דף בעיות — טורי פורייה

דף בעיות: טורי פורייה¶

בעיות בסגנון בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שאתם נוגעים במחשב; שתי האחרונות נועדו להסתיים נומרית. פתרונות ומחווני בדיקה נמצאים בחומר המרצה ואינם מופיעים באתר הזה במכוון.

לאורך כל הדף מוסכמת הקורס תקפה: אות מחזורי בעל זמן מחזור $T$ נכתב $f(t) = \sum_n c_n e^{\ii n\omega_0 t}$ עם $\omega_0 = 2\pi/T$, מקדמיו הם $c_n = \frac{1}{T}\int_T f(t)\, e^{-\ii n\omega_0 t}\,\mathrm{d}t$, והפאזור של ההרמוניה ה-$n$-ית הוא $\hat{f}_n = 2c_n^{*}$.

Problem 1 — שני גלים, שיטה אחת¶

(א) חשבו את מקדמי גל המסור העולה ליניארית מ--1 ל-+1 לאורך כל מחזור. הראו שכל ההרמוניות קיימות ושמתקיים $|c_n| \propto 1/n$, ואמרו איזו סימטריה יש לגל הריבועי שחסרה לגל הזה.

(ב) חשבו את מקדמי רכבת פולסים השווה 1 לאורך שבר $d$ מכל מחזור, ממורכזת סביב $t = 0$, ו-0 אחרת. הראו ש-$c_n = d\,\operatorname{sinc}(nd)$ עם ה-sinc המנורמל, ואתרו את אפסי המעטפת.

(ג) שרטטו את שני הספקטרומים. כאשר $d \to 0$ בשמירה על שטח הפולס, תארו מה קורה למעטפת, ואמרו במשפט אחד מה זה מלמד על רוחב הפס שפולס קצר דורש. (בכך הקדמתם את התוצאה המרכזית של מודול 04.)

Problem 2 — סימטריה עושה את האינטגרלים¶

(א) הראו שלאות זוגי מקדמים ממשיים טהורים ולאות אי-זוגי מקדמים מדומים טהורים, בעזרת $c_{-n} = c_n^{*}$ וההצבה $t \to -t$.

(ב) הוכיחו שסימטריית חצי-מחזור, $f(t + T/2) = -f(t)$, כופה $c_n = 0$ לכל $n$ זוגי.

(ג) סווגו כל אחד מהבאים בהתבוננות בלבד, תוך ציון אילו הרמוניות שורדות והאם המקדמים ממשיים, מדומים או לא זה ולא זה: גל ריבועי מוסט כך שהוא זוגי סביב $t = 0$; סינוס מיושר גל מלא, $|\sin \omega t|$; גל מסור; רכבת פולסים במחזור עבודה $1/2$.

(ד) לאות יש גם סימטריית חצי-מחזור וגם זוגיות. מה נותר, ומהי ההרמוניה הנמוכה ביותר שיכולה להיות שונה מאפס?

Problem 3 — פרסבל ותקציב האנרגיה¶

(א) גזרו את יחס פרסבל לטור פורייה, $\frac{1}{T}\int_T |f|^2\,\mathrm{d}t = \sum_n |c_n|^2$, בעזרת אורתוגונליות. אמרו במשפט אחד מה משמעותו הפיזיקלית.

(ב) יישמו אותו על הגל הריבועי של העמוד והסיקו $\sum_{n \text{ odd}} 1/n^2 = \pi^2/8$.

(ג) איזה שבר מהספק הגל הריבועי יושב בתדר היסוד לבדו? ובשלוש ההרמוניות הראשונות שאינן מתאפסות? העירו עד כמה הרושם השמיעתי של “גל ריבועי” תואם את התקציב הזה.

(ד) קשרו את השגיאה הריבועית הממוצעת של הסכום החלקי בן $N$ האיברים לזנב $\sum_{|n|>N}|c_n|^2$, והשתמשו בדעיכת ה-$1/n$ כדי לשחזר את הקצב $N^{-1/2}$ המצוטט בסעיף האימות.

Problem 4 — לעגל את הפינה, נומרית¶

בעזרת wavelab.fourier (במעבדת הדפדפן או מקומית):

(א) בנו גל ריבועי שקפיצותיו הוחלקו על פני רוחב $\varepsilon$ ממחזור — החליפו כל קפיצה ברמפה ליניארית, או ב-$\tanh(t/\varepsilon)$, ואמרו במה בחרתם. חשבו את מקדמיו עם fourier_coefficients עבור $\varepsilon = 0.1, 0.03, 0.01$.

(ב) שרטטו את $|c_n|$ מול $n$ בסקאלה לוגריתמית כפולה לכל $\varepsilon$. זהו את הרמוניית המעבר $n^{*}$ שממנה הדעיכה מתחדדת, והראו ש-$n^{*} \sim 1/\varepsilon$.

(ג) הסבירו את התוצאה בפסקה אחת: אות שהוא חלק בקנה מידה עדין עדיין נראה לא-רציף להרמוניות גסות מכדי לפתור את קנה המידה הזה. מה זה אומר על רוחב הפס שמגבר אמיתי צריך כדי לשחזר גל ריבועי אמיתי, שאינו ריבועי לגמרי?

Problem 5 — בנק מהודים כמנתח פורייה¶

בעזרת wavelab.oscillators ו-wavelab.fourier:

(א) הניעו מתנד בעל מקדם איכות $Q = 30$ בגל ריבועי בקצב חזרה $\omega_0$, וסרקו את תדר היסוד של המהוד $\wnat$ מ-$0.5\omega_0$ עד $10\omega_0$. שרטטו את ההעתק הריבועי הממוצע במצב מתמיד מול $\wnat$ בעזרת steady_state_response הרמוניה אחר הרמוניה.

(ב) אשרו שהשיאים נופלים על ההרמוניות האי-זוגיות בלבד, ושגובהי השיאים ביחס $1 : 1/3 : 1/5 : \dots$ לאחר חלוקה בהגבר התהודה. מדדו את התגובה ב-$\wnat = 4\omega_0$ ובטאו אותה כשבר מהתגובה ב-$3\omega_0$.

(ג) הצליבו נקודה אחת מהסריקה מול אינטגרציה ישירה עם simulate_forced, והסבירו מדוע הבדיקה הזו שווה את המאמץ בכלל — מה יכול היה חישוב הסכום ההרמוני לטעות בו שהאינטגרציה הייתה תופסת?

Problem 6 — אתגר: למצע את הגלישה אל מחוץ לתמונה¶

(א) הגדירו את סכום פייר $\sigma_N$ כממוצע הסכומים החלקיים $S_0, \dots, S_N$. הראו שאפשר לכתוב אותו כסכום משוקלל יחיד על הרמוניות, וזהו את המשקלים.

(ב) הראו ש-$\sigma_N$ הוא הקונבולוציה של $f$ עם גרעין שהוא אי-שלילי בכל מקום, והסבירו מדוע אי-שליליות אוסרת גלישה: ממוצע משוקלל במשקלים חיוביים אינו יכול לחרוג מהערך הגדול ביותר שממוצעים עליו.

(ג) חשבו את $S_{31}$ ואת $\sigma_{31}$ עבור הגל הריבועי ושרטטו את שניהם ליד קפיצה. אשרו שהגלישה נעלמה. אחר כך מדדו כמה זה עלה — השוו בין השניים בפינה של גל משולש, ונסחו את העסקה במשפט אחד.