתי הטמפרטורות ההתחלתיות ועל מוליכות המגע kappa קבועות. נבאו מה קורה (א) לטמפרטורת שיווי המשקל T_eq, (ב) לזמן הרלקסציה tau.
בדקו את התשובה
T_eq = (C_A T_A + C_B T_B)/(C_A+C_B) אינו משתנה: הכפלת C_A ו-C_B יחד מכפילה את המונה ואת המכנה באותו גורם, וזה מתבטל. tau = C_A C_B / (kappa(C_A+C_B)) מוכפל: המונה C_A C_B גדל פי 4 בעוד המכנה C_A+C_B גדל רק פי 2, ו-4/2 = 2. פיזיקלית, הכפלת שני קיבולי החום משאירה את היעד במקומו (היחס C_A:C_B לא השתנה) אך מכפילה את המסה התרמית שעל kappa הקבועה להזיז, ולכן לוקח פי שניים זמן להגיע.
בשניים-שלושה משפטים, הסבירו מה ממשיך לקרות ברמה המיקרוסקופית לאחר ששני גופים מגיעים לשיווי משקל תרמי, ומדוע הטמפרטורות המאקרוסקופיות בכל זאת מפסיקות להשתנות.
בדקו את התשובה
תשובה טובה אומרת שקוונטים של אנרגיה ממשיכים לקפוץ הלוך ושוב בין שני הגופים ללא הפסקה -- שום דבר בחילופין המיקרוסקופי אינו נפסק. מה שמפסיק הוא הזרימה הנטו: ברגע ש-q_A/n_A שווה ל-q_B/n_B (טמפרטורות שוות), קוונט עובר מא’ לב’ בדיוק באותה סבירות כמו מב’ לא’, כך ששני הכיוונים מתאזנים והממוצע המאקרוסקופי נשאר יציב. תשובות המתארות את החילופין כאילו “נפסק” ולא “התאזן” לא הבחינו בין שני המקרים.
באיזה מצב המודל הבדיד של חילופי האנרגיה שבמודול הזה אמין פחות מכול לחיזוי ההתקדמות לשיווי משקל?
A. שני גופים הקרובים שניהם לאפס המוחלט. B. שני גופים בטמפרטורות התחלתיות שונות מאוד זו מזו, שתיהן הרבה מעל קנה המידה הקוונטי האופייני שלהן. C. שני גופים בגדלים שונים מאוד זה מזה (N_A גדול, N_B קטן). D. שני גופים העשויים מאותו חומר.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — שני גופים הקרובים שניהם לאפס המוחלט.
- A. נכון. בטמפרטורה נמוכה האוסצילטורים יוצאים מהתחום הקלאסי שעליו מתבסס T = (מספר קוונטים * קוונט אנרגיה)/(n k_B), וסטטיסטיקה קוונטית משתלטת -- בדיוק אופן הכישלון שצוין במפרט המודל.
- B. פער התחלתי גדול הוא בדיוק מה שהגזירה של המודול הזה מטפלת בו -- חוק הרלקסציה האקספוננציאלי נגזר עבור T_A(0)-T_B(0) שרירותי כלשהו, והמודל נשאר תקף כל עוד שני הגופים נמצאים בתחום הקלאסי.
- C. גדלים לא שווים הם בדיוק מה שהופך את הנוסחה המשוקללת בקיבול החום ל-T_eq למעניינת; המודל מטפל ב-N_A != N_B ללא כל טיפול מיוחד, כל עוד כל אחד מהם גדול מספיק כדי להיקרא מאקרוסקופי.
- D. התאמת חומרים אינה אופן כישלון של דבר במודל הזה -- אם כבר, היא מקלה ביותר להצדיק את ההנחה של גודל קוונט משותף.

שאלות ברמת בחינה עבור המודול — אלה שכדאי לפתור עם עט — מרוכזות בדף השאלות.

להסביר במילים שלכם¶

ענו על כל אחת בכמה משפטים. אלה השאלות שחושפות אם הרעיונות נקלטו; שום מספר לא יציל אתכם.

סטודנט אומר: “שני הגופים מגיעים לאותה טמפרטורה משום שהחום מפסיק לזרום ברגע שהם נוגעים זה בזה.” שפרו את המשפט כך שיהיה נכון באמת, ואמרו במדויק מה היה שגוי בו.
הסבירו, בלי לכתוב משוואה, מדוע קיבול חום גדול בהרבה בצד אחד מושך את טמפרטורת שיווי המשקל לעבר ערך ההתחלה של אותו צד.
שני זוגות של גופים מתחילים בקיבולי חום זהים ובטמפרטורות התחלה זהות, אך לזוג 2 יש מגע תרמי טוב יותר ( $\kappa$ גדול יותר) מאשר לזוג 1. השוו את טמפרטורות שיווי המשקל שלהם ואת זמני הרלקסציה שלהם.
הסבירו מדוע “שני הגופים נמצאים בשיווי משקל” אין פירושו שהחלפת הקוונטים של האנרגיה ביניהם נפסקה.

מתקדם: מדילוג אקראי אל מעריכית מדויקת¶

כלל ההחלפה של המעבדה נראה שרירותי עד שעוקבים אחרי השלכותיו במדויק. יהיו $q_A$ ו- $q_B$ מספרי הקוונטים שמחזיקים הגופים A ו-B, כאשר $n_A$ , $n_B$ הם מספרי המתנדים שלהם ו- $Q = q_A + q_B$ הוא הסך הכול (הנשמר). בכל צעד נבחר להזזה אחד מבין $Q$ הקוונטים באופן אחיד ואקראי, ולכן הסיכוי שהוא שייך כרגע ל-A הוא $q_A/Q$ ; לאחר מכן הוא מוקצה מחדש למתנד אקראי אחיד מבין $n_A + n_B$ המתנדים הזמינים, ונוחת בחזרה ב-A בהסתברות $n_A/(n_A + n_B)$ . תוחלת השינוי ב- $q_A$ על פני צעד אחד היא אפוא

\mathbb{E}[\Delta q_A] = \frac{n_A}{n_A+n_B} - \frac{q_A}{Q} ,

(7)

וזו פונקציה ליניארית בדיוק ב- $q_A$ — לא בקירוב, ולא רק סמוך לשיווי משקל, משום ש- $Q$ אינו משתנה לעולם. לנסיגה ליניארית מן הצורה הזו יש פתרון גיאומטרי

\mathbb{E}[q_A(n)] - q_A^{\text{eq}} = \big(q_A(0) - q_A^{\text{eq}}\big)\left(1 - \frac{1}{Q}\right)^{n} , \qquad q_A^{\text{eq}} = \frac{Q\,n_A}{n_A+n_B} .

(8)

המרת הקוונטים לטמפרטורות ( $T = q\,\varepsilon/(n k_B)$ עבור קוונט שגודלו $\varepsilon$ ) אינה משנה את צורת הדעיכה, משום ש- $T_A - T_B$ הוא בעצמו פונקציה ליניארית של $q_A$ עבור $Q$ קבוע. התוצאה היא

\mathbb{E}[T_A(n) - T_B(n)] = \big(T_A(0) - T_B(0)\big)\left(1 - \frac{1}{Q}\right)^{n} ,

(9)

וזו הופכת למעריכית הרציפה $e^{-n/\tau}$ ברגע ש- $Q \gg 1$ , עם $\tau = -1/\ln(1 - 1/Q) \to Q$ — המקבילה בצעדים בדידים לקבוע הזמן של חוק הקירור של ניוטון, כשהמוליכות המשתמעת של המודל הזה היא $\kappa = k_B / Q$ לצעד.