טורי פורייה: אותות מחזוריים כסכומים הרמוניים - WaveLab

החידה: התו שאיננו שם¶

קולן הוא מהוד בעל גובה צליל מוגדר היטב. העמידו קולן המצלצל ב-300 הרץ ליד רמקול, והניעו את הרמקול בגל ריבועי של 100 הרץ — האות הבוטה של זמזם זול. הקולן שר. הניעו את הרמקול בגל סינוס של 100 הרץ, באותה עוצמה, והקולן נשאר שותק.

דבר לא חסר באות השני שקיים בראשון. שניהם חוזרים על עצמם מאה פעמים בשנייה. שניהם, בכל תיאור סביר, הם “אות של 100 הרץ”. ובכל זאת אחד מהם נושא משהו ב-300 הרץ והשני לא.

יש גרסה שנייה לאותה חידה, ואותה שמעתם כל חייכם. כינור וחליל מנגנים את אותו לָה כתוב. שניהם חוזרים על עצמם 440 פעמים בשנייה, ולכן לשניהם אותו גובה צליל, ואיש מעולם לא בלבל בין שני הכלים. מה שמבדיל ביניהם שורד זהות של זמן מחזור, והמודול הזה עוסק בשאלה מה זה.

חזו לפני שאתם מחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת מהשאלות לפני שאתם מריצים משהו. רשמו אותן.

האם מהוד המכוון ל- $3\omega_0$ מגיב להנעה בגל ריבועי בקצב חזרה $\omega_0$ ? האם הוא מגיב להנעת סינוס ב- $\omega_0$ ? ומה לגבי מהוד המכוון ל- $2\omega_0$ תחת ההנעה הריבועית?
גל ריבועי נבנה מחיבור של גלי סינוס. כמה איברים דרושים עד שהתוצאה היא גל ריבועי — עשרה, אלף, או שקיים מספר שאחריו היא מדויקת?
התקרבו אל הקפיצה בעודכם מוסיפים עוד ועוד איברים. הגלים שם נעשים צרים יותר. האם הם נעשים גם נמוכים יותר, והאם הגלישה שואפת לאפס?
לגל משולש ולגל ריבועי אותו זמן מחזור ואותו גובה שיא. איזה מהם משוחזר טוב יותר על ידי חמש ההרמוניות הראשונות שלו, ואיזו תכונה של הגל מכריעה?

חקרו את המודל¶

מחברת המעבדה נותנת לכם מערבל הרמוניות: מחוון לגודל כל הרמוניה ומחוון נוסף לתזמון שלה, עד שלושים ושתיים מהן, עם ארבעה גלים מוכנים לשחזור. הגל והספקטרום שלו יושבים זה לצד זה ומתעדכנים יחד — המבט הכפול שהופך לדרך הסטנדרטית של הקורס להסתכל על כל אות, כאן בפעם הראשונה.

גל ריבועי מרכיב את עצמו מחִצים מסתובבים. כל חץ הוא הפאזור של הרמוניה אחת — התמונה של מודול 00, חץ אחד לכל הרמוניה, כשה- $n$ -י מסתובב פי $n$ מהר יותר — מונחים ראש לזנב, וגובה קצה השרשרת מתאר את הגל מימין. האנימציה מחזיקה $N = 1, 3, 5, 9, 33$ למחזור אחד כל אחד. אורכי החִצים אינם נבחרים: הם $4/\pi n$ , ולכן החץ התשיעי הוא בדיוק תשיעית מהראשון, ודעיכת ה- $1/n$ של המקדמים נראית כגאומטריה. התבוננו בפינות המתחדדות ככל שמוסיפים חִצים — והתבוננו במה שקורה בקפיצה, שאינו מתחדד.

הקפיצה, בהגדלה. תחילה החלון עומד במקומו בעוד מספר האיברים מטפס: האדוות נדחסות אל אי-הרציפות. לאחר מכן מספר האיברים קופא והחלון מוגדל פי עשרים: אותו מבנה חוזר בכל קנה מידה. לאורך שני החצאים הגלישה הראשונה נשארת על הקו המקווקו — היא אינה מתכנסת אל הערך האמיתי, והוספת איברים מזיזה אותה הצידה ולא כלפי מטה.

מפרט המודל

המערכת: אות מחזורי ממשי בעל זמן מחזור $T$ , המיוצג על ידי המקדמים המרוכבים שלו $\{c_n\}$ ; הנצפים הם סכומים חלקיים, משרעות הרמוניות ומופעים הרמוניים.
הדינמיקה: אין — זהו שינוי ייצוג ולא התפתחות בזמן; כאשר ההרמוניות מניעות את המתנד של מודול 02, כל אחת מהן מניעה אותו באופן בלתי תלוי מכוח הליניאריות.
הגבול: מחזוריות מדויקת, הנמשכת קדימה ואחורה לנצח; מחזור אחד נושא את האות כולו ודבר אינו נשמר בין מחזורים.
האנסמבל: דטרמיניסטי; ניסוי החילוץ במעבדה הוא החלק האקראי היחיד, והרעש בו גאוסי, בלתי תלוי ובעל זרע קבוע.
מה מוזנח: תגובות מעבר מכל סוג — התוצאות המונעות הן מצב מתמיד בלבד — ופתולוגיות התכנסות מעבר לאותות חלקים למקוטעין.
תקף כאשר: האות באמת מחזורי וחלק למקוטעין, וסכומים חלקיים ליד קפיצה נקראים מתוך מודעות לגלישת גיבס.
אופני כשל: התייחסות לגלישה כאל שגיאה שאיברים נוספים יסלקו, יישום הטור על אות שאינו חוזר על עצמו, וסכימת תגובות הרמוניות דרך רכיב לא-ליניארי כלשהו.

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו. שלושה דברים כדאי לעשות לפני שתמשיכו לקרוא:

בנו גל ריבועי משלושה מחוונים, אחר כך מחמישה, אחר כך משלושים ואחד, תוך התבוננות בלוח הספקטרום לא פחות מאשר בגל. שימו לב אילו הרמוניות אתם לעולם לא צריכים לגעת בהן.
נגנו את ארבעת הגלים דרך תא השמע באותו גובה צליל. זהו אותו תו. האוזן שלכם מבדילה ביניהם מיד, והדבר היחיד שנבדל הוא לוח הספקטרום.
התקרבו אל הקפיצה והעלו את $N$ עד שהמעבדה תיגמר לה ההרמוניות. החליטו, לפי מה שאתם רואים ולא לפי מה שאתם מצפים, מה מתכווץ ומה לא.

גזרו את התוצאה¶

מה יכול להופיע בסכום. אות בעל זמן מחזור $T$ חוזר על עצמו בדיוק. אם הוא אמור להיבנות מסינוסואידות, גם כל אחת מהן חייבת לחזור על עצמה עם זמן מחזור $T$ , וזה מתיר רק את התדרים $\omega_0, 2\omega_0, 3\omega_0, \dots$ כאשר $\omega_0 = 2\pi/T$ — ההרמוניות של תדר היסוד. כל תדר אחר יימצא באמצע מחזור בדיוק כשהאות מתחיל מחדש. לכן המועמד הוא

f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\, e^{\ii n \omega_0 t},

(1)

עם שני הסימנים של $n$ . אין על כך להתנצל: מודול 00 כבר הראה שקוסינוס ממשי הוא שתי מעריכיות המסתובבות בכיוונים מנוגדים, וכאן הזיווג הוא $c_{-n} = c_n^{*}$ , שהוא בדיוק התנאי לכך ש- $f$ ייצא ממשי.

אורתוגונליות בוררת מקדם אחד. הכול נובע מאינטגרל יחיד. עבור $n$ ו- $m$ שלמים,

\frac{1}{T}\int_{T} e^{\ii (n-m)\omega_0 t}\,\mathrm{d}t = \delta_{nm},

(2)

משום שאלא אם כן $n = m$ , האינטגרנד הוא מעריכית מרוכבת העוברת מספר שלם של סיבובים, ומספר שלם של סיבובים ממוצע לאפס.

כדאי לעצור על השפה. “להכפיל ולמצע” היא מכפלה פנימית; ההרמוניות הן בסיס אורתונורמלי; ו- $c_n$ הוא הרכיב של $f$ בכיוון הבסיס ה- $n$ -י. התמונה מוכרת — פירוק וקטור לרכיבים ניצבים, כשפונקציות מחליפות חִצים ואינטגרל מחליף מכפלה סקלרית. תפגשו את אותה תנועה שוב במודול 07 ושוב במכניקת הקוונטים.

סימטריה עונה על השאלה לפני שהאינטגרל עונה. שתי סימטריות עושות את רוב העבודה בפועל, ושתיהן במרחק הצבה אחת.

אם $f$ זוגית, $f(-t) = f(t)$ , אינטגרל המקדם אינו משתנה תחת $t \to -t$ , השולח $c_n \to c_{-n}$ ; בשילוב עם $c_{-n} = c_n^{*}$ זה כופה על כל $c_n$ להיות ממשי. אם $f$ אי-זוגית, אותו טיעון הופך כל $c_n$ למדומה טהור. זוגיות ואי-זוגיות הן אמירות על תזמון, והן מופיעות כמופעים של ההרמוניות.

סימטריית חצי-מחזור חדה יותר. נניח שהמחצית השנייה של כל מחזור היא המחצית הראשונה הפוכה, $f(t + T/2) = -f(t)$ — נכון לגל ריבועי, לגל משולש, ולרוב הדברים המתנדנדים סימטרית סביב האפס. הצבה באינטגרל המקדם מכפילה את האיבר ה- $n$ -י ב- $e^{-\ii n \pi} = (-1)^n$ , ולכן $c_n = (-1)^{n+1} c_n$ . עבור $n$ זוגי זה נקרא $c_n = -c_n$ , והמספר היחיד השווה למינוס עצמו הוא אפס.

הגל הריבועי, מחושב. ניקח $f(t) = +1$ במחצית הראשונה של כל מחזור ו--1 בשנייה. הוא אי-זוגי ובעל סימטריית חצי-מחזור, ולכן אנחנו כבר מצפים למקדמים מדומים טהורים על הרמוניות אי-זוגיות בלבד. האינטגרל מאשר זאת:

c_n = \frac{1}{T}\int_{0}^{T/2} e^{-\ii n\omega_0 t}\,\mathrm{d}t - \frac{1}{T}\int_{T/2}^{T} e^{-\ii n\omega_0 t}\,\mathrm{d}t = \frac{2}{\ii \pi n} \quad (n \text{ odd}), \qquad c_n = 0 \quad (n \text{ even}).

(4)

במונחים ממשיים זהו $f(t) = \frac{4}{\pi}\left(\sin\omega_0 t + \tfrac13 \sin 3\omega_0 t

\tfrac15 \sin 5\omega_0 t + \cdots\right) $. ההרמוניה השלישית שם, במשרעת של שליש מתדר היסוד. זו התשובה לחידה הפותחת, והיא אינה מליצה: העמידו מסנן המכוון ל-$ 3\omega_0 $מול האות, ותצא מהצד השני סינוסואידה במשרעת$ 4/3\pi$.

חלקות קונה דעיכה. מקדמי הגל הריבועי דועכים כ- $1/n$ , וזה איטי. הסיבה כללית. אינטגרציה בחלקים על נוסחת המקדם מחליפה גורם $1/(\ii n \omega_0)$ בנגזרת של $f$ ; איברי השפה מתבטלים מכוח המחזוריות בתנאי ש- $f$ רציפה. לכן כל נגזרת ששורדת בלי לקפוץ קונה חזקה נוספת של $1/n$ .

הגל	התכונה החדה ביותר	ההרמוניות הקיימות	הדעיכה
ריבועי	קפיצה	אי-זוגיות בלבד	$1/n$
מסור	קפיצה	כולן	$1/n$
משולש	פינה	אי-זוגיות בלבד	$1/n^2$
רכבת פולסים	שתי קפיצות	כולן, תחת מעטפת $\operatorname{sinc}$	$1/n$

הטבלה מצדיקה את קיומה במעבדה, שם אתם מודדים את המעריכים האלה במקום לחפש אותם, ושוב במודול 04, שם אותה אמירה נאמרת על ההתמרה של פולס בודד.

גיבס: היכן שהטור אינו עושה את מה שאתם רוצים. הוספת איברים מקטינה את האנרגיה של השגיאה — המרחק הריבועי הממוצע בין הסכום החלקי לאות שואף לאפס, ועבור הגל הריבועי הוא עושה זאת כ- $N^{-1/2}$ . אבל התכנסות באנרגיה היא הבטחה חלשה יותר משהיא נשמעת, וליד קפיצה היא אינה מספיקה.

זו התשובה לחיזוי 3, וכדאי לומר בבירור מה היא אומרת ומה לא. היא אינה אומרת שהטור אינו מתכנס — בכל נקודה הרחוקה מהקפיצה הוא מתכנס היטב, ובקפיצה עצמה הוא מתכנס לנקודת האמצע. היא אומרת שהשגיאה הגרועה ביותר על פני האות אינה מתכווצת. מגבר המשחזר גל ריבועי ברוחב פס סופי אכן גולש, אכן מצלצל, ושום תוספת רוחב פס אינה מסלקת את הגלישה; רוחב פס נוסף רק מקצר אותה.

המהוד הוא בורר הרמוניות. עכשיו אפשר לסגור את החידה כמותית. נכתוב את ההנעה המחזורית כהרמוניות שלה, כל אחת פאזור $\hat{F}_n = 2c_n^{*}$ הנושא את גורם הזמן של הקורס $e^{-\ii n \omega_0 t}$ .

מודול 02 כבר פתר את הבעיה עבור סינוסואידה אחת: הנעה בעלת פאזור $\hat{F}$ בתדר זוויתי $\omega$ מייצרת העתק בעל פאזור $\hat{F}/m$ מחולק ב- $\wnat^2 - \omega^2 - \ii\gamma\omega$ . יישום הרמוניה אחר הרמוניה וחיבור נותנים

x(t) = \sum_{n \ge 1} \Real\!\left[\hat{X}_n\, e^{-\ii n \omega_0 t}\right], \qquad \hat{X}_n = \frac{\hat{F}_n/m}{\wnat^2 - (n\omega_0)^2 - \ii\gamma\, n\omega_0} .

(5)

קראו מה זה אומר. ההנעה מספקת מסרק הרמוניות שמשרעותיהן דועכות כ- $1/n$ . המהוד מכפיל כל אחת מהן בעקומה שיש לה שיא חד ב- $\wnat$ והיא קטנה בכל מקום אחר. אם $\wnat$ יושב על ההרמוניה השלישית, ההרמוניה השלישית מוגברת פי $Q$ בערך והאחרות לא: הקולן מצלצל ב- $3\omega_0$ , תדר שקצב החזרה של ההנעה מעולם אינו נוקב בו. ותחת הנעת סינוס טהורה למסרק יש שן אחת, ב- $\omega_0$ , ולכן קולן המכוון ל- $3\omega_0$ אינו שומע דבר.

החנו את המהוד על הרמוניה זוגית, ולמסרק אין שם שן להגביר: סימטריית חצי-מחזור מחקה אותה. התגובה אינה מתאפסת לגמרי — המעבדה מודדת כ-8% ממה שאותו מהוד נותן ב- $3\omega_0$ — אבל מה ששורד הוא הזנב מחוץ לתהודה של ההרמוניות השלישית והחמישית, ולא תגובה לרביעית. אין הרמוניה רביעית להגיב אליה.

אמתו חישובית¶

כל בדיקה למטה היא גם מבחן במערך המבחנים של הפרויקט, ולכן הטענות האלה אינן יכולות להירקב בשקט.

1. הצורות הסגורות מול האינטגרלים. wavelab.fourier.fourier_coefficients מחשב נומרית את אינטגרל המקדם על מחזור דגום; ארבע הצורות הסגורות מושוות אליו. המשולש מסכים ברמה טובה מ-10^-7. הריבועי, המסור ורכבת הפולסים מסכימים רק ברמה של חלק אחד ל- $N$ , מספר הדגימות — והפער הזה הוא בדיוק אותה פיזיקה של טבלת הדעיכה למעלה, במבט מהצד השני. רשת סופית אינה יכולה לפתור אי-רציפות, ולכן הגלים בעלי הקפיצות הם אלה שהנומריקה שלהם מוגבלת.

2. קצבי התכנסות לפי מחלקת חלקות. השגיאה הריבועית הממוצעת בין סכום חלקי לגל שלו נמדדת עבור $N = 15, 31, 63, 127, 255$ ומותאמת בסקאלה לוגריתמית כפולה. הגל הריבועי מחזיר מעריך -0.49 והמשולש -1.47, מול $-1/2$ ו- $-3/2$ החזויים. שניהם יושבים מעט בתוך האסימפטוטות שלהם משום שהסדרים האלה סופיים; עד 511 הרמוניות הם מתהדקים ל--0.495 ול--1.484.

3. הגלישה שאינה זזה.

גלישת גיבס הנמדדת

gibbs_overshoot מאתר את המקסימום הראשון של הסכום החלקי של הגל הריבועי ומדווח את העודף שלו על הערך האמיתי כשבר מגובה הקפיצה. הוא מחזיר $9.21\%$ ב-7 הרמוניות, $8.97\%$ ב-31, $8.950\%$ ב-127 ו- $8.9491\%$ ב-511 — מתקרב לקבוע מלמעלה, ולא מתקרב לאפס. באותו טווח אנרגיית השגיאה יורדת פי שישה. נמדדים כאן שני דברים שונים, ורק אחד מהם משתפר.

במדידה טמונה מלכודת שכדאי להכיר. הגלישה נעה אל אי-הרציפות כ- $N^{-1}$ , ולכן חלון מדידה קבוע מפספס אותה בסופו של דבר לגמרי ומדווח מספר נוח, מתכווץ ושגוי. החלון בספרייה מתכווץ עם $N$ בדיוק מהסיבה הזו.

4. המתנד המונע, בשתי דרכים. חיזוי הסכום ההרמוני שלמעלה מושווה לאינטגרציה ישירה בשיטת ורלה-מהירות של אותו מתנד תחת כוח ריבועי דגום, בעזרת oscillators.simulate_forced. האינטגרטור אינו יודע דבר על הרמוניות — הוא יודע רק את הכוח בכל רגע — ולכן ההסכמה היא בדיקה אמיתית של הפירוק ולא חזרה עליו. המעבדה סורקת את המהוד לרוחב המסרק ומוצאת את השיאים היכן שההרמוניות האי-זוגיות נמצאות, וכמעט שקט ביניהן.

העבירו את הרעיון¶

גלים עומדים (מודול 11-standing-waves). מיתר המהודק בשני קצותיו מתיר רק את הצורות המתאימות לתנאי השפה — אותו טיעון בדידות שפתח את המודול הזה, עם $\sin k_n x$ במקום $e^{\ii n\omega_0 t}$ . פריטה שרירותית מפורקת לאופנים על ידי אינטגרל שהוא שוב אורתוגונליות, וכל אופן מתפתח אחר כך כמתנד של מודול 01 בזכות עצמו.
גוון הצליל. הספקטרום הוא מה שמבדיל כינור מחליל באותו גובה צליל. תדר היסוד קובע את התו; תבנית ה- $|c_n|$ קובעת את הכלי. סינתיסייזרים מנצלים זאת ישירות, וכך גם כל בונה כלים שאי פעם כיוונן קדח או גשר.
הנדסת הספק. מיישר זרם מושך זרם בפולסים חדים ולא בסינוסואידות, ולכן הוא מזריק הרמוניות אי-זוגיות בחזרה לרשת, שם הן מחממות שנאים שתוכננו ל-50 או 60 הרץ. מגבלות הרמוניות כתובות בתקני רשת בגלל טבלת הדעיכה שלמעלה.
סריגים (מודול 31-gratings). מסרק ההרמוניות של רכבת הפולסים תחת מעטפת $\operatorname{sinc}$ חוזר כתבנית עקיפה: סדרים חדים רבים, מווסתים על ידי ההתמרה של סדק בודד. אותה אריתמטיקה, מצוירת באור.
המודול הבא. כל מה שכאן הצריך מחזוריות מדויקת. מחיאת כף לעולם אינה חוזרת על עצמה, ומסרק ההרמוניות חייב להפוך לרצף. השאפת $T \to \infty$ היא כל תוכנו של מודול 04, והיא מתחילה מהנוסחאות שבעמוד הזה.

בדקו את הבנתכם¶

אות מחזורי מקיים f(t + T/2) = -f(t): המחצית השנייה של כל מחזור היא הראשונה הפוכה. אילו הרמוניות הוא יכול להכיל, וכיצד אתם יודעים זאת לפני חישוב של אינטגרל כלשהו?
A. הרמוניות אי-זוגיות בלבד — כל מקדם זוגי מתאפס, כולל הממוצע. B. הרמוניות זוגיות בלבד, משום שהגל חוזר על עצמו פעמיים בתוך כל מחזור. C. כל ההרמוניות — סימטריה יכולה להזיז מופעים של איברים אך לא להסיר אף אחד מהם. D. אי אפשר לומר דבר בלי לחשב את האינטגרלים עבור הגל הספציפי.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — הרמוניות אי-זוגיות בלבד — כל מקדם זוגי מתאפס, כולל הממוצע.
- A. נכון, וזה עולה הצבה אחת. הזזת אינטגרל המקדם ב-T/2 מכפילה את האיבר ה-n ב-(-1)^n, ולכן הסימטריה כופה c_n = -(-1)^n c_n. עבור n זוגי זה נקרא c_n = -c_n, ורק אפס שווה למינוס עצמו. הגל הריבועי וגל המשולש שניהם מסוג זה, ולכן לאף אחד מהם אין הרמוניה שנייה.
- B. זה מתאר את התנאי ההפוך, f(t + T/2) = +f(t), שהוא באמת אות בעל זמן מחזור T/2 בתחפושת ושבאמת יש לו רק הרמוניות זוגיות של תדר היסוד המקורי. סימן המינוס כאן הופך במקום לחזור, והוא מוחק בדיוק את ההרמוניות שתשובתכם משאירה.
- C. זוגיות ואי-זוגיות אכן רק מזיזות מופעים: הן הופכות את המקדמים לממשיים טהורים או למדומים טהורים בלי למחוק אף אחד. סימטריית חצי-מחזור חזקה יותר, משום שהיא קושרת את האות להעתק מוזז של עצמו ולא להשתקפות שלו, והקשר הזה הוא מה שכופה מחצית מהמקדמים להתאפס.
- D. אפשר, ובזול. ההצבה t -> t + T/2 בתוך אינטגרל המקדם עולה שתי שורות ומכריעה את כל ההרמוניות הזוגיות בבת אחת, לכל גל בעל הסימטריה הזו, תהא צורתו אשר תהא. טיעוני סימטריה עונים על השאלה שהאינטגרלים היו עונים עליה בסופו של דבר, לפני שעושים אותם.
הסכום החלקי של טור פורייה של גל ריבועי גולש בכ-9 אחוזים ממש לפני הקפיצה. מה קורה לגלישה הזו ככל שמוסיפים איברים?
A. היא מצטמצמת ברוחבה ומחליקה אל הקפיצה, אך גובהה נשאר סביב 8.9 אחוזים מהקפיצה לנצח. B. היא מצטמצמת בהתמדה ונעלמת בגבול — איברים נוספים משפרים את הקירוב בכל מקום. C. היא גדלה ללא גבול, משום שכל הרמוניה חדשה מוסיפה עוד אדווה. D. זהו ארטיפקט של שרטוט על רשת סופית והוא נעלם ברזולוציה מספקת.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — היא מצטמצמת ברוחבה ומחליקה אל הקפיצה, אך גובהה נשאר סביב 8.9 אחוזים מהקפיצה לנצח.
- A. נכון. במדידה, הגלישה היא 9.21 אחוזים ב-7 הרמוניות, 8.97 אחוזים ב-31, ו-8.9491 אחוזים ב-511 — מתייצבת על קבוע במקום לשאוף לאפס. מה שכן משתפר הוא אנרגיית השגיאה, היורדת כ-N^(-1/2). התכנסות באנרגיה והתכנסות בנקודה הגרועה ביותר הן הבטחות שונות, ורק הראשונה מקוימת כאן.
- B. זו הציפייה הטבעית והיא שגויה, ולכן לגלישה יש שם. הטור אכן מתכנס בכל נקודה הרחוקה מהקפיצה, ומתכנס לנקודת האמצע בקפיצה עצמה, ולכן דבר אינו שבור. אבל השגיאה הגדולה ביותר בסביבת הקפיצה אינה מתכווצת. מגבר ברוחב פס סופי המשחזר גל ריבועי גולש בדיוק מהסיבה הזו, ורוחב פס נוסף רק מקצר את הגלישה, לעולם אינו מקטין אותה.
- C. האדוות אכן מתרבות, אך הן גם מצטמצמות ברוחבן וסכום תרומותיהן חסום. הגלישה מתקרבת לקבוע מוגדר מלמעלה, וכבר מההרמוניות הבודדות הראשונות היא בתוך חצי אחוז מערכה הסופי.
- D. עידון הרשת הופך את המדידה למדויקת יותר והגלישה מתכנסת ל-8.9491 אחוזים ולא מתרחקת ממנו. הטעות ההפוכה היא המלכודת האמיתית: מכיוון שהגלישה נעה אל הקפיצה ככל שמוסיפים איברים, חלון מדידה קבוע מפספס אותה בסופו של דבר ומדווח מספר נוח, מתכווץ ושגוי.
גל מחזורי רציף בכל מקום, אך השיפוע שלו קופץ — יש לו פינות, כמו לגל משולש. מקדמיו דועכים כ-1/n^p עבור n גדול. מהו p?
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 2.0 (± 0.1)
p = 2. אינטגרציה בחלקים על נוסחת המקדם מחליפה חזקה של 1/n בנגזרת, ואיברי השפה מתבטלים מכוח המחזוריות כל עוד הפונקציה הנגזרת רציפה. אות שקופץ נותן p = 1; אות רציף בעל שיפוע קופץ נותן p = 2 (המשולש); באופן כללי הנגזרת הראשונה שאינה רציפה קובעת את הקצב. גלים חלקים יותר זולים יותר לייצוג, וזהו כל תוכנה של טבלת הדעיכה.
גל ריבועי במשרעת שיא 1 ובקצב חזרה f0 מניע מהוד בעל Q גבוה המכוון בדיוק ל-3 f0. אחר כך אותו מהוד מונע בגל סינוס טהור במשרעת שיא 1 בתדר שלו עצמו, 3 f0. בכמה קטנה המשרעת במצב מתמיד במקרה הראשון לעומת השני? תנו את היחס (מקרה ראשון) / (מקרה שני).
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 0.424 (± 0.02)
המהוד מגיב רק למה שההנעה נושאת בתדר שלו עצמו. גל ריבועי יחידתי נושא 4/(3 pi) = 0.4244 בהרמוניה השלישית שלו, מול 1.0 שהסינוס הטהור מספק, ומכיוון ששתי ההנעות יושבות על תהודה עקומת התגובה מכפילה את שתיהן באותו הגבר. לכן היחס הוא בדיוק משרעת ההרמוניה, 0.42. אילו היה מכוון ל-2 f0 לא הייתה כלל תגובת תהודה, משום שסימטריית חצי-מחזור מוחקת כל הרמוניה זוגית וההנעה אינה נושאת שם דבר — ומה שמהוד כזה בכל זאת עושה הוא הזנב מחוץ לתהודה של שכניו, כעשירית ממה שהוא משיג ב-3 f0.
נמדדו ארבעה ספקטרומים. (i) כל ההרמוניות קיימות, משרעות דועכות כ-1/n. (ii) הרמוניות אי-זוגיות בלבד, דועכות כ-1/n. (iii) הרמוניות אי-זוגיות בלבד, דועכות כ-1/n^2. (iv) כל ההרמוניות קיימות, כמעט שוות בגודלן עד n גבוה מאוד. איזה מהם שייך לגל המסור?
A. (i) — קפיצה כופה את הדעיכה האיטית 1/n, והיעדר סימטריית חצי-מחזור משאיר את ההרמוניות הזוגיות. B. (ii) — גל הקפיצה הקלאסי, ולכן הרמוניות אי-זוגיות הדועכות כ-1/n. C. (iii) — הרמפה רציפה בתוך המחזור, ולכן מקדמיה דועכים כ-1/n^2. D. (iv) — כל ההרמוניות קיימות בעוצמה דומה, שכן הרמפה מבקרת בכל ערך במידה שווה.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — (i) — קפיצה כופה את הדעיכה האיטית 1/n, והיעדר סימטריית חצי-מחזור משאיר את ההרמוניות הזוגיות.
- A. נכון, וצמד הרמזים הוא מה שמכריע. הדעיכה 1/n אומרת שיש קפיצה איפשהו במחזור; נוכחות ההרמוניות הזוגיות אומרת שהמחצית השנייה של המחזור אינה הראשונה הפוכה. רק גל המסור מקיים את שניהם. לפרוטוקול: (ii) הוא הגל הריבועי, (iii) המשולש, ו-(iv) רכבת פולסים צרה, שמעטפת ה-sinc שלה עדיין רחבה בהרמוניות האלה.
- B. הדעיכה 1/n נכונה, ומהסיבה הנכונה, אבל לגל המסור אין סימטריית חצי-מחזור: הזזתו בחצי מחזור אינה נותנת את מינוס עצמו, אלא רמפה בהיסט אחר. לכן ההרמוניות הזוגיות שלו שורדות. ספקטרום (ii) שייך לגל הריבועי.
- C. הרמפה רציפה בתוך מחזור אבל הגל מחזורי, ובסוף כל מחזור הוא צונח באי-רציפות חזרה לערך ההתחלתי. הקפיצה הזו היא מה שהמקדמים רואים, והיא קובעת את הדעיכה על 1/n. ספקטרום (iii), עם דעיכת 1/n^2 והרמוניות אי-זוגיות בלבד, הוא גל המשולש.
- D. ביקור בכל ערך אינו קשור כלל לתוכן ההרמוני; מה שקובע הוא חדות התכונות. ספקטרום שטוח כל כך שייך למשהו חד בהרבה מרמפה — רכבת פולסים צרה, שמעטפת ה-sinc שלה עדיין לא התהפכה בהרמוניות האלה. משרעות גל המסור יורדות בהתמדה כ-1/n.
מדידה של אות מחזורי מחזירה מקדם שלישי בעל גודל |c_3| = 0.25 וארגומנט arg(c_3) = -pi/2. נסחו מה כל אחד משני המספרים האלה טוען פיזיקלית, ותארו ניסוי שיאשר כל אחד מהם בנפרד.
בדקו את התשובה
הגודל קובע את עוצמת ההרמוניה השלישית: הפאזור שלה הוא 2 c_3* , ולכן האות מכיל סינוסואידה ב-3 omega0 במשרעת 2 |c_3| = 0.5. הארגומנט קובע את התזמון של אותה הרמוניה — היכן במחזור היא מגיעה לשיאה ביחס ל-t = 0 — ולא דבר מלבד זאת. כדי לאשר את הגודל, העמידו מסנן צר או מגבר נעילת מופע המכוון ל-3 omega0 מול האות ומדדו את המשרעת היוצאת: היא צריכה להיות 0.5, והיא שם בין אם מישהו בחר לפרק את האות ובין אם לא. כדי לאשר את הארגומנט דרוש עוגן מופע, משום שהארגומנט לבדו אינו אינווריאנט: הזיזו את ראשית הזמן ב-delta וכל arg(c_n) יזוז ב-n omega0 delta בעוד כל |c_n| יישאר ללא שינוי. לכן האמירה הניתנת למדידה היא הפרש מופע — בין ההרמוניה הזו לתדר היסוד, או בינה לבין הדק חיצוני — בדיוק כפי שמודול 00 טען עבור תנודה בודדת. ההבחנה הזו בין מה שנושאים הגדלים לבין מה שנושאים המופעים היא הזרע של השאלה שמודול 04 שואל על האם ספקטרום זוכר מתי דברים קרו.

בעיות בסגנון בחינה עבור המודול הזה — אלה שכדאי לפתור עם עט — מרוכזות בדף הבעיות.

הסבירו במילים שלכם¶

ענו במשפטים ספורים על כל אחת. אלה השאלות שחושפות אם הרעיונות נקלטו; שום מספר לא יציל אתכם.

קלרינט וכינור מנגנים את אותו לָה כתוב. שני האותות חוזרים על עצמם 440 פעמים בשנייה. הסבירו מה שונה ביניהם פיזיקלית, ומדוע “יש להם גובה צליל שונה” היא התשובה השגויה.
ספקן אומר: “לומר שגל ריבועי מכיל 300 הרץ זו רק דרך דיבור — זהו אות אחד ב-100 הרץ, וההרמוניות הן הנהלת חשבונות.” ענו לו באמצעות ניסוי המהוד, והבהירו מה היה צריך לקרות כדי שהספקן יצדק.
מגבר מתואר כגולש ב-9% כשמזינים אותו בגל ריבועי. עמית מציע לתקן זאת בהרחבת רוחב הפס. מה זה ישנה בפועל, ומה זה לא ישנה?
איזה סעיף במפרט המודל אוסר להפעיל את מכונת המודול הזה על צליל של מחיאת כף אחת, ומה משתבש אם מתעלמים ממנו?

מתקדם: מה בדיוק עושה סימן השוויון במשוואה הזו¶

שני מובנים של התכנסות. הכתיבה $f = \sum c_n e^{\ii n \omega_0 t}$ מסתירה בחירה. הטור מתכנס אל $f$ בממוצע ריבועי: אנרגיית ההפרש שואפת לאפס, וזהו המובן שפרסבל מודד והמובן שקצב ה- $N^{-1/2}$ מתאר. הוא אינו מתכנס במידה שווה ליד קפיצה — השגיאה הנקודתית הגדולה ביותר נשארת בעקשנות על 9% מהקפיצה — וגיבס הוא בדיוק הפער בין שתי האמירות. עבור אותות רציפים וחלקים למקוטעין שני המובנים מתלכדים וההבחנה לעולם אינה צפה; היא צפה כאן משום שקפיצה היא בדיוק המקרה שבו הם נפרדים.

מיצוע מנצח קטימה. הגלישה היא תכונה של הקטימה החדה, לא של ההרמוניות. החליפו את הסכום החלקי בממוצע של כל הסכומים החלקיים עד $N$ — סכום פייר, או צ’זארו — והגלישה נעלמת כליל, וההתכנסות הופכת שווה במידה. המחיר משולם בשוליים: סכום פייר חלק יותר מהאות ומעגל את הפינות שהוא מנסה לשחזר. זו אותה עסקה שעושה כל פונקציית חלון, ומודול 04 פוגש אותה שוב תחת השם זליגה ספקטרלית.

המחצית השלילית. תחת מוסכמת הקורס הפאזור של ההרמוניה ה- $n$ -ית הוא $2c_n^{*}$ , כלומר המקדם בעל האינדקס השלילי נושא אותו: $\hat{f}_n = 2c_{-n}$ . המחצית שבכיוון השעון של הסכום היא החץ המסתובב של מודול 00, והמחצית שכנגד כיוון השעון היא בבואתה, הדרושה רק כדי לשמור על ממשיות הסכום. שמירה על מחצית אחת בלבד נותנת את האות האנליטי שסעיף המתקדם של מודול 00 הקדים. מודול 04 סוגר את החוט — ומראה שאותה אי-סימטריה היא הסיבה לכך שהספקטרום של קוסינוס ממשי מציב את הפאזור שלו ב- $-\omega_0$ ולא ב- $+\omega_0$ .