דף שאלות — ריסון, תהודה ומקדם הטיב

דף שאלות: ריסון, תהודה ומקדם הטיב¶

שאלות ברמת בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שאתם נוגעים במחשב; שתי האחרונות נועדו להסתיים נומרית. פתרונות ומחווני בדיקה נמצאים בחומר למרצה ובמכוון אינם באתר הזה.

לאורך כל הדף, $\gamma \equiv b/m$, ולכן משרעות דועכות כ-$e^{-\gamma t/2}$ ו- $Q = \wnat/\gamma$. אם אתם משווים לספר לימוד שמגדיר $\gamma = b/2m$, ציינו זאת בפתרון והמירו פעם אחת, בהתחלה.

שאלה 1 — סיווג דעיכה¶

עגלה במסה $0.50\ \mathrm{kg}$ על קפיץ בעל קבוע $8.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ משוחררת מ- $x_0 = 0.10\ \mathrm{m}$ ממנוחה. מקדם הריסון הוא $b = 0.20\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$.

(א) חשבו את $\wnat$, $\gamma$, $\omega_d$ ו-$Q$. באיזה משטר מדובר, ובאיזה מרווח ביטחון?

(ב) בכמה ירדה המשרעת לאחר עשר תנודות מלאות? לאחר כמה תנודות ירדה האנרגיה ל-$1\%$ מערכה ההתחלתי?

(ג) איזה ערך של $b$ היה הופך את המערכת הזו לבעלת ריסון קריטי? הראו שבערך הזה הפתרון $(C + Dt)e^{-\wnat t}$ הוא מה שהצורה של תת-הריסון הופכת להיות כאשר $\omega_d \to 0$, ולא מקרה נפרד המוברג מבחוץ.

(ד) מתנד בעל ריסון-יתר חוצה את $x = 0$ לכל היותר פעם אחת. הוכיחו זאת מהפתרון הכללי $c_+e^{r_+t} + c_-e^{r_-t}$ כאשר $r_\pm$ שניהם ממשיים ושליליים.

שאלה 2 — השיא שאינו במקום שציפיתם¶

(א) החל מ-$m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = F_0\cos\omega t$, הציבו $x = \Real\!\left[X e^{-\ii\omega t}\right]$ וגזרו את $X = (F_0/m)/(\wnat^2 - \omega^2 - \ii\gamma\omega)$ בשלוש שורות. ציינו במדויק היכן נכנסה ההנחה “תגובת המעבר מתה”.

(ב) מקסמו את $|X|$ וקבלו $\omega_{\text{peak}} = \wnat\sqrt{1 - 1/(2Q^2)}$. הראו שמקסימום ממשי קיים רק עבור $Q > 1/\sqrt{2}$, ואמרו במילים כיצד נראית עקומת התגובה מתחת לסף הזה.

(ג) הראו ש-$|X(\wnat)| = Q\,F_0/k$ במדויק — ללא כל קירוב — ושפיגור המופע שם הוא בדיוק $\pi/2$ יהא הריסון אשר יהא.

(ד) מהנדס מבנים מדווח כי “תדירות התהודה של גשר ההולכים הזה היא $1.85\ \mathrm{Hz}$” מתוך מבחן כוח סרוק, ובנפרד מודד $Q = 25$ מדעיכה חופשית. בכמה שונה ה-$\wnat$ של הגשר מהערך המדווח? האם המהנדס שגה בכך שערבב ביניהם?

שאלה 3 — מאזן אנרגיה בתהודה¶

(א) הראו שהאנרגיה של מתנד חופשי מרוסן חלשות דועכת כ-$e^{-\gamma t}$, ולכן $Q = 2\pi E / |\Delta E|_{\text{per cycle}}$ מצטמצם ל-$\wnat/\gamma$. היכן בגזירה הזו הזדקקתם ל-$Q \gg 1$?

(ב) עבור המצב המתמיד המונע, חשבו את הממוצע למחזור של ההספק שההנעה מספקת, $\langle F\dot{x}\rangle$, והראו שהוא שווה ל-$\langle b\dot{x}^2\rangle$. אשרו שהתוצאה היא $\tfrac12\gamma m\omega^2|X|^2$.

(ג) הראו שההספק הזה מגיע לשיא בדיוק ב-$\wnat$ עבור כל ריסון, והסבירו את ההבדל הפיזיקלי בין הטענה הזו לתוצאת שאלה 2(ב). איזו מהשתיים ידווח מיקרופון המודד עוצמת קול?

(ד) בקרבת התהודה, צמצמו את $\langle P\rangle$ ללורנציאן וזהו את רוחבו המלא בחצי הגובה. לגביש קוורץ ב-$32\,768\ \mathrm{Hz}$ יש $Q = 10^5$: מהו רוחב הפס שלו בחצי ההספק בהרץ, וכמה זמן הוא מצלצל לאחר הכאה?

שאלה 4 — התרגום ל-RLC¶

מעגל טורי מכיל $L = 10\ \mathrm{mH}$, $C = 100\ \mathrm{nF}$ ו-$R = 20\ \Omega$, ומונע על ידי $V(t) = V_0\cos\omega t$.

(א) כתבו את המשוואה עבור המטען $q$ על הקבל וזהו את המקבילה המכנית של כל איבר. מה ממלא את תפקיד המסה, של הריסון, של קבוע הקפיץ?

(ב) חשבו את תדירות התהודה בהרץ, את $Q$, ואת רוחב הפס בחצי ההספק. האם המעגל הזה טוב מספיק כדי להפריד בין שתי תחנות AM המרוחקות $10\ \mathrm{kHz}$ זו מזו סביב $1\ \mathrm{MHz}$?

(ג) עליכם להכפיל את $Q$ מבלי לשנות את תדירות התהודה. תנו שתי דרכים שונות, וציינו מחיר מעשי אחד של כל אחת.

(ד) הזרם, לא המטען, הוא מה שמקלט מודד. באיזו תדירות משרעת הזרם גדולה ביותר, ומדוע זו אינה אותה שאלה כמו (ב)?

שאלה 5 — תהודה במבחן, נומרית¶

בעזרת wavelab.oscillators (במעבדת הדפדפן או מקומית):

(א) חשבו עקומות תגובת משרעת עם steady_state_response עבור $Q = 0.6$, 1.0, 3.0 ו-20. אתרו כל מקסימום נומרית ושרטטו את $\omega_{\text{peak}}/\wnat$ מול $1/Q^2$ לצד הקו החזוי. באיזה מארבעת הערכים שלכם נעלם השיא, והאם המקסימום הנומרי מזהיר אתכם או נכשל בשקט?

(ב) שלבו ממנוחה בתהודה מדויקת עם simulate ב-$Q = 10$. חלצו את מעטפת המשרעת והשוו אותה ל- $Q(F_0/k)\left(1 - e^{-\gamma t/2}\right)$. כמה מחזורים חולפים עד שהמשרעת נמצאת בתוך $5\%$ מערכה הסופי, וכיצד זה מתייחס ל-$Q/\pi$?

(ג) חזרו על (ב) ב-$Q = 40$. אשרו שמשרעת המצב המתמיד גדולה פי ארבעה ושההגעה אליה אורכת פי ארבעה זמן. כתבו שני משפטים על מה שהמחיר הזה אומר עבור מקלט רדיו, כלי נגינה ובולם זעזועים.

שאלה 6 — אתגר: תכנון בולם זעזועים¶

מרכב מכונית במשקל $400\ \mathrm{kg}$ לכל גלגל יושב על קפיץ שנבחר כך שהתדירות העצמית הבלתי מרוסנת של המתלה היא $1.2\ \mathrm{Hz}$. פגיעה במדרכה מזיזה אותו ב-$8\ \mathrm{cm}$; הנסיעה נחשבת סבירה ברגע שההזזה נשארת בתוך $1\ \mathrm{mm}$.

(א) חשבו את זמן ההתייצבות ל-$1\ \mathrm{mm}$ כפונקציה של $b$, עבור $b$ מהרבה מתחת לקריטי עד הרבה מעליו, ומצאו את הערך הממזער אותו.

(ב) תגלו שהאופטימום נמצא מעט מתחת לריסון הקריטי, לא בדיוק בו. הסבירו מדוע — מה קונה כמות קטנה של חריגה מעבר לשיווי המשקל?

(ג) מתלים אמיתיים מכווננים קרוב יותר ל-$Q \approx 1$ מאשר לאופטימום זמן ההתייצבות. נקבו בדבר אחד שהמודל שלמעלה מזניח ושעשוי להסביר את ההפרש, ואמרו איזה סעיף מפרט בעמוד המודול מתיר את ההזנחה הזו.