המתנד ההרמוני הפשוט - WaveLab

החידה: השעון שמתעלם מכוח הדחיפה¶

בסביבות שנת 1602 מדד גלילאו את תנודות מנורת הברונזה המתנדנדת בקתדרלה של פיזה מול הדופק שלו, והבחין בדבר אבסורדי: ככל שהתנודה דעכה מקשתות רחבות לקשתות צרות, הזמן לכל תנודה לא השתנה. דחפו נדנדה של ילד בחוזקה או בעדינות — המסע הלוך ושוב אורך את אותו זמן. שעוני מטוטלת שמרו על זמנה של הציוויליזציה במשך שלוש מאות שנה בדיוק על סמך האבסורד הזה.

זה נעשה מוזר עוד יותר. תלו מסה על קפיץ: אותה התנהגות. הרטט של מולקולת CO $_2$ , גלישת המטען הלוך ושוב במעגל LC, קולן, בניין המתנדנד ברוח — עקומה אחת, $\cos$ , בכל מקום, וזמן מחזור שמסרב להתעניין בגודל התנועה.

התשובה לשאלה השנייה היא פיתוח טיילור יחיד, וזו הסיבה שהמודול הזה — המערכת הפיזיקלית הקטנה ביותר בקורס — הוא היסוד לכל דבר, עד כדי ועד בכלל הלייזר.

לנבא לפני שמחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת מהשאלות הבאות לפני שתריצו משהו. רשמו אותן.

מסה על קפיץ נמשכת עד $2x_0$ במקום עד $x_0$ ומשוחררת. זמן המחזור — ארוך יותר, קצר יותר, או זהה? המהירות המרבית — כיצד היא משתנה?
אתם מכפילים את המסה פי שניים בעוד הקפיץ קבוע. האם התנודה מואצת או מואטת, ובאיזה גורם?
באיזה שלב במחזור נעה המסה מהר ביותר — בקצוות התנודה, במרכז, או אי-שם בין לבין? היכן התאוצה שלה הגדולה ביותר?
במהלך מחזור אחד, האנרגיה המכנית הכוללת: קבועה, מתנודדת בקצב זמן המחזור, או מתנודדת בקצב כפול מזמן המחזור?

לחקור את המודל¶

מחברת המעבדה של המודול הזה מנפישה את המסה, ולצידה משרטטת את שלוש העקומות שהקורס יבקש מכם לראות כדבר אחד: מיקום ומהירות בזמן, חילופי האנרגיה הקינטית/פוטנציאלית, ומסלול התנועה במרחב הפאזה — המישור $(x, v)$ , שבו כל התנועה היא אליפסה יחידה הנסרטת בכיוון השעון.

מסה על קפיץ לצד הגרפים שלה. משמאל: התנועה הפיזיקלית. באמצע: $x(t)$ ו- $v(t)$ , רבע מחזור לא בקנה אחד. מימין: האנרגיה, גולשת הלוך ושוב בין קינטית לפוטנציאלית פעמיים במחזור, בעוד הסכום נותר שטוח. האנימציה נוצרת מאותו קוד wavelab.oscillators שאתם יכולים להריץ ולקרוא.

אותה תנועה כנקודה יחידה הנעה במרחב הפאזה $(x, v)$ . המסלול הוא אליפסה — אנרגיה קבועה — הנסרטת בכיוון השעון; משרעות גדולות יותר נותנות אליפסות גדולות יותר, דומות גיאומטרית, הנסרטות באותו זמן מחזור.

מפרט המודל

מערכת: מסת נקודה $m$ על קפיץ ליניארי חסר מסה בעל קבוע קפיץ $k$ , הנעה בממד אחד; המדידים הם המיקום, המהירות והאנרגיות.
דינמיקה: חוק ניוטון השני עם הכוח המחזיר של הוק, $m\ddot{x} = -kx$ , המשולב נומרית בסכימת velocity-Verlet עם צעד זמן קבוע.
שפה: אין — המסה נעה על ישר אינסופי ושום דבר אינו מוחלף עם דבר.
אנסמבל: מסלול דטרמיניסטי יחיד עבור כל בחירה של $(x_0, v_0)$ ; במקום שבו מוסף רעש מדידה, הוא גאוסי, בלתי תלוי ובעל זרע קבוע.
מוזנח: מסת הקפיץ, אי-ליניאריות בהתמתחות גדולה, ריסון פנימי, והעולם התלת-ממדי שבו תלוי הקפיץ האמיתי.
תקף כאשר: ההזזות נותרות בתחום הליניארי של הקפיץ האמיתי וצעד הזמן קטן משמעותית מזמן המחזור של התנודה.
אופני כשל: משרעות גדולות מספיק כדי לחוש את אי-הליניאריות של הקפיץ, צעדי זמן קרובים לגבול היציבות או מעליו, וכל שאלה על לאן מגיעה בסופו של דבר אנרגיית התנודה.

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו לכאן. שלושה דברים שכדאי לעשות לפני שממשיכים לקרוא:

הכפילו את משרעת השחרור ומדדו את זמן המחזור מהגרף. לאחר מכן הכפילו את המסה ומדדו שוב.
צפו בפאנל האנרגיה במהלך מחזור מלא אחד וספרו כמה פעמים האנרגיה הקינטית מגיעה לשיא.
שחררו את המסה מ- $x_0$ עם מהירות התחלתית קטנה וצפו במה שמשתנה באליפסת מרחב הפאזה.

לגזור את התוצאה¶

מערכת. מסה $m$ על קפיץ בעל קבוע קפיץ $k$ ; $x$ מודד את ההזזה משיווי המשקל.

משוואת התנועה. חוק הוק נותן את הכוח המחזיר $F = -kx$ , ולכן חוק ניוטון השני נותן

m\ddot{x} = -kx \qquad\Longleftrightarrow\qquad \ddot{x} = -\wnat^2\, x, \qquad \wnat \equiv \sqrt{\frac{k}{m}} .

(1)

הפתרון. הפתרון היחיד עם מיקום התחלתי $x_0$ ומהירות התחלתית $v_0$ הוא

x(t) = A\cos(\wnat t + \varphi), \qquad A = \sqrt{x_0^2 + (v_0/\wnat)^2}, \qquad \varphi = \operatorname{atan2}(-v_0/\wnat,\; x_0),

(2)

כפי שניתן לבדוק בהצבה — ובשפת הפאזורים, זהו החץ של מודול 00 באורך $A$ ובזווית $-\varphi$ , המסתובב בקצב $\wnat$ .

האיזוכרוניות. כל מה שהחידה שאלה נראה כעת במקום אחד: התדירות הזוויתית $\wnat = \sqrt{k/m}$ מכילה את המסה ואת קבוע הקפיץ — ולא את המשרעת. הכפלת משרעת השחרור מכפילה את המרחק שעל המסה לעבור, אך הכוח המחזיר בכל שלב של המסע מוכפל אף הוא, ושני האפקטים מתקזזים בדיוק. הקיזוז הזה מיוחד לחוק הכוח הליניארי: הוא אינו תכונה של תנודה באופן כללי, אלא של $F \propto -x$ .

המהירות והפיגור ברבע מחזור. בגזירה, $v(t) = -A\wnat\sin(\wnat t + \varphi)$ : המהירות גדולה ביותר כאשר המסה חוצה את המרכז, ואפס בנקודות ההיפוך — המהירות מקדימה את המיקום ברבע מחזור.

אנרגיה. האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית הן

K = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12 k A^2 \sin^2(\wnat t + \varphi), \qquad U = \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2 \cos^2(\wnat t + \varphi),

(3)

שסכומן קבוע, $E = \tfrac12 k A^2$ , בעוד כל אחת מהן מתנודדת — שימו לב, דרך $\sin^2$ ו- $\cos^2$ — בתדירות כפולה מהתדירות העצמית: האנרגיה הקינטית מגיעה לשיא פעמיים בכל תנודה, פעם אחת בכל חצייה של המרכז. במרחב הפאזה האנרגיה הקבועה היא האליפסה $\wnat^2 x^2 + v^2 = \wnat^2 A^2$ .

אוניברסליות. מדוע המערכת האחת הזו נמצאת בכל מקום? קחו כל פוטנציאל $U(x)$ עם שיווי משקל יציב ב- $x_e$ ובצעו פיתוח טיילור:

U(x) = U(x_e) + \tfrac12 U''(x_e)\,(x - x_e)^2 + \mathcal{O}\big((x-x_e)^3\big).

(4)

האיבר הליניארי מתאפס משום ש- $x_e$ הוא שיווי משקל; הקבוע אינו רלוונטי; ומה שנותר, קרוב מספיק ל- $x_e$ , הוא קפיץ עם $k = U''(x_e)$ .

אימות חישובי¶

גזירת נוסחה ואמון בה הם שני דברים שונים. המעבדה בודקת את התוצאות נומרית, וכל בדיקה היא גם מבחן בחבילת הבדיקות של הפרויקט, כך שהטענות בעמוד הזה אינן יכולות להירקב בשקט.

1. הצורה הסגורה. אינטגרציית velocity-Verlet של $m\ddot{x} = -kx$ מול $A\cos(\wnat t + \varphi)$ : באלף צעדים למחזור השניים מתלכדים בדיוק טוב יותר מחלק אחד מ-10³ על פני עשרים מחזורים.

2. שימור האנרגיה. על פני מאה מחזורים שגיאת האנרגיה של המשלב נותרת חסומה, מתנודדת במשרעת יחסית $(\wnat\,\Delta t)^2/4$ — היא אינה נסחפת.

3. איזוכרוניות, נמדדת. התאימו את זמן המחזור עבור משרעות שחרור הפרוסות על פני גורם עשר: זמני המחזור המותאמים מתלכדים בתוך אי-הוודאות של ההתאמה.

4. מדידה רועשת. הניסוי האחרון של המעבדה מתייחס לסימולציה כאל מכשיר מדידה: רעש גאוסי מוסף למסלול, קוסינוס מותאם, והתדירות העצמית משוחזרת כ-\wnat_{\text{fit}} \pm \sigma — ומתלכדת עם $\sqrt{k/m}$ בתוך שלוש שגיאות תקן, על פני שמונה זרעים אקראיים בלתי תלויים. לא $\wnat = 4.000000$ : $\wnat = 4.001 \pm 0.001$ . ההרגל הזה הוא תרבות המדידה של הקורס, והוא מתחיל כאן.

להעביר את הרעיון¶

המטוטלת. עבור זוויות קטנות, $\sin\theta \approx \theta$ הופך את משוואת המטוטלת למשוואת מתנד עם $\wnat = \sqrt{g/\ell}$ — ללא מסה, וזו כשלעצמה הפתעה מפורסמת.
מעגל ה-LC. מטען על קבל המתפרק דרך משרן מקיים $L\ddot{q} = -q/C$ : אותה משוואה עם $m \to L$ , $k \to 1/C$ . תהודה חשמלית היא המודול הזה עם סימונים ששונו.
רטטים מולקולריים. הקשר של CO $_2$ בקרבת אורכו בשיווי משקל הוא עמק; $U''$ בתחתיתו קובע את תדירויות בליעת האינפרה-אדום — כך מזהים אסטרונומים מולקולות שלעולם לא יגעו בהן.
פונונים והמתנד הקוונטי. גבישים הם סריגים של מתנדים מצומדים (מודול 06 הופך זאת למילולי), והמתנד ההרמוני הקוונטי — רמות אנרגיה $\hbar\wnat(n + \tfrac12)$ — יורש כל מבנה שנבנה כאן.

בדקו את הבנתכם¶

מסה על קפיץ נמשכת למרחק כפול משיווי המשקל מבעבר, ומשוחררת. מה קורה לזמן המחזור של התנודה?
A. הוא אינו משתנה — זמן המחזור אינו תלוי במשרעת. B. הוא מוכפל — למסה יש פי שניים מרחק לכסות. C. הוא נחצה — הכוח הגדול יותר מטלטל את המסה מהר יותר. D. הוא גדל בגורם sqrt(2).
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — הוא אינו משתנה — זמן המחזור אינו תלוי במשרעת.
- A. נכון: omega0 = sqrt(k/m) אינו מכיל משרעת. למסה יש פי שניים מרחק לעבור, אך הכוח המחזיר מוכפל בכל שלב של המסע, ושני האפקטים מתקזזים בדיוק. הקיזוז הזה מיוחד לחוק הכוח הליניארי.
- B. אכן יש לה פי שניים מרחק — ופי שניים כוח לאורך כל הדרך, ומכאן מהירויות גבוהות יותר באופן פרופורציוני. עבור F = -kx הקיזוז מדויק. (עבור מטוטלת בזוויות גדולות הוא אינו מדויק, וזמן המחזור אכן גדל.)
- C. שמרתם על הכוח החזק יותר אך ויתרתם על המסלול הארוך יותר. שני האפקטים קיימים, ועבור קפיץ ליניארי הם מתקזזים בזהות, ומשאירים את זמן המחזור בדיוק כפי שהיה.
- D. זה היה נכון אילו זמן המחזור השתנה כשורש המרחק, כמו בנפילה חופשית. מתנד אינו נפילה חופשית: הכוח גדל עם ההזזה, והמשרעת נעלמת לגמרי מתוך זמן המחזור.
המסה על הקפיץ מוחלפת במסה כבדה פי ארבעה, אותו קפיץ, אותה נקודת שחרור. מה קורה לזמן המחזור?
A. הוא מוכפל. B. הוא מוכפל פי ארבעה. C. הוא אינו משתנה — זמן המחזור הוא תכונה של הקפיץ בלבד. D. הוא נחצה — יותר מסה משמעה יותר תנע דרך תחתית התנודה.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — הוא מוכפל.
- A. T = 2 pi sqrt(m/k), ולכן מסה כבדה פי ארבעה נותנת זמן מחזור כפול. כבד יותר משמעו איטי יותר: אותו כוח מייצר תאוצה קטנה יותר, וכל שלב במחזור אורך זמן רב יותר בגורם sqrt(4) = 2.
- B. זמן המחזור משתנה כשורש המסה, לא באופן ליניארי: האינרציה נכנסת דרך a = F/m בתוך מחזור שאורכו גם הוא מתכוונן מחדש. sqrt(4) = 2, ולכן זמן המחזור מוכפל.
- C. הקפיץ קובע רק חצי מהסיפור. זמן המחזור נקבע על ידי משיכת החבל בין קבוע הקפיץ (המזרז את החזרה) לבין האינרציה (המתנגדת לה): T = 2 pi sqrt(m/k) מכיל את שניהם.
- D. באותה משרעת המסה הכבדה יותר נעה לאט יותר, לא מהר יותר: היא נושאת יותר אינרציה עבור אותו כוח מחזיר. זמן המחזור גדל עם המסה; הוא אינו מתכווץ.
באיזו נקודה במחזור נעה מסה מתנודדת מהר ביותר, ובאיזו התאוצה שלה הגדולה ביותר?
A. מהר ביותר בנקודת שיווי המשקל; התאוצה הגדולה ביותר בנקודות ההיפוך. B. מהר ביותר בנקודות ההיפוך, שם הכוח עליה הגדול ביותר. C. גם המהירות וגם התאוצה גדולות ביותר בנקודת שיווי המשקל. D. המהירות זהה בכל מקום; רק הכיוון משתנה.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — מהר ביותר בנקודת שיווי המשקל; התאוצה הגדולה ביותר בנקודות ההיפוך.
- A. נכון, ושתי התשובות ממוקמות בכוונה בקצוות מנוגדים: המהירות מגיעה לשיא במקום שבו כל האנרגיה קינטית (x = 0, כוח אפס), התאוצה מגיעה לשיא במקום שבו הקפיץ מתוח ביותר (x = +/-A, מהירות אפס). המהירות מקדימה את המיקום ברבע מחזור.
- B. זה מבלבל בין כוח למהירות. בנקודות ההיפוך הכוח אכן גדול ביותר — אך המסה נמצאת שם במנוחה רגעית; זו בדיוק המשמעות של “נקודת היפוך”. כוח גדול משמעו תאוצה גדולה, והמהירות שהיא בונה מגיעה לשיא רבע מחזור מאוחר יותר, במרכז.
- C. מהירות, כן; תאוצה, לא. בשיווי משקל הקפיץ אינו מתוח, ולכן הכוח — ואיתו התאוצה — הוא בדיוק אפס שם, גם כאשר המסה טסה דרכו במהירות המרבית.
- D. זה מתאר תנועה מעגלית אחידה, לא תנודה לאורך ישר. כאן המסה נעצרת שוב ושוב בקצוות ומהירותה מרבית במרכז — המהירות משתנה בין אפס לבין omega0 כפול המשרעת.
במהלך מחזור מלא אחד של מתנד בלתי מרוסן, כיצד מתנהגות האנרגיה הקינטית K, האנרגיה הפוטנציאלית U, והסכום E = K + U?
A. K ו-U מתנודדות כל אחת בתדירות כפולה מהתדירות העצמית; E נשארת קבועה בדיוק. B. כל שלוש מתנודדות יחד בתדירות העצמית. C. K ו-U מתנודדות בתדירות העצמית; E קבועה. D. E יורדת בהדרגה ככל שהיא מתחלקת הלוך ושוב בין K ל-U.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — K ו-U מתנודדות כל אחת בתדירות כפולה מהתדירות העצמית; E נשארת קבועה בדיוק.
- A. נכון. K מתנהגת כמו sin^2 ו-U כמו cos^2 של (omega0 t + phi): כל אחת מגיעה לשיא פעמיים במחזור — הקינטית בכל חצייה של המרכז, הפוטנציאלית בכל קצה — בעוד סכומן נעוץ ב-(1/2) k A^2. קבוע הבנוי משני חלקים מתנודדים.
- B. אילו E הייתה מתנודדת, האנרגיה הייתה צריכה לזרום לאנשהו מחוץ למערכת המסה-קפיץ — אך אין ריסון ואין הנעה. החילוף כולו פנימי, K מול U, וסכומן אינו יכול לנוע.
- C. E אכן קבועה, אך בדקו את קצב החילוף: המסה עוברת דרך המרכז (K מרבית) פעמיים במחזור, פעם אחת בכל כיוון. sin^2 ו-cos^2 חוזרות על עצמן בתדירות כפולה מהתדירות הבסיסית.
- D. חלוקה אינה בזבוז. המרת אנרגיה קינטית לפוטנציאלית ובחזרה היא חסרת אובדן במודל הזה; ירידה מחייבת כוח מפזר, וזהו איבר הריסון של מודול 02, שאינו נוכח כאן.
עגלה בעלת מסה 0.5 ק"ג על קפיץ בעל קבוע קפיץ 8.0 N/m מוכה בנקודת שיווי המשקל שלה, ומקבלת מהירות 0.20 מ’/שנייה. לאיזו משרעת (במטרים) מגיעה התנודה?
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 0.05 (± 0.005)
omega0 = sqrt(8.0/0.5) = 4.0 rad/s, ובהתחלה מ-x0 = 0 המשרעת היא A = v0/omega0 = 0.20/4.0 = 0.05 m. כל האנרגיה ההתחלתית קינטית; A היא הנקודה שבה הקפיץ ספג את כולה.
מדוע מערכות שונות כל כך כמו מולקולות, גשרים ומעגלים כולן מתנודדות הרמונית כאשר הן מופרעות מעט?
A. בקרבת כל שיווי משקל יציב, האנרגיה הפוטנציאלית היא בקירוב פרבולית — פיתוח טיילור שלה מתחיל באיבר הריבועי. B. כי רוב המערכות הפיזיקליות מכילות פשוטו כמשמעו קפיץ או איבר אלסטי. C. הן אינן — כל מערכת פשוט נקרית להתאים היטב לקוסינוס. D. כי שימור האנרגיה מכריח כל תנועה חסומה להיות סינוסואידלית.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — בקרבת כל שיווי משקל יציב, האנרגיה הפוטנציאלית היא בקירוב פרבולית — פיתוח טיילור שלה מתחיל באיבר הריבועי.
- A. בדיוק. בשיווי משקל האיבר הליניארי של U(x) מתאפס, ולכן האיבר הראשון ששורד הוא (1/2) U’‘(x_e) x^2 — קפיץ עם k = U’'(x_e), יהא אשר יהא המנגנון הבסיסי. כל עמק חלק הוא פרבולה בתחתיתו.
- B. מעגל LC אינו מכיל שום חומר אלסטי בכלל, ובכל זאת מתנודד הרמונית. האוניברסליות היא מתמטית — תכונה של שיווי משקל יציב של פוטנציאלים חלקים — לא עובדה על קפיצים כחומרה.
- C. ההתאמה נגזרת, לא מקרית: פתחו כל פוטנציאל חלק סביב מינימום יציב, והאיבר ההרמוני שולט עבור הזזות קטנות. הקוסינוס הוא תוצאה, בעלת תחום תוקף מוצהר.
- D. שימור האנרגיה חוסם את התנועה אך אינו מעצב אותה: מטוטלת בזווית גדולה משמרת אנרגיה ואינה סינוסואידלית באופן נראה לעין. תנועה סינוסואידלית זקוקה לכוח מחזיר ליניארי, שרק גבול ההזזה הקטנה מספק.

שאלות ברמת בחינה עבור המודול הזה — אלה שכדאי לפתור עם עט — מרוכזות בדף השאלות.

להסביר במילים שלכם¶

ענו על כל אחת בכמה משפטים. אלה השאלות שחושפות אם הרעיונות נקלטו; שום מספר לא יציל אתכם.

הסבירו לילד בן עשר על נדנדה מדוע התנדנדות גבוהה יותר אינה משנה כמה זמן אורכת כל תנודה — ונקבו בהנחה הנסתרת שנשברת בסופו של דבר עבור תנודות גבוהות מאוד.
סטודנט אומר: “המסה נעה הכי מהר בקצוות התנודה, כי שם הכוח הכי גדול.” התירו את שני הרעיונות שהמשפט הזה מבלבל ביניהם.
מדוע האנרגיה הקינטית מגיעה לשיא פעמיים במחזור, בעוד המיקום מגיע לשיא פעם אחת?
מד התאוצה בטלפון שלכם, גשר, ואטום צזיום בשעון אטומי הם כולם מתנדים. במשפט אחד לכל אחד: מהו ה"קפיץ", ומהי ה"מסה"?

מתקדם: כאשר הפרבולה נכשלת¶

הווידוי של המטוטלת. זמן המחזור המדויק של המטוטלת גדל עם המשרעת:

T(\theta_0) = T_{\text{small}} \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \frac{11\,\theta_0^4}{3072} + \cdots\right).

(5)

ב- $\theta_0 = 20°$ התיקון קטן מ- $1\%$ — לדופק של גלילאו לא היה סיכוי לגלות זאת — אך ב- $90°$ זמן המחזור ארוך יותר בכ- $18\%$ . האיזוכרוניות הייתה תמיד קירוב; החקירה האחרונה של המעבדה משלבת את המטוטלת המדויקת ומאפשרת לכם לצפות בקירוב גווע. הערת שוליים היסטורית: הויגנס ידע על כך, ושילב במנגנוני השעונים שלו לחיים ציקלואידיות שהפכו את זמן המחזור לבלתי תלוי במשרעת באופן מדויק — תיקון ההפרעה הראשון בתולדות ההנדסה.

אי-הרמוניות כחזית מחקר. שמרו על האיבר הקוביתי שפיתוח טיילור השמיט, ותדירות התנודה מתחילה להיות תלויה במשרעת, הרמוניות של $\wnat$ מופיעות בתנועה, ומתנדים שכנים יכולים להחליף אנרגיה בדרכים חדשות. זה אינו פגם: התפשטות תרמית של מוצקים, אופן פעולתה של מסרקת תדירויות אופטית, וכל תחום האופטיקה הלא-ליניארית (מודול 51) חיים באיברים המושמטים האלה.

שתי תמונות משומרות. אליפסת האנרגיה של המודול הזה היא המקרה $N = 1$ של דפוס עמוק יותר: מסלולי מרחב הפאזה של מערכות משמרות מתפצלים לעקומות בלתי-משתנות מקוננות. כאשר מודולים 06–07 מצמדים מתנדים רבים, האליפסה הופכת לטורוס, והתמרת האופנים הנורמליים היא שינוי הקואורדינטות שמתיר אותה — הצל הקלאסי של מה שמכניקת הקוונטים תכנה אלכסון ההמילטוניאן.