דף שאלות — הסתברות והתהוות

דף שאלות: הסתברות והתהוות¶

שאלות ברמת בחינה. פתרו את שלוש הראשונות בעט לפני שתיגעו במחשב; חמש האחרונות נועדו להסתיים נומרית, במחברת המעבדה של המודול.

לאורך כל הדף, הילוך בן $n$ צעדים מורכב מצעדים $s_i$ בלתי תלויים ובעלי אותה התפלגות, בעלי תוחלת $\mu_1$ ושונות $\sigma_1^2$, ומתקיים $x_n = s_1 + \cdots + s_n$. דבר בדף השאלות הזה אינו נושא יחידות.

שאלה 1 — הבינומית מן היסוד¶

כתבו את מספר הצעדים ימינה ב-$n$ הטלות מטבע כ-$k = \sum_{i=1}^{n} b_i$, כאשר כל $b_i$ שווה 1 בהסתברות $p$ ו-0 אחרת.

(א) חשבו את $\langle b_i \rangle$ ואת $\operatorname{Var}(b_i)$ ישירות מן ההגדרה.

(ב) השתמשו בסכימות של תוחלות ושל שונויות כדי לקבל $\langle k \rangle = np$ ו- $\operatorname{Var}(k) = np(1-p)$, ונסחו בבירור היכן נעשה שימוש באי-תלות והיכן לא.

(ג) מיקומו של ההולך הוא $x = 2k - n$. הסיקו את $\langle x \rangle$ ואת $\operatorname{Var}(x)$, ובדקו שמקרה המטבע ההוגן משחזר את $\sigma_x = \sqrt{n}$.

(ד) עבור $n$ קבוע, עבור איזה ערך של $p$ ה-$\operatorname{Var}(k)$ מקסימלי? הסבירו במשפט אחד מדוע התשובה הזו נכונה אינטואיטיבית.

שאלה 2 — דה-מואבר–לפלס ביד¶

יהי $P(k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ עם $q = 1-p$.

(א) בעזרת קירוב סטירלינג, הראו כי $\ln P(k)$ מקיים תנאי קיצון ב-$k = np$.

(ב) פתחו את $\ln P(k)$ עד הסדר השני סביב הנקודה הזו והראו שהמקדם של $(k - np)^2$ הוא $-1/(2npq)$.

(ג) קבעו את המקדם שלפני האקספוננט מן הדרישה שהגאוסית המתקבלת תהיה בעלת שטח יחידה, וקבלו מכאן

(ד) חשבו הן את $P(k = 50)$ המדויק והן את המקורב עבור $n = 100$, $p = 1/2$, וציינו את השגיאה היחסית.

(ה) חזרו על (ד) עבור $k = 90$. הסבירו מדוע השגיאה היחסית עצומה כעת, ואמרו מה משתמע מכך לגבי שימוש בקירוב הזה עבור אירועים נדירים.

שאלה 3 — סטייה, שגיאה, וממוצע של ממוצעים¶

לגודל מסוים יש סטיית תקן $\sigma_1$. אתם מודדים אותו $N$ פעמים וממצעים.

(א) הראו ששגיאת התקן של הממוצע היא $\sigma_1/\sqrt{N}$.

(ב) כעת אתם חוזרים על כל הפרוצדורה הזו $M$ פעמים, מקבלים $M$ ממוצעים, וממצעים אותם. מהי שגיאת התקן של המספר הסופי? הראו שהיא תלויה רק ב-$MN$, והסבירו מדוע היה הכרח שכך יהיה.

(ג) סטודנט מדווח: “לקחתי 400 מדידות, ולכן סטיית התקן של הנתונים שלי היא $\sigma_1/20$.” זהו את הטעות במדויק, ואמרו איזה גודל כן שווה ל-$\sigma_1/20$.

(ד) אתם צריכים לחצות פס שגיאה. פי כמה צריך מספר המדידות לגדול, ומה משתמע מכך לגבי קניית דיוק בכוח הזרוע?

שאלה 4 — חישובית: המעריך עבור צעד אחר¶

בעזרת thermolab.sampling:

(א) ייצרו 5000 הולכים העושים 1024 צעדים הנדגמים באופן אחיד מן הקטע $[-1, 1]$, ומדדו את הפיזור של הענן ב-$t = 4, 16, 64, 256, 1024$.

(ב) התאימו את המעריך בעזרת validation.scaling_exponent ודווחו עליו עם אי-ודאות המתקבלת ממחקר זרעים של שמונה זרעים לפחות.

(ג) השוו את המקדם הנמדד עם $\sigma_1$ של הצעד האחיד, שאותו עליכם לחשב אנליטית תחילה. נסחו את מידת ההסכמה כשגיאה יחסית.

(ד) חזרו על (א)–(ג) עבור המטבע המוטה. מי מבין המעריך והמקדם השתנה, ומי לא?

שאלה 5 — חישובית: כמה פעמים ההולך חוזר הביתה?¶

(א) עבור הילוך $\pm 1$, מדדו את שיעור ההולכים העומדים בדיוק בראשית אחרי $t$ צעדים, עבור $t$ זוגי מ-2 ועד 1024, בעזרת 10⁴ הולכים לפחות.

(ב) שרטטו את השיעור הזה כנגד $t$ על צירים לוגריתמיים כפולים והתאימו את המעריך. הסבירו את הערך שקיבלתם במונחי התוצאות שנגזרו בדף המודול. (רמז: הענן התפרש על פני $\sim\sqrt{t}$ אתרים, וההולכים חייבים להתחלק ביניהם באיזשהו אופן.)

(ג) הסבירו מדוע התשובה ל-(ב) אינה אומרת דבר על השאלה האם הולך חוזר אי פעם לראשית, ומדוע אלה שאלות שונות באמת.

(ד) האם הולך שזה עתה חזר לראשית מתנהג אחרת מהולך שמעולם לא עזב אותה? ענו מתוך מפרט המודל, ואז בדקו זאת נומרית.

שאלה 6 — אתגר: שני ממדים¶

הולך עושה צעדים בלתי תלויים ב-$x$ וב-$y$, שכל אחד מהם נדגם מאותה התפלגות.

(א) הראו אנליטית כי $\langle r_t^2 \rangle = 2\sigma_1^2 t$, כאשר $r_t$ הוא המרחק מן הראשית.

(ב) מדדו זאת בעזרת random_walk(..., dim=2) ואשרו את המקדם 2.

(ג) האם ההתפלגות של $r_t$ עצמו גאוסית? חשבו אותה נומרית והסבירו את מה שמצאתם. (ההתפלגות של מרחק וההתפלגות של קואורדינטה אינן אותו אובייקט, וההבדל הוא עיקרו של הסעיף הזה.)

שאלה 7 — אתגר: מדידת המחיר של המתאם¶

ההילוך המתמיד חוזר על צעדו הקודם בהסתברות $q$ ואחרת דוגם מחדש.

(א) הראו אנליטית שהמתאם בין צעדים המרוחקים $j$ זה מזה הוא $q^{\,j}$.

(ב) סכמו את מטריצת השונות המשותפת כדי לקבל את השונות בזמנים ארוכים $t(1+q)/(1-q)$.

(ג) מדדו את $\operatorname{Var}(x_t)/t$ בעזרת correlated_walk עבור $q \in \{0, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9\}$ ב-$t = 2000$, והשוו עם (ב). דווחו על כל אחד כשגיאה יחסית.

(ד) תקננו את הסכומים של $q = 0.9$ בעזרת השונות הנכונה מ-(ב) ולא בעזרת $\sigma_1\sqrt{t}$, והראו שההיסטוגרמה מתאימה כעת לגאוסית. נסחו במשפט אחד מה משמעות הדבר לגבי איזה חלק של משפט הגבול המרכזי המתאם באמת שבר.

שאלה 8 — אתגר: כישלון מסוג אחר¶

כעת החליפו את הצעדים בדגימות מהתפלגות קושי (rng.standard_cauchy), שצעדיה בלתי תלויים ובעלי אותה התפלגות אך חסרי שונות סופית.

(א) אמדו את השונות של דגימת קושי בגודל 10³, אחר כך 10⁴, ואחר כך 10⁵. חזרו על כל אומדן עם כמה זרעים. תארו מה קורה והסבירו זאת.

(ב) בנו הילוך מצעדי קושי ומדדו את הפיזור של הענן ב-$t = 4, 16, 64, 256$ בעזרת סטיית התקן של המדגם. התאימו את המעריך, ואז חזרו על ההתאמה כולה עם שישה זרעים בלתי תלויים ודווחו על שישה הערכים שקיבלתם. מה אתם מסיקים לגבי המדידה הזו — לא לגבי ההילוך, אלא לגבי האומדן?

(ג) מדדו את הפיזור שוב בעזרת סטטיסטי שאינו תלוי בזנבות: התחום הבין-רבעוני. התאימו את המעריך הזה, שוב עם שישה זרעים. הוא אמור להיות בר-שחזור הרבה יותר מאשר ב-(ב). איזו חזקה של $t$ קיבלתם, והאם תוכלו להראות אנליטית שהיא מדויקת? (רמז: איזו התפלגות היא הסכום של $t$ משתני קושי בלתי תלויים?)

(ד) תקננו את הסכומים ב-$\sqrt{t}$ ושרטטו את ההיסטוגרמה עבור $t$ גדל והולך. האם היא מתלכדת עם משהו בכלל? כעת תקננו בחזקה שמצאתם ב-(ג) במקום זאת, ואמרו מהי התפלגות הגבול.

(ה) גם השאלה הזו וגם שאלה 7 מפרות את משפט הגבול המרכזי, אך הן מפרות הנחות שונות ונכשלות באופנים שונים. השוו ביניהן בפסקה קצרה, ואמרו במי מהשתיים סביר יותר שתיתקלו בנתונים אמיתיים מבלי להבחין בכך.