דף בעיות — אנרגיית הגל

דף בעיות: אנרגיית הגל¶

בעיות בסגנון בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שתיגעו במחשב; בעיות 6 ו-7 נועדו להסתיים נומרית. פתרונות ומחווני בדיקה נמצאים בחומר למרצה ובכוונה אינם באתר הזה.

לאורך כל הדף, למיתר יש מתיחות $T$ וצפיפות מסה אורכית $\mu$, כך ש

בעיה 1 — המתיחה, ומה שהיא אוגרת¶

(א) קטע מיתר באורך מנוחה $\mathrm{d}x$ מוטה לשיפוע $y_x$. כתבו את אורכו האמיתי, והראו שהעבודה הנעשית כנגד מתיחות קבועה $T$ במתיחתו היא $\tfrac12 T y_x^2\,\mathrm{d}x$ בסדר מוביל. נסחו את גודלו של האיבר הראשון שזרקתם, יחסית לזה ששמרתם.

(ב) מיתר גיטרה באורך $L = 650$ מ"מ ו-$\mu = 1.1$ ג’/מ’ תחת $T = 75$ ניוטון נמשך 3.0 מ"מ הצידה באמצעו למשולש ומשוחרר. מצאו את האנרגיה הכוללת האגורה, באמצעות שני השיפועים הקבועים של המשולש, ובטאו אותה במיליג’אול.

(ג) הראו שהתשובה ל-(ב) ניתנת לכתיבה כ-$2Th^2/L$ עבור פריטה בגובה $h$ באמצע, והסבירו מדוע היא אינה תלויה ב-$\mu$. מה $\mu$ כן קובע לגבי התנועה שבאה אחר כך?

(ד) אותו מיתר מורם עכשיו בשלמותו 3.0 מ"מ הצידה בעודו נשאר ישר. כמה אנרגיה אגורה? יישבו את תשובתכם עם האינטואיציה שהמיתר “הוזז”.

בעיה 2 — השטף, מעקרונות ראשונים¶

(א) שרטטו חתך דרך המיתר ב-$x$, ואת המתיחות שבה החלק השמאלי מושך את הימני. פרקו אותה לרכיבים והראו שהרכיב הרוחבי הוא $-T y_x$ עבור שיפועים קטנים.

(ב) הנקודה שבחתך נעה במהירות $y_t$. כתבו את הקצב שבו החלק השמאלי מבצע עבודה על הימני, והראו שהוא $P = -T y_x y_t$. אשרו מתוך הביטוי שלכם עצמכם ש-$P$ חיובי כשעובר גל הנע ימינה.

(ג) צילום של מיתר מראה, בנקודה אחת, שיפוע של +0.012 ומהירות לרוחב של -0.30 מ’/ש’, על מיתר עם $T = 20$ ניוטון. מצאו את $P$ שם, אמרו לאן הולכת האנרגיה, ואמרו אם הנקודה הזו שייכת לגל הנע ימינה, שמאלה, או אף אחד מהם. איזה מידע נוסף היה מכריע את השאלה האחרונה?

(ד) הראו של-$P = -T y_x y_t$ יש ממדים של הספק, בעבודה מן הממדים של $T$ בלבד.

בעיה 3 — רציפות, נבדקת ביד¶

יהי $y(x,t) = f(x - vt)$ עבור $f$ שרירותית גזירה פעמיים.

(א) כתבו את $u_K$, $u_P$ ו-$P$ באמצעות $f'$ בלבד, ואמתו ש-$u_K = u_P$ ו-$P = v u$ בלי להניח דבר על צורתה של $f$.

(ב) אמתו בגזירה ישירה ש-$\partial u/\partial t + \partial P/\partial x = 0$.

(ג) עכשיו יהי $y = f(x - vt) + g(x + vt)$ כששני החלקים נוכחים. הראו ש-$u$ מקבלת איבר מעורב בעוד $P$ מקבלת איבר מעורב שונה, ש-$u_K = u_P$ כבר אינו מתקיים נקודתית, ושמשוואת הרציפות מתקיימת בכל זאת.

(ד) הסבירו במשפט אחד מדוע (ג) הייתה חייבת לצאת כך, בהינתן שמשוואת הגלים לינארית אך האנרגיה ריבועית.

בעיה 4 — הספק ממוצע, בשלוש דרכים¶

(א) מיתר נושא $y = \Real[A e^{\ii(kx - \omega t)}]$. גזרו את $\langle P\rangle = \tfrac12 \mu v \omega^2 |A|^2$, ונסחו מהיכן מגיע הגורם חצי.

(ב) כתבו מחדש את התוצאה באמצעות העכבה $Z = \sqrt{T\mu}$ ומהירות השיא לרוחב, ושוב באמצעות $T$, $v$ ומספר הגל $k$. בדקו שלכל שלוש יש ממדים של הספק.

(ג) חבל עם $\mu = 0.080$ ק"ג/מ’ תחת 120 ניוטון מנוער ב-8.0 הרץ במשרעת של 25 מ"מ. מצאו את $v$, את $\lambda$, ואת ההספק הממוצע שעל המנער לספק. אחר כך מצאו את המשרעת שהייתה מחצה את ההספק באותה תדירות, ואת התדירות שהייתה מחצה אותו באותה משרעת.

(ד) גל משולשי בגובה שיא $A$ ובאורך גל $\lambda$ נע לאורך המיתר — קטעים ישרים המחליפים שיפוע. מצאו את ההספק הממוצע שלו בלי שום ניתוח פורייה, ובטאו את התשובה כמכפלה מספרית של $\tfrac12\mu v \omega^2 A^2$ עבור הסינוס בעל אותו גובה שיא ואותו אורך גל. איזה מהם נושא יותר, ומדוע זו התשובה שהייתם צריכים לצפות לה מתוך $u_P \propto y_x^2$?

בעיה 5 — שלוש מהירויות, ומי יכולה לעקוף את מי¶

(א) עבור גל הנע ימינה, הראו ש-$y_t = -v\,y_x$ ולכן שהיחס בין מהירות השיא לרוחב למהירות הגל הוא בדיוק השיפוע התלול ביותר.

(ב) לגל על מיתר יש $v = 20$ מ’/ש’, $A = 2.0$ מ"מ ו-$f = 50$ הרץ. מצאו את מהירות השיא לרוחב, את השיפוע התלול ביותר, ואת מהירות הובלת האנרגיה. אילו שניים מארבעת המספרים שלכם זהים, ואיזה מהם חופשי?

(ג) מצאו את המשרעת שבה מהירות השיא לרוחב הייתה שווה ל-$v$, בתדירות הזו, ואת השיפוע שאותה משרעת גוררת. מה השתבש במודל עד אז, ומה היה קורה פיזית למיתר כזה?

(ד) סטודנט מסיק שמכיוון שאנרגיה נעה במהירות $v$ ואפשר להגדיל את $v$ כרצוננו על ידי מתיחת המיתר, אפשר לשלוח אנרגיה מהר מן האור. זהו את ההנחה הראשונה במודול הזה שנכשלת, ואמרו מה באמת מגביל את $v$ עבור חומר אמיתי.

בעיה 6 — מאזן האנרגיה של פריטה¶

מיתר ארוך נמשך לגבעה סימטרית $y_0(x)$ ומשוחרר ממנוחה.

(א) טענו, בלי לחשב דבר, שב-$t = 0$ האנרגיה של המיתר היא כולה פוטנציאלית, ושכעבור זמן מה היא חצי קינטית וחצי פוטנציאלית. אמרו מה קורה בין לבין, ומה קובע את סקאלת הזמן של המעבר.

(ב) באמצעות פתרון ד’אלמבר, הראו שברגע ששני העותקים בחצי הגובה נפרדו, כל אחד נושא רבע מן האנרגיה הפוטנציאלית המקורית כ-$u_K$ ורבע כ-$u_P$. אמתו שארבעת הרבעים מסתכמים באנרגיה שהתחלתם ממנה.

(ג) נומרית: שגרו פריטה גאוסית עם waves.simulate_string, ושרטטו את $\int u_K\,\mathrm{d}x$ ואת $\int u_P\,\mathrm{d}x$ כנגד הזמן על ציר אחד. סמנו את הרגע שבו הן נחתכות, והשוו אותו להערכתכם מ-(א).

(ד) לכל אחד משני חצאי העותק יש חצי מגובה המקור. חצי הגובה הוא רבע מצפיפות האנרגיה, ויש שניים מהם — ולכן האנרגיה המתקדמת היא חצי ממה שהוכנס. היכן החצי השני? ענו בעזרת השרטוט מ-(ג), לא במילים בלבד.

בעיה 7 — מדידת הספק דרך רעש¶

רכבת סינוסית במשרעת $A$ עוברת שער. הנתונים היחידים הם ההזזות של שלוש נקודות רשת שכנות, במרווח $\Delta x$, הנדגמות כל $\Delta t$, כשכל אחת נושאת רעש גאוסי בלתי תלוי בסטיית תקן $\sigma$.

(א) אומדן אחד בונה את $y_x$ משני השכנים במרחב ואת $y_t$ משני השכנים בזמן, ואז לוקח $P = -T y_x y_t$. הראו שתוחלתו היא ההספק הממוצע האמיתי, וזהו איזו תכונה של שני ההפרשים הסופיים מאפסת את האיבר המעורב של הרעש.

(ב) אומדן שני משתמש ב-$P = T v\,y_x^2$, שהיא אלגברה מדויקת לגל הנע ימינה. הראו שתוחלתו עולה על האמת ב-$T v\,\sigma^2/(2\Delta x^2)$, ושההיסט הזה אינו קטן כשממצעים דגימות רבות יותר.

(ג) עם $T = 4$ ניוטון, $v = 20$ מ’/ש’, $\Delta x = 6.25$ מ"מ ו-$\sigma$ השווה ל-5% ממשרעת של 2 מ"מ, חשבו את ההיסט והשוו אותו ל-$\tfrac12\mu v\omega^2A^2$ ב-50 הרץ. האם שגיאתו של האומדן השני היא תיקון קטן או בעיה רצינית?

(ד) הציעו דרך לתקן את האומדן השני באמצעות הנתונים שכבר יש לו, ונסחו איזו הנחה חדשה התיקון שלכם מכניס. (רמז: ההיסט תלוי ב-$\sigma$, ואת אותן רשומות אפשר לגרום לחשוף אותה.)

(ה) נסחו את הכלל הכללי שהבעיה הזו ממחישה, במשפט אחד, בצורה שתזהיר מישהו המודד עוצמת אור בגלאי רועש.

בעיה 8 — אתגר: האם הגל דוחף את המיתר לאורכו?¶

לבעיה הזו אין תשובה נקייה, והנקודה היא לגלות בדיוק מדוע.

(א) התנע הרוחבי של קטע מיתר הוא $\int \mu\,y_t\,\mathrm{d}x$. חשבו אותו עבור פולס $y = f(x - vt)$ המתחיל ומסיים שטוח, ופרשו את התוצאה.

(ב) עכשיו שקלו תנועה אורכית. הראו שאם אלמנט מיתר אינו מתיח, הזזה לרוחב בשיפוע $y_x$ חייבת למשוך את קצותיו זה אל זה בכמות מסדר $y_x^2$ ליחידת אורך, ולכן שכל אפקט אורכי הוא מסדר שני בשיפוע.

(ג) זהו כל מקום בגזירות של המודול הזה שבו נזרק איבר מסדר $y_x^2$ יחסית למוביל. הסבירו מדוע זה אומר שאי אפשר לשאול את מודל המיתר האידאלי על תנע אורכי, אף שאפשר לשאול אותו על אנרגיה.

(ד) קראו את מאמרו של D. R. Rowland, Eur. J. Phys. 32, 1475 (2011), שכותרתו “צפיפות האנרגיה הפוטנציאלית בגלי מיתר רוחביים תלויה באופן קריטי בתנועה אורכית”. בחצי עמוד, נסחו מה על הפרק, אילו מתוצאות המודול הזה שורדות את טיעון המאמר ללא פגע, ואילו מהן המאמר מראה שהן מוסכמה ולא עובדה.

(ה) כתבו משפט אחד המסביר את ההבדל בין “הפיזיקה אינה יודעת את התשובה” לבין “המודל הזה אינו יכול לייצג את השאלה”. איזה מהם המקרה כאן?

בעיה 9 — שתי מהירויות מתוך סרטון אחד¶

השתמשו בצילומי הסלינקי של בעיה 5 במודול 08: סלינקי מתוח ל-$L = 4.0$ מ’ לאורך רצפה חלקה, מצולם ב-240 פריימים לשנייה, עם סימני דבק כל 0.50 מ’ ודגלון קטן מודבק לסליל אחד ליד האמצע.

(א) מיקומו הצידי של הדגלון נקרא מכל פריים. במשך אחד עשר הפריימים שבהם הפולס עובר, הוא עולה מ-0 ל-42 מ"מ וחוזר. העריכו את מהירותו הרוחבית הגדולה ביותר של הדגלון, והשוו אותה למהירות הפולס שמדדתם במודול 08 (3.00 מ’ ב-69 פריימים). אילו משלוש המהירויות של המודול מדדתם עכשיו, ואילו לא?

(ב) השתמשו ב-$y_t = -v\,y_x$ כדי להמיר את תשובתכם ל-(א) לשיפוע התלול ביותר של הפולס. האם הנחת השיפוע הקטן בטוחה על הסלינקי הזה? תנו את גודלו של האיבר הגדול ביותר שהמודל זורק.

(ג) מסת הסלינקי היא $M = 0.22$ ק"ג. באמצעות $\mu = M/L$ והמהירות ממודול 08, העריכו את המתיחות, ואז העריכו את $u_K$ בדגלון ברגע שבו נע מהר ביותר. אמרו לאיזה מן הנתונים שלכם התשובה רגישה ביותר.

(ד) אתם רוצים למדוד את השטף $P$ ישירות. הסבירו אילו שני גדלים הייתם צריכים לקרוא מאותו פריים, באותו מקום, ומדוע מכפלה של שני מספרים קטנים ורועשים קשה למדידה טובה יותר מכל אחד מהם בנפרד — תוך התייחסות לבעיה 7 לכיוון שאליו הולכת השגיאה.

(ה) תכננו ניסוי המודד את האנרגיה שהפולס סיפק בלי למדוד את $P$ כלל: משהו בקצה הרחוק שהפולס המגיע מזיז באופן נראה לעין, שאת האנרגיה שלו תוכלו לחשב אחר כך. נסחו מה הייתם צריכים לכייל, ועם מה הייתם משווים את תשובתכם.