דף שאלות — אנטרופיה וריבוי מצבים

דף שאלות: אנטרופיה וריבוי מצבים¶

שאלות ברמת בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שאתם ניגשים למחשב; שתי האחרונות נועדו להיפתר נומרית. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים בחומרי המרצה ואינם מופיעים באתר הזה במכוון.

השתמשו לאורך כל הדף בערך $k_B = 1.381 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$.

שאלה 1 — ספירה ביד¶

שישה מטבעות ניתנים להבחנה מוטלים.

(א) רשמו, או ספרו באופן שיטתי, את $\Omega(6,n)$ עבור כל $n$ מ-0 עד 6, ואמתו שסכומם הוא 2⁶.

(ב) נסחו, במשפט אחד, את ההנחה המאפשרת להמיר את רשימת הספירות הזו לרשימת הסתברויות.

(ג) מה סביר יותר: בדיוק 3 פעמים עץ, או בדיוק 5 פעמים עץ? באיזה גורם?

שאלה 2 — החלוקה השווה ורוחבה¶

למערכת דו-מצבית יש $N$ עצמים.

(א) הסבירו, בלי לחשב דבר, מדוע $\Omega(N,n)$ חייבת להיות סימטרית תחת $n \to N-n$.

(ב) עבור $N = 400$, השתמשו בקירוב הגאוסי כדי להעריך את טווח $n$ המכיל בקירוב $68\%$ מההסתברות הכוללת (סטיית תקן אחת מכל צד של השיא).

(ג) חזרו על כך עבור $N = 40{,}000$. בטאו את שני הטווחים כשבר מ-$N$, ונסחו מה קורה לשבר הזה ככל ש-$N$ גדל.

(ד) חבר טוען שמכיוון ש-$\sigma = \sqrt{N}/2$ גדלה עם $N$, “המערכת נעשית פחות צפויה ככל שהיא גדלה.” הסבירו מה שגוי בקריאה הזו של הנוסחה.

שאלה 3 — אנטרופיה מריבוי מצבים¶

למאקרו-מצב יש ריבוי מצבים $\Omega$.

(א) למאקרו-מצב יש $\Omega = 1$. נסחו את האנטרופיה שלו, ותארו מאקרו-מצב פיזיקלי של מערכת דו-מצבית שעבורו זה נכון.

(ב) לשתי תת-מערכות בלתי תלויות וחסרות אינטראקציה יש ריבויי מצבים $\Omega_1 = 10^{20}$ ו-$\Omega_2 = 10^{30}$. מצאו את ריבוי המצבים ואת האנטרופיה של המערכת המשולבת.

(ג) ספר לימוד טוען כי “אנטרופיה מודדת אי-סדר.” באמצעות דוגמת גביש-האיזוטופים מעמוד המודול, בנו נימוק קצר לכך שהטענה הזו, כפי שהיא מנוסחת ללא הסתייגות, מטעה. הנימוק שלכם לא צריך רק לטעון את המסקנה — הוא צריך להשתמש בריבוי המצבים של שני המאקרו-מצבים המושווים.

שאלה 4 — סטירלינג ואקסטנסיביות¶

(א) רשמו את הגרסה בעלת שני האיברים ואת הגרסה בעלת שלושת האיברים של קירוב סטירלינג ל-$\ln N!$, ונסחו איזה מידע פיזיקלי נוסף לוכדת הגרסה בעלת שלושת האיברים שהגרסה בעלת שני האיברים אינה לוכדת.

(ב) באמצעות התוצאה האסימפטוטית $\ln\Omega(N,N/2) = N\ln 2 - \tfrac12\ln(\pi N/2) + O(1/N)$, העריכו את הגודל היחסי של האיבר המשני ביחס לאיבר המוביל ב-$N = 10^3$ וב-$N = 10^{20}$.

(ג) סטודנט טוען: “מכיוון שהאנטרופיה היא $S = k_B \ln \Omega$ ו-$\ln\Omega(N,N/2)$ אינה פרופורציונית בדיוק ל-$N$, האנטרופיה מעולם אינה באמת אקסטנסיבית.” העריכו את הטענה הזו במדויק, תוך הבחנה בין מה שמדויק לבין מה שהוא גבול של $N$ גדול.

שאלה 5 — תת-מערכות והחוק השני¶

שתי תת-מערכות דו-מצביות בלתי תלויות, $A$ ו-$B$, לכל אחת מהן $N=200$ עצמים.

(א) תת-מערכת $A$ מתחילה בשיא שלה, $n_A = 100$. תת-מערכת $B$ מתחילה ב-$n_B = 180$. באמצעות $\ln\Omega(N,n) = \ln N! - \ln n! - \ln(N-n)!$ (אפשר להשתמש במחשבון או בקירוב סטירלינג), מצאו את $\ln\Omega_A$ ואת $\ln\Omega_B$ במאקרו-מצבים ההתחלתיים שלהן.

(ב) כעת מותר לתת-המערכות להירגע. $B$ עוברת לשיא שלה, $n_B = 100$, בעוד $A$, המצומדת בחולשה ל-$B$, מוזזת ל-$n_A = 96$. מצאו את $\ln\Omega_A$ ואת $\ln\Omega_B$ החדשים, ומכאן את $\Delta S_A$ ואת $\Delta S_B$ ביחידות של $k_B$.

(ג) הראו במפורש ש-$\Delta S_A < 0$ בעוד $\Delta S_A + \Delta S_B > 0$, והסבירו מדוע זה עקבי לחלוטין עם כל מה שנגזר במודול הזה.

(ד) נסחו במדויק איזו הנחה פיזיקלית הייתה מופרת אילו $A$ ו-$B$ לא היו בלתי תלויות — כלומר, אילו העצמים ב-$A$ יכלו גם לקיים אינטראקציה עם העצמים ב-$B$ ישירות.

שאלה 6 — חישובית¶

בעזרת מחברת המעבדה של המודול והמודול thermolab.multiplicity:

(א) עבור $N \in \{10^2, 10^3, 10^4, 10^5\}$, חשבו את peak_relative_width(N) ואמתו את התלות $N^{-1/2}$ באמצעות התאמת המעריך בצירים לוגריתמיים.

(ב) הריצו את sample_two_box החל מכל העצמים בקופסה אחת, עבור $N=200$ ו-$N=800$. מדדו כמה צעדים לוקח לכל מסלול להגיע לראשונה לתוך $5\%$ מהחלוקה השווה, והתייחסו לאופן שבו זה משתווה ל-$N$ עצמו.

(ג) הריצו לפחות 20 מימושים בלתי תלויים של sample_two_box עבור $N=400$, כל אחד עבור אותו מספר צעדים, ומדדו את שיעור האכלוס המאוחר בכל אחד מהם. אמתו שהפיזור בין המימושים עקבי עם הרוחב הגאוסי $\sigma/N = 1/(2\sqrt N)$ שנחזה בגזירה.

(ד) נסחו טענה אחת מעמוד המודול שתוצאות הסימולציה שלכם תומכות בה, וטענה אחת שהן אינן — ולא יכולות — לבסס בכוחות עצמן.