דף בעיות — התמרת פורייה וקונבולוציה

דף בעיות: התמרת פורייה וקונבולוציה¶

בעיות בסגנון בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שאתם נוגעים במחשב; שלוש האחרונות נועדו להסתיים נומרית. פתרונות ומחווני בדיקה נמצאים בחומר המרצה ואינם מופיעים באתר הזה במכוון.

לאורך כל הדף מוסכמת הקורס תקפה: ההתמרה קדימה היא $F(\omega) = \int f(t)\, e^{-\ii\omega t}\,\mathrm{d}t$, וההופכית נושאת את הסימן הנגדי יחד עם ה-$1/2\pi$ — ראו דף המוסכמות. רוחבים ריבועיים ממוצעים הם מומנטים שניים של $|f|^2$ ושל $|F|^2$ סביב מרכזי הכובד שלהם.

Problem 1 — הזוג הגאוסי, ביושר¶

(א) התמירו את $f(t) = e^{-t^2/2\sigma^2}$ על ידי השלמה לריבוע במעריך, וקבלו $F(\omega) = \sqrt{2\pi}\,\sigma\,e^{-\sigma^2\omega^2/2}$. ציינו בבירור היכן השתמשתם באינטגרל הגאוסי הסטנדרטי ומדוע ההזזה אל המישור המרוכב לגיטימית.

(ב) חשבו את $\Delta t_{\text{rms}}$ ואת $\Delta\omega_{\text{rms}}$ עבור הזוג הזה. הראו שכל אחד מהם קטן מרוחב העקומה שהוא מתאר בגורם $\sqrt{2}$, ושמכפלתם היא בדיוק $\tfrac12$.

(ג) הסבירו, בלי להוכיח, מדוע השוויון מייחד את הגאוסיאן: מה מיוחד בפונקציה שהתמרתה בעלת אותה צורה?

Problem 2 — המשפטים שמזיזים דברים¶

(א) הוכיחו את משפט קנה המידה: אם $g(t) = f(at)$ עבור $a > 0$, אז $G(\omega) = F(\omega/a)/a$. אמרו במשפט אחד מה קורה לשטח מתחת ל-$|F|$ ומדוע זה היה חייב להיות כך.

(ב) הוכיחו את משפט ההזזה: השהיית אות ב-$t_0$ מכפילה את התמרתו ב-$e^{-\ii\omega t_0}$. הסיקו ש-$|F(\omega)|$ עיוור לחלוטין לשאלה מתי האות התרחש, והעירו מה זה מלמד על שחזור אות מהעוצמה בלבד.

(ג) הוכיחו את משפט האפנון: הכפלה ב-$\cos\omega_c t$ מפצלת את הספקטרום לשני העתקים ב-$\pm\omega_c$, כל אחד בחצי גובה. זהו אפנון משרעת, וכך חולקות תחנות הרדיו של החידה הפותחת את האוויר.

(ד) בעזרת גן החיות ושלושת המשפטים האלה בלבד — בלי אינטגרלים — שרטטו את הספקטרומים של: פולס מלבני ברוחב $a$ מושהה ב-$3a$; גאוסיאן מוכפל ב-$\cos\omega_c t$; ושני פולסים מלבניים ברוחב $a$ במרחק $d$ זה מזה.

Problem 3 — רוחבי קו וזמני חיים¶

(א) עבור המעריכית החד-צדדית $e^{-t/\tau}\,\Theta(t)$, הראו ש-$|F(\omega)|^2$ הוא לורנציאן ושרוחבו המלא בחצי הגובה הוא $2/\tau$.

(ב) מצב אטומי מעורר דועך עם זמן חיים של $2.0\ \mathrm{ns}$. מהו רוחב הקו המינימלי של האור שהוא פולט, במגה-הרץ? השוו זאת לרוחב דופלר של גז בטמפרטורת החדר ואמרו מי משניהם דומיננטי.

(ג) השתמשו בפרסבל כדי לחשב את $\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}\omega/(1/\tau^2 + \omega^2)$ בלי אינטגרציה בקו מסלול מרוכב.

(ד) קו נמדד הוא צורת הקו האמיתית בקונבולוציה עם תגובת המכשיר. אם שניהם לורנציאנים, מהי הצורה והרוחב של התוצאה? ואם שניהם גאוסיאנים? (אחת מהתשובות האלה מתכללת בקלות והשנייה לא — אמרו איזו.)

Problem 4 — ציד המכפלה המינימלית, נומרית¶

בעזרת wavelab.fourier (במעבדת הדפדפן או מקומית):

(א) בנו את משפחת הסופר-גאוסיאנים $f(t) = \exp(-|t/\sigma|^{p})$ עבור $p$ מ-1 עד 8, וחשבו את $\Delta t_{\text{rms}}\Delta\omega_{\text{rms}}$ לכל אחד עם rms_widths. שרטטו את המכפלה מול $p$.

(ב) אשרו שהמינימום יושב ב-$p = 2$ בערך $\tfrac12$, ושכל שאר בני המשפחה מעליו. אשרו גם שהמכפלה אינה משתנה כאשר $\sigma$ משתנה.

(ג) ככל ש-$p$ גדל הפולס מתקרב למלבן. הסבירו מה קורה למכפלה הנמדדת, ומדוע מלבן בעל קצוות חדים הוא בן משפחה בעייתי. (חשבו כיצד זנבות הסינק תורמים למומנט השני של $|F|^2$.)

Problem 5 — זליגה במשפט¶

בעזרת wavelab.fourier:

(א) קחו קוסינוס טהור שתדרו נוחת בדיוק על תדר רשת של הרישום שלכם, וחשבו את הספקטרום שלו. אחר כך הזיזו את התדר בחצי מרווח רשת וחשבו מחדש. דווחו את גובה השיא בשני המקרים ותארו לאן הלכה האנרגיה החסרה.

(ב) חזרו על כך עם חלון האן מוחל על הרישום. דווחו את רמת אונות הצד ואת רוחב האונה המרכזית בשני המקרים, ונסחו את העסקה במשפט אחד.

(ג) הראו שריפוד הרישום באפסים פי שמונה מחליק את הספקטרום המשורטט אך אינו מפריד שני טונים שלא הופרדו קודם. אחר כך מצאו, בניסוי, את אורך הרישום שכן מפריד שני טונים במרחק 1.5 מרווחי רשת, והשוו אותו ל-$2\pi/\Delta\omega$.

Problem 6 — אתגר: להרכיב את הדגימות בחזרה¶

(א) ממשו אינטרפולציית סינק: שחזרו אות רציף מדגימות שנלקחו במרווח $\Delta t$ על ידי סכימת פונקציות $\operatorname{sinc}$ ממורכזות על כל דגימה. אמתו שעבור אות מוגבל פס מתחת לנייקוויסט השחזור מדויק עד דיוק מכונה בנקודות שבין הדגימות, ולא רק בהן.

(ב) שברו אותו. הזינו לאותה שגרה צ’ירפ הסורק כלפי מעלה דרך תדר נייקוויסט, ושרטטו שחזור מול אמת. הסבירו את הכישלון במונחי תמונת המסרק, ואמרו בדיוק באיזה רגע השחזור מפסיק להיות בר-שחזור.

(ג) קחו אות כלשהו, שמרו את $|F(\omega)|$, החליפו כל מופע במופע אקראי, והתמירו בחזרה. השוו למקורי. אחר כך עשו את ההפך — שמרו את המופעים ושטחו כל עוצמה לאחד — והשוו שוב. איזה שחזור מזוהה יותר, ומה אומר זוג הניסויים הזה על היכן שוכן המידע של אות באמת?