מוסכמות בכל הקורס - WaveLab

בפיזיקת גלים יש יותר בחירות שרירותיות מאשר ברוב התחומים: לאיזה כיוון מסתובב המופע, היכן יושב ה- $2\pi$ בהתמרת פורייה, ואיזה סימן של החלק המדומה של מקדם השבירה מציין בליעה. אף אחת מהן אינה משנה את הפיזיקה, וכולן משנות את הנוסחאות. ספרי לימוד נבדלים זה מזה, וסטודנט שמשווה בין שני מקורות המחליפים מוסכמות בשקט עלול לאבד שבוע בגלל סימן מינוס תועה.

לכן הקורס קובע את בחירותיו פעם אחת, כאן, ואינו סוטה מהן. זהו העמוד שאליו כדאי לחזור כאשר נוסחה במקום אחר אינה תואמת לאחת משלנו.

המופע של גל¶

כל ייצוג מרוכב של תנודה או של גל דורש החלטה שרירותית אחת: איזה סימן של המעריך מייצג תנועה קדימה בזמן. שתי הבחירות מופיעות בספרות:

	הקורס הזה	הבחירה הנפוצה האחרת
גל מישורי	$\psi(x,t) = \Real\!\left[A\,e^{\ii(kx - \omega t)}\right]$	$\psi = \Real\!\left[A\,e^{j(\omega t - kx)}\right]$
גורם הזמן	$e^{-\ii\omega t}$	$e^{+j\omega t}$
מופיעה אצל	פיזיקה: Hecht,‏ Griffiths,‏ Goodman,‏ Georgi	הנדסה: מעגלים, עיבוד אותות
הפאזורים מסתובבים	בכיוון השעון	נגד כיוון השעון
המרה	$\ii \leftrightarrow -j$	$j \leftrightarrow -\ii$

הקורס הזה משתמש תמיד בעמודה הראשונה. גורם הזמן הוא $e^{-\ii\omega t}$ , גל עם $k > 0$ נע לכיוון $+x$ , והפאזורים מסתובבים בכיוון השעון. זוהי המוסכמת של כל ארבעת ספרי היסוד של הקורס, והיא זו שתחתיה המופע הקוונטי $e^{-\ii E t/\hbar}$ ייראה בהמשך מוכר ולא הפוך.

דוגמה פתורה, כדי שהסימן יהיה מוחשי

לתנודה $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ מתאים הפאזור $\hat{x} = A e^{-\ii\varphi}$ , מפני ש-

\Real\!\left[\hat{x}\, e^{-\ii\omega t}\right] = \Real\!\left[A e^{-\ii(\omega t + \varphi)}\right] = A\cos(\omega t + \varphi).

(1)

תוצאה אחת שתפגשו במודולי התנודות: התגובה במצב מתמיד של מתנד מאולץ ומרוסן היא

\hat{x}(\omega) = \frac{F_0/m}{\wnat^2 - \omega^2 - \ii\gamma\omega},

(2)

שהארגומנט שלה ב- $\omega = \wnat$ הוא $+\pi/2$ — ההעתק מפגר אחרי הכוח המאלץ ברבע מחזור בתהודה. תחת המוסכמת האחרת אותה פיזיקה נושאת את הסימן ההפוך של החלק המדומה. בדקו כל תוצאה שאתם גוזרים מול זו, ולעולם לא תאבדו את הסימן.

המוסכמת ההנדסית מופיעה בסימנים בעמוד הזה ובשום מקום אחר בקורס. בכל מקום אחר — כולל בשאלות, בחידונים ובמעבדות — העמודה הראשונה היא היחידה שבשימוש. לינט של הפרויקט אוכף זאת.

התמרות פורייה¶

בזוג ההתמרות יש שתי בחירות שרירותיות: איזה כיוון מקבל את סימן המינוס, והיכן יושב ה- $2\pi$ . הקורס הזה שם את סימן המינוס בהתמרה הישרה ואת ה- $2\pi$ בהתמרה ההפוכה:

F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, e^{-\ii\omega t}\, \mathrm{d}t, \qquad f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)\, e^{+\ii\omega t}\, \mathrm{d}\omega,

(3)

ובאופן זהה במרחב:

A(k) = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x)\, e^{-\ii k x}\, \mathrm{d}x, \qquad \psi(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} A(k)\, e^{+\ii k x}\, \mathrm{d}k.

(4)

שלושה דברים הופכים את זה לקבוצת הבחירות הנכונה לקורס הזה, ולא סתם לקבוצה כלשהי:

היא עקבית פנימית עם מוסכמת המופע. הרכבת חבילת גלים מהספקטרום שלה נותנת $\psi(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int A(k)\, e^{\ii(kx - \omega(k) t)}\, \mathrm{d}k$ — כל רכיב הוא גל מישורי הנע קדימה מהסעיף הקודם, בלי שום להטוטי סימנים.
זה מה שהקוד עושה. numpy.fft.fft שם את סימן המינוס בהתמרה הישרה, ולכן נוסחה בעמוד והשורה של NumPy שבודקת אותה לעולם אינן חלוקות על סימנים.
ה- $2\pi$ הא-סימטרי שומר על $F(0) = \int f$ . ערך ההתמרה בתדירות אפס הוא פשוט השטח מתחת לאות, בלי מקדם תועה.

שימו לב שהתמרה הפוכה מציגה באופן לגיטימי $e^{+\ii\omega t}$ — הלינט השומר על גורם הזמן מכיר את העמוד הזה, והצגה של התמרה הפוכה במקום אחר נושאת סימון חריגה מפורש.

מקדם השבירה המרוכב¶

בתווך בולע מקדם השבירה נעשה מרוכב. הקורס הזה כותב אותו

\tilde{n} = n + \ii\kappa, \qquad \kappa \ge 0 ,

(5)

והסימן נכפה על ידי מוסכמת המופע, ואינו חופשי: גל הנע לכיוון $+x$ דרך התווך הוא

e^{\ii \tilde{n} k_0 x} = e^{\ii n k_0 x}\, e^{-\kappa k_0 x},

(6)

שדועך, כפי שבליעה מחייבת. תחת גורם הזמן ההנדסי אותה פיזיקה מחייבת $\tilde{n} = n - j\kappa$ ; אם תפגשו את הכתיב הזה בספר אחר, זהו אותו תווך המתואר במוסכמת האחרת, ולא מחלוקת על הפיזיקה.

שדות ממשיים ועוצמה¶

האות הפיזיקלי הוא תמיד החלק הממשי. מעריכים מרוכבים הם הנהלת חשבונות עבור משרעת ומופע; שום דבר מדיד אינו מרוכב. שתי תוצאות, שנקבעות כאן פעם אחת:

פעולות לא-לינאריות — אנרגיה, עוצמה, כל דבר בריבוע — פועלות על האות הממשי, לעולם לא על הייצוג המרוכב. קחו קודם את החלק הממשי.
הממוצע בזמן של $\cos^2$ לאורך מחזור הוא $\tfrac{1}{2}$ . לכן העוצמה הממוצעת בזמן של גל אור בעל משרעת ממשית $E_0$ בתווך שמקדם השבירה שלו $n$ היא
$I = \tfrac{1}{2}\, c\, \epsilon_0\, n\, E_0^2 ,$
(7)
והמקדם $\tfrac{1}{2}$ הזה נאמר כאן ואינו נגזר שוב.

יחידות וקבועים¶

SI לכל אורך הדרך. מטרים, קילוגרמים, שניות והצירופים שלהם. כאשר שאלה נוקבת באלקטרון-וולט או באנגסטרם, המירו לפני החישוב.
אורכי הגל הם אורכי גל בריק. $\lambda_0$ ננקב בננומטרים; בתוך תווך אורך הגל הוא $\lambda_0/n$ ומה שנשאר קבוע הוא התדירות.
$c$ מדויק. $c = 299\,792\,458\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ מהגדרת המטר, ו- $\epsilon_0 = 1/(\mu_0 c^2)$ .
התדירות הזוויתית $\omega$ והתדירות $\nu$ מופיעות שתיהן. תמיד $\omega = 2\pi\nu$ ; הנוסחאות נושאות את $\omega$ אלא אם מצוטטת מדידה בהרץ.
הספרייה עובדת במספרים ממשיים ב-SI. הספרייה wavelab נמנעת במכוון מעטיפת גדלים בחבילת יחידות, כדי שסטודנט יוכל לקרוא omega0 = np.sqrt(stiffness / mass) ולזהות אותה. נכונות ממדית נאכפת במקום זאת במערך הבדיקות, שבו כל נוסחה מחושבת מחדש עם גדלים של pint.

תוויות אפיסטמיות: מאיזה סוג היא הטענה הזאת?¶

פיזיקת גלים מערבבת מתמטיקה מדויקת, חוקים אמפיריים, בחירות מידול וראיות נומריות, לא פעם בתוך פסקה אחת. טשטוש ביניהם הוא הדרך שבה סטודנטים מגיעים להאמין שסימולציה “הוכיחה” זהות. לכן כל טענה ממוסגרת בקורס נושאת תווית האומרת מאיזה סוג היא, והתיבות שלמטה הן דוגמה חיה לכל אחד מהם.

מפרטי מודל¶

כל סימולציה בקורס — בעמוד או במחברת — נושאת מקטע בן שבעה שדות האומר בדיוק מה ממודל. השדות לעולם אינם משתנים ואינם מחליפים סדר, כך שאפשר לסרוק אותם. זהו המפרט ממודול המתנד ההרמוני הפשוט:

מפרט מודל

מערכת: מסה נקודתית $m$ על קפיץ לינארי חסר מסה בעל קשיחות $k$ , הנעה בממד אחד; הגדלים הנצפים הם מיקום, מהירות והאנרגיות.
דינמיקה: החוק השני של ניוטון עם הכוח המחזיר של הוק, $m\ddot{x} = -kx$ , המשולב נומרית בסכמת velocity-Verlet עם צעד זמן קבוע.
גבול: אין — המסה נעה על ישר אינסופי ודבר אינו מוחלף עם דבר.
צבר: מסלול דטרמיניסטי יחיד לכל בחירה של $(x_0, v_0)$ ; היכן שמתווסף רעש מדידה הוא גאוסי, בלתי תלוי, ובעל זרע קבוע.
מוזנח: מסת הקפיץ, אי-לינאריות במתיחה גדולה, ריסון פנימי, והעולם התלת-ממדי שבו תלוי הקפיץ האמיתי.
תקף כאשר: ההעתקים נשארים בתחום הלינארי של הקפיץ האמיתי וצעד הזמן קטן היטב מזמן מחזור התנודה.
אופני כשל: משרעות גדולות דיין כדי לחוש באי-לינאריות של הקפיץ, צעדי זמן סמוכים לגבול היציבות או מעליו, וכל שאלה על היכן מסתיימת בסופו של דבר אנרגיית התנודה.

שני השדות שסטודנטים מדלגים עליהם הם השניים שכדאי לקרוא. מוזנח אומר למה המודל עיוור, ושם תשובותיו תהיינה שגויות. אופני כשל נוקב בתחומים שבהם הוא חדל להיות תיאור שימושי כלל — ושאלת בחינה השואלת “מתי זה מתמוטט?” מבקשת מכם לשחזר את השדה הזה.

הצורה של מודול¶

כל עמוד מודול מטפס באותם ארבעה שלבים, ואפשר להיכנס ולצאת בשלב שמתאים לכם.

פתיחה — חידה פיזיקלית, וניבויים שאתם מתחייבים אליהם לפני כל משוואה. ללא שום ידע מוקדם.
ליבה — המעבדה, הגזירה והבדיקה החישובית. זהו עמוד השדרה הרלוונטי לבחינה, וזה החלק שכדאי לעבוד דרכו עם עט.
ביסוס — העברה להקשרים אחרים, חידונים, שאלות ברמת בחינה ושאלות רפלקסיה.
מתקדם — חומר מעמיק, המסומן תמיד בתיבה שלמטה ותמיד אחרון.

סימולציה לעולם אינה מוכיחה¶

סימולציה היא ניסוי נומרי על מודל. היא יכולה להראות לכם שתוצאה סבירה, לחשוף היכן האינטואיציה שלכם שגויה, ולתפוס שגיאות אלגברה. היא אינה יכולה לבסס זהות, מפני שהיא בחנה רק מספר סופי של מקרים של מודל מסוים אחד.

חלוקת העבודה שהקורס הזה דבק בה:

גזירות מבססות. זהות היא אמיתית מפני שהיא נובעת מהנחות מוצהרות.
סימולציות ממחישות ובודקות. הן הופכות תוצאה לגלויה לעין והן תופסות טעויות.
ניסויים מכריעים. האם מודל מתאר את העולם אינה שאלה שמתמטיקה או חישוב יכולים לענות עליה.

כאשר עמוד אומר “תדירות התהודה שהותאמה היא $0.994\,\wnat$ ”, זוהי תצפית נומרית על מודל. כאשר הוא אומר “משרעת של מתנד מאולץ מגיעה לשיא מתחת לתדירותו העצמית בכל פעם שיש ריסון”, זהו משפט. הראשונה היא ראיה לכך שהשני מומש נכון. היא אינה הסיבה לכך שהשני נכון.