דף שאלות — פאזורים

דף שאלות: פאזורים¶

שאלות ברמת בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שאתם ניגשים למחשב; האחרונה נועדה להיפתר נומרית. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים בחומרי המרצה ואינם מופיעים באתר הזה במכוון.

לאורך כל הדף, מוסכמת הקורס תקפה: פאזור $\hat{x} = A e^{-\ii\varphi}$ עבור התנודה $A\cos(\omega t + \varphi)$.

שאלה 1 — הייצוג, בשני הכיוונים¶

(א) רשמו את הפאזורים של $3\cos(\omega t)$, $3\sin(\omega t)$, ושל $3\cos(\omega t - 2\pi/3)$, וציירו את שלושת החִצים.

(ב) פאזור נתון הוא $\hat{x} = -2\ii$. רשמו את התנודה $x(t)$ שהוא מייצג, וציינו באיזה זמן (ביחידות של זמן המחזור, החל מ-$t = 0$) האות מגיע לראשונה למקסימום שלו.

(ג) חבר לכיתה המשתמש במוסכמה ההנדסית רושם את הפאזור של $3\sin(\omega t)$ ומקבל את הצמוד המרוכב לתשובתכם בסעיף (א). הסבירו במשפט אחד מדוע, ומדוע איש מכם אינו טועה.

שאלה 2 — חוק ההתאבכות¶

שתי תנודות בנות אותה תדירות בעלות משרעות $A_1 = 3$ ו-$A_2 = 4$ (אותן יחידות).

(א) מהן המשרעות הגדולה והקטנה ביותר שיכולות להיות לסכום שלהן, ובאילו הפרשי מופע הן מתקבלות?

(ב) מצאו את הפרש המופע שבו לסכום יש משרעת של בדיוק 5, ושימו לב לאיזה משולש מפורסם צִיירתם הרגע.

(ג) עבור משרעות שוות $A_1 = A_2 = a$, הראו שמשרעת השקיל היא $2a\left|\cos(\delta/2)\right|$, ובִדקו את שני הקצוות מול היגיון בסגנון סעיף (א).

שאלה 3 — פעימות בקולן הכוונון¶

כנר מכוון את מיתר ה-A מול קולן כוונון בתדר 440 הרץ, ושומע את עוצמת הקול פועמת 2.0 פעמים בשנייה.

(א) מהן שתי התדירויות האפשריות של המיתר?

(ב) הנגן מותח את המיתר מעט וקצב הפעימה מואץ. איזו מהשתיים הייתה זו, ומה על הנגן לעשות במקום זאת?

(ג) קצב הפעימה מואט לפעימה אחת כל 4 שניות, ואז הנגן מפסיק לכוון. העריכו כמה רחוק מ-440 הרץ המיתר נמצא, וכמה זמן הייתם צריכים להאזין כדי להבחין בכלל בהיסט השיורי.

שאלה 4 — מאה מקורות¶

$N = 100$ פולטים זהים מייצרים כל אחד, בגלאי מרוחק, תנודה בעלת משרעת יחידה באותה תדירות.

(א) הפולטים נעולי-מופע ($\varphi_k = 0$ לכל $k$). אילו משרעת ואילו עוצמה (ביחידות של פולט בודד) מגיעות לגלאי?

(ב) במקום זאת, המופעים בלתי תלויים ואחידים-אקראיים. מהי העוצמה הצפויה? גִזרו אותה מהסכום הכפול על פני האיברים הצולבים, וציינו בדיוק איזה ממוצע מתאפס.

(ג) משרעת השקיל במופע אקראי היא עצמה אקראית: כמה גדולות בערך התנודות הטיפוסיות שלה בין מימוש אחד למשנהו, ביחס לערך ה-RMS שלה? (תשובה איכותית עם נימוק מספיקה — זהו הזרע של תופעת הספקל, מודול 41.)

שאלה 5 — מצולע הפאזורים, נומרית¶

בעזרת wavelab.phasors (במעבדת הדפדפן או מקומית):

(א) חשבו את השקיל של $N$ פאזורי-יחידה בעלי מופעים $\varphi_k = k\,\delta$ עבור $k = 0, \dots, N-1$ (צעד מופע קבוע — חִצים היוצרים מצולע משוכלל) עבור $N = 6$ וטווח של $\delta$. באילו ערכים של $\delta$ השקיל מתאפס בדיוק? השוו עם $\left|\sin(N\delta/2)/\sin(\delta/2)\right|$.

(ב) חִזרו על כך עם מופעים אקראיים עבור $N = 10, 100, 1000$, תוך מיצוע $\left|\text{sum}\right|^2$ על פני 50 זרעים לפחות, והתאימו את מעריך קנה המידה של משרעת ה-RMS מול $N$.

(ג) התבנית בסעיף (א) היא סריג העקיפה של מודול 31 בתחפושת; קנה המידה בסעיף (ב) הוא אור לא-קוהרנטי. בשני משפטים, קִשרו כל חישוב לעתידו האופטי.