אוסף תרגילים — עכבה

אוסף תרגילים: עכבה¶

תרגילים בסגנון בחינה. עבדו עליהם עם עט לפני שאתם נוגעים במחשב; תרגילים 6 ו-7 נועדו להסתיים נומרית. פתרונות ומחווני בדיקה נמצאים בחומר המרצה ובמכוון אינם באתר הזה.

לאורך כל הדף, שני מיתרים אידאליים בצפיפויות $\mu_1$ ו-$\mu_2$ מחוברים ב-$x = 0$ תחת מתיחות משותפת $T$, כך ש

תרגיל 1 — תנאי הצומת, ומה כל אחד מהם¶

(א) מיתר אינסופי למחצה מונע בקצה אחד כך שקיים עליו רק גל הנע ימינה. החל מ-$y_t = -v\,y_x$, הראו שהכוח הרוחבי שעל המניע לספק הוא $F = Z\,y_t$ עם $Z = \sqrt{T\mu}$, ונסחו את יחידת ה-SI של $Z$ ביחידות יסוד.

(ב) הסבירו, במשפט אחד לכל אחד, מדוע כוח המניע בפאזה עם המהירות שלו ולא עם ההעתק שלו, ומה זה גורר לגבי העבודה שהוא מבצע לאורך מחזור.

(ג) כתבו את הגל הפוגע, המוחזר והעובר בצומת במוסכמת הקורס $\psi = \Real[A e^{\ii(kx - \omega t)}]$, אמרו איזה גודל זהה בשני הצדדים ואיזה מסתגל, ואמרו איזו עובדה פיזיקלית כופה את הבחירה הזאת.

(ד) נסחו את שני תנאי הצומת, נקבו בהנחה הפיזיקלית שמאחורי כל אחד, וגזרו את $r$ ואת $t$. ודאו שתשובותיכם מקיימות $1 + r = t$, ואמרו איזה משני התנאים הזהות הזאת היא.

(ה) סטודנט כותב את תנאי הכוח כ"$y_x$ רציף" במקום “$T y_x$ רציף”. על זוג המיתרים הזה, האם זה משנה? בנו מצב פיזיקלי שבו כן היה משנה.

תרגיל 2 — שני הקצוות, כגבולות וכדמויות¶

(א) קחו $Z_2 \to \infty$ ו-$Z_2 \to 0$ בנוסחאות ל-$r$ ול-$t$, ונסחו את ארבעת ערכי הגבול. לכל קצה, אמרו מה עושים שם ההעתק והשיפוע.

(ב) שיטת הדמויות מטפלת בקצה קבוע ב-$x = L$ באמצעות הצבת פולס מראה בסימן הפוך במיקום המשוקף שמעבר לו. כתבו את $y(x,t)$ עבור פולס גאוסי $f(x) = A\exp[-(x-x_0)^2/w^2]$ המתקרב לקצה קבוע, כסכום של שני איברים מתקדמים, והראו שהביטוי שלכם נותן $y(L, t) = 0$ לכל $t$.

(ג) חזרו על (ב) עבור קצה חופשי, והראו שהביטוי שלכם נותן $y_x(L,t) = 0$ לכל $t$ ושההעתק של הקצה מגיע לרגע ל-$2A$.

(ד) פולס ברוחב 12 ס"מ (ב-$1/e$) מתקרב לקצה חופשי על מיתר שבו $v = 20$ מ/ש. שרטטו את $y(x)$ ברגעים שבהם מרכז הפולס נמצא 20 ס"מ מן הקצה, בקצה, ו-20 ס"מ מעבר לו. סמנו בכל שרטוט את המשרעת בקצה.

(ה) האנרגיה נשמרת בשני הקצוות, ובכל זאת אחד מהם מפעיל כוח על המיתר והשני לא. יישבו את הסתירה לכאורה, בעזרת העובדה שהספק הוא כוח כפול מהירות.

תרגיל 3 — מספרים בצומת¶

מיתר שבו $\mu_1 = 4.0$ ג/מ מחובר למיתר שבו $\mu_2 = 36$ ג/מ. המתיחות היא $T = 25$ ניוטון לכל האורך. גל סינוסי במשרעת 3.0 מ"מ ובתדירות 60 הרץ מגיע מן הצד הקל.

(א) מצאו את $v_1$, $v_2$, $Z_1$, $Z_2$, ואת אורך הגל בכל צד. אמרו איזה גודל זהה בשני הצדדים ומדוע.

(ב) מצאו את $r$, את $t$, ואת משרעות הגל המוחזר והעובר במילימטרים. אמרו אם הפולס המוחזר ישר או הפוך.

(ג) מצאו את $R$ ואת $T$ מתוך ה-$r$ וה-$t$ שלכם, וודאו $R + T = 1$. אחר כך חשבו את שלושת ההספקים הממוצעים במיליוואט ישירות מ-$\tfrac12 Z\omega^2 A^2$ ובדקו שההספק הפוגע שווה לסכום השניים האחרים.

(ד) עכשיו הגל מגיע מן הצד הכבד, באותה משרעת ובאותה תדירות. חשבו מחדש את $r$, $t$, $R$ ו-$T$. מה מבין הארבעה השתנה, ומה לא? הסבירו את התבנית במשפט אחד.

(ה) באיזה צומת — קל-אל-כבד או כבד-אל-קל — זז הצד הרחוק של המיתר יותר מן הגל הפוגע? יישבו זאת עם תשובתכם ל-(ד).

תרגיל 4 — פרדוקס $t > 1$, מיושב¶

(א) הראו ש-$t > 1$ בכל צומת שבו $Z_2 < Z_1$, ש-$t < 2$ תמיד, ושהערך $t = 2$ מתקבל רק בגבול הקצה החופשי.

(ב) עבור $Z_2/Z_1 = 1/10$, חשבו את $r$, $t$, $R$ ו-$T$. נסחו את המשרעת העוברת ככפולה של הפוגעת ואת ההספק העובר כשבר מן הפוגע.

(ג) הוכיחו $R + T = 1$ אלגברית מתוך ההגדרות, והראו את השלב שבו $(Z_1 - Z_2)^2 + 4Z_1Z_2$ מתקפל.

(ד) הסבירו במילים, למי שאוחז בשני החבלים, מדוע תנודה גדולה יותר יכולה לשאת פחות הספק. ההסבר שלכם חייב להשתמש בעובדה שהספק הוא $\tfrac12 Z(\omega A)^2$ ואסור לו להשתמש במילה “עכבה” יותר מפעם אחת.

(ה) הראו ש-$R$ אינו משתנה כאשר מחליפים בין $Z_1$ ל-$Z_2$, בעוד ש-$r$ מחליף סימן ו-$t$ לא. אחר כך אמרו מה מדידה של $R$ לבדו יכולה ומה אינה יכולה לספר לכם על צומת שאינכם רואים.

תרגיל 5 — הג’ל, ותווכים מתואמים אחרים¶

העכבה האקוסטית של נוזל היא $Z = \rho c$. השתמשו בערכי $\rho c$ של $1.5\times10^{6}$ ק"ג מ$^{-2}$ ש$^{-1}$ לרקמה רכה, $1.6\times10^{6}$ לג’ל אולטרסאונד, ו-430 לאוויר.

(א) חשבו את $R$ עבור ממשק רקמה-אוויר ועבור ממשק רקמה-ג’ל. בטאו את הראשון באחוזים והעירו כיצד נראית תמונת האולטרסאונד בלי ג’ל.

(ב) שכבת הג’ל עבה בחלקיק של מילימטר ואורך הגל בתוכה הוא כ-0.3 מ"מ ב-5 מגהרץ. הסבירו מדוע העובי של השכבה משנה כאן ולא היה משנה אילו הג’ל היה מתואם באופן מושלם לשני שכניו.

(ג) כבל קואקסיאלי של 50 אוהם נשאר בלי סופית (מעגל פתוח, $Z_2 \to \infty$) ונשלח בו פולס. חזו מה חוזר, עם סימן, ואמרו מה עושה נגד סוגר של 50 אוהם לפולס הזה ולאן הולכת האנרגיה במקום.

(ד) תנו דוגמה אחת לכל אחד מאלה לתיאום עכבות: באקוסטיקה, באלקטרוניקה ובאופטיקה, ובמשפט אחד לכל אחת אמרו מה היה משתבש בלעדיו.

(ה) סטודנטית מציעה לתאם שני מיתרים נתונים על ידי הגדלת המתיחות בקל שבהם. הסבירו מדוע זה אינו יכול לעבוד על מיתר מתוח יחיד, וזהו את ההנחה במודל שאוסרת זאת.

תרגיל 6 — הצומת שאינו נקודה¶

תרגיל גילוי: התשובה אינה כתובה בשום מקום למעלה. השתמשו ב- wavelab.waves.simulate_string עם מערך mu.

(א) החליפו את המדרגה בצפיפות במדרון: $\mu$ עולה מ-$\mu_1$ ל-$\mu_2 = 9\mu_1$ באופן לינארי לאורך רוחב $w$ הממורכז על הצומת. ירו בו חבילת גלים סינוסית באורך גל $\lambda_1$ ומדדו את שבר האנרגיה המוחזרת $R$ על ידי שקילת המיתר מאחורי הצומת, כמו בחלק 6 של המעבדה.

(ב) חזרו על כך עבור $w/\lambda_1$ מ-0 ועד בערך 3 ושרטטו את $R$ מול $w/\lambda_1$. תארו את צורת העקומה. מהו $R$ כאשר $w \to 0$, והאם ההרצה שלכם מסכימה עם הנוסחה?

(ג) באיזה רוחב מדרון ההד יורד לעשירית מערכו במדרגה החדה? בטאו את תשובתכם באורכי גל והסבירו, פיזיקלית, מדוע אורך הגל הוא היחידה הטבעית כאן ורוחב המדרון לבדו אינו.

(ד) הסבירו את התוצאה במונחים של מה שהגל “רואה”: באיזה קצב שינוי של $Z$ לאורך גל צומת חדל להיות צומת? לאפקט הזה יש שם — תיאום אדיאבטי — והוא הסיבה לכך שחצוצרה עובדת, שצונאמי גדל במקום להיות מוחזר, ושסיבים אופטיים מחודדים ולא מוצמדים קצה אל קצה.

(ה) נסחו את מגבלת הניסוי הנומרי שלכם: מה היה קורה ב-$w$ גדול מאוד על רשת באורך קבוע, וכיצד בדקתם שה-$R$ שלכם הוא של הצומת ולא של הקצה הרחוק.

תרגיל 7 — שנאי רבע הגל¶

אתגר. תווכים 1 ו-3 נתונים, עם $\mu_3 = 9\mu_1$. הכניסו ביניהם מקטע בצפיפות $\mu_2$ ובאורך $\ell$.

(א) הראו שבחירת $Z_2 = \sqrt{Z_1Z_3}$ הופכת את שתי ההחזרות מן הפאות לשוות בגודלן, ושבחירת $\ell = \lambda_2/4$ — רבע אורך גל במקטע — מציבה אותן בנגידות מדויקת בחזרתן. תנו את $\mu_2$ ואת $\ell$ במונחי $\mu_1$ והתדירות.

(ב) חשבו את $R$ עבור מדרגת 1→3 החשופה, וחזו את $R$ עבור הזוג המתואם בתדירות התכן.

(ג) הריצו סימולציה של שניהם, כמו בסרטון השלישי של המודול, ודווחו את שני שברי האנרגיה המוחזרת. הסבירו כל הפרש בין ה-$R$ המתואם שלכם לבין האפס שנחזה ב-(ב): ממה עשויה השארית, והאם היא קטנה אם שולחים חבילה ארוכה יותר?

(ד) סרקו את התדירות ושרטטו את $R(\omega)$ עבור המבנה המתואם על פני, נניח, חצי עד פעמיים תדירות התכן. סמנו את תדירות התכן. תארו את צורת העקומה ליד המינימום ונסחו את סדר האפס שלה בהיסט התדירות.

(ה) עדשות מצלמה נראות סגולות בהחזרה. בעזרת העקומה שלכם, הסבירו מדוע — ואמרו מה חייב לכן להיות “ציפוי נוגד החזרה רחב סרט” במונחי מספר השכבות.

תרגיל 8 — חבל, קשר וטלפון¶

קשרו קטע של חבל עבה לחבל דק — חבל קפיצה ושרוך יעשו את העבודה — הניחו את הזוג על רצפה חלקה, ובקשו ממישהו להחזיק את הקצה הרחוק. צלמו פולסים החוצים את הקשר בטלפון ב-60 פריימים לשנייה או יותר, עם סרגל או מטר מונח בפריים ומצלמה קבועה.

(א) שלחו פולס מן הצד העבה ואחר כך מן הצד הדק. סווגו כל החזרה כישרה או כהפוכה. הסבירו מדוע התוצאה הזאת אינה דורשת שום כיול כלל — לא של אורך, לא של זמן ולא של משרעת — ומה בדיוק היא מפריכה.

(ב) שקלו את שני החבלים ומדדו את אורכיהם כדי לקבל את $\mu_1$ ואת $\mu_2$. חזו את $r$ ואת $t$ לכל כיוון, ונסחו את המשרעות הצפויות שלכם לשתי ספרות.

(ג) מן הווידאו, מדדו את המשרעות הפוגעת, המוחזרת והעוברת ביחידות הסרגל. אמדו את אי הוודאות בכל אחת מן קנה המידה של הפיקסלים ומכמה הקריאה שלכם משתנה בין פריימים סמוכים. השוו ל-(ב), עם סרגלי שגיאה.

(ד) תגלו שה-$|r|$ הנמדד יוצא גבוה אם אתם קוראים כל משרעת כסטייה הגדולה ביותר שאתם מצליחים לראות. הסבירו מדוע, בהתייחס לחלק 7 של המעבדה, והציעו שיטת קריאה שאין לה ההטיה הזאת.

(ה) מדדו את רוחב הפולס בכל צד של הקשר, בסנטימטרים. הראו שהיחס אמור להיות $v_2/v_1 = \sqrt{\mu_1/\mu_2}$, השוו למדידה שלכם, ואמרו מה זה מספר לכם שיחס המשרעות אינו מספר.

(ו) נסחו שגיאה שיטתית אחת שיש למכשיר הזה ואין לסימולציה, ואמדו את גודלה: חיכוך עם הרצפה, קשר בעל מסה ממשית, או מתיחות שנבדלת בין שני החבלים משום שמישהו מחזיק את הקצה.