אנרגיית הגל: מה באמת נע - WaveLab

החידה: הגל מגיע, והמים תמיד היו כאן¶

סערה באוקיינוס הדרומי מכניסה אנרגיה לים. עשרה ימים אחר כך מגיע נחשול למזח בקליפורניה ושובר קרש. שום דבר לא חצה את האוקיינוס השקט: המים שפגעו במזח צפו מול קליפורניה כל אותו הזמן, והמים שהסערה דחפה עדיין נמצאים מול אנטארקטיקה. מודול 08 ביסס זאת על מיתר — גרגר אבק עולה, יורד, ונמצא בדיוק במקום שבו התחיל ברגע שהפולס חלף.

ובכל זאת הקרש נשבר. מה שהסערה יצרה ומה ששבר את הקרש הם אותם ג’אולים עצמם, ובדרך הם היו במקום כלשהו, בתווך שנשאר במקומו.

לנבא לפני שמחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת לפני שתריצו משהו.

גל סינוסי נע לאורך מיתר. היכן האנרגיה ליחידת אורך גדולה ביותר — בפסגות, בחציות האפס, או שהיא זהה בכל מקום?
האם חלק מן המיתר יכול לנוע מהר יותר מן הגל הנע לאורכו?
אתם מכפילים את משרעת הגל ולא משנים דבר נוסף. ההספק שהוא מספק עולה בגורם של כמה?
לגל מתקדם ולגל עומד יש אותה משרעת ואותה תדירות. איזה מהם מספק יותר אנרגיה מעבר לנקודה באמצע המיתר?

לחקור את המודל¶

שלוש אנימציות, כולן חושבו מאותן פונקציות wavelab.waves שהמעבדה קוראת להן.

גל סינוסי הנע ימינה, מעל צפיפות האנרגיה של עצמו. הסמן הכתום רוכב על פסגה; הסמן הירוק רוכב על חציית האפס שרבע אורך גל מאחוריה. סמן הפסגה יושב בשקע של האנרגיה לאורך כל הלולאה — לעולם לא מעל $2.5\times10^{-4}$ ממה שהסמן הירוק עומד עליו — וגבעות האנרגיה מופיעות בתדירות כפולה מזו של הפסגות, מפני שהצפיפות הולכת כריבוע של סינוס. שניהם נעים במהירות הגל, כך שהתמונה שמתחת למיתר נוקשה בדיוק כמו התמונה שמעליו.

פולס גאוסי בודד, עם האנרגיה שלו מתחתיו. שני דברים קורים בבת אחת. העקומה העבה והחיוורת היא $u_P$ והדקה והכהה היא $u_K$ , והן מונחות זו על זו בכל מקום, בכל פריים, עד $2\times10^{-4}$ מן השיא. וגבעה אחת של מיתר נושאת שתי גבעות של אנרגיה: שתי הצפיפויות הולכות כריבוע השיפוע, ופולס שטוח בראשו. העקומה המקווקוות היא השטף חלקי $v$ , הנוחתת על הסך הכולל האפור עד $2\times10^{-8}$ — האנרגיה נעה בדיוק במהירות שבה נעה הצורה.

רכבת מתקדמת ואופן עומד באותה משרעת ובאותה תדירות, כל אחד עם שער שבו נקרא ההספק החוצה. השטף של הגל המתקדם (כחול) לעולם אינו יורד מתחת לאפס: אנרגיה חוצה את השער פעמיים במחזור וממשיכה הלאה. השטף של הגל העומד (כתום) מתנדנד סימטרית סביב האפס ומסכם $1.4\times10^{-10}$ ממה שהניע. השיא שלו הוא רבע מזה של הגל המתקדם, לא אלפית — גל עומד מניע אנרגיה בסדר גודל דומה ופשוט מחזיר את כולה.

מפרט המודל

מערכת: המיתר האידאלי של מודול 08 — הזזה לרוחב $y(x,t)$ , מתיחות $T$ , צפיפות מסה אורכית $\mu$ — הנושא כעת שלושה שדות נגזרים: צפיפויות האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית $u_K(x,t)$ , $u_P(x,t)$ , ושטף האנרגיה $P(x,t)$ .
דינמיקה: $\mu\,y_{tt} = T\,y_{xx}$ כמקודם. גדלי האנרגיה הם אבחונים: הם מחושבים מן הפתרון ולעולם אינם מוזנים חזרה אליו, כך שכל הסכמה בינם לבין הפותר היא עדות ולא בנייה.
שפה: קצוות קבועים. שום אנרגיה אינה חוצה קצה כזה, מפני ש- $y_t = 0$ שם, וכוח שאינו מבצע עבודה אינו מוביל הספק.
אנסמבל: דטרמיניסטי; רעש גלאים, במקום שבו הוא מתווסף, הוא גאוסי, בלתי תלוי ומוזרע.
מוזנח: בידוד אנרגיה, תנועה אורכית, והתנע שגל רוחבי אולי נושא ואולי לא — האחרון הוא שאלה פתוחה באמת, המסומנת בפרק המתקדם ולא מנופנפת הצידה.
תקף כאשר: השיפועים קטנים, $|y_x| \ll 1$ . צפיפות הפוטנציאל זקוקה לכך סדר אחד עמוק יותר מאשר משוואת התנועה: המשוואה זרקה איברים מסדר $y_x^2$ , ו- $u_P$ שומרת אותם וזורקת $y_x^4$ .
אופני כישלון: קריאת הצפיפויות כמדויקות עבור גל תלול; הנחה שאנרגיה של מיתר מאבד נשמרת מפני שזו של האידאלי נשמרת; אמון ב"מהירות האנרגיה" ברגע שהתווך נעשה נפיץ, שם מודול 13 מוצא שהיא כבר אינה $\omega/k$ .

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו. ארבעה דברים שכדאי לעשות לפני שתמשיכו לקרוא:

קראו את שלוש המהירויות מפולס אחד, ושימו לב ששתיים מהן הן אותו מספר.
שרטטו את צפיפות האנרגיה מתחת לגל סינוסי ומצאו את ההיסט בין שתי העקומות.
מדדו את ההספק בנקודה, ובדקו שמה שהמד ספר הוא מה שהגיע בסופו של דבר מעברה.
מדדו את ההספק הממוצע פעמיים, דרך אותו רעש, בשני אומדנים ששניהם אלגברה נכונה. אחד מהם ישקר לכם.

לגזור את התוצאה¶

שתי הצפיפויות¶

לקטע קצר של מיתר בין $x$ ל- $x + \mathrm{d}x$ יש מסה $\mu\,\mathrm{d}x$ והוא נע הצידה במהירות $y_t$ . האנרגיה הקינטית שלו היא $\tfrac12(\mu\,\mathrm{d}x)\,y_t^2$ , וליחידת אורך זה

u_K = \tfrac12\,\mu\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 .

(1)

האנרגיה הפוטנציאלית דורשת צעד אחד נוסף. מיתר אוגר אנרגיה בכך שהוא ארוך יותר מכפי שהיה: בהטיה לשיפוע $y_x$ , קטע באורך מנוחה $\mathrm{d}x$ נעשה $\sqrt{1 + y_x^2}\;\mathrm{d}x$ , והעבודה שנעשית כנגד המתיחות הקבועה $T$ היא $T$ כפול תוספת האורך הזו. פיתוח השורש הריבועי נותן

T\left(\sqrt{1 + y_x^2} - 1\right)\mathrm{d}x = \tfrac12\,T\,y_x^2\,\mathrm{d}x + O(y_x^4)\,\mathrm{d}x ,

(2)

ולכן

u_P = \tfrac12\,T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 .

(3)

צפיפויות אנרגיה על מיתר

u_K = \tfrac12\,\mu\,y_t^2, \qquad u_P = \tfrac12\,T\,y_x^2, \qquad u = u_K + u_P ,

(4)

כל אחת בג’אול למטר. האנרגיה הכוללת על קטע היא האינטגרל של $u$ עליו.

שתיהן קירובים מאותו סדר כמו משוואת הגלים, ו- $u_P$ מוציאה את הנחת השיפוע הקטן פעם אחת יותר מאשר משוואת התנועה. משוואת התנועה זרקה איברים מסדר $y_x^2$ יחסית למה ששמרה; $u_P$ שומרת אותם וזורקת $y_x^4$ . גל תלול דיו כדי להזדקק לאיבר הבא הוא גל שהמודול כבר אינו מתאר כלל.

קראו מה ש- $u_P$ אומרת על היכן נמצאת האנרגיה של גל. לא ההזזה אוגרת אנרגיה — הרימו קטע ישר של מיתר, החזיקו אותו מטר גבוה יותר, ולא מתחתם דבר. השיפוע הוא שאוגר. ו- $u_K$ זקוקה לתנועה. בגל סינוסי מתקדם $y = A\sin(kx - \omega t)$ אין לפסגות אף אחת מן השתיים: שם המיתר שטוח לרגע ובמנוחה לרגע, ושתי הצפיפויות מתאפסות יחד. הפסגה היא המקום הריק ביותר על המיתר, והאנרגיה נערמת בחציות האפס, שם המיתר תלול ביותר ונע מהר ביותר. זו תחזית 1, והמעבדה מודדת שהפסגה מחזיקה $4\times10^{-5}$ ממה שמחזיקה חציית האפס.

השטף: כוח כפול מהירות, כתמיד¶

חתכו את המיתר ב- $x$ ושאלו מה החלק השמאלי עושה לימני. הוא מושך לאורך כיוונו של המיתר עצמו במתיחות $T$ , שרכיבה הרוחבי הוא $-T\,y_x$ עבור שיפועים קטנים. הכוח הזה פועל על נקודה הנעה במהירות $y_t$ , והספק הוא כוח כפול מהירות:

\boxed{\;P = -T\,\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t}\;}

(5)

בוואט, נספר כחיובי כשהאנרגיה זורמת לכיוון $+x$ . אין בו פיזיקה חדשה — זהו אותו $F v$ שמודול 01 השתמש בו על מסה בודדת, מיושם בחתך במקום על גוף.

הסימן הוא הכיוון, ושני הסימנים מופיעים. עבור גל הנע ימינה, $y_t = -v\,y_x$ של מודול 08 נותן $P = T v\,y_x^2 \ge 0$ בכל מקום: האנרגיה זורמת לכיוון שאליו הגל הולך, בין אם המיתר באותה נקודה עולה או יורד. לגל הנע שמאלה יש $y_t = +v\,y_x$ ו- $P \le 0$ בכל מקום. $P$ שלילי אינו פרדוקס; הוא גל ההולך בכיוון השני.

חוק השימור המקומי הראשון¶

עכשיו התבוננו בקטע קצר של מיתר וערכו מאזן לאנרגיה שלו. גזרו את הצפיפות לפי הזמן:

\frac{\partial u}{\partial t} = \mu\,y_t\,y_{tt} + T\,y_x\,y_{xt} .

(6)

השתמשו במשוואת הגלים, $\mu\,y_{tt} = T\,y_{xx}$ , באיבר הראשון:

\frac{\partial u}{\partial t} = T\,y_t\,y_{xx} + T\,y_x\,y_{xt} = T\,\frac{\partial}{\partial x}\!\left(y_x\,y_t\right) = -\,\frac{\partial P}{\partial x} .

(7)

רציפות, וכיצד נראה חוק שימור מקומית

\boxed{\;\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial P}{\partial x} = 0\;}

(8)

האנרגיה בכל קטע $[a,b]$ משתנה רק על ידי מה שחוצה את שני קצותיו:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_a^b u\,\mathrm{d}x = P(a) - P(b) .

(9)

אנרגיה אינה נעלמת כאן ומופיעה מחדש שם. היא זורמת, ברציפות, דרך כל נקודה שביניהן — וזו האמירה שהאוקיינוס היה זקוק לה.

זהו חוק השימור המקומי הראשון בקורס, והתבנית לכל אלה שיבואו אחריו. בכל מקום שבו גודל נשמר, מופיעים אותם שני עצמים: צפיפות האומרת כמה יש כאן, ושטף האומר כמה עובר. מודול 15 בונה כך את וקטור פוינטינג עבור אנרגיה אלקטרומגנטית; זרם ההסתברות במכניקת הקוונטים הוא אותו משפט שוב, עם $|\psi|^2$ במקום $u$ .

קחו את שני הקצוות הקבועים של מיתר כ- $a$ וכ- $b$ . קצה קבוע אינו יכול לנוע, ולכן $y_t = 0$ שם, ולכן $P = 0$ : שום דבר אינו חוצה, והאנרגיה הכוללת של המיתר קבועה. זהו השימור שהפותר של מודול 08 כבר הדגים, עכשיו נגזר ולא רק נצפה.

חלוקה שווה, ומהירות האנרגיה¶

עבור גל מתקדם הכול מתמוטט לכדי דבר אחד. הציבו $y_t = -v\,y_x$ בשתי הצפיפויות:

u_K = \tfrac12\,\mu\,v^2\,y_x^2 = \tfrac12\,T\,y_x^2 = u_P ,

(10)

שכן $\mu v^2 = T$ מהגדרת $v$ .

אל תקראו זאת כחלוקה השווה המוכרת של מסה על קפיץ. המתנד של מודול 01 הוא כולו פוטנציאלי בנקודות המפנה וכולו קינטי באמצע, ושני חצאיו שווים רק לאחר מיצוע על מחזור. כאן שום דבר אינו ממוצע. שתי הצפיפויות הן אותה פונקציה של המקום, באותו רגע, מפני שכל אלמנט של המיתר מפגר מעט אחרי שכנו: מה שמסה אחת עושה בזה אחר זה, המיתר עושה בבת אחת, פרוש לאורכו.

וגל עומד אינו עושה זאת. עבור $y = A\sin kx\,\cos\omega t$ המיתר הוא כולו פוטנציאלי ברגע השחרור וכולו קינטי רבע מחזור אחר כך, ולכן $u_K$ ו- $u_P$ שונות זו מזו נקודתית ככל ששני גדלים יכולים להיות. רק הממוצעים על המחזור מתאימים. חלוקה שווה נקודתית ורגעית היא תכונה של גל מתקדם, ולא של גלים בכלל.

ההספק שנושא גל סינוסי¶

עבור הגל המתקדם של הקורס,

y(x,t) = \Real\!\left[A\,e^{\ii(kx - \omega t)}\right] = |A|\cos(kx - \omega t + \arg A) ,

(13)

המהירות לרוחב היא $y_t = |A|\,\omega\sin(kx - \omega t + \arg A)$ , ולכן $u_K = \tfrac12\mu|A|^2\omega^2\sin^2(\cdot)$ ובהכפלה בשניים עבור החלק הפוטנציאלי השווה, $u = \mu|A|^2\omega^2\sin^2(\cdot)$ . השטף הוא $v$ כפול זה, והממוצע של $\sin^2$ על מחזור הוא $\tfrac12$ :

\boxed{\;\langle P\rangle = \tfrac12\,\mu\,v\,\omega^2 |A|^2\;}

(14)

כל גורם מצדיק את מקומו. הכפלת המשרעת מרבעת את ההספק, וכך גם הכפלת התדירות — זו תחזית 3, ולשני הריבועים סיבה אחת: השטף ריבועי במהירות לרוחב $|A|\omega$ , ושני הסמלים נכנסים רק דרך המכפלה הזו. גל בחצי המשרעת ובתדירות כפולה מספק בדיוק את מה שסיפק קודם, על מיתר שנראה שונה לגמרי.

בכתיבה באמצעות העכבה של המיתר, $Z = \sqrt{T\mu} = \mu v$ , אותה תוצאה היא

\langle P\rangle = \tfrac12\,Z\,\left(|A|\omega\right)^2 ,

(15)

קבוע של התווך כפול ריבוע של משרעת מהירות. מודול 10 עושה את $Z$ לכל הנושא; משם זה רץ למשוואות פרנל ולעוצמה של אלומת אור, שהיא הנוסחה הזו עם שדות במקום הזזות.

שלוש מהירויות, מובחנות זו מזו¶

מה נע	כמה מהר	נקבע על ידי
חלק מן התווך, הצידה	$\partial y/\partial t = -v\,y_x$	מי שיצר את הגל
התבנית	$v = \sqrt{T/\mu}$	התווך
האנרגיה	$P/u = v$	התווך

שתיים מן השלוש הן אותו מספר והשלישית אינה קשורה. מהירות התווך היא $|y_t| = v|y_x|$ : מהירות הגל כפול השיפוע, ומכיוון שהשיפוע קטן, המיתר תמיד זוחל לעומת הגל שלו. בפולס של המעבדה המהיר ביותר של המיתר הוא 1.145 מ’/ש’ בעוד התבנית רצה ב-20 מ’/ש’.

אבל שום דבר אינו אוסר על $|A|\omega$ לעלות על $v$ — אלה כפתורים בלתי תלויים, וזו תחזית 2. מה שעוצר את זה הוא המודל, לא הפיזיקה: $|A|\omega > v$ היא אותה אמירה כמו $|A|k > 1$ , שיפוע מסדר גודל אחד, שהוא בדיוק המקום שבו הגזירה לשיפועים קטנים של כל מה שלמעלה נגמרת. מיתר שחלקיו מדביקים את הגל של עצמו הוא מיתר שהמודול הזה אינו יכול לתאר.

לאמת חישובית¶

כל בדיקה למטה היא גם מבחן בחבילת המבחנים של הפרויקט, כך שהטענות האלה אינן יכולות להירקב בשקט.

1. הצפיפויות שוות, נקודה אחר נקודה. פולס גאוסי הנע ימינה על רשת בת 1600 תאים: הפער הגדול ביותר בין $u_K$ ל- $u_P$ בכל מקום הוא $1.1\times10^{-4}$ מצפיפות השיא, והסכומים המשולבים מתאימים עד $1.6\times10^{-4}$ . שניהם קטנים פי ארבעה בכל חצייה של המרווח, ולכן אי-ההתאמה שייכת לרשת.

2. האנרגיה רוכבת במהירות $v$ . באותן ריצות, $P/u$ נמצא בתוך $1.1\times10^{-6}$ מ- $v$ לרוחב הפולס.

מהירות האנרגיה טובה מסדר שני

עידון הרשת סוגר את $u_K = u_P$ פי ארבעה לכל חצייה — התנהגות רגילה מסדר שני — אבל סוגר את $P/u = v$ פי שישה עשר: $1.7\times10^{-5}$ , $1.1\times10^{-6}$ , $6.9\times10^{-8}$ , $4.4\times10^{-9}$ ב-400, 800, 1600 ו-3200 תאים.

הסיבה שווה החזקה. כתבו את הסטייה מגל טהור הנע ימינה כ- $\varepsilon = (y_t + v\,y_x)/(v\,y_x)$ ; הרשת נפיצה במקצת, ולכן פולס העשוי מאורכי גל רבים אינו נשאר חד-כיווני בשלמות, ו- $\varepsilon$ קטן אך אינו אפס. שתי הצפיפויות נבדלות בסדר ראשון ב- $\varepsilon$ . ביחס $P/(vu)$ האיברים מסדר ראשון מתבטלים בין המונה למכנה, ונשאר $\varepsilon^2$ . הטענה שאנרגיה של גל נעה בדיוק במהירות $v$ היא האמירה היציבה ביותר נומרית במודול הזה.

3. החוק המקומי מתקיים במקום שבו שום דבר לא כפה אותו. simulate_string מקדם הזזות; הוא מעולם לא שמע על $u$ או על $P$ . קריאת $\partial u/\partial t + \partial P/\partial x$ מתוך הפלט שלו בהפרשים מרכזיים נותנת שארית של $1.1\times10^{-3}$ מ- $|\partial P/\partial x|$ על הרשת של המעבדה, הקטנה ככל שהמרווח מתעדן.

הסכמה מקיימת חוק שימור בדיד במדויק

יש אמירה חזקה יותר, והיא על הסכמה ולא על המיתר. שייכו את האנרגיה הקינטית לנקודות הרשת, שם המסות, ואת האנרגיה הפוטנציאלית ואת השטף לתאים שביניהן, שם הקפיצים — שיפוע התא כפול המהירות הממוצעת של שני קצותיו. אז גזירה לפי הזמן והצבת העדכון של הפותר עצמו מבטלות כל איבר כנגד ההפרש של שני שטפי תאים שכנים, בזהות, לכל $\Delta x$ .

לכן לא ניתן לשפר את השארית על ידי עידון הרשת ויש לשפרה על ידי עידון הצעד. נמדד על רשת קבועה אחת: $3.3\times10^{-3}$ , $8.3\times10^{-4}$ , $2.1\times10^{-4}$ ב- $S = 0.5$ , 0.25, 0.125 — פי ארבעה לכל חצייה, שהיא שגיאת הזמן של ורלה-מהירות ותו לא. אותו חוק נקרא נקודתית יושב במקום זאת על $1.0\times10^{-2}$ לאורך שלוש הריצות ואינו זז, מפני ששגיאתו שייכת למרווח.

זוהי הלולאה הסוגרת של מודול 08 שוב, רמה אחת למעלה. שם הסטנסיל היה שרשרת המסות; כאן מאזן האנרגיה המדויק של השרשרת הוא מה שהרשת יורשת.

4. מד ההספק מאזן את הספרים. פולס משוגר ב-1 מ’ ונמדד ב-2 מ’. האינטגרל של $P\,\mathrm{d}t$ בשער מגיע ל-4.177317 מיליג’אול; שקילת המיתר מעבר לשער בסוף הריצה נותנת 4.177487 מיליג’אול, יחס של 0.999959, וזו גם בדיוק האנרגיה שהפולס יצא איתה לדרך. שלוש נוסחאות שאינן חולקות דבר מסכימות עד ארבעה חלקים ב-10⁵ — והמעבדה חוזרת על המדידה על פולס אחר, עד לאותה ספרה.

5. הספק ממוצע, ושני הריבועים שלו. רכבת סינוסית חלונית עוברת שער והשטף שם ממוצע על מחזורים שלמים. כנגד $\tfrac12\mu v\omega^2A^2$ המדידה נוחתת בתוך 0.2% על פני גורם ארבע במשרעת וגורם ארבע בתדירות; המעריך המותאם במשרעת הוא 2.000000 ובתדירות 1.995.

החוסר במעריך התדירות מלמד, והוא אינו של המיתר. השיפוע בשער משוחזר בהפרש מרכזי, שקורא את שיפועו של סינוס נמוך ב- $(k\Delta x)^2/6$ — 0.6% עבור הגל הקצר ביותר בסריקה, שם אורך גל פרוש על 32 נקודות רשת. לסריקת המשרעת אין איבר כזה והיא יוצאת מדויקת. כמו בשערים האופטיים של מודול 08, מה שאתם מודדים תלוי באיך שאתם מודדים.

6. הגל העומד אינו מספק דבר. ארבעה מחזורים של האופן הרביעי של מיתר קבוע: השטף הממוצע בזמן הגדול ביותר בכל מקום הוא $2.6\times10^{-7}$ מן השטף הרגעי הגדול ביותר, בעוד השטף הרגעי עצמו מגיע לשיא של 12.6 מיליוואט. הסכומים הממוצעים על מחזור, הקינטי והפוטנציאלי, מתאימים עד $1.6\times10^{-4}$ , וההפרש הנקודתי בין הצפיפויות מגיע לכל הצפיפות — הניגוד לגל המתקדם, בריצה אחת.

7. ומה אפשר לשאול מיתר אמיתי. שתיים משלוש המהירויות של המודול הזה נמצאות בהישג ידה של מצלמת טלפון. צלמו פולס על סלינקי מתוח, תזמנו את הגעתו לשני סימני דבק כפי שבעיה 5 של מודול 08 עושה, ואז עקבו אחרי סליל מסומן אחד פריים אחר פריים: שתי מהירויות מתוך סרטון אחד, הנבדלות ביותר מגורם עשר. השטף הוא עניין אחר. מדידת $P$ בנקודה פירושה לדעת את השיפוע ואת המהירות לרוחב שם באותו רגע ולהכפיל אותם — שני מספרים קטנים ורועשים בנפרד, כשההטיה שהחלק האחרון של המעבדה מודד ממתינה מתחת. שום ציוד בהישג יד אינו קורא אותו ישירות, ולכן ניסוי ביתי מודד את התוצאות של השטף במקום: אנרגיה המגיעה למקום שלא הייתה בו קודם. דף הבעיות מארגן זאת.

להעביר את הרעיון¶

שטף אחד, שדות רבים

התבנית שנקבעה כאן — צפיפות, שטף, ומשוואת רציפות הקושרת ביניהם — היא הדרך שבה כל גודל נשמר בפיזיקה נספר מקומית. משוואת הגלים פשוט במקרה המקום הפשוט ביותר לפגוש בה.

אנרגיה אלקטרומגנטית. מודול 15 גוזר את $\partial u/\partial t + \nabla\cdot\mathbf{S} = 0$ עם $u = \tfrac12(\varepsilon_0 E^2 + B^2/\mu_0)$ ווקטור פוינטינג $\mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{H}$ . החלוקה השווה של $u_K$ ו- $u_P$ נעשית לחלוקה השווה של צפיפויות האנרגיה החשמלית והמגנטית בגל אור — אותו משפט, אותה הוכחה.
עוצמה. ממודול 23 והלאה, “עוצמה” פירושה השטף הממוצע בזמן של גל, וכל תבנית התאבכות ועקיפה בקורס הזה היא מפה של $\langle P\rangle$ . שהיא הולכת כריבוע המשרעת מוכרע כאן.
קול. עוצמה אקוסטית היא $\langle p\,u\rangle$ — לחץ כפול מהירות החלקיקים, אותה מכפלה של גודל דמוי-כוח וגודל דמוי-מהירות.
מכניקת הקוונטים. $\partial|\psi|^2/\partial t + \partial j/\partial x = 0$ מגדירה את זרם ההסתברות. שום דבר אינו נשמר אחרת; רק הצפיפות מחליפה שם.

גלים עומדים. 11-standing-waves מציב קירות בשני הקצוות ושואל לאן הולכת האנרגיה כשהשטף מתמצע לאפס. התשובה — שהיא נאגרת, מתנדנדת בין קינטית לפוטנציאלית רבע אורך גל בכל פעם, ולא מובלת — מתחילה מן האימות האחרון של המודול הזה.
עכבה. מודול 10 שולח גל אל צומת בין שני תווכים ומחלק את האנרגיה שלו לשניים. מקדמי ההחזרה וההעברה נקבעים בדיוק על ידי הדרישה שהמודול הזה בנה: שהשטף המגיע שווה לשטף היוצא.
נפיצה. מהירות האנרגיה $P/u$ יצאה כאן שווה ל- $v = \omega/k$ מפני שהמיתר האידאלי אינו נפיץ. 13-dispersion מוצא שכאשר $\omega/k$ משתנה עם אורך הגל, האנרגיה נעה במהירות החבורה $\mathrm{d}\omega/\mathrm{d}k$ במקום, ושתיהן יכולות להיבדל מאוד — הסיבה שמהירות פאזה מעל $c$ אינה שוברת דבר.
כבלים ואנטנות. הספק הנשלח לאורך קו תמסורת הוא $\tfrac12 Z |I|^2$ , אותה אלגברה עם זרם במקום מהירות לרוחב. כבל שאינו מסויים מחזיר אותו, מהסיבה שמודול 10 נותן.

בדקו את הבנתכם¶

גל סינוסי נע לאורך מיתר. צילום מקפיא אותו. היכן לאורך המיתר, באותו צילום, האנרגיה ליחידת אורך גדולה ביותר?
A. בחציות האפס, שם המיתר תלול ביותר ונע מהר ביותר. B. בפסגות ובשקעים, שם ההזזה גדולה ביותר. C. באופן אחיד לאורך המיתר — גל מתקדם נושא את האנרגיה שלו שווה בשווה. D. רבע אורך גל לפני כל פסגה, בכיוון ההתקדמות.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — בחציות האפס, שם המיתר תלול ביותר ונע מהר ביותר.
- A. נכון. מיתר אוגר אנרגיה בשתי דרכים ואף אחת מהן אינה הזזה: בהיותו מתוח, מה שדורש שיפוע, u_P = (1/2) T (dy/dx)^2, ובהיותו נע, מה שדורש מהירות לרוחב, u_K = (1/2) mu (dy/dt)^2. בחציית אפס של סינוס מתקדם שתיהן בשיאן, ובפסגה שתיהן מתאפסות בבת אחת — המיתר שם שטוח לרגע ובמנוחה לרגע. נמדד על המיתר המדומה, הפסגה מחזיקה 4e-5 ממה שמחזיקה חציית האפס. שימו לב לתוצאה: גבעות האנרגיה מופיעות בתדירות כפולה מזו של הפסגות, מפני שלריבוע יש מחצית המחזור של הסינוס.
- B. זו התפיסה השגויה של המודול, והיא באה מהתייחסות להזזה כאילו הייתה אנרגיה אגורה. היא אינה. הרימו קטע ישר של מיתר הצידה והחזיקו אותו שם: הזזתם כל נקודה שלו ולא אגרתם דבר, מפני שלא מתחתם דבר ושום דבר אינו נע. אנרגיה דורשת שיפוע או מהירות, ולפסגה אין אף אחת מהן ברגע שבו הצילום נלקח.
- C. צפיפות האנרגיה של סינוס מתקדם הולכת כ-sin^2(kx - omega t), שרחוק מלהיות אחיד: היא יורדת לאפס פעמיים בכל אורך גל. מה שכן אחיד הוא הממוצע על אורך גל שלם, וזה הגודל ש-(1/2) mu v omega^2 A^2 מודדת כשמכפילים אותה ב-v. אחיד בממוצע אינו אחיד בצילום.
- D. מקסימומי האנרגיה אכן יושבים רבע אורך גל מן הפסגות, אבל יש שניים כאלה בכל אורך גל ולא אחד, ולאף אחד מהם אין צד מועדף: u הולכת כ-sin^2(kx - omega t), שהמקסימומים שלה שוכנים רבע אורך גל משני צדיה של כל פסגה וכל שקע כאחד. שום דבר בצפיפות אינו מבחין בין קדימה לאחורה — כיוון ההתקדמות מופיע בסימן השטף, לא במקום שבו נמצאת האנרגיה.
על מיתר עם v = 20 מ’/ש’, לגל סינוסי יש משרעת 2.0 מ"מ ותדירות 50 הרץ. איזו אמירה על שלוש המהירויות שלו נכונה?
A. התבנית והאנרגיה נעות שתיהן ב-20 מ’/ש’; חלקי המיתר נעים הצידה עד 0.63 מ’/ש’. B. כל השלוש הן 20 מ’/ש’ — זה גל אחד, ולכן יש לו מהירות אחת. C. האנרגיה נעה בחצי ממהירות התבנית, שכן רק חציה קינטית. D. המהירות לרוחב היא 20 מ’/ש’ והאנרגיה היא זו שנעה ב-0.63 מ’/ש’.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — התבנית והאנרגיה נעות שתיהן ב-20 מ’/ש’; חלקי המיתר נעים הצידה עד 0.63 מ’/ש’.
- A. נכון, ושתי ההתלכדויות אינן מקריות. התבנית נעה ב-v = sqrt(T/mu) מפני שהתווך אומר כך. האנרגיה נעה ב-P/u, ועבור גל מתקדם P = v(u_K + u_P) בדיוק, ולכן גם היחס הזה הוא v. המהירות לרוחב היא A omega = 0.002 x 2 pi x 50 = 0.63 מ’/ש’, נקבעת כולה על ידי מי שיצר את הגל, והיא הצידה ולא לאורך. שני מספרים כפויים ואחד הוא כפתור חופשי.
- B. שתיים מהן כן, והשלישית היא 0.63 מ’/ש’. המהירות לרוחב dy/dt היא מה שחלק בודד של מיתר עושה, והיא קשורה למהירות הגל דרך y_t = -v y_x: מהירות הגל כפול השיפוע. מכיוון שהשיפוע קטן — 0.031 כאן — המיתר זוחל לעומת הגל שלו עצמו. הבלבול בין השניים הוא אותה שגיאה כמו לחשוב שגל ביציעים דורש שמישהו ירוץ.
- C. שתי הצפיפויות הן כל אחת חצי מן הסך הכול, וזה נכון וזו ההפתעה של המודול — אבל השטף נושא את כל הצפיפות, לא חצי ממנה: P = T v y_x^2 = v(u_K + u_P). שני החצאים נעים, והם נעים יחד במהירות v. גורם החצי שכן מופיע במודול הזה הוא בממוצע בזמן של הספק גל סינוסי, והוא בא ממיצוע sin^2, לא מחלוקת האנרגיה לשניים.
- D. זה הופך את השניים בדיוק, וכדאי לשים לב לכך מפני שזו התחזית של התפיסה השגויה “הגל נושא את התווך איתו”. גרגר האבק של מודול 08 מכריע: תנועת המיתר עצמו קטנה, הצידה, וחוזרת לאפס. תנועת האנרגיה היא מהירות הגל המלאה והיא הולכת לאנשהו.
לגל מתקדם ולגל עומד יש אותה משרעת ואותה תדירות על מיתרים זהים. על פני מחזור שלם, איזה מהם מספק יותר אנרגיה מעבר לנקודה באמצע?
A. הגל המתקדם. הגל העומד מספק אפס בדיוק, אף שהשטף הרגעי שלו אינו קטן. B. הגל העומד, מפני שהאנרגיה שלו מרוכזת בבטנים במקום להיות פרושה. C. שניהם מספקים אותו דבר, שכן יש להם אותה אנרגיה על המיתר. D. אף אחד: גל אינו מוביל אנרגיה, רק הפרעה.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — הגל המתקדם. הגל העומד מספק אפס בדיוק, אף שהשטף הרגעי שלו אינו קטן.
- A. נכון, והחלק השני הוא המעניין. עבור y = A sin(kx) cos(omega t) השטף פרופורציוני ל-sin(2kx) sin(2 omega t), שגדול כמו רבע מן השיא של הגל המתקדם באותה משרעת — אבל הוא מחליף סימן פעמיים במחזור ומתמצע לאפס בכל x. בסימולציה על פני ארבעה מחזורים, השטף הממוצע בזמן הגדול ביותר בכל מקום הוא 2.6e-7 מן הרגעי הגדול ביותר. גל עומד מניע אנרגיה בסדר גודל דומה ומחזיר את כולה.
- B. האנרגיה שלו אכן מפוזרת באופן לא אחיד, אבל פיזור אינו הובלה. שאלו מה חוצה את נקודת האמצע: בגל עומד השטף שם מתנדנד חיובי ושלילי במידה שווה, ולכן הסך על פני מחזור הוא אפס בלי קשר לאופן שבו האנרגיה מסודרת. ריכוז והובלה הן שאלות נפרדות, והשטף של המודול הזה עונה רק על השנייה.
- C. אכן יש להם אנרגיה בסדר גודל דומה על המיתר — וזה מה שהופך את הניגוד לחד. אנרגיה אגורה ואנרגיה מובלת הן גדלים שונים, וגל עומד הוא מתקן להשגת הראשונה בלי השנייה. מודול 11 בונה את כל המאזן שלו על ההבחנה הזו.
- D. גל מתקדם מוביל אנרגיה במהירות v בדיוק, וזו התוצאה המרכזית של המודול הזה: P = v(u_K + u_P). הדבר שגל אינו מוביל הוא התווך — גרגר האבק של מודול 08 אינו הולך לשום מקום. אנרגיה ותווך הם דברים שונים, וההפרדה ביניהם היא הנקודה של שני המודולים.
חבל עם mu = 0.080 ק"ג/מ’ מוחזק במתיחות של 120 ניוטון. מנער מניע קצה אחד ב-8.0 הרץ במשרעת של 25 מ"מ. איזה הספק ממוצע, בוואט, המנער מספק?
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 6.1 (± 0.2)
מהירות הגל היא v = sqrt(120 / 0.080) = sqrt(1500) = 38.7 מ’/ש’, והתדירות הזוויתית היא omega = 2 pi x 8.0 = 50.3 rad/s. אז = (1/2) mu v omega^2 A^2 = 0.5 x 0.080 x 38.7 x 50.3^2 x 0.025^2 = 6.1 ואט. שתי בדיקות שכדאי לעשות תוך כדי. הממדים: (kg/m)(m/s)(1/s^2)(m^2) = kg m^2/s^3 = W. והסקיילינג: חצו את המשרעת והתשובה יורדת ל-1.5 ואט, רבע ממה שהייתה, מפני שהשטף ריבועי במהירות לרוחב A omega ושני הסמלים נכנסים רק דרך המכפלה הזו.
בנקודה אחת על מיתר עם מתיחות T = 20 ניוטון, צילום מראה שיפוע dy/dx = +0.015 ומהירות לרוחב dy/dt = -0.40 מ’/ש’. מהו שטף האנרגיה P באותה נקודה, בוואט?
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: 0.12 (± 0.005)
P = -T (dy/dx)(dy/dt) = -20 x 0.015 x (-0.40) = +0.12 ואט. הסימן הוא הכיוון: האנרגיה זורמת לכיוון +x. קראו את הגאומטריה ולא רק את החשבון — המיתר כאן משופע כלפי מעלה ימינה ונע כלפי מטה, ולכן החלק שמשמאל מושך את החלק שמימין כלפי מטה בעוד החלק הימני נע מטה, וכוח דרך הזזה הוא עבודה חיובית הנעשית על הימני. שימו לב גם למה שהצילום לבדו אינו יכול לומר לכם: אם זהו גל הנע ימינה. עבור גל כזה y_t = -v y_x היה נותן v = 0.40/0.015 = 27 מ’/ש’, וזה עקבי רק אם sqrt(T/mu) של המיתר הוא 27 מ’/ש’. אחרת שני הכיוונים נוכחים כאן.
פולס הנע ימינה על מיתר נמדד ברגע אחד. נמצא שצפיפות האנרגיה הקינטית שלו וצפיפות האנרגיה הפוטנציאלית שלו שוות בכל נקודה, עד לדיוק המדידה. מה זה אומר לכם?
A. שום דבר מעבר למה שגל מתקדם חייב לעשות — זה נובע מ-y_t = -v y_x ומ-mu v^2 = T. B. שהפולס נמצא במקרה ברגע במחזור שלו שבו שתי הצפיפויות נחתכות. C. שהמיתר חייב להיות בלתי נפיץ, אחרת השוויון היה נכשל. D. שהמדידה שגויה, שכן האנרגיה הכוללת הייתה אז נספרת פעמיים.
בדקו את התשובה
התשובה הנכונה: A — שום דבר מעבר למה שגל מתקדם חייב לעשות — זה נובע מ-y_t = -v y_x ומ-mu v^2 = T.
- A. נכון. עבור גל הנע ימינה כלל השרשרת נותן y_t = -v y_x, ולכן u_K = (1/2) mu v^2 y_x^2 = (1/2) T y_x^2 = u_P, כשהצעד האחרון הוא מפני ש-mu v^2 = T זה מה ש-v אומר. זה מתקיים בכל נקודה ובכל רגע, בלי שום מיצוע. האמירה אינה ריקה בכל זאת: היא נכשלת עבור גל עומד, שבו המיתר כולו פוטנציאלי ברגע אחד וכולו קינטי רבע מחזור אחר כך, והיא נכשלת עבור כל סופרפוזיציה של שני כיוונים. שוויון בכל נקודה הוא חתימה של תנועה חד-כיוונית.
- B. זו התמונה הנכונה למתנד, והלא נכונה לגל מתקדם. מסה על קפיץ מחליפה קינטית בפוטנציאלית פעמיים במחזור והן שוות רק ברגעים בודדים. בגל מתקדם כל אלמנט מפגר מעט אחרי שכנו, ולכן מה שהמסה עושה בזה אחר זה המיתר עושה בבת אחת, פרוש לאורכו: השוויון מתקיים בכל רגע, ולא ברגעים מיוחדים.
- C. נפיצה אינה מה שנבדק כאן. השוויון נובע מצורה מתקדמת יחידה המקיימת y_t = -v y_x, שנכון עבור f(x - vt) יהיה אשר יהיה מה שהתווך עושה לאורכי גל אחרים. מה שנפיצה שוברת הוא הצורה — פולס מתפשט, ולכן הוא מפסיק להיות f(x - vt) נוקשה — ורק אז השוויון הולך איתה. מודול 13 מטפל בכך.
- D. שום דבר אינו נספר פעמיים: u_K ו-u_P הן אנרגיות שונות באותו מקום, אחת של תנועה ואחת של מתיחה, והסך הכול הוא סכומן. אם כל אחת היא (1/2) T y_x^2 אז הסך הוא T y_x^2, והשטף P = T v y_x^2 הוא בדיוק v כפול זה — וזו אמירת המודול שהאנרגיה נעה במהירות הגל. המאזן נסגר.
הסבירו את חוק השימור המקומי du/dt + dP/dx = 0 במילים: מה כל איבר אומר, מה המשוואה אוסרת, ומדוע חוק בצורה הזו אומר יותר מ"אנרגיה נשמרת". אחר כך אמרו מהי האמירה המקבילה עבור קטע מיתר בין שני קצוות קבועים.
בדקו את התשובה
האיבר הראשון הוא הקצב שבו האנרגיה ליחידת אורך בנקודה משתנה. השני הוא הקצב שבו השטף — ההספק החוצה נקודה, P = -T y_x y_t — משתנה כשנעים לאורך המיתר. המשוואה אומרת שהשניים תמיד מתבטלים: אנרגיה בנקודה יכולה להשתנות רק מפני שמגיע יותר מצד אחד מכפי שיוצא בשני.

מה שהיא אוסרת הוא היעלמות אנרגיה כאן והופעתה מחדש שם. אמירה גלובלית, “האנרגיה הכוללת של המיתר קבועה”, הייתה מתירה זאת: היא מגבילה רק סכום. האמירה המקומית מגבילה כל נקודה, ולכן דורשת שהאנרגיה תהיה במקום כלשהו בדרך, ברציפות, בכל רגע של החצייה. זו בדיוק השאלה שהמודול נפתח בה — אנרגיה של סערה החוצה אוקיינוס שהמים שלו אינם נעים — ורק חוק מקומי עונה עליה. הצורה האינטגרלית הופכת את ההבדל למוחשי. אינטגרציה על קטע [a, b] נותנת d/dt של האנרגיה בקטע = P(a) - P(b): מה שנכנס משמאל פחות מה שיוצא מימין. קחו את הקטע להיות מיתר שלם עם שני קצוות קבועים. קצה קבוע אינו יכול לנוע, ולכן y_t = 0 שם, ולכן P = 0 בשניהם: שום דבר אינו חוצה אף אחד מן הקצוות, והאנרגיה הכוללת קבועה. שימור עבור המיתר כולו הוא תוצאה של החוק המקומי ועוד עובדה על השפות, ולא הנחה נפרדת — ולכן אותה מכונה תטפל במיתר עם קצה פתוח, עם צומת, או עם מניע, רק על ידי שינוי מהו P בקצוות. שווה להוסיף: הצורה הזו — צפיפות, שטף, ומשוואת רציפות — היא הדרך שבה כל גודל נשמר נספר מקומית. וקטור פוינטינג במודול 15 וזרם ההסתברות במכניקת הקוונטים הם אותו משפט עם צפיפות אחרת.

בעיות בסגנון בחינה למודול הזה — אלה שכדאי לעשות עם עט — נאספו בדף הבעיות.

להסביר במילים שלכם¶

ענו בכמה משפטים על כל אחת. שום מספר לא יציל אתכם.

הסבירו מדוע פסגת הגל היא החלק הפחות אנרגטי של המיתר, למי שבטוח שהאנרגיה נמצאת במקום שבו נמצאת ההזזה. השתמשו רק בשני הדברים שמיתר יכול לעשות כדי לאגור אנרגיה.
אנרגיה זורמת דרך תווך שאינו הולך לשום מקום. תארו כיצד, תוך שימוש במילה “שכן” ובלי להשתמש במילה “נושא”.
מד הספק על מיתר מראה -0.4 ואט. אמרו מה קורה, ומה היה צריך להשתנות כדי שיראה +0.4 ואט בעוד המיתר נראה בדיוק אותו דבר בצילום.
לגל מתקדם ולגל עומד באותה משרעת יש אותה אנרגיה על המיתר ואותו שטף רגעי, עד כדי גורם ארבע. האחד מספק הספק והשני אינו מספק דבר. הסבירו את ההבדל בלי לכתוב נוסחה.

מתקדם: שאלת התנע, ומה ש"מהירות האנרגיה" תפסיק לומר¶

מהירות האנרגיה, ותאריך התפוגה שלה. הגדרת מהירות הובלת האנרגיה כ- $P/u$ היא יותר מנוחות: זו ההגדרה ששורדת כאשר $\omega/k$ מפסיק להיות התשובה. על המיתר האידאלי כל שלוש — $\omega/k$ , $\mathrm{d}\omega/\mathrm{d}k$ ו- $P/u$ — מתלכדות, ולכן המודול יכול להרשות לעצמו להיות מרושל. בתווך נפיץ הן נפרדות, $P/u$ עוקב אחרי מהירות החבורה $\mathrm{d}\omega/\mathrm{d}k$ , ומהירות הפאזה $\omega/k$ — שיכולה לעלות על $c$ בלי מבוכה — מפסיקה לתאר את תנועתו של דבר. 13-dispersion עושה זאת כראוי; הסיבה שהוא יכול היא שהגודל שיש לעקוב אחריו הוגדר כאן כיחס בין שני דברים שמדידה יכולה להגיע אליהם.

האם גל רוחבי נושא תנע לאורך המיתר?

שאלה שהמיתר האידאלי אינו יכול לענות עליה

מאזן האנרגיה שלמעלה הוא פיזיקה מוכרעת. מאזן התנע אינו, וכדאי לדעת מה מהם מה.

תנע לרוחב הוא קל: חלקי המיתר נעים הצידה, $\int \mu\,y_t\,\mathrm{d}x$ הוא התנע הרוחבי הכולל שלהם, ועבור פולס שמתחיל ומסיים במנוחה הוא אפס. השאלה הקשה היא תנע אורכי — האם פולס דוחף את המיתר לאורכו שלו? התשובה היא מסדר שני בשיפוע, $O(y_x^2)$ , וזה בדיוק הסדר שבו מודל המיתר האידאלי נבנה מתוך זריקת דברים. האם אלמנט נישא קדימה או אחורה, ובכמה, תלוי בפרטים חומריים שהמודול זרק: אם המיתר בלתי מתיח או הוקי, אם המתיחות מוחזקת קבועה או האורך, ולמה הקצוות מחוברים. מאמרים ב-American Journal of Physics התדיינו על כך במשך עשורים — נציג אופייני הוא מאמרו של D. R. Rowland, Eur. J. Phys. 32, 1475 (2011), שכותרתו “צפיפות האנרגיה הפוטנציאלית בגלי מיתר רוחביים תלויה באופן קריטי בתנועה אורכית”, והוא מראה שאפילו צפיפות האנרגיה הפוטנציאלית אינה חד-משמעית ברגע שלוקחים את התנועה האורכית ברצינות.

מה ששורד את הוויכוח הזה הוא כל מה שהמודול הזה באמת השתמש בו. האנרגיה הכוללת, השטף, משוואת הרציפות וההספק הממוצע הם כולם גדלים מסדר ראשון ב- $y_x^2$ שכל גרסה של המודול מסכימה עליהם. הקורס נשאר ברמת השטף בכוונה, ואומר זאת במקום לבחור צד בשקט.

השאלה המקבילה עבור אור — האם פוטון בתווך נושא תנע $n\hbar\omega/c$ או $\hbar\omega/(nc)$ — היא מחלוקת אברהם–מינקובסקי, בת מאה שנה, שנפתרה רק במובן ששתי התשובות מסתברות כמתארות חצאים שונים של אותו סך הכול. 16-light-in-matter מזכיר אותה בחטף, מאותה סיבה שהיא מופיעה כאן: לדעת היכן נגמרת סמכותו של מודל הוא חלק מלדעת את המודל.

מדוע לצפיפות הפוטנציאל יש בדיוק את הצורה הזו. הגזירה שלמעלה פיתחה את $\sqrt{1 + y_x^2}$ ושמרה איבר אחד. השגה הוגנת היא שה- $-\tfrac18 y_x^4$ שנזרק הוא מאותו סדר כמו תיקונים למשוואת התנועה שגם הם נזרקו, ולכן מה מתיר לשמור את $\tfrac12 T y_x^2$ ? התשובה היא ששניהם האיבר המוביל של הגודל שלהם עצמו: האיבר המוביל של משוואת התנועה הוא $O(y_x)$ ושל האנרגיה הוא $O(y_x^2)$ , ולכן כל אחד הוא התרומה הראשונה שאינה מתאפסת, והיחס בין הנזרק לנשמר הוא $y_x^2$ בשניהם. שני הקירובים עקביים, וזו הסיבה שמשוואת הרציפות נסגרת בדיוק ולא עד סדר כלשהו — וכפי שהגרסה הבדידה שלמעלה מראה, היא נסגרת בדיוק אפילו על רשת.