עכבה: מה קובע כמה חוזר

החידה: למה הג’ל¶

לפני בדיקת אולטרסאונד הטכנאי מתיז ג’ל קר על העור ולוחץ את המתמר לתוכו. בלי הג’ל התמונה אינה מגורענת או חיוורת — היא שחורה. המכשיר עובד מצוין; הקול פשוט מסרב להיכנס. שכבת אוויר בעובי חלקיק של מילימטר בין המתמר לעור מחזירה כמעט את כולו.

עוד שתי עובדות יומיומיות, מקצה אחר לגמרי של סקאלת המכשירים. קשרו חבל לקיר, שלחו בו פולס, והפולס חוזר הפוך. קשרו את אותו חבל לחוט דק במקום זאת, שלחו את אותו פולס, והוא חוזר ישר. איש לא שינה את החבל.

נסו לחזות לפני שתחשבו¶

התחייבו לתשובה על כל אחת מהן לפני שתריצו משהו.

1. פולס נע לאורך חבל הקשור לקיר. ישר או הפוך בדרך חזרה?

2. חבל כבד קשור בקשר לחוט קל. פולס מגיע מהצד הכבד. האם הפולס המוחזר ישר או הפוך — והאם הפולס העובר גבוה או נמוך מזה שיצר אותו?

3. האם פולס עובר יכול להיות גבוה מן הפולס הפוגע? ואם כן, מהיכן הגיעה האנרגיה הנוספת?

4. האם יש צומת בין שני מיתרים שונים שאינו מייצר הד כלל?

חקרו את המודל¶

שלושה סרטונים, כולם מחושבים מאותן פונקציות wavelab.waves שהמעבדה קוראת להן.

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו. ארבעה דברים שכדאי לעשות לפני שתמשיכו לקרוא:

• שרטטו את הכוח הרוחבי מול המהירות הרוחבית על פולס מתקדם, וקראו את העכבה מן השיפוע.

• מדדו את $r$ ואת $t$ על פני טווח צפיפויות של פי 625 ומצאו היכן הסימן מתהפך.

• שקלו את האנרגיה בשני צדי הצומת וראו את $R + T$ יוצא 1.

• מדדו מקדם החזרה דרך רעש של 5%, פעמיים, בשני אומדים שהם חשבון ישר. אחד מהם מפספס בחמישית מהתשובה.

גזרו את התוצאה¶

איך התווך מרגיש לדחיפה¶

אחזו בקצהו של מיתר אינסופי למחצה ונענעו אותו. כל מה שאתם משגרים מתרחק ואינו חוזר לעולם, ולכן המיתר ליד היד שלכם הוא גל ימני טהור ומקיים את $y_t = -v\,y_x$ של מודול 08. הכוח הרוחבי שעליכם לספק הוא הרכיב הרוחבי של המתיחות, $-T\,y_x$, ולכן

המעבדה קוראת את $Z$ ישירות מפולס מדומה: שרטטו את $-T\,y_x$ מול $y_t$ בכל נקודה והענן הוא קו ישר בשיפוע +0.199991 ק"ג/ש’ מול $\sqrt{T\mu} = 0.2$ ק"ג/ש’. פולס הנע שמאלה נותן -0.199991: הסימן הוא הכיוון שאליו הולכת האנרגיה, לא תווך אחר.

הצומת: שני תנאים ולא יותר¶

עכשיו חברו שני מיתרים ב-$x = 0$ ושלחו גל פנימה משמאל. כתבו את שלושת הגלים במוסכמת הקורס,

עם אותה $\omega$ בשני הצדדים — הצומת מונע בתדירות שמזינים אותו בה, ודבר בו אינו משתנה בזמן — ואילו $k_{1,2} = \omega/v_{1,2}$ מסתגלים במקומה. אורך הגל משתנה בצומת; התדירות אינה יכולה להשתנות.

שני משפטים על המפרק משלימים את הבעיה.

1. המיתר אינו קרוע. $y$ רציף ב-$x = 0$, ולכן $1 + r = t$.

2. המפרק חסר מסה. נקודה ללא מסה אינה יכולה לשרוד כוח כולל, ולכן גם הכוח הרוחבי $-T\,y_x$ רציף. עם $T$ המשותף לשני הצדדים זה נותן $k_1(1 - r) = k_2 t$, ומכיוון ש-$k = \omega/v$ ו- $Z = T/v$, זהו $Z_1(1 - r) = Z_2 t$.

הקיר והקצה החופשי מעולם לא היו מיוחדים¶

תנו ל-$Z_2$ לגדול ללא גבול — צד רחוק כבד מכדי לזוז:

זהו קצה קבוע. ההעתק שם הוא $A(1 + r) = 0$ בכל זמן, וזו משמעות המילה “קבוע”, והפולס המוחזר הוא הפולס הפוגע הפוך על פניו.

תנו ל-$Z_2 \to 0$ במקום זאת — צד רחוק קל מכדי להתנגד:

זהו קצה חופשי. ההעתק שם הוא $2A$: הפולס הפוגע והמוחזר מגיעים זה על גבי זה ומתחברים, ולכן הטבעת על המוט מגזימה. השיפוע שם אפס, וזו משמעות המילה “חופשי”.

האנרגיה, והגורם שמיישב את הפרדוקס¶

משרעת עוברת גדולה מן הפוגעת נראית כמו משהו יש מאין. היא אינה כזאת, וההנהלת חשבונות אומרת בדיוק מדוע.

מודול 09 מצא שגל סינוסי מתקדם נושא הספק ממוצע $\langle P\rangle = \tfrac12 Z\,\omega^2|A|^2$. שלושת הגלים כאן חולקים את $\omega$, ולכן חלוקת כל הספק בהספק הפוגע משאירה את יחס המשרעות בריבוע, ולגל העובר — גם את העכבה שעליה הוא נע:

עכשיו הפרדוקס. אל מיתר קל פי מאה, $Z_2/Z_1 = 1/10$, ולכן

הצד הרחוק מתנודד כמעט פי שניים מן הגל הפוגע וגם נושא רק שליש מהספקו. אין כאן סתירה: זול להזיז את המיתר הקל. ההספק הוא $\tfrac12 Z(\omega|A|)^2$, והמשרעת עלתה פי 1.8 בזמן שה-$Z$ שלפניה ירדה פי 10. גורם השטף $Z_2/Z_1$ הוא כל ההבדל בין כמה משהו מתנודד לבין כמה עלה לגרום לו להתנודד, ובלבול בין השניים הוא המלכודת הקבועה של המודול הזה.

תיאום: המקרה שבו דבר אינו חוזר¶

$r = 0$ דורש $Z_1 = Z_2$, וזה כל הקריטריון. הוא אומר משהו מפתיע במקצת: שני תווכים יכולים להיבדל בכל היבט אחר ועדיין להיות בלתי נראים זה לזה, כל עוד $\sqrt{T\mu}$ — או האנלוג שלו — מסכימים.

על מיתר זהו כלי גס, משום שהמתיחות היא מספר אחד מקצה לקצה: עכבה שווה פירושה צפיפות שווה, וה"צומת המתואם" הוא מיתר שאין בו צומת. הרעיון מצדיק את עצמו במקום שבו שני הקבועים חופשיים זה מזה. לג’ל אולטרסאונד יש בערך העכבה האקוסטית של רקמה והוא ממלא את המקום שבו אחרת היה יושב אוויר; כבל 50 אוהם שמסתיים בנגד 50 אוהם בולע את האות שלו במקום להחזיר אותו.

תיאום בין שני תווכים נתונים הוא בעיה קשה יותר: אי אפשר לבחור את $Z_2$ כששני התווכים נתונים. מכניסים שלישי. מקטע שעכבתו $\sqrt{Z_1Z_3}$ ואורכו רבע אורך גל מחזיר שתי החזרות שמבטלות זו את זו, והפרק המתקדם בונה אחד כזה. זהו ציפוי נוגד ההחזרה שעל כל עדשת מצלמה, ומודול 24 עושה זאת כהלכה.

אמתו חישובית¶

כל בדיקה למטה היא גם מבחן בחבילת המבחנים של הפרויקט, כך שהטענות האלה אינן יכולות להירקב בשקט.

1. החלוקה היא זו שהעכבות חוזות. פולס נורה אל קפיצה בצפיפות ושתי החתיכות שהוא הופך אליהן נמדדות מן הפריים האחרון. הפותר מאנטגרל העתקים; אין לו מושג מהו יחס משרעות.

אי ההסכמה הגרועה ביותר על פני כל הסריקה בת אחת עשרה הנקודות של המעבדה: $6.9\times10^{-4}$. עמודת הסימן היא המפריכה של “החזרה תמיד הופכת” — היא מתהפכת ב-$\mu_2 = \mu_1$ ובשום מקום אחר.

2. קיר וקצה חופשי נוחתים על הגבולות. אותו פולס תחת boundary="fixed" חוזר ב-$-1.0000\,A$; תחת boundary="free" הוא חוזר ב-$+1.0000\,A$ והקצה עצמו מגיע ל-$+1.999\,A$. שתי ההרצות שומרות על האנרגיה שלהן עד חלק אחד ל-10⁹. לפותר סיפרו על נקודות רפאים ועל העתקים מהודקים, מעולם לא על עכבה.

3. הספרים מאוזנים, ומאוזנים אותו דבר משני הצדדים.

שני דברים נראים בבת אחת. דבר אינו הולך לאיבוד — שום מנגנון לאובדן לא הוכנס למודל, ולכן דליפה הייתה של הסכמה ולא של הפיזיקה. והשורות של $1/4$ ושל 4 זהות: אותו שבר מן האנרגיה חוזר מאיזה צד שהפולס לא יגיע, אף שהמשרעות בשני הכיוונים שונות לגמרי (+0.33 מול -0.33, 1.33 מול 0.67). האנרגיה אינה יכולה לדעת לאיזה כיוון נסע הגל.

4. ה-$r$ הנמדד מתכנס אל הנוסחה בסדר שני. צומת הוא מדרגה שהרשת יכולה למקם רק עד כדי $\Delta x$, ולכן ההסכמה היא שאלה של רזולוציה. עם 10, 20, 40 ו-80 נקודות לרוחב הפולס הפוגע, המשרעת המוחזרת הנמדדת מפספסת את $-1/3$ ב-$8.9\times10^{-4}$, $2.2\times10^{-4}$, $5.6\times10^{-5}$ ו- $1.4\times10^{-5}$ — פי ארבעה בכל חצייה של המרווח, אותו סדר שני שהפותר מקיים בכל מקום אחר. זהו השער שמאחוריו יושבים הסרטונים של המודול: צומת שמצויר על רשת גסה מדי מחזיר משרעת שגויה מסיבות שאין להן קשר לפיזיקה.

5. $t > 1$, נמדד, עם האנרגיה בספרים. ב-$\mu_2/\mu_1 = 0.01$ הפולס העובר עומד בגובה פי 1.818 מן הפוגע, ושברי האנרגיה הנשקלים הם $R = 0.669$ ו-$T = 0.331$. גבוה יותר וחלש יותר, באותה הרצה.

6. מקדם החזרה עם סרגל שגיאה. המעבדה מזהמת את הפריים האחרון ברעש גאוסי בגודל 5% מן המשרעת הפוגעת ואומדת את $r$ פעמיים מאותם נתונים: בהיטל על צורת הפולס הצפויה, ובבחירת הסטייה הגדולה ביותר בחלון. ב-$\mu_2/\mu_1 = 4$, שבו $r = -0.3333$, ההיטל נותן $-0.3355 \pm 0.0009$ על פני 64 פריימים ובחירת השיא נותנת $-0.4311 \pm 0.0029$ — פספוס של 29%, ושום כמות של פריימים אינה מתקנת אותו.

7. ומה אפשר לשאול חבל אמיתי. קשרו קטע של חבל עבה לחבל דק, מתחו את הזוג, וצלמו בטלפון פולס החוצה את הקשר משני צדדיו. הסימנים אינם דורשים כיול כלל — ישר מן הצד הדק, הפוך מן העבה — וזה לבדו מפריך את התפיסה השגויה. משרעות דורשות סרגל בפריים ומצלמה קבועה; פריים אחר פריים, קשר כבד-אל-קל ביחס מסות 4:1 אמור לתת $r \approx +1/3$ ו-$t \approx 4/3$ עד אולי 10%, ורוחב הפולס משתנה לעין בזמן המעבר. אוסף התרגילים בונה את זה כמדידה עם אי ודאות ולא כהדגמה.

העבירו את הרעיון¶

• גלים עומדים. 11-standing-waves שם צומת בכל קצה. כש-$r = \mp 1$ שם, גל אינו יכול להימלט ויכול רק להתאבך עם עצמו — וזה מה שאופן הוא. הקוונטיזציה של התדירויות המותרות נובעת משני מקדמי ההחזרה האלה ומשום דבר אחר.

• אור בחומר. 16-light-in-matter משאיר את התדירות קבועה לרוחב הגבול ונותן ל-$k$ להסתגל, בדיוק כמו כאן. זו הסיבה שצבע האור אינו משתנה בכניסה לזכוכית, אף שאורך הגל שלו כן.

• הצונאמי. גל אוקיינוס ארוך הנכנס למים רדודים פוגש עכבה עולה ברציפות ולא בנקודה. כמעט דבר אינו מוחזר — זהו הצומת המרוח של אוסף התרגילים — והמשרעת מטפסת ככל שהעומק יורד. הגל שמגיע לחוף הוא זה שמעולם לא הוחזר לאחור.

• תיאום עכבות כהנדסה. בין מגבר לרמקול, בין אנטנה לקו הזנה, בין סיב אופטי לגלאי (מודול 47), חוזר אותו רעיון של שנאי: אי אפשר לשנות אף אחד מן הקצוות, ולכן שמים משהו באמצע.

בדקו את הבנתכם¶

1. פולס נע לאורך חבל כבד ומגיע לקשר שבו החבל הופך לחוט קל; המתיחות זהה לכל האורך. פולס שני, זהה, נע לאורך אותו חבל כבד לעבר קיר. איזה זוג החזרות תראו?

   A. ישרה מן החוט הקל, הפוכה מן הקיר. B. הפוכה בשני המקרים, משום שהחזרה תמיד הופכת פולס. C. ישרה בשני המקרים, משום שהמיתר רציף דרך הקשר ואינו יכול להתהפך. D. הפוכה מן החוט הקל, ישרה מן הקיר.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — ישרה מן החוט הקל, הפוכה מן הקיר.

   • A. נכון, ונוסחה אחת מכסה את שניהם. המשרעת המוחזרת היא r = (Z1 - Z2)/(Z1 + Z2) עם Z = sqrt(T mu), ולכן הסימן של r הוא הסימן של Z1 - Z2: ההד מתהפך רק כשהצד הרחוק קשה יותר מן הקרוב. לחוט קל יש Z קטן יותר, ולכן r > 0 והפולס חוזר ישר; קיר הוא הגבול Z2 -> infinity, ולכן r = -1 והפולס חוזר הפוך. בסימולציה, אותו צומת נותן +1/3 מן הצד הכבד ו--1/3 מן הצד הקל של זוג צפיפויות ביחס 4:1, כשהסימן מתהפך בדיוק בצפיפויות שוות.

   • B. זוהי התפיסה השגויה של המודול, והיא נובעת מכך שפוגשים החזרה לראשונה בקיר, שהוא קצה אחד של הטווח ולא הכלל. הריצו את הנוסחה: r = (Z1 - Z2)/(Z1 + Z2) שלילי רק עבור Z2 > Z1. אל תווך קל יותר r חיובי וההד ישר — נמדד +0.6669 עבור ירידת צפיפות של פי 25, מול +2/3 חזוי. הקיר הוא המקרה הפרטי, לא הכללי, והמקרה הכללי מתהפך בנקודת התיאום ולא באיזה סף של קשיחות.

   • C. רציפות המיתר היא אחד משני תנאי הצומת, והיא נותנת 1 + r = t — היא אינה קובעת את הסימן של r בפני עצמה. התנאי האחר, שהמפרק חסר המסה אינו נושא כוח כולל, הוא זה שמייצר את r = (Z1 - Z2)/(Z1 + Z2). בקיר ההעתק חייב להישאר אפס בכל זמן, וזה כופה על הפולס החוזר לבטל את הנכנס נקודה אחר נקודה: זהו בדיוק עותק הפוך.

   • D. כאן שני המקרים מוחלפים בדיוק. התמונה המנטלית המועילה היא מה שהצד הרחוק עושה בחזרה למיתר. קיר אינו יכול לזוז, ולכן הוא מושך בחזרה בכל כוח שנדרש, והתגובה הזאת היא הפולס ההפוך היוצא לדרכו. חוט כמעט אינו מתנגד כלל, ולכן הקצה מזנק — כמעט פי שניים ממה שהפולס הפוגע לבדו היה מביא אותו — וההד שהוא משגר ישר.

2. מיתר שבו mu1 = 4.0 ג/מ מחובר למיתר שבו mu2 = 36 ג/מ תחת מתיחות משותפת. גל מגיע מן הצד הקל. מהו מקדם משרעת ההעתק העובר t?

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 0.5 (± 0.02)

   קודם כול עכבות: Z = sqrt(T mu), ולכן Z2/Z1 = sqrt(36/4.0) = 3 תהיה המתיחות אשר תהיה — המתיחות מצטמצמת מכל מקדם בצומת, משום שהיא מספר אחד לשני הצדדים. אז t = 2 Z1/(Z1 + Z2) = 2/(1 + 3) = 0.5 ו-r = (1 - 3)/(1 + 3) = -0.5. בדקו עם 1 + r = t: 1 - 0.5 = 0.5. הגל העובר הוא חצי מגובה הפוגע וההד הפוך בחצי גובהו, וזה אינו אומר שחצי מן האנרגיה הולכת לכל כיוון — ראו את מקדמי ההספק, שבהם R = 0.25 ו-T = 0.75.

3. פולס עובר ממיתר אחד אל מיתר קל ממנו פי מאה. הפולס העובר גבוה פי 1.82 מן הפולס הפוגע. מה קרה לאנרגיה?

   A. רובה הוחזרה. זול להזיז את המיתר הקל, ולכן תנועה גדולה שלו נושאת מעט הספק — השבר העובר הוא 0.33 והמוחזר 0.67. B. אנרגיה נוספה בצומת, משום שהמיתר הרחוק מוסיף את תנועתו שלו לגל. C. האנרגיה התחלקה שווה בשווה, שהרי משרעת 1.82 ומשרעת 0.82 קרובות לחלקים שווים. D. היא נאגרת בצומת ומשתחררת לאט אחר כך.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — רובה הוחזרה. זול להזיז את המיתר הקל, ולכן תנועה גדולה שלו נושאת מעט הספק — השבר העובר הוא 0.33 והמוחזר 0.67.

   • A. נכון. ההספק הוא (1/2) Z (omega A)^2, ולכן ההספק העובר נושא את העכבה של הצד הרחוק ולא של הקרוב: T = (Z2/Z1) t^2. כאן Z2/Z1 = 1/10 ו-t = 1.818, ולכן T = 0.1 x 3.31 = 0.331, ו-R = r^2 = 0.818^2 = 0.669. סכומם 1, כפי שחייב להיות. משרעת גדולה על תווך שזול להזיז אינה הרבה אנרגיה — מאותה סיבה שקרום רמקול נע הרבה באוויר וכמעט לא במים.

   • B. שום דבר בצומת אינו יכול להוסיף אנרגיה: המפרק חסר מסה, חסר אובדן ואין לו מאגר משלו. R + T = 1 נובע משני תנאי ההתאמה באלגברה — הציבו את r ואת t והמונים (Z1 - Z2)^2 + 4 Z1 Z2 מתקפלים אל (Z1 + Z2)^2 — ולכן הנהלת החשבונות נקבעה לפני שנשאלה שאלת אנרגיה כלשהי. מה שהשתנה בצומת הוא המחיר של משרעת נתונה, לא הסכום הכולל.

   • C. משרעות אינן אנרגיות, ושתיהן אפילו אינן באותו סדר כאן: הפולס הגבוה הוא החלש. גם העלאת המשרעות בריבוע אינה מספיקה, משום ששני הפולסים חיים על תווכים שונים. השבר העובר דורש את גורם השטף Z2/Z1 לפני t^2, והגורם הזה — עשירית כאן — הוא שהופך יחס משרעות בריבוע של 3.31 לשבר הספק של 0.33.

   • D. למפרק חסר מסה וחסר אובדן אין היכן לאגור דבר ואין לו קבוע זמן שבו ישחרר אותו. הרצת הסימולציה ושקילת שני הצדדים אחרי שהפולסים נפרדים נותנות R + T = 1 עד שבע ספרות אחרי הנקודה, בלי שארית היושבת בצומת. צומת שכן אוגר אנרגיה הוא מודל אחר — חרוז בעל מסה סופית במפרק, שהיא שאלת בחינה טובה ואינה השאלה הזאת.

4. לשני מיתרים תחת מתיחות משותפת יש צפיפויות ביחס mu2/mu1 = 9. איזה שבר מאנרגיית גל פוגע עובר את הצומת? תנו את T כמספר עשרוני.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 0.75 (± 0.02)

   Z2/Z1 = sqrt(9) = 3, ולכן r = (1 - 3)/(1 + 3) = -0.5 ו-t = 2/(1 + 3) = 0.5. אז R = r^2 = 0.25 ו-T = (Z2/Z1) t^2 = 3 x 0.25 = 0.75, וסכומם 1. שתי מלכודות שיש להימנע מהן. T אינו t^2 = 0.25: הגל העובר נע על התווך האחר, וגורם השטף Z2/Z1 חייב לבוא אתו. ו-T אינו 1 - t = 0.5: שבר של אנרגיה לעולם אינו אחד פחות שבר של משרעת. שימו לב שהתשובה זהה אם הגל מגיע מן הצד הכבד, שם r = +0.5 ו-t = 1.5 — משרעות שונות, חלוקת אנרגיה זהה.

5. איזה צומת בין שני תווכים אינו מייצר החזרה כלל?

   A. כזה ששתי העכבות בו שוות, יהיו קבועי החומר הפרטניים אשר יהיו. B. כזה ששתי מהירויות הגל בו שוות. C. כזה ששתי הצפיפויות בו שוות, שהרי מסה שווה למטר פירושה ששום דבר אינו משתנה. D. כל צומת, ובלבד שהגל יגיע לאט מספיק כדי שלתווך השני יהיה זמן להגיב.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — כזה ששתי העכבות בו שוות, יהיו קבועי החומר הפרטניים אשר יהיו.

   • A. נכון: r = 0 דורש בדיוק Z1 = Z2 ולא יותר. הקבועים הפרטניים יכולים להיבדל — הצפיפות ומהירות הקול של נוזל, או ההשראות והקיבול ליחידת אורך של כבל, יכולים שניהם להשתנות כל עוד המכפלה שיוצרת את Z יוצאת אותו דבר. על מיתר זהו כלי גס, משום שהמתיחות היא מספר אחד מקצה לקצה, ולכן עכבה שווה פירושה צפיפות שווה והצומת המתואם הוא מיתר שאין בו צומת. תיאום בין שני תווכים שנתונים שניהם דורש שכבת ביניים — מקטע רבע הגל של הפרק המתקדם.

   • B. מהירויות שוות אינן תנאי הכרחי ואינן תנאי מספיק. Z = sqrt(T mu) ו-v = sqrt(T/mu) הם צירופים בלתי תלויים של אותם שני קבועים, ולכן שני תווכים יכולים לחלוק מהירות ולהיבדל בעכבה — ואז גל חוצה בלי לשנות אורך גל ובכל זאת מוחזר. על מיתר עם מתיחות אחת השניים נעים יחד, ולכן התשובה הזאת מרגישה נכונה וחדלה להיות נכונה ברגע שמתירים למתיחות להיבדל, כפי שקורה לקול בשני נוזלים שונים.

   • C. נכון על מיתר תחת מתיחות אחידה, ורק שם — מה שהופך זאת לעובדה על המכשיר הזה ולא לקריטריון. הקריטריון הוא על Z. ג’ל אולטרסאונד מתואם לרקמה בהיותו חומר שונה לחלוטין; נגד של 50 אוהם סוגר כבל 50 אוהם בלי להיות כבל ובלי להיות תווך נושא גלים בכלל.

   • D. אין סף כזה: r ו-t אינם מכילים תדירות כלל, ולכן צומת לא מתואם מחזיר את אותו שבר בכל תדירות. מה שכן יכול להיות תלוי בתדירות הוא צומת שאינו נקודה — צפיפות המשתנה בהדרגה לאורך מרחק בסדר גודל של אורך הגל מחזירה פחות ופחות ככל שהמדרון מתרחב, וזהו הצומת המרוח של אוסף התרגילים והסיבה לכך שצונאמי גדל במקום לחזור.

6. הסבירו מהי העכבה של מיתר, במילים, למי שמכיר F = ma ומעולם לא פגש את המונח. אמרו של מה היא תכונה, של מה היא אינה תכונה, ומדוע היא — ולא הצפיפות או מהירות הגל לבדן — היא שקובעת את ההחזרה.

   בדקו את התשובה

   עכבה היא איך התווך מרגיש לדחיפה לרוחב. אחזו בקצהו של מיתר ארוך מאוד ונענעו אותו: כל מה שאתם משגרים מתרחק ואינו חוזר, ולכן ליד היד שלכם המיתר הוא גל ימני טהור עם y_t = -v y_x, והכוח הרוחבי שעליכם לספק הוא F = -T y_x = (T/v) y_t = Z y_t עם Z = sqrt(T mu) = mu v. כוח פרופורציוני למהירות, בפאזה אתה — המיתר מתנגד כמו בולם, לא כמו קפיץ (כוח פרופורציוני להעתק) ולא כמו מסה (כוח פרופורציוני לתאוצה). היחידה שלה היא ק"ג/ש’, שהם ניוטון לכל מטר לשנייה: כוח ליחידת מהירות רוחבית.

זוהי תכונה של התווך בלבד, במעמד זהה למהירות הגל, והיא תכונה נפרדת: T ו-mu הם שני כפתורים, ולכן אפשר לקבוע את v = sqrt(T/mu) ואת Z = sqrt(T mu) בלתי תלויות זו בזו. שני תווכים יכולים לחלוק מהירות גל ולהיבדל בעכבה. זוהי אינה תכונה של הגל — שום משרעת, רוחב, צורה או תדירות אינם מופיעים בה — ואינה בולמת אנרגיה, אף שהיא מתנהגת ככזאת: העבודה שאתם משקיעים אינה הופכת לחום, היא עוזבת כגל מתקדם ואינה חוזרת. ההחזרה נקבעת על ידי Z משום שתנאי הצומת עוסקים בכוח ובהעתק, לא במסה או במהירות. רציפות ההעתק ורציפות הכוח הרוחבי -T y_x הן שני המשפטים הזמינים במפרק חסר מסה, והשני הוא המקום שבו נכנס T/v = Z. פתרונם נותן r = (Z1 - Z2)/(Z1 + Z2), שבו קבועי התווך מופיעים רק דרך הצירוף האחד הזה. צפיפות לבדה אינה יכולה לקבוע אותו, משום שהכפלת המתיחות והצפיפות גם יחד משאירה את ההחזרה ללא שינוי בזמן שהיא מכפילה את Z בשני הצדדים; מהירות לבדה אינה יכולה לקבוע אותו, מאותו סוג של סיבה. זו גם הסיבה שהתוצאה נודדת: לקול Z = rho c, לכבל Z = sqrt(L’/C’), לאור Z = Z0/n, ואותה נוסחה ל-r חלה עם השם המקומי מוצב בה.

7. לג'ל אולטרסאונד יש עכבה אקוסטית קרובה לזו של רקמה רכה (כ-1.6e6 מול 1.5e6 ק"ג מ^-2 ש^-1); זו של אוויר היא כ-430. מה הג'ל משיג?

A. הוא מחליף את מרווח האוויר, שאי התאמת העכבות העצומה שלו מול רקמה הייתה מחזירה כמעט את כל הקול.
B. הוא משמן את המתמר כדי שאפשר יהיה להחליק אותו בנוחות על העור.
C. הוא מאט את הקול כך שיותר ממנו יכול לעבור לתוך הגוף.
D. הוא בולע את הקול המוחזר כדי שלא ייכנס שוב למתמר ויבלבל את התמונה.

:::{dropdown} בדקו את התשובה
**התשובה הנכונה: A** — הוא מחליף את מרווח האוויר, שאי התאמת העכבות העצומה שלו מול רקמה הייתה מחזירה כמעט את כל הקול.

- **A.** נכון, והמספרים דרמטיים. בממשק רקמה-אוויר, r = (1.5e6 - 430)/(1.5e6 + 430) = 0.9994, ולכן R = 0.9989: כ-99.9% מן הקול חוזר מיד והתמונה שחורה, לא רק חיוורת. עם ג'ל במרווח, Z2/Z1 = 1.6/1.5 נותן r = -0.032 ו- R = 0.001 — חלק אחד מאלף מוחזר. הג'ל אינו חומר סיכה ואינו מוליך קול טוב יותר מרקמה; הוא שם כדי להיות כמעט אותה עכבה כמו מה שנמצא משני צדדיו.
- **B.** הוא אכן עושה זאת, וזו אינה הסיבה שהתמונה נכשלת בלעדיו. מתמר יבש הנלחץ בחוזקה עדיין משאיר שכבת אוויר מיקרוסקופית, ואי התאמת רקמה-אוויר מחזירה כ-99.9% מן הקול בשכבה הזאת. ההחזריות תלויה ביחס העכבות ולא בחיכוך כלל: R = ((Z1 - Z2)/(Z1 + Z2))^2 = 0.9989 לרקמה מול אוויר.
- **C.** שום דבר ב-r או ב-t אינו תלוי במהירות לבדה. המקדמים מכילים רק את העכבות, Z = rho c, ואפשר להאט תווך בלי לשנות את Z כלל — העלו את rho והורידו את c באותה מידה. הג'ל פועל על ידי תיאום המכפלה, לא על ידי שינוי אחד הגורמים לכיוון מסוים.
- **D.** הג'ל כמעט חסר אובדן בתדירויות האלה לאורך חלקיק של מילימטר — הוא בולע כמעט כלום. גם אין לו צורך: תיאום פירושו שההחזרה לעולם אינה נוצרת, ולא שהיא נוצרת ואז מנוקה. ההבחנה הזאת חשובה, שכן בליעת ההד הייתה עולה באותה אנרגיה שהתמונה זקוקה לה, בעוד שתיאום שומר עליה ושולח אותה אל תוך המטופל.

תרגילים בסגנון בחינה למודול הזה — אלה שכדאי לעשות עם עט — אסופים באוסף התרגילים.

הסבירו במילים שלכם¶

ענו בכמה משפטים על כל אחת. שום מספר לא יציל אתכם.

1. הסבירו למי שבטוח שהחזרה תמיד הופכת פולס מדוע חבל הקשור לחוט מחזיר אותו ישר, בלי לכתוב נוסחה. ואז אמרו מה משותף לקיר ולחוט.

2. פולס עובר גבוה פי שניים מן הפוגע. אמרו היכן האנרגיה, ומדוע העובדה שזול להזיז את המיתר בצד הרחוק היא כל התשובה.

3. ג’ל אולטרסאונד אינו חומר סיכה ואינו מוליך קול במובן מיוחד כלשהו. אמרו במשפט אחד לשם מה הוא.

4. שני מיתרים בצפיפויות שונות מחוברים, ומישהו טוען שאפשר להפוך את הצומת לחסר הד על ידי משיכה חזקה יותר בצד אחד. הסבירו מה לא בסדר בטענה, תוך שימוש בעובדה שלמיתר במנוחה יש מתיחות אחת.

מתקדם: גזירת השטף במלואה, טבלת האנלוגים, ומקטע שמוחק הד¶

$R$ ו-$T$ מן השטף ישירות. הגזירה למעלה חילקה הספקים ממוצעים, וזה דרש את התוצאה הסינוסית של מודול 09. אותה תשובה מתקבלת ישירות מן השטף הרגעי $P = -T\,y_x\,y_t$, וכדאי לראות זאת פעם אחת משום שהיא לעולם אינה מניחה סינוס.

משמאל לצומת השדה הוא פוגע ועוד מוחזר, ולכן לשטף שם שלושה איברים: אחד מכל גל ואחד מוכלא. עבור פולסים שאינם חופפים בזמן האיבר המוכלא מתאפס באינטגרציה, והאנרגיות הן $\int P\,\mathrm{d}t$ על כל פולס:

בשימוש ב-$P = Z\,y_t^2$ לגל מתקדם בכל תווך — ה-$P = vu$ של מודול 09 כתוב עם העכבה. חלקו ב- $E_{\text{inc}}$ ו-$R = r^2$, $T = (Z_2/Z_1)t^2$ נושרים בלי כל אזכור של תדירות. לכן המעבדה יכולה לשקול פולסים ועדיין לנחות על נוסחאות שנגזרו לסינוסים.

טבלת האנלוגים. עכבה אינה מושג של מיתרים שאחרים שואלים ממנו. היא מה שכל תווך עונה כשמבקשים ממנו כוח ליחידת מהירות, ורק השמות משתנים:

השורה האחרונה שייכת למודול 14, ויש בה דקות שכדאי לפגוש פעם אחת. העכבה של אור יורדת כשמקדם השבירה עולה, $Z = Z_0/n$, ובכל זאת מקדם פרנל בפגיעה ניצבת נקרא $r = (n_1 - n_2)/(n_1 + n_2)$ — מקדם השבירה במשבצת שבה המודול הזה שם את $Z$. שני המשפטים נכונים. המשרעת שמצטטים עבור אור היא השדה החשמלי, שהוא האיבר דמוי הכוח בזוג שלו, בעוד ש-$y$ של מיתר הוא האיבר דמוי התנועה בזוג שלנו; החלפה של האיבר שאחריו עוקבים הופכת את יחס אי ההתאמה, $Z o 1/Z$, ושתי ההיפוכים מתבטלים לכדי נוסחה אחת זהה. מודול 18 שם את שתיהן זו לצד זו במסגרת.

צומת בלי הד, על מיתר. הכניסו בין תווך 1 לתווך 3 מקטע שעכבתו $Z_2 = \sqrt{Z_1Z_3}$ ואורכו $\lambda_2/4$, כאשר $\lambda_2$ הוא אורך הגל במקטע. הפאה הקדמית שלו מחזירה, הפאה האחורית מחזירה, וההחזרה השנייה עושה הלוך ושוב של $2 \times \lambda_2/4 = \lambda_2/2$ — חצי אורך גל, ולכן היא חוזרת בדיוק בנגידות לראשונה. גדלים שווים, סימנים מנוגדים, דבר אינו חוזר.

הסרטון למעלה עושה זאת למדרגת צפיפות 9:1: $R$ יורד מ-0.2504 ל-0.0077 עם פס מיתר באורך 57.7 מ"מ. הביטול מדויק רק בתדירות התכן, והשארית שם היא רוחב הפס של החבילה עצמה ולא שגיאה נומרית — וזו בדיוק הסיבה שציפוי עדשה ממוטב למרכז הספקטרום הנראה ומשאיר את השוליים הסגולים שמסגירים אותו. אוסף התרגילים מבקש את $R(\omega)$.

והבעיטה שהקיר סופג. פולס המוחזר מקיר הופך את התנע הרוחבי שהוא נושא, $\int \mu\,y_t\,\mathrm{d}x$, ולכן הקיר מקבל פעמיים מזה כמתקף. זה ישר ולא מפתיע. השאלה האורכית — האם הקיר גם נדחף בכיוון המיתר — היא זו שמודול 09 סימן כפתוחה, והמודול הזה אינו פותח אותה מחדש: התשובה היא מסדר שני בשיפוע, וכל מה שחושב כאן הוא מסדר ראשון ב-$y_x^2$ ומוסכם על כל גרסה של המודל.