אוסף בעיות — צברים סטטיסטיים

אוסף בעיות: צברים סטטיסטיים¶

בעיות בסגנון בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שתיגעו במחשב; בעיות 4 ו-5 נועדו להסתיים במעבדה, ובעיה 6 היא אתגר. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים עם חומרי המרצה ובמכוון אינם באתר הזה.

קחו $\kB = 1.381 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$, $g = 9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ וכן $1\ \mathrm{u} = 1.661 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ לכל אורך הדרך. מוצק איינשטיין של $N$ מתנדים מחזיק $q$ קוונטים ב-$\Omega(N, q) = \binom{q + N - 1}{q}$ דרכים.

בעיה 1 — אמבט שאפשר לספור¶

מערכת דו-רמתית שהפער שלה קוונט אחד חולקת $q$ קוונטים עם אמבט של שלושה מתנדים.

(a) עבור $q = 1, 2, \ldots, 6$, ספרו את המיקרו-מצבים המשותפים שבהם המערכת נמצאת בכל אחד ממצביה, ומצאו את ההסתברות שהיא מעוררת.

(b) הראו שעבור אמבט של $N$ מתנדים המחזיק $q$ קוונטים כשהמערכת במצב היסוד שלה, היחס המדויק בין האכלוסים של המערכת הוא

(c) השיפוע המדויק של האמבט כשהוא מחזיק $q$ קוונטים הוא $\beta\varepsilon = \sum_{j=1}^{N-1} 1/(q + j)$. עבור $N = 3$ ו-$q = 3$, השוו את $e^{-\beta\varepsilon}$ ליחס המדויק של (b). מה מהם גדול יותר, ומדוע הוא חייב להיות זה?

(d) מהי ההסתברות שהמערכת מעוררת כאשר $q = 0$? מה פירוש ה"טמפרטורה" של האמבט אז?

(e) שני מוצקי איינשטיין של מודול 01, A עם $n_a$ מתנדים ו-B עם $n_b$, חולקים $Q$ קוונטים. כתבו את ההסתברות המדויקת ש-A מחזיק $q_a$ מהם, והסבירו מדוע, כאשר $n_b \gg n_a$, היא מקבלת את הצורה $g(q_a)\, e^{-\beta q_a \varepsilon}/Z$. הטמפרטורה של איזה גוף היא $\beta$?

בעיה 2 — האיבר הבא¶

(a) פתחו את $\ln\Omega_{\mathrm{bath}}(U_{\mathrm{tot}} - E_s)$ עד סדר שני ב-$E_s$, והראו שהנגזרת השנייה היא

(b) כתבו מכאן את ההסתברות של מצב עד סדר שני, והראו שעבור אמבט בתחום חלוקת האנרגיה השווה התיקון ל-$\ln P_s$ הוא $-E_s^2/(2 N_{\mathrm{bath}} (\kB T)^2)$.

(c) נסחו את שתי ההנחות של התפלגות בולצמן, והסבירו מה משתבש בגזירה כשכל אחת מהן אינה מתקיימת.

(d) מתוך (b), חזו כיצד הפער הגדול ביותר בין ההתפלגות המדויקת של אמבט סופי להתפלגות בולצמן צריך להשתנות עם $N_{\mathrm{bath}}$ בטמפרטורה קבועה. באיזה גורם הוא צריך לרדת כשהאמבט מוכפל?

(e) עבור מערכת שהאנרגיות הרלוונטיות שלה מגיעות ל-$5\,\kB T$, כמה מתנדים צריכים להיות לאמבט בתחום חלוקת האנרגיה השווה כדי שהתיקון יישאר מתחת ל-$0.5\%$?

בעיה 3 — ספין בשדה מגנטי¶

המומנט המגנטי של אלקטרון, $\mu = 9.274 \times 10^{-24}\ \mathrm{J\,T^{-1}}$, בשדה $B$ מצביע או בכיוון השדה, באנרגיה $-\mu B$, או נגדו, באנרגיה $+\mu B$. גביש מחזיק $N$ מומנטים כאלה, בלתי תלויים זה בזה, בטמפרטורה $T$.

(a) התייחסו למומנט אחד כאל מערכת דו-רמתית. מהו הפער שלה $\Delta$, ומהן ההסתברויות של שני הכיוונים?

(b) הראו שהמומנט הממוצע בכיוון השדה הוא $\langle m \rangle = \mu \tanh(\mu B/(\kB T))$, כך שהמגנוט של הגביש הוא $M = N\mu \tanh(\mu B/(\kB T))$.

(c) הראו שעבור $\mu B \ll \kB T$ המגנוט פרופורציונלי ל-$B/T$ — חוק קירי — ומצאו את קבוע הפרופורציה.

(d) חשבו את $\mu B/(\kB T)$ ואת החלק היחסי של המומנטים המכוונים עם שדה של $1\ \mathrm{T}$ ב-$300\ \mathrm{K}$ וב-$1\ \mathrm{K}$.

(e) האם טמפרטורה חיובית כלשהי יכולה לגרום ליותר מומנטים להצביע נגד השדה מאשר איתו? מה היה צריך להיות גביש במצב כזה?

בעיה 4 — מדידת המעריך של האמבט הסופי¶

הבעיה הזאת נועדה להסתיים במעבדה.

(a) השתמשו ב-ensembles.bath_size_sweep כדי לחשב את הפער הגדול ביותר בין ההתפלגות השולית המדויקת להתפלגות בולצמן עבור מערכת דו-רמתית שהפער שלה קוונט אחד, על אמבטים של 20, 40, 80, 160, 320 ו-640 מתנדים, בשני קוונטים לכל מתנד.

(b) התאימו את המעריך $\alpha$ ב-$\max_k |P_k - P_k^{\mathrm{B}}| \propto N_{\mathrm{bath}}^{\alpha}$ בעזרת validation.scaling_exponent. השוו לחיזוי שלכם בבעיה 2(d).

(c) חזרו על כך בקוונט אחד לכל מתנד עבור מוצק איינשטיין בן שלושה מתנדים. האם המעריך תלוי במערכת? האם המקדם תלוי בה?

(d) מדוע המעבדה מבקשת גדלי אמבט שבהם $q_{\mathrm{tot}}$ הוא מספר שלם בדיוק, ולא כל גודל אמבט שהוא?

בעיה 5 — האטמוספרה כגורם בולצמן¶

(a) למולקולה בעלת מסה $m$ באטמוספרה בטמפרטורה אחידה $T$ יש אנרגיית כובד $m g h$. השתמשו בגורם בולצמן כדי להראות שהלחץ יורד כמו $P(h) = P(0)\, e^{-h/H}$, ומצאו את $H$.

(b) גזרו את אותה תוצאה משיווי משקל הידרוסטטי, $\mathrm{d}P/\mathrm{d}h = -\rho g$, ומחוק הגז האידיאלי. מה ההסכמה מלמדת אתכם?

(c) העריכו את גובה הסקאלה של חנקן ב-$288\ \mathrm{K}$, ושל הליום באותה טמפרטורה. מדוע כמעט אין הליום באטמוספרה התחתונה, ובכל זאת יש מעט ממנו גבוה למעלה?

(d) טבלת האטמוספרה התקנית של המעבדה איזותרמית ב-$216.65\ \mathrm{K}$ בין 11 ל-$20\ \mathrm{km}$. התאימו שם את $\ln P$ כפונקציה של $h$, והסיקו מן השיפוע את המסה המולקולרית הממוצעת של האוויר. אחר כך הסבירו מדוע אותה התאמה מ-0 עד $11\ \mathrm{km}$ אינה קו ישר.

בעיה 6 — מדוע הטמפרטורה אוניברסלית (אתגר)¶

שתי מערכות קטנות שונות, A (רמות $E_a$, ניוונים $g_a$) ו-B (רמות $E_b$, ניוונים $g_b$), נמצאות שתיהן במגע עם אמבט איינשטיין אחד, והשלוש יחד מבודדות.

(a) כתבו את ההסתברות המדויקת $P(a, b)$ ש-A ברמה $a$ ו-B ברמה $b$.

(b) הראו שעבור אמבט גדול $P(a, b)$ מתפרקת למכפלה של פונקציה של $a$ בפונקציה של $b$, ושבשני הגורמים מופיע אותו $\beta$. זהו את $\beta$.

(c) עבור אמבט של שלושה מתנדים בלבד, הראו ש-$P(a, b)$ אינה מתפרקת. איזו טענה פיזיקלית על A ועל B אומר הכישלון של הפירוק?

(d) בעזרת (b), הסבירו מדוע שני מדחומים העשויים מחומרים שונים, המוצבים באותו אמבט, קוראים אותה טמפרטורה — ומדוע מדחום אף פעם אינו צריך לדעת ממה עשוי האמבט.

(e) הרכיבו את כל הטיעון של המודול הזה בשלושה צעדים — הנחת יסוד אחת, נגזרת אחת, מעריכי אחד — ותייגו כל צעד במעמד האפיסטמי שלו: מונח, מוגדר, או נגזר.