התמרת פורייה וקונבולוציה - WaveLab

החידה: איזה תדר הוא מחיאת כף?¶

לשריקה יש גובה צליל. בקשו מכל אחד לזמזם אותה בחזרה והוא יוכל. למחיאת כף אין גובה צליל כלל — איש מעולם לא זמזם מחיאת כף — ובכל זאת מיקרופון ו-FFT ידווחו שמחיאת הכף מכילה אנרגיה בכל תדר, מכמה הרצים ועד הרבה מעבר לגבול השמיעה שלכם.

זה אמור להטריד. מודול 03 נבנה כולו על מחזוריות: אות חוזר על עצמו בזמן מחזור $T$ , ורק ההרמוניות של $2\pi/T$ מותרות. מחיאת כף לעולם אינה חוזרת. אין $T$ , ולכן אין הרמוניות, ולכן אין מסרק — ובכל זאת הספקטרום אינו ריק. הוא מלא יותר מזה של כל תו מוזיקלי.

הגרסה השנייה של החידה יושבת באוויר סביבכם. מאות תחנות רדיו משדרות בו-זמנית לאותו נפח מרחב, והשדה הכולל באנטנה שלכם הוא מתח מבולגן יחיד כפונקציה של זמן. איכשהו מקלט שולף מתוכו תחנה אחת. מה שמאפשר לו לעשות זאת הוא מה שהמודול הזה בונה.

חזו לפני שאתם מחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת מהשאלות לפני שאתם מריצים משהו. רשמו אותן.

פולס נעשה קצר פי שניים, בשמירה על צורתו. הספקטרום שלו נעשה רחב יותר, צר יותר, או נשאר אותו דבר — ובאיזה גורם?
לשתי הקלטות ספקטרום עוצמה זהה, $|F(\omega)|$ שווה בכל תדר. האם הן בהכרח אותו אות? ואם לא, עד כמה שונות הן יכולות להיות?
גל סינוס של 60 הרץ נדגם 100 פעמים בשנייה. איזה תדר הנתונים המוקלטים מראים לכאורה, והאם משהו בנתונים מזהיר אתכם?
האם קיים אות שהוא גם קצר מאוד בזמן וגם צר מאוד בתדר? ואם לא, האם זו מגבלה של המכשירים שלנו או משהו חזק יותר?

חקרו את המודל¶

המעבדה נותנת לכם מפסלת פולסים: בחרו צורה, קבעו את רוחבה, הוסיפו צ’ירפ, והתבוננו באות ובספקטרום שלו זה לצד זה עם הזוג האנליטי משורטט מעל הנומריקה. בקרת דגימה מאפשרת להפוך את הרשת לגסה מדי בכוונה, ומד חי מדווח את $\Delta t_{\text{rms}} \Delta\omega_{\text{rms}}$ מול הרצפה שאסור לו לחצות.

פולס גאוסי נדחס בזמן בעוד הספקטרום שלו מתרחב בדיוק בגורם ההופכי. הרצועות המוצללות הן הרוחבים הריבועיים הממוצעים בכל תחום, והמד בראש נושא את מכפלתם מול הקו ב- $\tfrac12$ . שני הלוחות שומרים על צירים קבועים לכל אורך הסריקה: אילו אחד מהם היה משנה קנה מידה, היצרות בזמן הייתה מפסיקה להיראות כהתרחבות בתדר. הסמן אינו עוזב את הקו, בשני כיווני הסריקה — וזה המשפט, לא הדגמה שלו.

גלגל המצולם בסטרובוסקופ. קצב הסיבוב האמיתי עולה בהדרגה ממנוחה; הסמן המהובהב עוקב אחריו, מאט, קופא כששני הקצבים משתווים, ואז מסתובב אחורה בעוד הגלגל עצמו ממשיך להאיץ. כל הבזק מוסיף נקודה לתרשים שמימין, ולכן הקיפול האופייני נמדד על ידי הגלגל ולא נטען לצדו. דבר ברישום המהובהב אינו מגלה שמשהו השתבש.

מפרט המודל

המערכת: אותות ממשיים אינטגרביליים בריבוע והספקטרומים המרוכבים שלהם; נומרית, $N$ דגימות במרווח $\Delta t$ והספקטרום הבדיד המחושב מהן.
הדינמיקה: אין — שינוי ייצוג; קונבולוציה מדגמת פעולה של מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן כאשר משתמשים בה כך.
הגבול: אותות דועכים ב- $|t|$ גדול או נחתכים לרישום סופי, וההתמרה הבדידה כופה בשקט מחזוריות על כל חלון שניתן לה.
האנסמבל: דטרמיניסטי; רעש מופיע רק בתאי המדידה, שם הוא גאוסי, בלתי תלוי ובעל זרע קבוע.
מה מוזנח: הקפדנות של תורת ההתפלגויות — פונקציות דלתא משמשות באופן מעשי ומסומנות היכן שהן מופיעות — ופתולוגיות התכנסות מעבר לאותות חלקים למקוטעין.
תקף כאשר: תוכן האות מצוי מתחת לתדר נייקוויסט $\pi/\Delta t$ , והרישום ארוך ביחס לתכונות שרוצים לפתור.
אופני כשל: קיפול תדרים, זליגה ספקטרלית הנקראת כפיזיקה, הסקה מספקטרום העוצמה בלבד, והשמטת ה- $1/2\pi$ או של סימן ההתמרה קדימה.

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו. שלושה דברים כדאי לעשות לפני שתמשיכו לקרוא:

סרקו את רוחב הפולס על פני שתי עשרות והתבוננו במד המכפלה יותר מאשר בעקומות. מצאו צורה שמנצחת את $\tfrac12$ . לא תמצאו.
טענו את הצ’ירפ ואת הפולס הפשוט החולקים ספקטרום עוצמה, והביטו בהם בתחום הזמן. אחר כך החליטו מה שאלה 2 שלמעלה באמת שאלה.
דחפו טון לאט כלפי מעלה דרך תדר נייקוויסט עם בקרת הדגימה פועלת, והתבוננו בשיא מסתובב וחוזר למטה.

גזרו את התוצאה¶

להשאיף את זמן המחזור לאינסוף. אות שלעולם אינו חוזר אפשר לטפל בו כאות החוזר לאחר זמן ארוך מאוד — ואז לשלוח את הזמן לאינסוף. נתחיל מהזוג של מודול 03, כאשר $\omega_0 = 2\pi/T$ הוא המרווח בין הרמוניות שכנות, ונגדיר

F(n\omega_0) \equiv T\, c_n = \int_{T} f(t)\, e^{-\ii n \omega_0 t}\,\mathrm{d}t .

(1)

סכום הסינתזה נקרא אז $f(t) = \sum_n \frac{1}{T} F(n\omega_0)\, e^{\ii n \omega_0 t}$ , וכתיבת $1/T = \omega_0/2\pi = \Delta\omega/2\pi$ הופכת אותו ל

f(t) = \frac{1}{2\pi}\sum_{n} F(n\omega_0)\, e^{\ii n \omega_0 t}\, \Delta\omega .

(2)

זהו סכום רימן. כאשר $T \to \infty$ המרווח $\Delta\omega$ שואף לאפס, מסרק התדרים המותרים מתמלא, והסכום הופך לאינטגרל.

המסרק הפך לרצף, וזו התשובה לחידה. למחיאת כף אין הרמוניות משום שאין לה זמן מחזור; יש לה במקום זאת צפיפות רציפה של תוכן תדרי, ו- $F(\omega)$ היא הצפיפות הזו. השאלה “איזה תדר היא מחיאת כף” מניחה מסרק בעל שן אחת. התחליף המנוסח היטב הוא “איך נראה הספקטרום שלה”, והתשובה היא: רחב, משום שהיא קצרה.

היכן נוחת הפאזור. מודול 00 קשר את הפאזור $\hat{x} = A e^{-\ii\varphi}$ לגורם הזמן $e^{-\ii\omega_0 t}$ . תחת ההתמרה קדימה שלמעלה, הגורם הזה, המסתובב בכיוון השעון, חי בתדר שלילי. נכתוב קוסינוס ממשי כשתי המעריכיות שמודול 00 כבר זיהה,

x(t) = \Real\!\left[\hat{x}\,e^{-\ii\omega_0 t}\right] = \tfrac12 \hat{x}\, e^{-\ii\omega_0 t} + \tfrac12 \hat{x}^{*}\, e^{+\ii\omega_0 t},

(4)

ונתמיר איבר-איבר בעזרת תכונת הניפוי של פונקציית הדלתא,

F(\omega) = \pi\hat{x}\,\delta(\omega + \omega_0) + \pi\hat{x}^{*}\,\delta(\omega - \omega_0) .

(5)

כך שהפאזור של הקורס יושב ב- $-\omega_0$ והצמוד שלו ב- $+\omega_0$ . זהו אינו ארטיפקט שיש לסלק. אות ממשי חייב לקיים $F(-\omega) = F(\omega)^{*}$ — זהו בדיוק התנאי לכך שההתמרה ההופכית תצא ממשית — ולכן שתי המחציות אינן בלתי תלויות, ואף אחת מהן אינה מיותרת. מחקו את המחצית השלילית והתמירו בחזרה, ולא תקבלו את האות: תקבלו עצם מרוכב שחלקו הממשי הוא מחצית המקורי. לעצם הזה יש שם, האות האנליטי, והוא נושא סעיף המתקדם.

גן החיות של הזוגות. ארבע התמרות עושות את רוב העבודה בקורס הזה, וכל אחת שווה גזירה אחת כדי שאפשר יהיה לזהות אותה לנצח.

מלבן וסינק. פולס בגובה 1 וברוחב מלא $a$ , ממורכז סביב $t = 0$ :

F(\omega) = \int_{-a/2}^{a/2} e^{-\ii\omega t}\,\mathrm{d}t = \frac{2\sin(\omega a/2)}{\omega} = a\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{\omega a}{2}\right),

(6)

עם אפסים בכל מקום שבו $\omega a/2$ הוא כפולה של $\pi$ . הקטינו את רוחב הפולס פי שניים וכל אפס נע החוצה פי שניים: הספקטרום נמתח בדיוק בגורם שבו הפולס נדחס. מודול 29-fraunhofer פוגש את אותה עקומה על מסך, עם סדק במקום $a$ .

גאוסיאן וגאוסיאן. עבור $f(t) = e^{-t^2/2\sigma^2}$ , השלמה לריבוע במעריך נותנת

F(\omega) = \sqrt{2\pi}\,\sigma\, e^{-\sigma^2\omega^2/2} .

(7)

גאוסיאן ברוחב $\sigma$ מותמר לגאוסיאן ברוחב $1/\sigma$ . זו הצורה היחידה בגן החיות השומרת על צורתה — ולא במקרה, זו המשיגה שוויון במשפט רוחב הפס.

מעריכית חד-צדדית ולורנציאן. דעיכה הנדלקת ב- $t = 0$ , $f(t) = e^{-t/\tau}$ עבור $t \ge 0$ ואפס לפני כן:

F(\omega) = \int_{0}^{\infty} e^{-t/\tau}\,e^{-\ii\omega t}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{1/\tau + \ii\omega},

(8)

שעוצמתו לורנציאן ברוחב חצי $1/\tau$ . זוהי שוב עקומת התהודה של מודול 02, והאמירה שהיא עושה היא זו שפיזיקאים מכנים יחס רוחב-קו–זמן-חיים: מצב הדועך מהר מראה קו רחב. היא חוזרת כרוחב קו הלייזר של מודול 45-lasers וכקו המהוד של מודול 26-fabry-perot.

מסרק ומסרק. רכבת הלמים במרווח $T$ מותמרת לרכבת למים במרווח $2\pi/T$ . מודול 03 כבר הוכיח זאת: המסרק מחזורי, ולכן יש לו טור פורייה, וכל אחד ממקדמיו הוא $1/T$ — משקל שווה לכל הרמוניה. מרווח עדין בזמן פירושו מרווח גס בתדר, והזוג הזה הוא המנוע של דיון הדגימה שלמטה.

משפט הקונבולוציה. נגדיר את הקונבולוציה $(f * g)(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\,\mathrm{d}\tau$ — אות אחד מרוח בצורתו של האחר. נתמיר, נחליף את סדר האינטגרציה, ונציב $u = t - \tau$ :

\int\!\!\int f(\tau) g(t-\tau) e^{-\ii\omega t}\,\mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}t = \int f(\tau) e^{-\ii\omega \tau}\,\mathrm{d}\tau \int g(u) e^{-\ii\omega u}\,\mathrm{d}u .

(9)

פרסבל. לקיחת הצמוד של ההתמרה ההופכית והצבה אחת נותנות

\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2\,\mathrm{d}\omega .

(10)

האנרגיה זהה בכל דרך שבה סופרים אותה. זה מה שמתיר לקרוא לוח ספקטרום כתקציב אנרגיה ולא כתמונה.

משפט רוחב הפס. נגדיר את הרוחבים הריבועיים הממוצעים כמומנטים שניים של $|f|^2$ ושל $|F|^2$ סביב מרכזי הכובד שלהם. אז, לכל אות,

זהו משפט ולא מגבלה הנדסית, וזוהי אותה אי-שוויון — עם שמות אחרים על הצירים — כמו אורך הקוהרנטיות של מודול 27-coherence, ההתבדרות של אלומה ממוקדת במודול 43-gaussian-beams, ואי-ודאות מיקום-תנע במכניקת הקוונטים. פולס לייזר בן 10 פמטושניות אינו יכול להיות בעל רוחב קו צר מ- $5 \times 10^{13}$ רדיאן לשנייה בערך, וזו הסיבה שלייזרים אולטרה-מהירים הם בהכרח רחבי פס.

הגשר אל נתונים דגומים. כל מדידה היא רשימה סופית של מספרים, ושני דברים קורים בדרך לשם — שניהם מסקנות של משפט הקונבולוציה.

דגימה מכפילה במסרק. רישום במרווח $\Delta t$ מכפיל את האות ברכבת למים, ולכן לפי משפט הקונבולוציה הספקטרום עובר קונבולוציה עם מסרק: הוא מועתק, בלי סוף, במרווח $2\pi/\Delta t$ . אם תוכן האות מוגבל מתחת ל- $\omega_{\text{Nyq}} = \pi/\Delta t$ ההעתקים אינם חופפים ודבר אינו אובד. אם לא, ההעתקים חופפים ומתחברים, ותוכן מעל נייקוויסט מופיע מחדש מקופל מתחתיו, בלתי ניתן להבחנה מתוכן שבאמת היה שם.

רישום סופי מכפיל במלבן. רישום למשך זמן סופי מכפיל במלבן, ולכן הספקטרום עובר קונבולוציה עם ההתמרה של אותו מלבן, סינק. טון טהור מופיע אפוא לא כשן אלא כסינק, עם אונות צד הנשפכות אל תדרים שכנים. זוהי זליגה ספקטרלית, ורוחבה נקבע על ידי אורך הרישום: $\Delta\omega \sim 2\pi/T$ . הזליגה היא תכונה של החלון שלכם, לא של האות, ולכן זו טעות לקרוא מבנה באונות הצד כפיזיקה.

לבסוף, ההתמרה שהמחשב באמת מחשב היא הסכום הבדיד $X_k = \sum_n x_n\, e^{-2\pi\ii k n/N}$ , והכפלתו ב- $\Delta t$ מקרבת את $F(\omega_k)$ — הנרמול הזה הוא מה ש-wavelab.fourier.spectrum מפעיל כדי שאפשר יהיה לשרטט את הזוגות האנליטיים שלמעלה ישירות מעל הנומריקה. ריפוד הרישום באפסים מוסיף נקודות על אותה עקומה בסיסית; הוא מבצע אינטרפולציה של הספקטרום, הוא אינו פותר דבר חדש. רזולוציה מגיעה מרישום ארוך יותר, ומשום מקום אחר.

אמתו חישובית¶

כל בדיקה למטה היא גם מבחן במערך המבחנים של הפרויקט, ולכן הטענות האלה אינן יכולות להירקב בשקט.

1. גן החיות מול ה-FFT. הזוג הגאוסי מסכים עם צורתו הסגורה ברמה של $3\times 10^{-16}$ — דיוק מכונה. המלבן לא, והסיבה היא אותו סיפור חלקות שמודול 03 סיפר: אי-רציפות דגומה עולה בדיוק, והשגיאה כאן יורדת רק כ- $\Delta t$ , כפי שנמדד ב- $2.4\times10^{-2}$ , $1.2\times10^{-2}$ ו- $5.9\times10^{-3}$ כשהרשת מוקטנת פי שניים פעמיים. ריפוד באפסים אינו מתקן זאת, משום שהריפוד מבצע אינטרפולציה של ההתמרה של המלבן הדגום במקום להפוך אותה לסינק הרציף.

2. המסלול הלוך ושוב. inverse_spectrum(spectrum(f)) מחזיר את האות ברמה של $3\times10^{-16}$ , ופרסבל מתאזן לחלק אחד ל-10¹³.

3. היכן נוחת הפאזור.

המיקום הנמדד של הפאזור

עבור $x(t) = \Real[\hat{x} e^{-\ii\omega_0 t}]$ הספקטרום המחושב מחזיר בדיוק $\pi\hat{x}$ ב- $-\omega_0$ ו- $\pi\hat{x}^{*}$ ב- $+\omega_0$ , עד חמש עשרה ספרות, עם זליגה במקומות אחרים ברמת $5\times10^{-15}$ — בתנאי ש- $\omega_0$ נוחת בדיוק על תדר רשת. כשהוא ממוקם בין שתי נקודות רשת אותו קוסינוס נקרא נמוך בכחמישית בתא הקרוב, והאנרגיה החסרה מתפזרת על פני שאר הציר. זו אינה שגיאה בהתמרה. זו זליגה, המגיעה בלי הזמנה בדוגמה הפשוטה ביותר האפשרית, וכדאי לפגוש אותה כאן ולא במדידה שמשנה.

4. משפט הקונבולוציה. הספקטרום של זוג שעבר קונבולוציה נומרית מתאים למכפלת הספקטרומים שלהם ברמה יחסית של $4\times10^{-16}$ .

5. רצפת רוחב הפס. מכפלות ריבועיות ממוצעות נמדדות על פני צורות. הגאוסיאן מחזיר 0.500000; גאוסיאן מצ’רפף, שה- $|f|^2$ שלו זהה לזה של הפשוט, מחזיר יותר — והעודף מגיע כולו מהמופע. שום צורה אינה מחזירה פחות.

העבירו את הרעיון¶

תגובת הלם (מודול 05-impulse-response). ההתמרה של פונקציית גרין של מערכת היא תגובת התדר שלה. משפט הקונבולוציה הוא מה שהופך את “אנטגרו את התגובה לכל בעיטה בעבר” ל"הכפילו בעקומה", וזו הסיבה שמהנדסים מדברים על מערכות בתחום התדר בכלל.
חבילות גלים (מודולים 12-wave-packets, 13-dispersion). אותו משפט עם $x$ ועם $k$ במקום $t$ ו- $\omega$ : חבילה ממוקמת במרחב היא סופרפוזיציה פרוסה במספר גל, ומשפט רוחב הפס הופך לאמירה שפולס קצר חייב להתפשט.
קוהרנטיות (מודול 27-coherence). רוחב הפס הספקטרלי של מקור קובע כמה זמן שורדות פסי ההתאבכות שלו. זמן הקוהרנטיות הוא $1/\Delta\omega$ , וזהו משפט רוחב הפס בתחפושת אופטית.
עקיפה (מודול 29-fraunhofer). תבנית השדה הרחוק של פתח היא התמרת פורייה של הפתח. גן החיות הופך לחומרה: סדק נותן סינק, אלומה גאוסית נותנת גאוסיאן, סריג נותן מסרק.
כל מעבדה מאוחרת יותר. לוח הספקטרום בכל אחת מהן הוא קריאת ה-spectrum() של המודול הזה, עם הנרמול של המודול הזה והאזהרות של המודול הזה.

בדקו את הבנתכם¶

אות נדלק בחדות ב-t = 0 ואז דועך בחלקות עם קבוע זמן tau. בלי לחשב דבר, איזה ספקטרום עוצמה יש לו?
A. גבנון יחיד ממורכז סביב תדר אפס, ברוחב חצי של כ-1/tau — לורנציאן. B. sinc מתנודד עם אפסים במרווחים קבועים. C. גאוסיאן, שכן דעיכה חלקה היא בערך בצורת פעמון. D. שני שיאים צרים ב-plus ו-minus 1/tau.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — גבנון יחיד ממורכז סביב תדר אפס, ברוחב חצי של כ-1/tau — לורנציאן.
- A. נכון. המעריכית החד-צדדית מותמרת ל-1/(1/tau + i omega), שעוצמתה לורנציאן ברוחב חצי 1/tau. זוהי עקומת התהודה של מודול 02 המגיעה מהכיוון השני, וזהו יחס רוחב-קו–זמן-חיים: מצב הדועך מהר מראה קו רחב. אותה עקומה חוזרת כרוחב קו של לייזר וכתגובת מהוד בהמשך הקורס.
- B. sinc מגיע ממלבן — משהו שנדלק וגם נכבה בחדות. האות הזה חד בקצה אחד בלבד; הדעיכה החלקה בקצה השני היא מה שמסלק את התנודה ומשאיר גבנון יחיד. קצוות חדים יוצרים ספקטרומים מצלצלים, ולאות הזה יש קצה אחד ולא שניים.
- C. הגאוסיאן הוא הצורה היחידה המותמרת לעצמה, והאות הזה אינו כזה: הוא אינו רציף ב-t = 0 והוא חד-צדדי. אי-הרציפות הזו היא בדיוק מה שנותן לספקטרום את זנבות הלורנציאן היורדים לאט, הדועכים כ-1/omega במקום להיקטע בחדות כפי שזנבות גאוסיאן נקטעים.
- D. שיאים צרים פירושם סינוסואידות ארוכות חיים — אות הממשיך להתנודד בתדר מוגדר לנצח. דעיכה היא המקרה ההפוך, וככל שהיא קצרה יותר הספקטרום שלה רחב יותר. שיאים היו מופיעים רק בגבול tau שואף לאינסוף, שבו האות אינו דועך כלל.
לפולס יש משך ריבועי ממוצע של 2.0 אלפיות שנייה. מהו הרוחב הספקטרלי הריבועי הממוצע הקטן ביותר האפשרי עבורו, ברדיאן לשנייה?
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 250.0 (± 5.0)
Delta t כפול Delta omega הוא לפחות 1/2, ולכן הרצפה היא 0.5 / 0.002 = 250 רדיאן לשנייה. רק פולס גאוסי מגיע אליה; כל צורה אחרת רחבה יותר. שימו לב לכיוון אי-השוויון: להרחיב את הספקטרום קל — צ’רפפו את הפולס, או חדדו את קצותיו — אך שום דבר אינו מצר אותו במשך הזה. זו הסיבה שפולס לייזר קצר הוא בהכרח רחב פס.
גל סינוס של 60 הרץ נדגם 100 פעמים בשנייה. באיזה תדר, בהרץ, הנתונים המוקלטים מראים טון לכאורה?
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 40.0 (± 1.0)
תדר נייקוויסט הוא מחצית מקצב הדגימה, 50 הרץ, ותוכן מעליו מתקפל בחזרה למטה: התדר הנראה הוא 100 - 60 = 40 הרץ. הנקודה החשובה יותר מהחשבון היא שהרישום אינו מכיל שום אזהרה. מופיע שיא נקי ב-40 הרץ, ודבר בנתונים אינו מבדיל אותו מטון שבאמת היה ב-40 הרץ. לכן נייקוויסט הוא תנאי תקפות על המודל ולא הגדרת איכות.
נמצא ששתי הקלטות בעלות ספקטרום עוצמה זהה: |F(omega)| מסכים בכל תדר. מה אפשר להסיק על שני האותות?
A. מעט מאוד — מידע התזמון נישא במופע, ולכן שני האותות יכולים להיות שונים לחלוטין. B. הם אותו אות, אולי מוזז בזמן. C. הם בהכרח העתקים הפוכי-זמן זה של זה. D. הם נבדלים לכל היותר בגורם משרעת כולל.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — מעט מאוד — מידע התזמון נישא במופע, ולכן שני האותות יכולים להיות שונים לחלוטין.
- A. נכון. נקישה קצרה וצ’ירפ ארוך יכולים לחלוק ספקטרום עוצמה בדיוק, ולא להיראות דומים כלל. ההתמרה אינה זורקת את התזמון; היא מעבירה אותו אל arg F, שהעוצמה פשוט אינה מראה. שחזרו מהספקטרום המרוכב המלא ותקבלו את האות בדיוק; שמרו את העוצמות והגרילו את המופעים ותקבלו רעש.
- B. הזזה בזמן אכן משמרת את ספקטרום העוצמה — היא מכפילה את ההתמרה במופע טהור — ולכן העתקים מוזזים הם דוגמה אחת. הם רחוקים מלהיות היחידה. אפשר לבנות צ’ירפ ופולס בעלי עוצמות זהות וצורות שונות לחלוטין, וזה כל תוכנה של בעיית שחזור המופע. העוצמה היא מחצית התיאור.
- C. היפוך זמן הוא פעולה נוספת המשמרת את ספקטרום העוצמה, ולכן זו דוגמה שנייה ולא התשובה הכללית. קבוצת האותות החולקים ספקטרום עוצמה אחד גדולה מאוד, משום שאפשר לבחור את המופע של כל תדר באופן בלתי תלוי.
- D. גורם כולל היה משנה גם את ספקטרום העוצמה, ולכן הוא לא היה זהה. לאותות כאן בדיוק אותה עוצמה בכל תדר והם עדיין יכולים להיות שונים לחלוטין, משום שדבר לא נאמר על המופעים שלהם.
ה-FFT של הקלטה ממשית מראה תוכן בתדרים שליליים, המשקף את הצד החיובי. מהי המחצית הזו של הספקטרום?
A. המחצית השנייה של כל תנודה ממשית — ממשיות כופה ש-F(-omega) יהיה הצמוד של F(omega), ותחת מוסכמת הקורס הפאזור של קוסינוס יושב ב-minus omega0. B. רעש נומרי מיותר שמימוש זהיר היה מוחק. C. תוכן שהיה מעל תדר נייקוויסט והתקפל אל הציר השלילי. D. ארטיפקט של הרישום הסופי המצטמצם ככל שההקלטה מתארכת.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — המחצית השנייה של כל תנודה ממשית — ממשיות כופה ש-F(-omega) יהיה הצמוד של F(omega), ותחת מוסכמת הקורס הפאזור של קוסינוס יושב ב-minus omega0.
- A. נכון, וסימטריית השיקוף היא הסימן המובהק. קוסינוס ממשי הוא סכום של שתי מעריכיות המסתובבות בכיוונים מנוגדים, כפי שמודול 00 הראה, וההתמרה מפרידה ביניהן: pi x_hat נוחת ב-minus omega0 והצמוד שלו ב-plus omega0. מחיקת מחצית אחת אינה מפשטת את האות אלא משנה אותו — לאות האנליטי המרוכב, שחלקו הממשי הוא מחצית המקורי.
- B. היא נקבעת על ידי המחצית החיובית ולא בלתי תלויה בה, וזה אינו אותו דבר כמו להיות רעש — היא נושאת בדיוק מחצית מאנרגיית האות, ופרסבל לא יתאזן בלעדיה. מחיקתה והתמרה בחזרה מייצרות אות אחר, מרוכב. לעצם הזה יש שימוש ויש שם, אבל הוא אינו ההקלטה שהתחלתם ממנה.
- C. זה מתאר קיפול תדרים, שהוא אפקט נפרד והוא מקפל תוכן גם אל הציר החיובי. המחצית השלילית של ספקטרום של אות ממשי קיימת גם כשהדגימה מספקת לחלוטין ודבר לא התקפל; היא נדרשת מעצם היות האות ממשי.
- D. זה מתאר זליגה ספקטרלית, שאכן מצטמצמת ככל שהרישום מתארך. מחצית התדרים השליליים אינה מצטמצמת עם אורך הרישום — היא גדולה בדיוק כמו המחצית החיובית ולא משנה כמה זמן תקליטו, משום שהיא מחצית מהאות.
נסחו את משפט הקונבולוציה בשני הכיוונים, במילים פשוטות, ותנו מצב פיזיקלי אחד שבו כל כיוון הוא השימושי.
בדקו את התשובה
קונבולוציה של שני אותות בזמן מכפילה את הספקטרומים שלהם; הכפלת שני אותות בזמן מבצעת קונבולוציה של הספקטרומים שלהם (עם גורם 1/2 pi). הכיוון הראשון הוא זה שהופך את תגובת התדר לרעיון שימושי בכלל: כל מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן — מסנן, מגבר, עדשה, ספקטרומטר — פועלת על הקלט שלה בקונבולוציה עם תגובה קבועה, ולכן בתחום התדר היא פשוט מכפילה בעקומה. קו ספקטרלי נמדד הוא צורת הקו האמיתית בקונבולוציה עם תגובת המכשיר, ולכן מצטטים פונקציות מכשיר ומבצעים דה-קונבולוציה. הכיוון השני הוא המקום שבו דגימה וחלונות מקבלים את השלכותיהם: דגימה מכפילה את האות במסרק, ולכן הספקטרום עובר קונבולוציה עם מסרק ומועתק בתדר הדגימה — הַחפיפו את ההעתקים האלה וקיבלתם קיפול תדרים. רישום למשך זמן סופי מכפיל במלבן, ולכן הספקטרום עובר קונבולוציה עם sinc, וזוהי זליגה ספקטרלית. שני האפקטים הם מסקנות של משפט אחד הנקרא בכיוון הכפלה-לקונבולוציה, ולכן הם תמיד מגיעים יחד עם נתונים אמיתיים.

בעיות בסגנון בחינה עבור המודול הזה — אלה שכדאי לפתור עם עט — מרוכזות בדף הבעיות.

הסבירו במילים שלכם¶

ענו במשפטים ספורים על כל אחת. אלה השאלות שחושפות אם הרעיונות נקלטו; שום מספר לא יציל אתכם.

מדוע “איזה תדר היא מחיאת כף?” היא השאלה הלא נכונה, ומהי הנכונה? התשובה שלכם צריכה לומר מה השתנה בין מודול 03 למודול הזה.
אופיו של תו בפסנתר תלוי מאוד באופן ההקשה, ובכל זאת ספקטרום העוצמה של החלק המוחזק כמעט אינו משתנה. היכן בהתמרה חי הרגע ההתחלתי?
הסבירו קיפול תדרים ליוצר סרטים ששם לב שגלגלי עגלה נראים לפעמים מסתובבים אחורה, בלי להשתמש במילים פורייה, ספקטרום או נייקוויסט.
עמית מדווח על שיא ספקטרלי חד שנמדד מהקלטה בת שתי שניות וטוען שהוא מפריד שני קווים במרחק 0.1 הרץ. על איזה סעיף במפרט המודל תצביעו, ומה תבקשו ממנו לעשות?

מתקדם: אותות חד-צדדיים, חלונות, והספקטרוגרמה¶

האות האנליטי. שמירה על מחצית אחת בלבד מהספקטרום של אות ממשי והתמרה בחזרה נותנות אות מרוכב שחלקו הממשי הוא מחצית המקורי ושעוצמתו היא המעטפת של המקורי — עצם נוח ביותר לכל דבר שיש לו מעטפת ונשא. תחת מוסכמת הקורס המחצית שיש לשמור היא זו של התדר השלילי, משום ששם חי הפאזור המסתובב בכיוון השעון $e^{-\ii\omega_0 t}$ ; ספרי הנדסה, המסתובבים בכיוון ההפוך, שומרים על המחצית החיובית וקוראים לאותו עצם באותו שם. זה סוגר את החוט שמודול 00 פתח בסעיף המתקדם שלו, ושתי המוסכמות מתארות פיזיקה זהה בהנהלת חשבונות משוקפת.

חלונות, ומה הם עולים. הזליגה נובעת מהקצוות החדים של רישום סופי, ולכן אפשר להקטין אותה על ידי החלקתם — הכפלה בחלון היורד בהדרגה לאפס, כמו חלון האן. אונות הצד יורדות בסדרי גודל. המחיר משולם באונה המרכזית, שרוחבה גדל בערך פי שניים: שליטה בזליגה נקנית ברזולוציה, זו תמורת זו, ואף חלון אינו נמלט מהעסקה. זהו סכום פייר של מודול 03 בתחום חדש, עושה את אותה עסקה עצמה.

להחליף אחד באחר, במכוון. משפט רוחב הפס אוסר רזולוציה מושלמת בשני התחומים בו-זמנית, אך אינו אוסר לבחור היכן להוציא את התקציב. חתכו רישום ארוך לחתיכות קצרות וחופפות, התמירו כל אחת, וערמו את התוצאות לתמונת זמן-תדר: הספקטרוגרמה. חתיכות קצרות נותנות תזמון חד ותדר מטושטש; חתיכות ארוכות להפך. כל ספקטרוגרמה שראיתם אי פעם היא בחירה בעסקה הזו, מפורשת באורך של חלון אחד, והמשפט שלמעלה הוא הסיבה שאי אפשר להתחמק מהבחירה.