אוסף בעיות — פלוקטואציות והובלה

אוסף בעיות: פלוקטואציות והובלה¶

בעיות בסגנון בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שתיגעו במחשב; בעיות 3 ו-4 נועדו להסתיים במעבדה, בעיות 5 ו-6 משתמשות בקובצי הנתונים שלה, ובעיה 8 — הסינתזה המסכמת של הקורס — היא אתגר. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים עם חומרי המרצה ובמכוון אינם באתר הזה.

קבועים: $\kB = 1.381 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$, $N_A = 6.022 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$, $R = 8.314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ וכן $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$. במקומות שבהם יש בכך צורך, קחו $\int_0^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{\pi}/2$, וזכרו שהמהירות הממוצעת של גז המציית להתפלגות מקסוול-בולצמן היא $\bar v = \sqrt{8\kB T/\pi m}$.

בעיה 1 — הרעש הוא קיבול חום¶

(א) התחילו מ-$Z = \sum_s e^{-\beta E_s}$ והראו ש-$\langle E \rangle = -\partial\ln Z/\partial\beta$ וכן $\sigma_E^2 = \partial^2\ln Z/\partial\beta^2$, ומכאן ש-$\sigma_E^2 = \kB T^2 C_V$.

(ב) עבור $N$ אטומים של גז אידיאלי חד-אטומי הנדגמים מן ההתפלגות הקנונית, כל רכיב של המהירות גאוסי עם שונות $\kB T/m$. חשבו את $\sigma_E^2$ ישירות, בלי להשתמש בסעיף (א), והראו שהוא נותן $C_V = \tfrac32 N\kB$. אם התנע הכולל של כל דגימה מאופס לפני שהאנרגיה שלה נרשמת, מה נותן אותו חישוב, ומדוע?

(ג) עבור $N$ מערכות דו-רמתיות בלתי תלויות עם פער $\Delta$, הראו ש-$\sigma_E^2 = N\Delta^2 p(1 - p)$ עם $p = 1/(e^{\Delta/\kB T} + 1)$, ושהתוצאה משחזרת את קיבול החום של שוטקי ממודול 12.

(ד) הראו ש-$\sigma_E/\langle E \rangle = \sqrt{(1 - p)/(Np)}$ עבור המערכות של סעיף (ג). חשבו את ערכו ב-$\kB T = \Delta$ עבור $N = 100$ ועבור מול.

(ה) לגז הנדגם באופן מיקרו-קנוני אין שום פלוקטואציה באנרגיה, ולכן סעיף (א) היה מייחס לו $C_V = 0$. הסבירו מה שגוי במסקנה הזו, ומדוע היא אינה סותרת את הטענה שהתיאור הקנוני והתיאור המיקרו-קנוני מסכימים זה עם זה עבור מול של גז.

בעיה 2 — מהילוך אקראי למשוואת הדיפוזיה¶

(א) הולך צועד $\pm\ell$ בהסתברויות שוות, צעד אחד בכל $\tau$. כתבו את משוואת המאסטר עבור $P(x, t)$, ועל ידי פיתוח שני האגפים גזרו את $\partial_t P = D\,\partial_x^2 P$ עם $D = \ell^2/2\tau$. ציינו מאיזה סדר הם האיברים שאתם מזניחים, ובאיזה גבול הם נעלמים.

(ב) ודאו בהצבה ש-$P(x,t) = (4\pi Dt)^{-1/2} e^{-x^2/4Dt}$ פותר את משוואת הדיפוזיה, שהוא נשאר מנורמל, ושהשונות שלו היא $2Dt$.

(ג) על סריג שהמרווח בין אתריו הוא $\ell$, גזרו את חוק פיק $j = -D\,\partial n/\partial x$ על ידי ספירת ההולכים שחוצים בצעד אחד מישור שבין שני אתרים. הסבירו מדוע יש שטף נטו במורד הגרדיאנט אף ששום כוח אינו פועל על אף הולך.

(ד) הראו שהתפלגות צעדים בעלת ממוצע אפס ושונות $\langle s^2 \rangle$ נותנת $D = \langle s^2 \rangle/2\tau$. מה קורה לגזירה עבור צעדים הנדגמים מהתפלגות קושי, ואיך הייתם מצפים שייראה ענן של הולכים כאלה?

(ה) לחמצן במים יש $D \approx 2 \times 10^{-9}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$. העריכו את הזמן שלוקח לו לעבור בדיפוזיה לרוחב תא שרוחבו $10\ \mu\mathrm{m}$, לרוחב $1\ \mathrm{mm}$ של רקמה, ולאורך $1\ \mathrm{m}$. מה זה אומר על גודלו של בעל חיים שיכול להסתדר בלי מחזור דם?

בעיה 3 — מקדם הדיפוזיה, בשלוש דרכים¶

במעבדה, צרו 10⁴ הולכים בלתי תלויים של 1000 צעדים בעזרת transport.walker_trajectories (צעד $\ell = 1$, $\tau = 1$).

(א) מדדו את $D$ בעזרת d_from_msd, בעזרת d_from_histogram (עם lattice=2.0) ובעזרת d_from_vacf. צטטו כל אחד בצורה ערך ± שגיאה, וחוו את דעתכם: האם שלושתם עקביים זה עם זה ועם $\ell^2/2\tau$?

(ב) חזרו על סעיף (א) עבור 10², 10³ ו-10⁴ הולכים. הראו שכל פס שגיאה קטן כמו $N^{-1/2}$, והסבירו מדוע מחשבים אותם בשיטת האצוות ולא לפי פס השגיאה של התאמה בריבועים פחותים של $\langle x^2 \rangle$ כנגד $t$.

(ג) הפונקציה d_from_histogram מתאימה את הענן בארבע תמונות מצב. במקום זאת, העריכו את $D$ מתמונת מצב מוקדמת אחת, ב-$t = 10\tau$, בעזרת fit_gaussian_variance (העבירו lattice=2.0) מחולק ב-$2t$, ואחר כך מתמונת מצב מאוחרת אחת, ב-$t = 1000\tau$. האם האומדן משתנה? הסבירו למה ההתאמה רגישה, בעוד שממוצע ריבוע ההעתק אינו רגיש לו.

(ד) כעת תנו להולכים התמדה $q = 0.9$: כל צעד חוזר על קודמו בהסתברות $q$, ואחרת נדגם מחדש. חשבו את d_from_vacf כשהאינטגרל נקטע ב-$K = 5$, 10, 20, 50, 100 ו-500 צעדים. שרטטו את הערך ואת השגיאה שלו כנגד $K$, והסבירו את שתי המגמות.

(ה) איזה משלושת האומדים מדויק ביותר, ומדוע? תנו סיבה אחת לכך שעדיין כדאי לחשב אומד פחות מדויק.

בעיה 4 — זיכרון: מתעופה בליסטית לדיפוזיה¶

(א) המתאם העצמי של המהירות של חלקיק הוא $C(s) = \langle v^2 \rangle e^{-|s|/\tau_c}$. בעזרת $\langle x(t)^2 \rangle = 2\int_0^t (t - s)\, C(s)\,\mathrm{d}s$, הראו כי

מצאו את הגבולות שלו עבור $t \ll \tau_c$ ועבור $t \gg \tau_c$, וזהו את $D$.

(ב) שרטטו באופן סכמטי את $\langle x^2 \rangle$ כנגד $t$ על צירים לוגריתמיים כפולים, וסמנו את נקודת המעבר. היכן הייתם ממקמים אותה עבור מולקולת חנקן בתנאי החדר, בעזרת $\nu \approx 5 \times 10^9\ \mathrm{s^{-1}}$?

(ג) במעבדה, מדדו את ממוצע ריבוע ההעתק של הולכים מתמידים עם $q = 0.9$ ועם $q = 0.98$. מצאו את הזמן שבו השיפוע בצירים הלוגריתמיים הכפולים חוצה בירידה את 1.5, והשוו אותו לזמן הזיכרון $\tau/(1 - q)$.

(ד) בגז של מודול 04 אין התנגשויות בין החלקיקים. הראו שבקופסה שאורך צלעה $L$ ממוצע ריבוע ההעתק לאורך ציר אחד מתייצב בזמנים ארוכים על $L^2/6$, על ידי חישוב $\langle (x - x')^2 \rangle$ עבור שני מיקומים בלתי תלויים המפולגים באופן אחיד ב-$[0, L]$. מדדו אותו בעזרת box_gas_trace והסבירו את צורת המתאם העצמי של המהירות שלו.

(ה) מה היה עושה אותו גז חסר התנגשויות במרחב פתוח? הסבירו מדוע “אין התנגשויות, אין דיפוזיה” נכון גם עם דפנות וגם בלעדיהן.

בעיה 5 — המהלך החופשי הממוצע, ושלושה מקדמי הובלה¶

(א) מולקולה של גז כדורים קשיחים נעה במהירות $\bar v$ דרך גז של מטרות נייחות בקוטר $d$ ובצפיפות מספרית $n$. הראו שהיא מתנגשת $n\pi d^2\bar v$ פעמים בשנייה. הסבירו מדוע הקצב האמיתי גדול פי $\sqrt{2}$, וגזרו את $\lambda = 1/(\sqrt{2}\, n\sigma)$.

(ב) ה-$b$ של ואן דר ואלס למולקולה, ממודול 02, הוא $\kB T_c/8P_c$, ועבור כדורים קשיחים $b = \tfrac{2\pi}{3} d^3$. מאגר הנתונים הכימיים של NIST נותן $T_c = 126.192\ \mathrm{K}$, $P_c = 3.3958\ \mathrm{MPa}$ עבור חנקן, ו-$T_c = 150.687\ \mathrm{K}$, $P_c = 4.863\ \mathrm{MPa}$ עבור ארגון. מצאו את $d$ של כל אחד מהם, ואת המהלך החופשי הממוצע, המהירות הממוצעת וקצב ההתנגשויות של חנקן ב-$0\,{}^\circ\mathrm{C}$ ובלחץ של אטמוספרה אחת. לכמה קטרים מולקולריים, ולכמה מרווחים ממוצעים בין מולקולות, שווה $\lambda$?

(ג) בעזרת שלב 8, העריכו את הצמיגות ואת מוליכות החום של חנקן ($c_v = \tfrac52\kB$ למולקולה) ושל ארגון ($\tfrac32\kB$) ב-$300\ \mathrm{K}$. קובץ הנתונים של המעבדה נותן את ערכי הייחוס של NIST ב-$0.1\ \mathrm{MPa}$: $\eta = 17.89$ ו-$22.74\ \mu\mathrm{Pa\,s}$, וכן $\kappa = 25.97$ ו-$17.84\ \mathrm{mW\,m^{-1}\,K^{-1}}$. חשבו את היחסים והעירו עליהם.

(ד) הראו ש-$\eta$ ו-$\kappa$ אינם תלויים בצפיפות. בעזרת קובץ הנתונים, מצאו את השינוי היחסי בצמיגות של חנקן בין 0.1 ל-$1\ \mathrm{MPa}$, ובין 1 ל-$10\ \mathrm{MPa}$. הסבירו את השינוי השני. באיזה תחום הייתם מצפים שהצמיגות תרד יחד עם הלחץ, ומדוע קובץ הנתונים אינו מראה זאת?

(ה) עבור ארגון, NIST נותן $c_v = 0.3124\ \mathrm{J\,g^{-1}\,K^{-1}}$ ב-$0.1\ \mathrm{MPa}$. חשבו את $\kappa/(\eta c_v)$ והשוו לניבוי של שלב 8. מדוע ההשוואה הזו בוחנת את התאוריה בצורה נקייה יותר מסעיף (ג)?

בעיה 6 — תנועה בראונית ומספר אבוגדרו¶

(א) חרוזים שמסתם, בניכוי הציפה, היא $m^*$ שוקעים במים במהירות סחיפה $m^* g/\zeta$. בשיווי משקל שקיעה הצפיפות המספרית שלהם היא $n(z) = n_0 e^{-m^* g z/\kB T}$. מתוך הדרישה ששטף הסחיפה ושטף הדיפוזיה של פיק יבטלו זה את זה, גזרו את יחס איינשטיין $D = \kB T/\zeta$.

(ב) גזרו אותו שוב מיחס גרין–קובו, בהנחה שחרוז שוכח את מהירותו לפי $C(s) = (\kB T/m)\,e^{-\zeta s/m}$. מדוע המסה מצטמצמת?

(ג) חרוז ברדיוס $0.50\ \mu\mathrm{m}$ נמצא במים ב-$293\ \mathrm{K}$, בצמיגות $1.00 \times 10^{-3}\ \mathrm{Pa\,s}$. מצאו את $D$ מיחס סטוקס–איינשטיין, את שורש ממוצע ריבוע ההעתק לאורך ציר אחד במשך $30\ \mathrm{s}$, ואת זמן הזיכרון שלו $m/\zeta$ אם צפיפות החרוז היא $1200\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$. האם פרן, ששרטט מיקומים כל $30\ \mathrm{s}$, יכול היה לראות את תחום התנועה הבליסטית?

(ד) הקובץ 18-perrin-projections.csv של המעבדה הוא הטבלה של פרן מ-1909 של גודלי ההיטלים האופקיים של העתקים במשך 30 שניות של גרגירי גמבוג’ ברדיוס $0.212\ \mu\mathrm{m}$. עבור הסדרה הראשונה, במים ב-$17\,{}^\circ\mathrm{C}$ בצמיגות של 0.011 פואז, התאימו התפלגות גאוסית בעזרת binned_variance_estimate, וקבלו את $D$ ואת מספר אבוגדרו, כל אחד עם אי-הוודאות שלו. השוו לערך המוגדר $N_A = 6.02214076 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$.

(ה) הערכים של פרן עצמו ל-$\langle x^2 \rangle$ באותה סדרה, ב-30, 60, 90 ו-$120\ \mathrm{s}$, היו 50.2, 113.5, 128 ו-$144\ \mu\mathrm{m}^2$. חשבו את $N_A$ מכל אחד מהם, והסבירו מדוע הם מפוזרים יותר ממה שפס השגיאה שלכם בסעיף (ד) מרמז. מנו שלוש הנחות שה-$N_A$ של פרן נשען עליהן ושום פס שגיאה המחושב מהטבלה שלו אינו יכול לכלול.

בעיה 7 — היכן נגמרת תורת ההובלה¶

(א) חשבו את מספר קנודסן $\lambda/L$ עבור חנקן ב-$300\ \mathrm{K}$ בכל אחד מאלה: צינור בקוטר $1\ \mathrm{cm}$ בלחץ של אטמוספרה אחת; נקבובית בקוטר $100\ \mathrm{nm}$ בלחץ של אטמוספרה אחת; תא ואקום שרוחבו $30\ \mathrm{cm}$ בלחץ של $10^{-4}\ \mathrm{Pa}$. קחו $d = 0.31\ \mathrm{nm}$. באילו מהם אפשר לתאר את הגז באמצעות צמיגות?

(ב) עוביו של גל הלם חזק בגז הוא כמה מהלכים חופשיים ממוצעים. הסבירו מדוע הנחת שיווי המשקל המקומי נכשלת בתוכו, בעוד שהיא מתקיימת היטב משני צדדיו.

(ג) כאשר $\lambda$ גדול בהרבה מהמרווח בין שני לוחות מקבילים, שאחד מהם נע, הגרר על הלוח הנע פרופורציונלי ללחץ. הסבירו מדוע, על ידי מחשבה על המקום שבו מולקולה הפוגעת בלוח הנע התנגשה בפעם האחרונה.

(ד) מד ואקום מסוג פיראני מודד את החום שתיל חם מאבד לגז שסביבו. השתמשו בטיעון של סעיף (ג) כדי להסביר מדוע הוא יכול למדוד לחץ רק מתחת ללחץ מסוים. גרדיאנט הטמפרטורה תלול ביותר בטווח של כמה קטרים מהתיל, ולכן קחו את קוטר התיל כאורך הקובע, והעריכו את הלחץ הזה עבור תיל שעוביו $10\ \mu\mathrm{m}$.

(ה) שיווי משקל מקומי דורש גם שהתנאים ישתנו לאט בהשוואה לזמן שבין התנגשויות. העריכו את הזמן הזה באוויר בתנאי החדר, ואת התדירות שמעליה גל קול כבר לא היה מתואר על ידי המשוואות של המודול הזה.

בעיה 8 — גז אחד, הקורס כולו (אתגר)¶

גליל הסגור בבוכנה מכיל $N$ אטומים של גז אידיאלי חד-אטומי, שמסת כל אחד מהם $m$, במגע עם אמבט חום בטמפרטורה $T$.

(א) בעקבות מודול 04, גזרו את הלחץ על הבוכנה מתוך התנע שהאטומים מעבירים אליה, והראו ש-$PV = N\kB T$.

(ב) הגז נדחס לאט ובאופן איזותרמי מ-$V$ ל-$V/2$. בעזרת $\mathrm{d}U = \dbar Q + \dbar \Won$, מצאו את $W_{\mathrm{on}}$ ואת $Q$, ואת שינויי האנטרופיה של הגז, של האמבט ושל שניהם יחד (מודולים 05 ו-08). מה היה משתנה אילו הדחיסה הייתה פתאומית?

(ג) במגע עם האמבט הגז נמצא בצבר הקנוני (מודול 11). כתבו את פונקציית החלוקה שלו $Z = z^N/N!$ עם $z = V/\lambda^3$, וקבלו את $U$ ואת $C_V$ מתוך $\ln Z$ (מודול 12).

(ד) מדדו את אותו $C_V$ מתוך פלוקטואציות האנרגיה של דגימות קנוניות בעזרת transport.gas_energy_samples עבור $N = 10$, 100 ו-1000, ובדקו ש-$\sigma_E/\langle E \rangle$ יורד כמו $N^{-1/2}$. צטטו כל מדידה עם אי-הוודאות שלה.

(ה) בפסקה אחת: איזה רעיון יחיד מחבר את סעיפים (א), (ב), (ג) ו-(ד)? התשובה שלכם צריכה להסביר מדוע היציבות של הלחץ בסעיף (א) והרעש בסעיף (ד) הם אותה עובדה הנראית משני צדדים.