דף שאלות — המתנד ההרמוני הפשוט

דף שאלות: המתנד ההרמוני הפשוט¶

שאלות ברמת בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שאתם ניגשים למחשב; האחרונה נועדה להיפתר נומרית. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים בחומרי המרצה ואינם מופיעים באתר הזה במכוון.

שאלה 1 — קריאת משוואת התנועה¶

עגלה בעלת מסה $0.50\ \mathrm{kg}$ על מסילה חסרת חיכוך מחוברת לקפיץ בעל קבוע קפיץ $8.0\ \mathrm{N\,m^{-1}}$. ב-$t = 0$ היא נמצאת ב-$x_0 = +0.10\ \mathrm{m}$ ונעה במהירות $v_0 = +0.20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.

(א) חשבו את $\wnat$, את זמן המחזור, את המשרעת ואת המופע, וכתבו את $x(t)$ במפורש.

(ב) מצאו את הזמן הראשון שבו העגלה חוצה את הראשית, ואת מהירותה שם.

(ג) חבר לכיתה טוען שהמשרעת היא פשוט $x_0$ “כי משם היא התחילה”. הפיקו דוגמה נגדית בת שורה אחת באמצעות המספרים הנתונים.

שאלה 2 — נימוקי סקאלה¶

מבלי לפתור אף משוואה דיפרנציאלית, השתמשו ב-$\wnat = \sqrt{k/m}$ ובנימוק אנרגטי:

(א) המסה מוכפלת פי ארבעה. מה קורה לזמן המחזור? למהירות המרבית במשרעת שחרור קבועה?

(ב) שני קפיצים זהים מחוברים לאותה מסה, תחילה זה לצד זה (מקבילים), ולאחר מכן זה אחרי זה (בטור). מצאו את היחס בין שתי תדירויות התנודה.

(ג) קפיץ נחתך לשניים, ומחצית ממנו משמשת עם המסה המקורית. האם התדירות עולה או יורדת, ובאיזה גורם? (זהירות — חיתוך קפיץ משנה את קבוע הקפיץ שלו.)

שאלה 3 — הנהלת חשבונות של אנרגיה¶

עבור העגלה משאלה 1:

(א) חשבו את האנרגיה הכוללת, ואת המיקום(ים) שבהם האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית שוות.

(ב) שרטטו מחזור מלא אחד של $K(t)$ ו-$U(t)$ על אותם צירים, וסמנו את הזמנים שבהם כל אחת מגיעה לשיא. באיזו תדירות מתנודדת כל עקומה?

(ג) שרטטו את מסלול מרחב הפאזה, סמנו את ארבע הנקודות התואמות לתשובותיכם בסעיף (ב), וציינו באיזה כיוון נסרט המסלול ומדוע.

שאלה 4 — כל עמק הוא פרבולה¶

הפוטנציאל של לנארד-ג’ונס $U(r) = \varepsilon\left[(r_0/r)^{12} - 2\,(r_0/r)^{6}\right]$ מדגם את האינטראקציה בין שני אטומי ארגון, עם $\varepsilon = 1.65 \times 10^{-21}$ J ו-$r_0 = 3.8 \times 10^{-10}$ m.

(א) ודאו ש-$r_0$ הוא מרחק שיווי המשקל, וחשבו את $U''(r_0)$ ביחידות $\mathrm{N\,m^{-1}}$.

(ב) אמדו את תדירות הרטט של דו-אטום הארגון (השתמשו במסה המצומצמת), ואת אורך הגל של האור שתדירות זו תואמת לו.

(ג) ציינו שתי סיבות פיזיקליות לכך שהחיזוי ההרמוני חייב להיכשל בסופו של דבר עבור הפוטנציאל הזה — אחת נראית בשרטוט של $U(r)$, ואחת קוונטית-מכנית.

שאלה 5 — האיזוכרוניות במבחן, נומרית¶

בעזרת wavelab.oscillators (במעבדת הדפדפן או באופן מקומי):

(א) שלבו את המתנד הליניארי במשרעות שחרור $x_0$ הפרוסות על פני גורם עשר, התאימו את זמן המחזור של כל מסלול, ודווחו זמן מחזור מול משרעת בצירוף אי-ודאויות.

(ב) כעת שלבו את המטוטלת המדויקת, $\ddot{\theta} = -(g/\ell)\sin\theta$ (כתבו בעצמכם את פונקציית הכוח, או התאימו את זו של המעבדה), עבור $\theta_0 = 5°, 20°, 45°, 90°$. מדדו את גדילת זמן המחזור והשוו עם $T(\theta_0)/T_{\text{small}} = 1 + \theta_0^2/16 + \cdots$

(ג) באיזו משרעת סוטה זמן המחזור של המטוטלת לראשונה מהערך בזווית קטנה ביותר מ-$1\%$? ביותר מאי-הוודאות של התאמת זמן המחזור שלכם? כתבו שני משפטים על המשמעות הכמותית, כעת, של “האיזוכרוניות היא קירוב”.