אוסף בעיות — פונקציות חלוקה

אוסף בעיות: פונקציות חלוקה¶

בעיות בסגנון בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שתיגעו במחשב; בעיה 5 נועדה להסתיים במעבדה, ובעיות 6 ו-7 הן אתגרים. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים עם חומרי המרצה ובמכוון אינם באתר הזה.

קחו $\kB = 1.381 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$, $h = 6.626 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$, $\mu_{\mathrm{B}} = 9.274 \times 10^{-24}\ \mathrm{J\,T^{-1}}$ וכן $1\ \mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$ לכל אורך הדרך. כתבו $\beta = 1/(\kB T)$.

בעיה 1 — האנרגיה הממוצעת מתוך Z¶

(a) התחילו מ-$Z = \sum_s e^{-\beta E_s}$ ומ-$P_s = e^{-\beta E_s}/Z$, והראו ש

(b) השתמשו בכך כדי למצוא את האנרגיה הממוצעת של מערכת דו-רמתית עם רמות 0 ו-$\Delta$, ובדקו את התוצאה שלכם מול זו של מודול 11.

(c) למערכת יש שלוש רמות לא-מנוונות, ב-0, ב-$\varepsilon$ וב-$2\varepsilon$. מצאו את $Z$ ואת $U$, ותנו את $U$ בגבולות $\kB T \ll \varepsilon$ ו-$\kB T \gg \varepsilon$.

(d) כל רמות האנרגיה של מערכת מוזזות באותו קבוע $E_0$. מה קורה ל-$Z$, ל-$U$ ולהסתברויות $P_s$? איזה מהם פיזיקלי?

(e) הראו שאפשר לכתוב את $U$ גם כ-$U = \kB T^2\, \partial \ln Z/\partial T$.

בעיה 2 — פלוקטואציות וקיבול חום¶

(a) הראו ש-$\partial^2 \ln Z/\partial\beta^2 = \langle E^2 \rangle - \langle E \rangle^2$.

(b) בעזרת $U = -\partial \ln Z/\partial\beta$ וכלל השרשרת, הראו שאותו גודל שווה ל-$\kB T^2 C_V$. ציינו היכן נעשה שימוש בהנחה שהרמות קבועות.

(c) הסבירו מדוע (b) מבטיח $C_V \ge 0$ לכל מערכת בשיווי משקל קנוני.

(d) עבור $N$ תת-מערכות זהות ובלתי תלויות, הראו ש-$\sigma_E/|U| \propto N^{-1/2}$, ומצאו את קבוע הפרופורציה במונחי $\sigma_1$ ו-$u_1$ של תת-מערכת אחת.

(e) פרמגנט של $N$ מומנטים ב-$\mu B = \kB T$: מצאו את $\sigma_E/|U|$ במונחי $N$, וחשבו אותו עבור $N = 10^{4}$ ועבור $N = 10^{22}$.

בעיה 3 — האנטרופיה של התפלגות בולצמן¶

(a) הראו ש-$F = -\kB T \ln Z$ מקיימת את $-(\partial F/\partial T)_{V,N} = (U - F)/T$.

(b) הציבו $\ln P_s = -\beta E_s - \ln Z$, והראו ש

(c) הראו מכאן ש-$F = U - TS$, כאשר $S$ היא אנטרופיית גיבס של (b).

(d) הראו שכשהרמות קבועות $\mathrm{d}S = \mathrm{d}U/T$, והסבירו מדוע זה, יחד עם (b), מזהה את $S$ כאנטרופיה התרמודינמית ולא כגודל חדש.

(e) למערכת יש רמת יסוד בעלת ניוון כפול ושום דבר אחר בטווח $100\,\kB T$. מהם $Z$, $F$ ו-$S$ כאשר $T \to 0$? הסבירו את התוצאה.

(f) “$F = -\kB T \ln Z$ היא ההגדרה של האנרגיה החופשית.” כתבו שניים או שלושה משפטים המתקנים את הטענה הזאת.

בעיה 4 — הפרמגנט, בשתי הדרכים¶

$N$ מומנטים בלתי תלויים של ספין 1/2, $\mu$, נמצאים בשדה $B$; לכל אחד אנרגיה $-\mu B$ (בכיוון השדה) או $+\mu B$ (נגדו). כתבו $x = \mu B/(\kB T)$.

(a) מצאו את $z$, את $\ln Z_N$, את $U$ ואת המגנוט $M$ מתוך $U = -MB$.

(b) הראו שעבור $x \ll 1$ מתקיים $M \approx N\mu^2 B/(\kB T)$ (חוק קירי), וש-$M \to N\mu$ עבור $x \gg 1$. עבור מומנטים של אלקטרונים בשדה $2\ \mathrm{T}$, מתחת לאיזו טמפרטורה חוק קירי מעריך את $M$ ביתר של יותר מ-$10\%$?

(c) כעת בודדו את הפרמגנט כשבדיוק $n$ מומנטים מצביעים נגד השדה. כתבו את $U(n)$ ואת $S(n) = \kB \ln\binom{N}{n}$, ושרטטו את $S$ כפונקציה של $U$ לאורך כל התחום של $U$.

(d) בעזרת קירוב סטירלינג, הראו ש-$\beta = (1/\kB)\,\partial S/\partial U = \ln[(N - n)/n]/(2\mu B)$. היכן $\beta = 0$, והיכן הוא שלילי?

(e) הראו שהיפוך (d) עבור $n < N/2$ משחזר את היחס הקנוני $n/(N - n) = e^{-2x}$ של סעיף (a).

(f) פרמגנט עם $n = 0.8N$ מובא במגע עם גוף גדול ב-$300\ \mathrm{K}$. בעזרת $\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}}/\kB = (\beta_1 - \beta_2)\,\mathrm{d}U_1$, קבעו לאיזה כיוון זורמת האנרגיה, והסבירו במשפט אחד מדוע הטענה “טמפרטורה שלילית קרה יותר מהאפס המוחלט” שגויה.

בעיה 5 — היכן המדחום של מודול 01 נכשל¶

הבעיה הזאת נועדה להסתיים במעבדה.

(a) עבור מתנד הרמוני עם רמות $\hbar\omega(n + 1/2)$, גזרו את $z$, את $U$ ואת $C$, והראו ש-$U \to \kB T$ ו-$C \to \kB$ עבור $\kB T \gg \hbar\omega$.

(b) הראו שכאשר מודדים מעל מצב היסוד, הטמפרטורה של מתנד בעל אנרגיה ממוצעת $U$ היא $T = \hbar\omega / [\kB \ln(1 + \hbar\omega/U)]$, ושעבור $U \gg \hbar\omega$ זה $U/\kB + \hbar\omega/(2\kB)$.

(c) הריצו את הסימולציה של מודול 01 (equilibrium.simulate_energy_exchange) עבור שני מוצקים של 40 מתנדים באנרגיות של 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5 ו-10 קוונטים לכל מתנד, עם 8 זרעים לכל אחת. לכל אנרגיה, השוו את טמפרטורת חלוקת האנרגיה השווה של מודול 01 לזו של (b), ומצאו את האנרגיה למתנד שמתחתיה השתיים נבדלות ביותר מ-$10\%$.

(d) שחזרו את $C(T)$ של המתנד מתוך $\ln z$ בלבד בעזרת partition.thermo_from_z. מדדו את הסדר של תבנית ההפרשים על ידי עידון הצעד, ומצאו את הצעד שמתחתיו השגיאה מתחילה לגדול. הסבירו את הגידול.

(e) מפרט המודל של מודול 01 מנה “טמפרטורה נמוכה” כאופן כשל. נסחו, במונחי $\kB T$ ו-$\hbar\omega$, היכן הכשל הזה מתחיל.

בעיה 6 — איזומרים ואתרים ריקים (אתגר)¶

(a) מולקולה קיימת כאיזומר A, שרמת היסוד שלו באנרגיה 0 עם ניוון $g_A$, וכאיזומר B, שרמת היסוד שלו ב-$\Delta$ עם ניוון $g_B$; הרמות המעוררות של שניהם נמצאות הרחק מעל $\kB T$. התייחסו למולקולה כאל מערכת אחת, והראו שבשיווי משקל $[B]/[A] = (g_B/g_A)\, e^{-\Delta/(\kB T)}$.

(b) כעת כללו את העירורים הוויברציוניים של כל איזומר, עם פונקציות חלוקה $z_A$ ו-$z_B$ הנמדדות מרמת היסוד של כל איזומר. הראו ש-$[B]/[A] = (z_B/z_A)\, e^{-\Delta/(\kB T)}$, והסבירו מדוע איזומר “רופף” יותר (תדירויות ויברציה נמוכות יותר) יכול להיות מועדף בטמפרטורה גבוהה גם אם רמת היסוד שלו גבוהה יותר.

(c) אתר סריג הוא תפוס (אנרגיה 0) או ריק (אנרגיה $E_{\mathrm{v}}$). מצאו את החלק היחסי של האתרים הריקים כפונקציה של $T$. עבור $E_{\mathrm{v}} = 1.28\ \mathrm{eV}$, חשבו אותו ב-$1356\ \mathrm{K}$ והשוו להערכה של מודול 11, $e^{-E_{\mathrm{v}}/\kB T}$.

(d) מצאו את התרומה של האתרים הריקים לקיבול החום של גביש בן $N$ אתרים, ואת הטמפרטורה שבה היא מגיעה לשיא. מדוע השיא הזה לעולם אינו נצפה בנחושת?

בעיה 7 — סאקור–טטרודה מתוך Z (אתגר, מתקדם)¶

קבלו כנתון שלחלקיק אחד בעל מסה $m$ בנפח $V$ יש $z = V/\lambda^3$, כאשר $\lambda = h/\sqrt{2\pi m\kB T}$.

(a) הראו ש-$U = \tfrac32 N\kB T$ נובע הן מ-$Z_N = z^N$ והן מ-$Z_N = z^N/N!$.

(b) עם $Z_N = z^N$, חשבו את $S$ והראו ש-$S(2N, 2V) - 2S(N, V) = 2N\kB\ln 2$. הסבירו מדוע זה אינו פיזיקלי, וכיצד זה קשור להפרדוקס של גיבס ממודול 08.

(c) עם $Z_N = z^N/N!$ וקירוב סטירלינג, גזרו את $S = N\kB[\ln(V/(N\lambda^3)) + 5/2]$.

(d) חשבו את $\lambda$ ואת $S/(N\kB)$ עבור ארגון ($m = 39.95\ \mathrm{u}$) ב-$300\ \mathrm{K}$ וב-$1\ \mathrm{bar}$, והשוו לאנטרופיה המולרית התקנית הנמדדת, $154.8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$.

(e) הראו שחוק הגזים האידיאליים נובע מ-$P = -(\partial F/\partial V)_{T,N}$, והסבירו מדוע ה-$N!$ אינו משפיע עליו.