ריסון, תהודה ומקדם הטיב - WaveLab

החידה: התו ששובר את הכוס¶

זמרת מחזיקה תו אחד ממושך, וכוס יין בצידו האחר של החדר מתנפצת. אותה זמרת, באותה עוצמה בדיוק, טון אחד למעלה או למטה — כלום. לא הרס חלש יותר: אין הרס. הכוס אדישה כמעט לכל צליל בעולם, ורגישה עד מוות לאחד.

מודול 01 נתן לכם מתנד שמתעלם מעוצמת הדחיפה. המודול הזה רגיש להפליא לתזמון הדחיפה, וזהו אותו מתנד בדיוק. לא נוסף דבר מלבד איבר של אובדן אנרגיה ויד בקצה השני.

החלק השני של החידה הוא המקום שבו נמצאת הפיזיקה. אילו התגובה בתדירות הנכונה הייתה באמת בלתי חסומה, כל גשר היה קורס וכל מקלט רדיו היה קולט את כל התחנות בבת אחת. משהו סופי פועל כאן, ומתברר שזה אותו משהו שגורם לכוס שהוכתה להשתתק בסופו של דבר.

לנבא לפני שמחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת מהשאלות הבאות לפני שתריצו משהו. רשמו אותן.

אתם דוחפים מסה על קפיץ קדימה ואחורה לאט מאוד — הרבה מתחת לתדירות העצמית שלה. האם המסה נעה בקנה אחד עם ידכם, בניגוד לה, או ברבע מחזור אחריה? ומה קורה בדחיפה מהירה מאוד?
כאשר אתם סורקים את תדירות ההנעה, התגובה מגיעה לשיא היכנשהו. האם השיא נמצא מתחת, בדיוק ב, או מעל התדירות העצמית $\wnat$ ?
אתם מניעים בדיוק ב- $\wnat$ ולעולם לא מפסיקים. האם המשרעת גדלה ללא גבול?
אתם מכפילים את הריסון. מה קורה למספר המחזורים הנראים לעין לאחר שחרור יחיד, ומה קורה לרוחב שיא התהודה? האם שתי התשובות קשורות זו לזו?

לחקור את המודל¶

שתי אנימציות, שתיהן נוצרו מאותו קוד wavelab.oscillators שהמעבדה מריצה.

אותו מתנד משוחרר ממנוחה, שוב ושוב, בעוד הריסון נסרק ברציפות מקל מאוד לכבד מאוד. משמאל: התנועה, בתוך המעטפת הדועכת שלה. מימין: אותה היסטוריה במרחב הפאזה, האליפסה הסגורה של מודול 01 נפרמת לספירלה ולבסוף לעקומה שאינה משלימה אף סיבוב. הסימן הירוק על הסרגל העליון הוא הריסון הקריטי — שימו לב ששום דבר לא רציף אינו מתרחש כאשר הסריקה חוצה אותו. המערכת אינה משנה את טיבה; פשוט נגמרים לה המחזורים.

הנעה המורמת לאט דרך התהודה. משמאל: תנועת המצב המתמיד (כחול) מול ההנעה (אפור) — צפו בפיגור גדל מאפס, דרך רבע מחזור, עד חצי מחזור, כך שהרבה מעל התהודה המסה נעה כנגד היד הדוחפת אותה. מימין: עקומות המשרעת והפיגור מתמלאות בעוד ההרמה חולפת מעליהן. הקו המנוקד הוא $\wnat$ ; הקו המקווקו הוא המקום שבו המשרעת באמת מגיעה לשיא. אלה אינם אותו קו.

מפרט המודל

מערכת: מסת נקודה $m$ על קפיץ ליניארי חסר מסה בעל קבוע קפיץ $k$ , עם ריסון פרופורציוני למהירות $b$ וכוח מניע סינוסואידלי, בממד אחד; המדידים הם המיקום, המהירות, האנרגיות וההספק הממוצע למחזור.
דינמיקה: $m\ddot{x} = -kx - b\dot{x} + F_0\cos\omega t$ , נפתרת בצורה סגורה היכן שקיימת כזו ומשולבת בסכימת velocity-Verlet במקומות האחרים.
שפה: אין מרחבית; הסביבה מופיעה רק כבור חסר מאפיינים הבולע אנרגיה ואינו נשאל לעולם מה הוא עושה איתה.
אנסמבל: מסלול דטרמיניסטי יחיד לכל בחירת פרמטרים ותנאי התחלה; רעש מדידה, במקום שבו הוא מוסף, הוא גאוסי, בלתי תלוי ובעל זרע קבוע.
מוזנח: המנגנון המיקרוסקופי שמאחורי $b$ , תגובת ההנעה חזרה על מקורה, אי-הליניאריות של הקפיץ, וכל חימום עצמי של המערכת על ידי הבזבוז שלה.
תקף כאשר: ההזזות נותרות בתחום הליניארי של הקפיץ האמיתי, הריסון צמיגי באמת — פרופורציוני למהירות — וכל טענה על המצב המתמיד נאמרת לאחר שתגובת המעבר מתה.
אופני כשל: חיכוך יבש (כוח בעל גודל קבוע, לא פרופורציוני ל- $v$ ), משרעות תהודה גדולות מספיק כדי לצאת מהתחום הליניארי, נתוני מעבר הנקראים כמצב מתמיד, וכל שאלה על לאן מגיעה האנרגיה המבוזבזת.

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו לכאן. שלושה דברים שכדאי לעשות לפני שממשיכים לקרוא:

הזיזו את מחוון הריסון לאט דרך הערך הקריטי ונסו לתפוס את הרגע שבו התנועה מפסיקה להיות מחזורית. לא תצליחו — וזו התצפית, לא כשל של המחוון.
העמידו את חוקר התגובה על $Q$ גבוה ומצאו את השיא בעין. אחר כך הורידו את $Q$ וצפו בשיא מחליק במורד התדירות עד שהוא נופל מהקצה ונעלם.
התחילו ממנוחה בהנעה בדיוק ב- $\wnat$ , וספרו כמה מחזורים חולפים עד שהמשרעת מתייצבת. השוו את הספירה הזו ל- $Q$ .

לגזור את התוצאה¶

מערכת. המסה והקפיץ של מודול 01, בתוספת שניים: כוח מתנגד $-b\dot{x}$ וכוח מופעל $F(t)$ . חוק ניוטון השני נותן

m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = F(t), \qquad \wnat \equiv \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad \gamma \equiv \frac{b}{m} .

(1)

שימו לב למוסכמת הקורס: $\gamma \equiv b/m$ , ולכן משרעות דועכות כ- $e^{-\gamma t/2}$ ואנרגיות כ- $e^{-\gamma t}$ . ספרי לימוד אחדים (French ביניהם) מגדירים במקום זאת $\gamma = b/2m$ . שתיהן מופיעות בדפוס; ערבוב ביניהן בתוך חישוב אחד הוא הטעות האמיתית היחידה.

דעיכה חופשית: אובדן כחלק מדומה של תדירות. עם $F = 0$ , נסו את המהלך של מודול 00 — הניחו שהתשובה מסתובבת — אך אפשרו לתדירות להיות מרוכבת, $x = \Real\!\left[C\,e^{-\ii\Omega t}\right]$ . כל גזירה מורידה גורם $-\ii\Omega$ , וכל המשוואה מתקפלת למשוואה ריבועית ב- $\Omega$ :

\Omega^2 + \ii\gamma\Omega - \wnat^2 = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \Omega = \pm\,\omega_d - \frac{\ii\gamma}{2}, \qquad \omega_d = \sqrt{\wnat^2 - \frac{\gamma^2}{4}} .

(2)

קראו מה זה אומר. החלק הממשי של $\Omega$ הוא תדירות תנודה; החלק המדומה הוא קצב דעיכה, משום ש- $e^{-\ii(-\ii\gamma/2)t} = e^{-\gamma t/2}$ . אובדן הוא החלק המדומה של תדירות. אחזו במשפט הזה: הוא חוזר כמקדם השבירה המרוכב $n + \ii\kappa$ של תווך בולע, ושוב כרוחב הקו של מהוד אופטי.

שלושה מקרים נובעים מהשורש הריבועי, והם שלושה מקרים של נוסחה אחת:

תת-ריסון ( $\gamma < 2\wnat$ ): $\omega_d$ ממשי והתנועה היא $e^{-\gamma t/2}$ כפול סינוסואיד בתדירות $\omega_d$ — צלצול, בתוך מעטפת דועכת. שימו לב ש- $\omega_d < \wnat$ : הריסון מאט את הצלצול נוסף על כך שהוא הורג אותו.
ריסון קריטי ( $\gamma = 2\wnat$ ): שני השורשים מתלכדים, $\omega_d = 0$ , והפתרון קונה גורם $t$ : $(C + Dt)e^{-\wnat t}$ . זוהי החזרה המהירה ביותר האפשרית לשיווי משקל ללא חריגה מעבר לו, ולכן זה מה שמנגנון סגירת דלת או מתלה של מכונית מכוונים אליו.
ריסון-יתר ( $\gamma > 2\wnat$ ): שני השורשים מדומים טהורים, התנועה היא סכום של שני מעריכים דועכים, והיא חוצה את האפס לכל היותר פעם אחת. ריסון כבד יותר עושה כעת את החזרה איטית יותר, לא מהירה יותר — המסה זוחלת הביתה בתוך נוזל סמיך.

מקדם הטיב. במקרה תת-הריסון האנרגיה, ההולכת כמשרעת בריבוע, דועכת כ- $e^{-\gamma t}$ . שאלו כמה אובד לכל רדיאן של תנודה ומספר חסר ממד אחד נופל החוצה:

Q \equiv \frac{\wnat}{\gamma} = 2\pi \times \frac{\text{energy stored}}{\text{energy lost per cycle}} = \frac{\sqrt{mk}}{b} .

(3)

מתנד שהוכה מצלצל בערך $Q$ רדיאנים, כלומר $Q/2\pi$ מחזורים, לפני שאנרגייתו יורדת פי $1/e$ ; המשרעת שלו שורדת בערך $Q/\pi$ מחזורים. לכוס יין יש $Q \sim 10^3$ , לגביש קוורץ בשעון 10⁵, למראות של גלאי גלי כבידה 10⁷. בולמי זעזועים נבנים ב- $Q \approx 1$ בכוונה תחילה.

מונע: שיטת המשרעת המרוכבת. כעת הדליקו את ההנעה, $F = F_0\cos\omega t$ , והמתינו שתגובת המעבר תמות. מה שנשאר חייב לחזור על עצמו בתדירות ההנעה — לשום דבר אחר בבעיה אין זיכרון — ולכן כתבו הן את ההנעה והן את התגובה כחצים מסתובבים, $F = \Real[F_0 e^{-\ii\omega t}]$ ו- $x = \Real\!\left[X e^{-\ii\omega t}\right]$ , כאשר $X$ מרוכב. כל גזירה הופכת לכפל ב- $-\ii\omega$ , המעריך מתחלק החוצה מכל איבר, ומשוואה דיפרנציאלית הופכת לשורת חשבון אחת:

\left(-\omega^2 - \ii\gamma\omega + \wnat^2\right) X = \frac{F_0}{m} \qquad\Longrightarrow\qquad X(\omega) = \frac{F_0/m}{\wnat^2 - \omega^2 - \ii\gamma\omega} .

(4)

זהו מודול 00 גובה את חובו. אורך החץ הוא המשרעת וזוויתו היא פיגור המופע:

|X| = \frac{F_0/m}{\sqrt{\left(\wnat^2 - \omega^2\right)^2 + \gamma^2\omega^2}}, \qquad \tan\varphi_{\text{lag}} = \frac{\gamma\omega}{\wnat^2 - \omega^2} .

(5)

קריאת שתי העקומות. שלושה ציוני דרך עונים על שאלת הניבוי הראשונה:

$\omega \ll \wnat$ : המכנה הוא $\wnat^2$ , ולכן $|X| \to F_0/k$ עם $\varphi_{\text{lag}} \to 0$ . דחפו לאט והמסה פשוט יושבת היכן שהכוח מעמיד אותה. הקפיץ שולט.
$\omega = \wnat$ : החלק הממשי של המכנה מתאפס, ונשארים $|X| = Q\,F_0/k$ ו- $\varphi_{\text{lag}} = \pi/2$ במדויק. הריסון לבדו מגביל את התגובה, והמסה רצה רבע מחזור אחרי היד — וזהו בדיוק המופע שבו ההנעה מבצעת את מירב העבודה למחזור.
$\omega \gg \wnat$ : $|X| \to F_0/m\omega^2$ עם $\varphi_{\text{lag}} \to \pi$ . ההתמדה שולטת, והמסה נעה כנגד הכוח.

היכן השיא באמת נמצא. מקסום $|X|$ פירושו מזעור $\left(\wnat^2 - \omega^2\right)^2 + \gamma^2\omega^2$ . גזרו לפי $\omega^2$ והתשובה מיידית:

\omega_{\text{peak}} = \sqrt{\wnat^2 - \frac{\gamma^2}{2}} = \wnat\sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2}} .

(6)

Q, בשלוש דרכים. את אותו מספר בדיוק אפשר לקרוא משלושה ניסויים שונים לחלוטין, וזוהי הטענה המרכזית של המודול:

Q = \frac{\wnat}{\gamma} \qquad\text{(ringdown: } E \propto e^{-\gamma t}\text{)},

(7)

Q = \frac{\wnat}{\Delta\omega} \qquad\text{(bandwidth: half-power full width } \Delta\omega = \gamma\text{)},

(8)

Q = \frac{\wnat}{2}\left.\frac{d\varphi_{\text{lag}}}{d\omega}\right|_{\wnat} \qquad\text{(phase slope: } d\varphi_{\text{lag}}/d\omega = 2/\gamma\text{)}.

(9)

הראשון נמדד במרחב הזמן, על ידי צפייה במשהו גווע; השני והשלישי במרחב התדירות, על ידי סריקת הנעה ורישום המשרעת, או המופע. שום דבר אינו מבטיח מראש ששלוש מדידות שונות כל כך יחזירו מספר אחד. שהן עושות זאת — זהו תוכן התיאוריה, והמעבדה בודקת אותו על נתונים.

הספק והלורנציאן. במצב המתמיד, כל ג’אול שההנעה מספקת מבוזבז — המשרעת אינה גדלה, ולכן שום דבר אינו נאגר בממוצע. ההספק הממוצע למחזור הוא

\langle P \rangle = \tfrac12\,\gamma\, m\, \omega^2 |X|^2 = \frac{F_0^2}{2m}\,\frac{\gamma\omega^2}{\left(\wnat^2 - \omega^2\right)^2 + \gamma^2\omega^2} .

(10)

חלקו את המונה ואת המכנה ב- $\omega^2$ והתלות בתדירות הופכת ל- $\left[\left(\wnat^2 - \omega^2\right)/\omega\right]^2 + \gamma^2$ , שהיא הקטנה ביותר ב- $\omega = \wnat$ במדויק, יהא הריסון אשר יהא. תהודת ההזזה ותהודת ההספק הן תדירויות שונות. בקרבת תהודה חדה הביטוי מתפשט עוד:

הלורנציאן

עבור $Q \gg 1$ ו- $\omega$ בקרבת $\wnat$ , כתבו $\wnat^2 - \omega^2 \approx 2\wnat(\wnat - \omega)$ ו- $\omega \approx \wnat$ בכל מקום אחר. אז

\langle P \rangle \approx \frac{F_0^2}{2m\gamma}\, \frac{\left(\gamma/2\right)^2}{\left(\omega - \wnat\right)^2 + \left(\gamma/2\right)^2},

(11)

לורנציאן שמרכזו ב- $\wnat$ ורוחבו המלא בחצי הגובה הוא $\gamma$ — ומכאן $Q = \wnat/\Delta\omega$ . הקירוב טוב עד כדי אחוזים בודדים עבור $Q \gtrsim 10$ וחסר ערך מתחת ל- $Q \sim 2$ , שם ה"שיא" רחב יותר מתדירות המרכז של עצמו. העקומה הזו אינה עובדה מיוחדת על קפיצים: זוהי הצורה האוניברסלית של תהודה מרוסנת חלשות, ותפגשו בה שוב כקו הבליעה של אטום, כשיא ההעברה של פברי-פרו, וכאופן של מהוד לייזר.

תגובת מעבר ועוד מצב מתמיד. הפתרון המלא של משוואה ליניארית עם הנעה הוא כל פתרון פרטי ועוד הפתרון הכללי של המשוואה ללא ההנעה. כאן זה נקרא

x(t) = \underbrace{|X|\cos\left(\omega t - \varphi_{\text{lag}}\right)}_{\text{steady state}} \; + \; \underbrace{e^{-\gamma t/2}\left(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t\right)}_{\text{transient}},

(12)

כאשר $A$ ו- $B$ נקבעים על ידי תנאי ההתחלה — ועל ידי שום דבר אחר, ולכן המצב המתמיד זהה יהא אשר יהא אופן ההתחלה. תגובת המעבר חיה בערך $2/\gamma$ , כלומר $Q/\pi$ מחזורים. בהתחלה ממנוחה בתהודה מדויקת, שני החלקים מצטרפים למעטפת גדלה

x(t) \approx Q\,\frac{F_0}{k}\left(1 - e^{-\gamma t/2}\right)\sin\wnat t .

(13)

הנה התשובה לשאלת הניבוי השלישית. המשרעת אינה גדלה ללא גבול: היא מטפסת לעבר $Q$ כפול התגובה הסטטית ונעצרת, ולוקח לה בערך $Q/\pi$ מחזורים להגיע לשם. תהודה היא הגברה פי $Q$ , המשולמת בסבלנות. מערכת בעלת $Q$ גבוה היא סלקטיבית ורועשת וגם איטית להגיב — מספר אחד, שלוש השלכות, והסיבה ששום מקלט אינו יכול להיות חד באופן שרירותי ומהיר באופן שרירותי בעת ובעונה אחת.

אימות חישובי¶

כל בדיקה שלהלן היא גם מבחן בחבילת הבדיקות של הפרויקט, כך שהטענות האלה אינן יכולות להירקב בשקט.

1. הצורות הסגורות, בכל משטר. אינטגרציית velocity-Verlet מול damped_position עבור ריסון קל, קריטי וכבד, כולל משני צידי הגבול הקריטי — שלושת הענפים הם פונקציה אחת, ומתלכדים היכן שהם נפגשים בדיוק טוב יותר מחלק אחד מ-10⁶.

2. מיקום השיא, בסריקה. הניסוי המפריך. עקומות תגובת משרעת מחושבות עבור טווח של ערכי ריסון, המקסימום של כל אחת מאותר נומרית, והתוצאות משורטטות כ- $\omega_{\text{peak}}/\wnat$ מול $1/Q^2$ .

3. שלוש דרכים ל-Q, על מערך נתונים אחד. q_from_ringdown, q_from_bandwidth ו- q_from_phase_slope מכוונים אל מדידות מדומות של אותו מתנד — רשומת דעיכה, סריקת משרעת, סריקת מופע — עם רעש גלאי מוסף ושמונה זרעים בלתי תלויים. שלושתם מתלכדים עם $\sqrt{mk}/b$ , וזה עם זה, בדיוק טוב יותר מ- $1\%$ . השארית אינה פיזור: היא שיטתית, ולכל אומד היא שונה. דרך רוחב הפס קוראת נמוך משום שהרוחב בחצי ההספק שווה ל- $\gamma$ רק אסימפטוטית; דרך הדעיכה החופשית קוראת גבוה משום שריבוע ממוצע של רשומה רועשת הוא זה של האות ועוד זה של הרעש. הבחנה בין שני סוגי השגיאה היא בדיוק מהי תרבות מדידה.

4. מאזן הספק. במצב המתמיד, הממוצע למחזור של $F\dot{x}$ המחושב מאינטגרציה שווה לממוצע למחזור של $b\dot{x}^2$ , ושניהם שווים ל-power_absorbed, עד כדי שני חלקים מ-10³ ב-800 צעדים למחזור. ההנעה אינה אוגרת אנרגיה בשום מקום; היא משלמת למרסן, במדויק.

להעביר את הרעיון¶

הנעה מחזורית שאינה סינוסואידלית — גל ריבועי, דחיפה אחת למחזור — היא מסרק של הרמוניות, ועקומת התגובה הזו משקללת כל אחת מהן. זהו כל תוכנו של מודול 03: המהוד הוא מסנן, וטור פורייה הוא הפירוק שהוא מסנן.
האטום כמתנד. קשרו אלקטרון בקפיץ והניעו אותו בגל אור וקיבלתם את מודל לורנץ של תווך. קו הבליעה שלו הוא עקומת $\langle P\rangle$ שלמעלה, ומקדם השבירה שלו הוא החלק הממשי של אותה תגובה. המודול הזה הוא מודול 16-light-in-matter, עם מטען מחובר.
מהודים. העדינות של מהוד פברי-פרו וזמן החיים של פוטון במהוד לייזר הם $Q$ בתחפושות אחרות; שיא ההעברה הוא הלורנציאן הזה; רוחב הקו הוא $\Delta\omega = \wnat/Q$ .
מעגל RLC טורי. $L\ddot{q} + R\dot{q} + q/C = V(t)$ הוא המשוואה הזו עם $m \to L$ , $b \to R$ , $k \to 1/C$ . כוונון רדיו הוא בחירת $\wnat$ ; התחנה שאינכם שומעים היא $\Delta\omega$ עושה את עבודתה.
מרסן מסה מכוונן. הכדור במשקל 660 טונות סמוך לראש טאיפיי 101 הוא מטוטלת שנבנתה בכוונה כדי להיכנס לתהודה עם המגדל ולבזבז אנרגיה, בנועה בניגוד מופע לבניין ובנוטלת את האנרגיה שהרוח מכניסה.

בדקו את הבנתכם¶

מסה של 2.0 ק"ג יושבת על קפיץ בעל קבוע 8.0 ניוטון למטר עם מקדם ריסון של 10.0 ק"ג לשנייה. באיזה משטר מדובר, וכיצד נראית התנועה לאחר שהמסה מוזזת ומשוחררת?
A. ריסון-יתר — היא זוחלת בחזרה לשיווי משקל ללא תנודה, וחוצה את האפס לכל היותר פעם אחת. B. תת-ריסון — היא מצלצלת בתדירות מעט מתחת ל-sqrt(k/m) בתוך מעטפת דועכת. C. ריסון קריטי — b גדול מספיק כך שהתנועה בקושי אינה מתנודדת. D. זה תלוי במשרעת השחרור — ריסון כבד משנה רק בהזזות גדולות.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — ריסון-יתר — היא זוחלת בחזרה לשיווי משקל ללא תנודה, וחוצה את האפס לכל היותר פעם אחת.
- A. נכון. הריסון הקריטי הוא b = 2 sqrt(mk) = 2 sqrt(16) = 8.0 ק"ג לשנייה, ו-10.0 מעליו, ולכן gamma = 5.0 גדול מ-2 omega0 = 4.0. שני השורשים ממשיים ושליליים: שני מעריכים דועכים, ללא צלצול. שימו לב שהגדלת b נוספת עושה את החזרה איטית יותר, לא מהירה יותר.
- B. בדקו את הגבול לפני שאתם בוחרים משטר: צלצול מחייב b < 2 sqrt(mk) = 8.0 ק"ג לשנייה, ולמערכת הזו יש 10.0. השוואת b ל-sqrt(mk) = 4.0 במקום ל-2 sqrt(mk) היא הדרך הרגילה להגיע לכאן.
- C. ריסון קריטי הוא ערך מדויק אחד, b = 2 sqrt(mk) = 8.0 ק"ג לשנייה, ולא תחום מעל איזשהו סף. ב-10.0 המערכת עברה אותו ונמצאת בריסון-יתר של ממש, שחוזר לשיווי משקל לאט יותר מהמקרה הקריטי, לא מהר יותר.
- D. המשוואה ליניארית, ולכן כל משרעת מותחת את אותו פתרון עצמו: המשטר נקבע על ידי m, k ו-b בלבד. אי-התלות במשרעת שרדה ממודול 01 ללא פגע; מה שהמודול הזה הופך למכריע הוא התזמון של ההנעה, לא גודל התנועה.
אתם מניעים מתנד ביד. השוו את ההזזה לכוח המניע בשלוש תדירויות: הרבה מתחת ל-omega0, בדיוק ב-omega0, והרבה מעליו. מהו פיגור המופע בכל אחד מהמקרים?
A. 0, אחר כך pi/2, אחר כך pi — בקנה אחד, אחר כך רבע מחזור מאחור, אחר כך מנוגד. B. 0 לכל אורך הדרך — המסה תמיד עוקבת אחר הכוח, ורק המשרעת משתנה. C. pi/2 לכל אורך הדרך — התגובה תמיד מפגרת ברבע מחזור. D. pi, אחר כך pi/2, אחר כך 0 — הפיגור קטן ככל שההנעה מהירה יותר.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — 0, אחר כך pi/2, אחר כך pi — בקנה אחד, אחר כך רבע מחזור מאחור, אחר כך מנוגד.
- A. נכון, ולכל גבול יש בעלים פיזיקלי. לאט, הקפיץ שולט והמסה יושבת היכן שהכוח מעמיד אותה. ב-omega0 החלק הממשי של המכנה מתאפס ורק איבר הריסון שורד, ומכאן בדיוק pi/2 יהא הריסון אשר יהא. מהר, ההתמדה שולטת והמסה נעה כנגד היד.
- B. אז ההנעה לעולם לא הייתה יכולה לבצע עבודה נטו לאורך מחזור במצב המתמיד, ולא היה במה לשלם לריסון. הפיגור אינו פרט שולי: הוא מה שמאפשר לאנרגיה לזרום פנימה, והשפעתו גדולה ביותר בתהודה, שם הכוח בקנה אחד עם המהירות.
- C. רבע מחזור הוא הערך ב-omega0 בדיוק, והוא מדויק שם עבור כל ריסון — וזה מה שהופך אותו לדרך טובה למצוא את omega0. הרחק מהתהודה הפיגור נע בין 0 ל-pi, וכמה מהר הוא מסתובב הוא דרך שלישית למדוד את Q.
- D. זו הסדרה הפוכה. בחנו אותה מול הגבול האיטי: דחפו מסה בהדרגה רבה והיא תלך לאן שאתם דוחפים, כלומר פיגור אפס ולא חצי מחזור. הפיגור גדל עם התדירות משום שההתמדה מנצחת בהדרגה את הוויכוח.
מתנד מרוסן מונע בטווח של תדירויות ומשרעת המצב המתמיד שלו נרשמת. באיזו תדירות המשרעת גדולה ביותר?
A. מעט מתחת ל-omega0, ב-omega0 sqrt(1 - 1/(2 Q^2)) — ועבור Q מתחת ל-1/sqrt(2) אין שיא כלל. B. בדיוק ב-omega0 = sqrt(k/m), ללא תלות בריסון. C. מעט מעל omega0, כי צריך להתגבר על הריסון לפני שהמסה מגיבה. D. בתדירות הדעיכה החופשית omega_d = sqrt(omega0^2 - gamma^2/4).
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — מעט מתחת ל-omega0, ב-omega0 sqrt(1 - 1/(2 Q^2)) — ועבור Q מתחת ל-1/sqrt(2) אין שיא כלל.
- A. נכון. מקסום |X| פירושו מזעור (omega0^2 - omega^2)^2 + gamma^2 omega^2, ומכאן omega^2 = omega0^2 - gamma^2/2. ההיסט הוא 0.06% ב-Q = 20 — בלתי נראה, ולכן התשובה השגויה שורדת — ו-6.5% ב-Q = 2. מתחת ל-Q = 1/sqrt(2) אין לשורש ערך ממשי והתגובה פשוט יורדת מ-F0/k.
- B. בדיוק ב-omega0 נמצא המקום שבו פיגור המופע הוא pi/2 ושבו ההספק הנבלע מגיע לשיא — שניהם מדויקים עבור כל ריסון. משרעת ההזזה היא זו שנעה, משום שהמכנה שלה נושא את גורם omega הנוסף שביטוי ההספק מבטל.
- C. הריסון מזיז את השיא כלפי מטה, לא כלפי מעלה: הוא נכנס למכנה כ--gamma^2/2 תחת השורש. התדירות שאכן יושבת מעל omega0 היא שיא התאוצה, ב-omega0 / sqrt(1 - 1/(2 Q^2)) — תמונת הראי של זו.
- D. ניחוש סביר, ושגוי בפי שניים בתיקון: תדירות הצלצול של דעיכה חופשית היא omega_d, אך משרעת המתנד המונע מגיעה לשיא ב-sqrt(omega0^2 - gamma^2/2), שנמוכה עוד יותר. שלוש תדירויות סמוכות — omega0, omega_d, omega_peak — שמתלכדות רק כאשר הריסון מתאפס.
בהתחלה ממנוחה, אתם מניעים מתנד מרוסן בדיוק בתדירות העצמית שלו ולעולם לא מפסיקים. מה קורה למשרעת?
A. היא מטפסת לעבר Q כפול התגובה הסטטית F0/k ומתייצבת שם, תוך כדי בערך Q/pi מחזורים. B. היא גדלה ללא גבול — זה בדיוק מה שתהודה אומרת. C. היא גדלה זמן מה ואז קורסת, כי המתנד יוצא מקנה אחד עם ההנעה. D. היא מגיעה ל-F0/k, אותה משרעת שכוח המופעל לאט היה מייצר.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — היא מטפסת לעבר Q כפול התגובה הסטטית F0/k ומתייצבת שם, תוך כדי בערך Q/pi מחזורים.
- A. נכון. המעטפת גדלה כ-Q (F0/k) (1 - e^(-gamma t / 2)): תהודה היא הגברה פי Q, לא התבדרות. זמן הבנייה 2/gamma הוא אותו 2/gamma שקובע כמה זמן מצלצל מתנד שהוכה, ולכן מערכת בעלת Q גבוה היא רועשת ובררנית וגם איטית.
- B. זה נכון רק עבור המתנד האידיאלי חסר הריסון, שאין לו מצב מתמיד כלל. עם ריסון כלשהו, האנרגיה האובדת למחזור גדלה כמשרעת בריבוע בעוד האנרגיה המסופקת גדלה ליניארית בלבד, ולכן השתיים חייבות להתאזן — וכך קורה, ב-Q F0/k.
- C. שום דבר אינו מוציא אותו מקנה אחד: פתרון המצב המתמיד חוזר על עצמו בתדירות ההנעה לנצח, נעול בפיגור של רבע מחזור. פעימות וקריסה מתרחשות כאשר ההנעה מוסטת מ-omega0, לא כאשר היא יושבת עליו.
- D. F0/k היא התשובה הרבה מתחת לתהודה, שם הקפיץ לבדו מתנגד לכוח. ב-omega0 איברי הקפיץ וההתמדה מתבטלים בדיוק ורק איבר הריסון שורד במכנה, ונשאר פי Q מזה.
מדידה סרוקה של מהוד נותנת שיא תגובת הספק ב-2400 הרץ עם רוחב מלא בחצי ההספק של 30 הרץ. מהו מקדם הטיב Q שלו?
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 80.0 (± 2.0)
Q = f0 / Delta f = 2400 / 30 = 80. היחס זהה בין אם הוא נלקח בהרץ ובין אם ברדיאנים לשנייה, משום ש-Q חסר ממד — וזה בדיוק מה שמאפשר למספר אחד לתאר את המהוד ללא תלות ביחידות שעל הציר.
פעמון בעל Q = 30 מוכה פעם אחת. לאחר כמה תנודות מלאות בקירוב ירדה משרעתו ל-1/e מערכה ההתחלתי?
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 9.55 (± 1.0)
המשרעת דועכת כ-e^(-gamma t / 2), ולכן היא מגיעה ל-1/e ב-t = 2/gamma = 2Q/omega0. מחולק בזמן המחזור 2 pi/omega0 זה Q/pi = 30/pi = 9.5 תנודות. שימו לב לפי שניים: האנרגיה יורדת ל-1/e בחצי מהזמן הזה, Q/(2 pi) מחזורים, וציטוט מספר אחד במקום השני הוא המעידה הנפוצה ביותר כאן.
נמסרו לכם שלוש מדידות של אותו מהוד בלתי מזוהה: רשומת דעיכה לאחר הכאה יחידה, עקומת משרעת סרוקה, ועקומת מופע סרוקה. תארו כיצד הייתם מחלצים את Q מכל אחת מהן, ואמרו מה היה המשמעות אילו שלוש התשובות היו נבדלות ב-30%.
בדקו את התשובה
מרשומת הדעיכה: התאימו את הלוגריתם של המעטפת כדי לקבל את gamma, ספרו חציות אפס כדי לקבל את omega_d, ודווחו Q = omega0/gamma. מסריקת המשרעת: מצאו את השיא ואת שתי התדירויות שבהן המשרעת ירדה למקסימום חלקי שורש 2, ואז Q = omega_peak חלקי המרחק ביניהן. מסריקת המופע: אתרו היכן הפיגור חוצה את pi/2 ומדדו כמה מהר הוא מסתובב שם, שכן Q = (omega0/2) dphi/domega. השלוש שקולות עבור מהוד ליניארי עם ריסון צמיג, ולכן פער של 30% הוא עדות נגד המודל ולא נגד הציוד — החשודים הסבירים הם קפיץ לא ליניארי במשרעת גדולה, חיכוך יבש במקום ריסון צמיג (הדעיכה שלו ליניארית בזמן, לא מעריכית), או תהודה שנייה סמוכה המזהמת את הסריקה. פער של אחוז אחד פירושו משהו אחר: זו השגיאה השיטתית שכל אומד נושא, והמעבדה של המודול מודדת את שלושתן.

שאלות ברמת בחינה עבור המודול הזה — אלה שכדאי לפתור עם עט — מרוכזות בדף השאלות.

להסביר במילים שלכם¶

ענו על כל אחת בכמה משפטים. שום מספר לא יציל אתכם.

הסבירו למישהו על נדנדה מדוע דחיפה בקצב מסוים אחד עובדת ודחיפה חזקה יותר בקצב הלא נכון אינה עובדת. היכן במחזור מתרחשת דחיפה טובה, ומדוע זה זהה ל"רבע מחזור אחרי"?
תנו שלוש הגדרות של $Q$ במשפט אחד כל אחת — אחת על זמן, אחת על תדירות, אחת על מופע — ואז אמרו איזו עובדה פיזיקלית יחידה הופכת אותן לאותו מספר.
מדוע שיא המשרעת יושב מתחת ל- $\wnat$ בעוד ההספק הנבלע מגיע לשיא בדיוק עליו? שניהם תכונות של אותה תנועה.
לאן הולכת האנרגיה המבוזבזת? אמרו מה המודל הזה יכול לספר לכם, ואז אמרו במדויק איזה משבעת סעיפי המפרט שלו הופך את השאלה לבלתי ניתנת למענה כאן.

מתקדם: שלוש תהודות, והעולם שאין בו אף אחת¶

הזזה, מהירות, הספק. “תדירות התהודה” היא שלוש תדירויות שונות החובשות שם אחד. משרעת ההזזה $|X|$ מגיעה לשיא ב- $\wnat\sqrt{1 - 1/(2Q^2)}$ , מתחת ל- $\wnat$ . משרעת המהירות $\omega|X|$ מגיעה לשיא ב- $\wnat$ במדויק — וכך גם, לפיכך, ההספק הנבלע, ההולך כריבוע המהירות. משרעת התאוצה $\omega^2|X|$ מגיעה לשיא מעל $\wnat$ , ב- $\wnat/\sqrt{1 - 1/(2Q^2)}$ , תמונת הראי של שיא ההזזה. ב- $Q = 20$ השלוש יושבות בתוך רבע אחוז זו מזו וההבחנה היא קטנוניות; ב- $Q = 2$ אלה עקומות שונות באופן נראה לעין והקטנוניות היא התשובה לשאלת בחינה.

שתהודת המהירות מדויקת אינו מקרה. כתבו את המשוואה במונחי מהירות והמתנד הופך לעכבה, $Z = b + \ii(m\omega - k/\omega)$ , שגודלה הקטן ביותר כאשר החלק הריאקטיבי מתבטל — ב- $\wnat$ , עבור כל $b$ . זוהי אותה עכבה מכנית שתקבע כמה מגל מוחזר בשפה במודול 10, ואותו ביטול של שתי ריאקטנסים מנוגדים.

העולם שמתחת ל- $Q = 1/\sqrt{2}$ . כל האמור לעיל הניח ששיא קיים. מתחת ל- $Q = 1/\sqrt{2}$ — ריסון כבד מ- $\sqrt{2}\,\wnat$ — עקומת התגובה פשוט מחליקה במורד מ- $F_0/k$ , והמערכת היא מסנן מעביר-נמוכים מסדר שני ללא כל תהודה. מהנדסים בוחרים בזה בכוונה: $Q = 1/\sqrt{2}$ היא התגובה השטוחה ביותר האפשרית ללא שיא, תנאי בטרוורת’, וזה מה שתיבת רמקול או מסנן נגד קיפול מכווננים אליו בדרך כלל. ריסון קריטי, $Q = 1/2$ , שטוח עוד יותר ומתייצב מהר ביותר ללא חריגה. ביניהם שוכנת רוב ההנדסה; מעליהם שוכנת רוב הפיזיקה.

שאלה קשה יותר שהמודל אינו יכול לענות עליה. איבר הריסון מסלק אנרגיה מהמסה והמודל נעצר שם. במציאות האנרגיה הזו עוברת לתנועה המולקולרית של הנוזל הסובב, שמנער אז את המסה בחזרה — אותו צימוד עצמו שמבזבז חייב גם לפלוקטואט. זה אינו קצה חוט פרום אלא משפט, משפט הפלוקטואציה-דיסיפציה, והוא אומר שהריסון של מהוד והרעש התרמי שלו הם שני פנים של מקדם אחד. זו הסיבה שמתלי המראות של גלאי גלי כבידה עשויים מצורן מותך בעל $Q \sim 10^7$ : לא כדי לצלצל זמן רב יותר, אלא כדי להיות שקטים.