מערך בעיות — משוואת הגלים

מערך בעיות: משוואת הגלים¶

בעיות בסגנון בחינה. עבדו עליהן בעט לפני שאתם נוגעים במחשב; בעיות 6 ו-7 נועדו להסתיים נומרית. פתרונות ומחווני בדיקה נמצאים בחומר למרצה ובכוונה אינם באתר הזה.

לאורך כל הדף, למיתר יש מתיחות $T$ וצפיפות מסה אורכית $\mu$, כך ש

בעיה 1 — לאיזה כיוון, וכמה מהר¶

(א) הראו לפי כלל השרשרת ש-$y = f(x - vt)$ מקיים את משוואת הגלים לכל $f$ גזירה פעמיים. אחר כך הראו ש-$y = f(x - ut)$ עם $u \ne v$ אינו מקיים אותה, אלא אם $f$ היא קו ישר.

(ב) פולס מתואר על ידי $y(x,t) = h\,\exp\!\left[-(3x + 12t)^2\right]$, כאשר $x$ במטרים ו-$t$ בשניות. מצאו את כיוון התנועה שלו ואת מהירותו, ואת מיקום השיא שלו ב-$t = 0$ וב-$t = 0.5$ ש’.

(ג) גל סינוסי על מיתר הוא $y = \Real\!\left[A\,e^{\ii(kx - \omega t)}\right]$ עם $k = 4.0$ רדיאן למטר ו-$\omega = 60$ רדיאן לשנייה. מצאו את מהירותו, את אורך הגל שלו ואת תדירותו בהרץ, ואמרו לאיזה כיוון הוא נע. מה הייתם משנים כדי שאותו גל ינוע לכיוון השני?

(ד) הסבירו מדוע $y = \sin(kx)\cos(\omega t)$ עם $\omega = vk$ פותר את משוואת הגלים אף שהוא אינו נע כלל. כתבו אותו כ-$f(x - vt) + g(x + vt)$.

בעיה 2 — קטע המיתר, בזהירות¶

(א) שרטטו קטע קצר של מיתר בין $x$ ל-$x + \mathrm{d}x$, הנוטה בזוויות $\theta(x)$ ו-$\theta(x + \mathrm{d}x)$, עם המתיחות בכל קצה. רשמו את הרכיבים האופקי והאנכי של הכוח השקול במדויק, בלי שום קירוב.

(ב) המיתר נע רק לרוחב. השתמשו במשוואה האופקית כדי להראות ש-$T\cos\theta$ זהה בכל מקום, והסיקו כמה $T$ עצמה יכולה להשתנות לאורך מיתר שהשיפוע שלו אינו עולה לעולם על 0.05.

(ג) בעזרת $\sin\theta = y_x/\sqrt{1 + y_x^2}$ והאורך האמיתי של הקטע, רשמו את משוואת התנועה האנכית בלי קירוב. הראו שהיא מצטמצמת ל-$\mu\,y_{tt} = T\,y_{xx}$ כאשר $|y_x| \ll 1$, וזהו את שלושת המקומות שבהם נעשה שימוש בקירוב.

(ד) מיתר גיטרה באורך 650 מ"מ נפרט 3 מ"מ מן הקו בנקודת האמצע שלו. הַעריכו את השיפוע הגדול ביותר, ואת גודל התיקון הגדול ביותר שהזנחתם ב-(ג), כשבר.

בעיה 3 — הקשה מלבנית¶

מיתר ארוך, במנוחה וישר, מוכה כך שב-$t = 0$ לקטע $-\ell < x < \ell$ יש מהירות $w$ ושאר המיתר דומם.

(א) רשמו פונקציה קדומה $W(x)$ של מהירות הפתיחה, והשתמשו בפתרון ד’אלמבר כדי לכתוב את $y(x,t)$ במונחי $W$.

(ב) שרטטו את המיתר ב-$t = \ell/(2v)$, ב-$t = \ell/v$ וב-$t = 3\ell/v$. סמנו את גובה הרמה ואת מיקומי הפינות שלה בכל שרטוט.

(ג) הראו שהגובה ב-$x = 0$ גדל בקצב $w$ עד $t = \ell/v$ ושווה ל-$w\ell/v$ אחר כך, לנצח. הסבירו פיזיקלית מדוע המיתר אינו חוזר למטה.

(ד) מרכז המסה של המיתר נע. מצאו את מהירותו, והראו שהיא שווה לתנע הכולל שההקשה העבירה מחולק במסת המיתר כולו — או הסבירו מדוע הטענה הזו דורשת זהירות על מיתר אינסופי.

בעיה 4 — במה המהירות יכולה להיות תלויה¶

(א) נניח שמהירות של פולס הייתה יכולה להיות תלויה ב-$T$, ב-$\mu$, בגובה הפולס $h$ וברוחב הפולס $\sigma$. השתמשו בניתוח ממדי כדי להראות ש-$v = \sqrt{T/\mu}\;\Phi(h/\sigma)$ עבור פונקציה כלשהי $\Phi$ של היחס חסר הממד.

(ב) ניתוח ממדי לא שלל תלות בגובה. השתמשו בליניאריות של משוואת הגלים כדי להראות ש-$\Phi$ חייבת להיות קבוע. אמרו, במשפט אחד, איזה צעד בגזירה הפך את המשוואה לליניארית, ולכן מה פולס תלול מספיק חופשי לעשות.

(ג) הראו של-$\sqrt{T/\mu}$ יש יחידות של מהירות, החל מניוטונים ומקילוגרמים למטר.

(ד) סטודנטית מודדת מהירויות פולס של 12.0, 16.9 ו-24.1 מ’/ש’ במתיחויות של 2.0, 4.0 ו-8.0 ניוטון על חבל אחד. התאימו את המעריך של $v$ כנגד $T$ ומצאו את $\mu$. קבעו אם הנתונים תומכים ב-$v \propto \sqrt{T}$.

בעיה 5 — מדדו זאת עם סלינקי¶

סלינקי מתוח לאורך רצפה חלקה ופולס רוחבי נשלח לאורכו. טלפון מצלם אותו ב-240 פריימים לשנייה. שיא הפולס עובר סימון מדבקה בפריים 112 וסימון שני, 3.00 מ’ הלאה, בפריים 181.

(א) מצאו את מהירות הפולס. בהנחה שכל מספר פריים אינו ודאי ב-$\pm 1$, באופן בלתי תלוי, תנו את המהירות עם אי-הוודאות שלה.

(ב) קריאת פריימים בעין מודדת את זמן השיא. בעזרת בדיקת השערים האופטיים של המודול הזה, הסבירו מדוע מדידת זמן של הפולס כולו — למשל, ממוצע של הפריים שבו חוליה עלתה עד חצי הגובה בדרך למעלה ושל הפריים שבו היא בחצי הגובה בדרך למטה — אמורה להצליח יותר.

(ג) סלינקי הוא קפיץ: כשהוא נמתח מאורכו הטבעי $L_0$ ל-$L$, המתיחות שלו היא $T = k(L - L_0)$, בעוד המסה שלו $M$ מתפרשת על האורך החדש. הראו שהזמן שלוקח לפולס לחצות אותו הוא $\sqrt{ML/\left(k(L - L_0)\right)}$, ושעבור $L \gg L_0$ הוא כמעט אינו תלוי בכמה הוא נמתח. נבאו מה קורה לזמן החצייה כשמותחים את הסלינקי מ-4 מ’ ל-8 מ’, ותכננו בדיקה של הניבוי בשתי מדידות.

(ד) הדביקו דגלון קטן לחוליה אחת. תארו מה הסרטון יראה שהדגלון עושה כשהפולס עובר, ומה אסור לו להראות אם המודל נכון.

בעיה 6 — נפיצת רשת, נמדדת¶

בעזרת waves.simulate_string ו-measurement.pulse_arrival_time:

(א) על מיתר באורך 2 מ’ עם 800 תאים ב-$S = 0.5$, שגרו פריטות גאוסיות ברוחבים $\sigma = 5\,\Delta x$, $10\,\Delta x$ ו-$20\,\Delta x$, ומדדו את המהירות בין שני גלאים במרחק 0.4 מ’ זה מזה על ידי מדידת זמן השיא בכל רישום. התאימו את המעריך של שגיאת המהירות היחסית כנגד $\sigma$.

(ב) השוו את השגיאות שלכם ל-$(1 - S^2)(\Delta x/\sigma)^2/4$. דווחו על אי-ההתאמה הגדולה ביותר.

(ג) חזרו על כך עם מדידת זמן לפי מרכז הכובד ודווחו על השגיאות. הסבירו, בעזרת יחס הנפיצה של leapfrog $\sin(\omega\Delta t/2) = S\sin(k\Delta x/2)$, מדוע מרכז הכובד אינו מושפע.

(ד) שרטטו את הפולס הצר ביותר אחרי שעבר 1 מ’. תארו את האדוות שאתם רואים, אמרו באיזה צד של הפולס הן נמצאות, והסבירו מדוע דווקא בצד הזה. אחר כך חזרו על כך ב-$S = 1$ והסבירו מה השתנה.

בעיה 7 — הצעד הקסום¶

(א) הראו שב-$S = 1$ עדכון ה-leapfrog הופך ל- $y_i^{n+1} = y_{i+1}^n + y_{i-1}^n - y_i^{n-1}$.

(ב) הראו ש-$y_i^n = F(i - n) + G(i + n)$ מקיים את העדכון הזה עבור כל סדרות $F$ ו-$G$. זהו משפט ד’אלמבר על רשת.

(ג) בצעו אינטגרציה לפריטה גאוסית ב-$S = 1$ במשך 400 צעדים על מיתר ארוך מספיק כדי שלעולם לא תגיע לקצוות, והשוו ל-waves.dalembert_solution. חזרו על כך ב-$S = 0.99$. דווחו על שתי השגיאות ועל היחס ביניהן.

(ד) שגרו במקום זאת פולס שנע ימינה, עם $y_t = -v\,y_x$. הראו שהשגיאה ב-$S = 1$ כבר אינה ברמת העיגול, ועקבו אחר הסיבה עד רמת הזמן השנייה, שהפותר בונה כ- $y^1 = y^0 + \Delta t\,v^0 + \tfrac12\Delta t^2 a^0$. כיצד השגיאה משתנה עם $\Delta x$?

בעיה 8 — אתגר: פריטה ליד קיר, בדמויות¶

מיתר תופס את $x \ge 0$ עם קצה קבוע ב-$x = 0$. הוא נפרט למשולש בגובה $h$ ובחצי-רוחב $\ell$ שמרכזו ב-$x = 3\ell$, ומשוחרר ממנוחה.

(א) הרחיבו את צורת הפתיחה אל $x < 0$ כפונקציה אי-זוגית והראו שפתרון ד’אלמבר על הישר כולו מקיים אז $y(0, t) = 0$ לכל $t$.

(ב) שרטטו את המיתר על $x \ge 0$ ב-$t = \ell/v$, $2\ell/v$, $3\ell/v$, $4\ell/v$ ו-$5\ell/v$. באילו מן הזמנים האלה החצי הנע שמאלה נמצא בדיוק בקיר, ואיך המיתר נראה שם?

(ג) ב-$t = 3\ell/v$ חלק מן המיתר ליד הקיר ישר לרגע. האם הוא במנוחה? השתמשו ב-$y_t = -v\,y_x$ לכל חלק נע כדי למצוא את מהירותו, ואמרו היכן נמצאת האנרגיה של החצי הזה של הפריטה ברגע הזה.

(ד) בדקו את השרטוטים שלכם מול waves.simulate_string עם קצה קבוע, ודווחו על הגובה ועל הסימן של הפולס שחוזר מן הקיר.

(ה) חזרו על (א) ו-(ב) עם הרחבה זוגית, וקבעו איזה תנאי שפה היא מקיימת ב-$x = 0$ ואיזה סוג קצה היא מתארת. איזו משתי התשובות שלכם מתארת חבל הקשור לטבעת המחליקה בחופשיות על עמוד אנכי?