אוסף בעיות — החוק השני ומנועי חום

אוסף בעיות: החוק השני ומנועי חום¶

בעיות בסגנון בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שתיגעו במחשב; האחרונה נועדה להסתיים נומרית. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים עם חומרי המרצה ובמכוון אינם באתר הזה.

קחו $\kB = 1.381 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ לכל אורך הדרך, ורשמו כל טמפרטורה בקלווין לפני שתעשו איתה דבר.

בעיה 1 — שני הניסוחים¶

(א) נסחו את צורות קלווין וקלאוזיוס של החוק השני, והסבירו מה עושות המילים מחזורי ותוצאה יחידה בכל אחת מהן. תנו דוגמה לתהליך ממשי הממיר חום כולו לעבודה, ואמרו מדוע אינו מפר את ניסוח קלווין.

(ב) נטען שמתקן מושך $500\ \mathrm{J}$ למחזור ממאגר יחיד בטמפרטורה $400\ \mathrm{K}$ ומספק $500\ \mathrm{J}$ של עבודה, כשהוא חוזר למצבו ההתחלתי בכל מחזור. בנו, במילים ובתרשים אנרגיה, מכונה המצרפת את המתקן הזה למקרר רגיל כדי להפר את ניסוח קלאוזיוס.

(ג) הסבירו מדוע גז העובר התפשטות איזותרמית כמו-סטטית יחידה אינו דוגמה נגדית ל-(א), אף ש-$\Delta U = 0$ וכל החום הנבלע הופך לעבודה.

בעיה 2 — חסמים על מתקן ממשי¶

טורבינת קיטור מושכת חום מדוד בטמפרטורה $811\ \mathrm{K}$ ופולטת אותו אל מעבה בטמפרטורה $311\ \mathrm{K}$. היא בולעת $2.40\ \mathrm{GJ}$ של חום בשנייה.

(א) חשבו את הנצילות המרבית האפשרית ואת ההספק המרבי האפשרי.

(ב) המתקן מספק בפועל $0.95\ \mathrm{GW}$. חשבו את נצילותו, ואת הקצב שבו הוא שופך חום אל המעבה.

(ג) מהנדס מציע להעלות את התפוקה על ידי קירור המעבה אל $280\ \mathrm{K}$ באמצעות יחידת קירור, שתפלוט בעצמה את חומה אל הסביבה בטמפרטורה $311\ \mathrm{K}$. בלי לחשב דבר, תנו את הטיעון לכך שהדבר אינו יכול להחזיר את עלותו. לאחר מכן אמדו את העבודה המזערית שיחידת הקירור תזדקק לה — הניחו שעליה להעביר את מלוא עומס המעבה — והשוו זאת לתפוקה הנוספת שהמעבה הקר יותר היה קונה.

(ד) חשבו $1 - \sqrt{T_c/T_h}$ עבור המתקן הזה והשוו לתשובתכם ב-(ב). העירו על מה שזה כן אומר לכם ועל מה שאינו אומר.

בעיה 3 — משפט קרנו ככלי¶

(א) ממציא טוען למנוע הפועל בין $500\ \mathrm{K}$ ל-$300\ \mathrm{K}$ הבולע $1000\ \mathrm{J}$ ומספק $450\ \mathrm{J}$ למחזור. האם הטענה אפשרית? הציגו את נימוקכם, ואמרו איזה חוק מופר אם אינה.

(ב) ממציא שני טוען ל-$380\ \mathrm{J}$ מאותם $1000\ \mathrm{J}$ בין אותם מאגרים. האם זה אפשרי? האם זה בהכרח בר-השגה?

(ג) שני מנועים הפיכים פועלים בין אותם מאגרים, האחד בהליום והשני בקיטור. הוכיחו, תוך שימוש במשפט קרנו בלבד ובלי להעריך דבר, שנצילויותיהם זהות. היכן בדיוק הייתה נשברת הוכחה שהייתה תלויה בחומר העבודה?

(ד) הסבירו כיצד אפשר להשתמש במנוע הפיך כדי לבנות סולם טמפרטורה, ואמרו סיבה מעשית אחת לכך שלא כך בונים מדחומים בפועל.

בעיה 4 — המקרר והמטבח¶

מקרר מחזיק את חללו הפנימי בטמפרטורה $275\ \mathrm{K}$ במטבח שבטמפרטורה $298\ \mathrm{K}$.

(א) חשבו את מקדם הביצועים המרבי האפשרי. היחידה משיגה בפועל 3.2; חשבו את ההספק החשמלי הדרוש לה כדי להסיר חום בקצב $150\ \mathrm{W}$.

(ב) חשבו את הקצב שבו המקרר מספק חום אל המטבח. סטודנט מציע לקרר את המטבח ביום חם על ידי השארת דלת המקרר פתוחה. אמרו בדיוק מה קורה לטמפרטורת המטבח, ומדוע.

(ג) אותה חומרה משמשת כמשאבת חום לחימום בית בטמפרטורה $295\ \mathrm{K}$ מאוויר חיצוני בטמפרטורה $273\ \mathrm{K}$. חשבו את מקדם הביצועים המרבי. השוו את החשמל הדרוש כדי לספק $5\ \mathrm{kW}$ של חימום בדרך הזו לחשמל שמחמם התנגדותי היה זקוק לו, והסבירו במשפט אחד מניין נובע ההבדל.

(ד) הטמפרטורה בחוץ יורדת ל-$258\ \mathrm{K}$. חשבו מחדש את מקדם הביצועים המרבי והעירו מדוע קשה יותר להצדיק משאבות חום באקלים קר מאוד.

בעיה 5 — לאן הלכה העבודה¶

מנוע פועל בין מאגרים בטמפרטורות $600\ \mathrm{K}$ ו-$300\ \mathrm{K}$, אך מחליפי החום שלו אינם מושלמים: גז העבודה יושב בטמפרטורה $560\ \mathrm{K}$ בעת בליעת החום ובטמפרטורה $340\ \mathrm{K}$ בעת פליטתו. מבפנים כל צעד הפיך.

(א) חשבו את נצילות המנוע והשוו אותה לחסם קרנו של המאגרים.

(ב) לכל $1000\ \mathrm{J}$ הנבלעים מן המאגר החם, חשבו את העבודה המסופקת, את החום הנפלט, ואת ערכו של $\oint \dbar Q / T_{\text{res}}$, תוך הקפדה על איזו טמפרטורה שייכת לכל מכנה.

(ג) הראו שהעבודה האבודה, בהשוואה למנוע קרנו מושלם המושך את אותם $1000\ \mathrm{J}$, שווה ל-$T_c$ כפול הגודל שחישבתם ב-(ב). פרשו את התוצאה הזו.

(ד) הסבירו מדוע סגירת פערי הטמפרטורות לאפס אינה שיפור תכנוני שמישהו יכול לאמץ, ומה באמת נסחר כאן.

בעיה 6 — חישובית¶

בעזרת מחברת המעבדה של המודול והמודול thermolab.engines:

(א) בנו מחזורי קרנו בין $600\ \mathrm{K}$ ל-$300\ \mathrm{K}$ עבור לפחות ארבעה צירופים של גז עבודה ($f = 3, 5, 6$) ויחס התפשטות, וערכו טבלה של הנצילויות. דווחו לכמה ספרות הן מסכימות, ואמרו למה זו ראיה.

(ב) בעזרת endoreversible_cycle, שרטטו את הנצילות מול פער הטמפרטורות עבור פערים מ-0 עד $100\ \mathrm{K}$, כשחסם קרנו משורטט כקו אופקי. באיזה פער איבד המנוע רבע מן הנצילות הזמינה לו?

(ג) על אותם צירים שרטטו את האנטרופיה המיוצרת למחזור מול הפער. התאימו את התנהגותה בפער קטן ואמרו איזה חוק חזקה מצאתם.

(ד) נסו לבנות מן הספרייה מחזור כלשהו העולה על $1 - T_c/T_h$. דווחו מה ניסיתם. לאחר מכן נסחו במדויק מדוע הכישלון למצוא כזה אינו הוכחה למשפט קרנו, ולמה הוא כן ראיה.

בעיה 7 — המחיר של אי-הפיכות¶

(א) גוש המחליק על שולחן בטמפרטורה $300\ \mathrm{K}$ נעצר בגלל חיכוך, ו-$50\ \mathrm{J}$ של אנרגיה קינטית הופכים לחום המסתיים בשולחן. הראו שביטול התהליך הזה בלי עקבות היה מפר את ניסוח קלווין, וחשבו את האנטרופיה המיוצרת.

(ב) ביום חורף, $500\ \mathrm{J}$ של חום דולפים דרך חלון מחדר ב-$293\ \mathrm{K}$ אל האוויר שבחוץ ב-$263\ \mathrm{K}$. חשבו את האנטרופיה המיוצרת, ואת העבודה שמנוע אידיאלי שהוצב על פני החלון היה יכול לספק מאותו חום. הראו ששתי התשובות קשורות זו לזו כפי שמשפט העבודה האבודה אומר שחייב להיות.

(ג) מול אחד של גז אידיאלי ($N = 6.022 \times 10^{23}$) בטמפרטורה $300\ \mathrm{K}$ מתפשט בחופשיות אל תוך ריק, ומכפיל את נפחו בתוך קופסה מבודדת. חשבו את שינוי האנטרופיה שלו על ידי בחירת תהליך הפיך מתאים בין אותם מצבי קצה, והסבירו מדוע זה לגיטימי אף שהתהליך הממשי אינו דומה לו כלל. כמה עבודה היה התהליך ההפיך מספק, וכיצד המספר הזה קשור לאנטרופיה המיוצרת?

(ד) שני גושים זהים, לכל אחד קיבול חום $C = 500\ \mathrm{J\,K^{-1}}$, האחד ב-$400\ \mathrm{K}$ והשני ב-$200\ \mathrm{K}$, מובאים למגע תרמי בתוך קופסה מבודדת. מצאו את הטמפרטורה הסופית ואת השינוי הכולל באנטרופיה. לאחר מכן הראו, עבור טמפרטורות התחלתיות $T_1$ ו-$T_2$ כלשהן, ש-

עם שוויון רק כאשר $T_1 = T_2$.

(ה) נניח שבמקום זאת מנוע הפיך פועל בין שני הגושים של (ד) עד שהם מגיעים לטמפרטורה משותפת. מצאו את הטמפרטורה הזו ואת העבודה הכוללת שסופקה, והסבירו במשפט אחד מדוע הטמפרטורה הסופית נמוכה מזו שב-(ד).

בעיה 8 — מנוע אוטו¶

מנוע בנזין מאודיאל קולט אוויר ב-$T_1 = 300\ \mathrm{K}$ ודוחס אותו אדיאבטית לפי $r = 10$; התייחסו לאוויר כאל גז אידיאלי עם $\gamma = 7/5$. שריפת הדלק מחממת אותו אז בנפח קבוע ל-$T_3 = 2200\ \mathrm{K}$, הוא מתפשט אדיאבטית בחזרה לנפחו המקורי, ופולט את החום שנותר בו בנפח קבוע.

(א) הראו שהנצילות היא $\eta = 1 - r^{1-\gamma}$, בלתי תלויה ב-$T_3$, וחשבו אותה.

(ב) מצאו את הטמפרטורות $T_2$ אחרי הדחיסה ו-$T_4$ אחרי ההתפשטות. השוו את הנצילות לחסם קרנו בין הטמפרטורה הקרה ביותר לחמה ביותר שהאוויר מגיע אליהן.

(ג) כל צעד במחזור הזה הפיך, ובכל זאת הוא נופל מן החסם הזה. הסבירו מדוע, על ידי חלוקת המחזור לפרוסות דקות באמצעות אדיאבטות.

(ד) חשבו את שינוי האנטרופיה של האוויר בצעד החימום ובצעד הקירור. חלוקת החום של כל צעד בשינוי האנטרופיה שלו מגדירה טמפרטורה ממוצעת עבור אותו צעד; חשבו את שתיהן, והראו שנצילות המנוע היא זו של מנוע קרנו ביניהן.

(ה) הנצילות גדלה עם $r$. מה מונע ממנועי בנזין להשתמש ביחסי דחיסה גבוהים בהרבה, וכיצד מנוע הדיזל של מודול 06 עוקף זאת?