אוסף בעיות — סטטיסטיקה קוונטית

אוסף בעיות: סטטיסטיקה קוונטית¶

בעיות בסגנון בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שתיגעו במחשב; בעיות 3, 4 ו-6 נועדו להסתיים במעבדה, ובעיות 7 ו-8 הן אתגרים. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים עם חומרי המרצה ובמכוון אינם באתר הזה.

קבועים: $h = 6.626 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$, $\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$, $\kB = 1.381 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$, $m_e = 9.109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$, $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$, $N_A = 6.022 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$, $R = 8.314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$, $G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$, וכן $1\ \mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$. במקומות שבהם יש בכך צורך, קחו $\int_0^\infty \sqrt{x}\,(e^x - 1)^{-1}\,\mathrm{d}x = (\sqrt{\pi}/2) \times 2.612$ וכן $\int_0^\infty x^{3/2}(e^x - 1)^{-1}\,\mathrm{d}x = (3\sqrt{\pi}/4) \times 1.341$.

בעיה 1 — ספירה, והאכלוס של מצב יחיד¶

(א) מנו את כל המצבים של שלושה חלקיקים בשני מצבים חד-חלקיקיים, עבור חלקיקים קלאסיים (מסומנים), בוזונים זהים ופרמיונים זהים. אם כל המצבים שווי הסתברות, מהי ההסתברות שכל שלושת החלקיקים נמצאים באותו מצב, עבור חלקיקים קלאסיים ועבור בוזונים? מה מלמדת הספירה עבור פרמיונים?

(ב) הראו שאפשר לסדר $N$ בוזונים זהים ב-$M$ מצבים חד-חלקיקיים ב-$\binom{M+N-1}{N}$ דרכים, ו-$N$ פרמיונים ב-$\binom{M}{N}$ דרכים. הראו שעבור $M \gg N$ שתי הספירות שואפות ל-$M^N/N!$, והסבירו מה זה אומר על החלוקה ב-$N!$ של מודול 12.

(ג) מצב חד-חלקיקי באנרגיה $\varepsilon$ נמצא במגע עם מאגר בטמפרטורה $T$ ובפוטנציאל כימי $\mu$. כתבו את פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית שלו $\Xi$ עבור בוזונים ועבור פרמיונים, וגזרו את $n_{\mathrm{BE}}$ ואת $n_{\mathrm{FD}}$ מתוך $\langle n \rangle = \kB T\,\partial \ln\Xi/\partial\mu$.

(ד) הראו שהשונות של האכלוס היא $n(1 + n)$ עבור בוזונים ו-$n(1 - n)$ עבור פרמיונים. מהי השונות עבור חלקיקים קלאסיים, שהסכום הגרנד-קנוני שלהם נושא גורם $1/n!$? פרשו את שלוש התוצאות.

(ה) הסבירו מדוע גז בוזה זקוק ל-$\mu < \varepsilon_0$, ומדוע שום דבר מהסוג הזה אינו מגביל גז פרמי.

בעיה 2 — צפיפות המצבים והקריטריון הקלאסי¶

(א) למצבים חד-חלקיקיים בקובייה שאורך צלעה $L$, עם דפנות קשיחות, יש $\mathbf{k} = (\pi/L)(n_x, n_y, n_z)$ עם מספרים שלמים חיוביים. גזרו את $g(\varepsilon) = (g_s V/4\pi^2)(2m/\hbar^2)^{3/2}\sqrt{\varepsilon}$. איזה שלב הוא קירוב, ומתי הוא נכשל?

(ב) הראו ש-$N = \int_0^\infty g(\varepsilon)\,n(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon$ הופך ל-$n\lambda^3 = g_s F(\mu/\kB T)$, עם $\lambda = h/\sqrt{2\pi m\kB T}$ וכן $F(\eta) = (2/\sqrt{\pi})\int_0^\infty \sqrt{x}\,n(x - \eta)\,\mathrm{d}x$.

(ג) עבור חלקיקים קלאסיים, חשבו את $F$ והראו ש-$\mu = \kB T\ln(n\lambda^3/g_s)$. השוו ל-$\mu = \kB T\ln(n/n_Q)$ של מודול 13.

(ד) חשבו את $n\lambda^3$ עבור: חנקן ב-$300\ \mathrm{K}$ ובלחץ של אטמוספרה אחת (מסה מולקולרית $28.0\ m_u$); הליום-4 נוזלי ב-$2.2\ \mathrm{K}$, בצפיפות $146\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$; אלקטרוני ההולכה של נחושת ב-$300\ \mathrm{K}$, $n = 8.49 \times 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$. סווגו כל אחד מהם.

(ה) בצפיפות של חנקן באטמוספרה אחת וב-$300\ \mathrm{K}$, מתחת לאיזו טמפרטורה היה $n\lambda^3$ עולה על 1? מדוע איש מעולם לא ראה גז חנקן מנוון?

בעיה 3 — הפוטנציאל הכימי בצפיפות קבועה¶

השתמשו ב-quantum.solve_mu במעבדה, עם המסה והצפיפות של הליום-4 נוזלי ($M_{\mathrm{He}} = 4.0026\ m_u$, $n = 2.198 \times 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$), ועם $g_s = 1$ לכל שלוש הסטטיסטיקות.

(א) שרטטו על אותם צירים את $\mu/\kB T_c$ כנגד $T/T_c$, מ-0.5 עד 10, עבור חלקיקים קלאסיים, בוזונים ופרמיונים (היפותטיים, חסרי ספין), עם $T_c = 3.15\ \mathrm{K}$.

(ב) באיזה $T/T_c$ חוצה ה-$\mu$ הקלאסי את האפס? הראו שהתשובה היא $2.612^{2/3}$, והסבירו מה משתבש בתיאור הקלאסי מתחת לנקודה הזו.

(ג) היכן מגיע ה-$\mu$ של הבוזונים לאפס, ומה קורה מתחת לטמפרטורה הזו? מדדו כיצד $\mu$ מתקרב לאפס ממש מעל $T_c$: האם הוא לינארי ב-$T - T_c$, או מהיר יותר?

(ד) הראו שה-$\mu$ של הפרמיונים שואף ל-$\varepsilon_F$ כאשר $T \to 0$, חשבו את $\varepsilon_F/\kB T_c$ מהביטוי הסגור, והשוו לעקומה שלכם. בדקו את $\mu = \varepsilon_F[1 - (\pi^2/12)(T/T_F)^2]$ ב-$T = 0.1\,T_F$.

(ה) באיזה $T/T_c$ שלוש העקומות מסכימות זו עם זו עד כדי $0.01\,\kB T$? בטאו את התשובה כערך של $n\lambda^3$.

בעיה 4 — עיבוי בוזה–איינשטיין¶

(א) בעזרת $F_{\mathrm{BE}}(0) = 2.612$, גזרו את טמפרטורת העיבוי והראו שמתחתיה $N_0/N = 1 - (T/T_c)^{3/2}$. מדוע יש להוסיף את מצב היסוד לאינטגרל באופן ידני?

(ב) הראו שמתחת ל-$T_c$ האנרגיה היא $U = \tfrac32 \times 1.341\, g_s \kB T\, V/\lambda^3$ והלחץ הוא $P = 1.341\, g_s \kB T/\lambda^3$, ללא תלות בצפיפות. חשבו את $P/(n\kB T)$ ב-$T_c$. מה מלמד אתכם הלחץ על התנועה של האטומים מתחת ל-$T_c$?

(ג) בניסויים מחזיקים את האטומים במלכודת הרמונית ולא בתיבה. רמות החלקיק הבודד שלה הן $\varepsilon = \hbar\omega(n_x + n_y + n_z)$, ולכן מספר המצבים מתחת ל-$\varepsilon$ הוא בערך $\varepsilon^3/(6(\hbar\omega)^3)$. מצאו את $g(\varepsilon)$, הראו שבנקודת העיבוי $N = 1.202\,(\kB T_c/\hbar\omega)^3$, כאשר $1.202 = \zeta(3)$, ושמתחתיה $N_0/N = 1 - (T/T_c)^3$.

(ד) הצפיפות של הליום-4 נוזלי בנקודת המעבר שלו היא $146.1\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$. חשבו את ה-$T_c$ של גז אידיאלי והשוו לנקודת הלמדא הנמדדת, $2.177\ \mathrm{K}$. ציינו שתי דרכים שבהן הליום נוזלי מפר את מפרט המודל, ואמרו לאיזה כיוון הייתם מצפים שכל אחת מהן תזיז את $T_c$ — או אמרו מדוע אינכם יכולים לדעת.

(ה) במעבדה, חשבו את $N_0/N$ ב-$T = T_c/2$ עבור 10³, 10⁴, 10⁵ ו-10⁶ אטומים בתיבה עם דפנות קשיחות, בעזרת finite_box_condensate_fraction. בכמה עולה כל אחד מהם על הערך האידיאלי? בדקו אם העודף מתנהג כמו $N^{-1/3}$ או כמו $N^{-1/3}\ln N$, והסבירו מדוע אפקט של פני השטח אמור לתת את ה-$N^{-1/3}$.

בעיה 5 — גז פרמי מנוון¶

(א) ב-$T = 0$ גז פרמי אידיאלי ממלא כל מצב שמתחת ל-$\varepsilon_F$. גזרו את $\varepsilon_F = (\hbar^2/2m)(6\pi^2 n/g_s)^{2/3}$ ואת $U = \tfrac35 N\varepsilon_F$.

(ב) גזרו את לחץ הניוון פעמיים: מתוך $P = \tfrac23 U/V$ (מודול 04), ומתוך מוסכמת הסימנים של הקורס, בעזרת $\dbar Q = 0$ וכן $\mathrm{d}U = \dbar \Won = -P\,\mathrm{d}V$ לדחיסה איטית ב-$T = 0$, כשכל רמה פרופורציונלית ל-$V^{-2/3}$. הראו ששתי הדרכים נותנות $P = \tfrac25 n\varepsilon_F$.

(ג) עבור נחושת ($n = 8.49 \times 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$, $g_s = 2$), חשבו את $\varepsilon_F$ באלקטרון-וולט, את $T_F$, את מהירות פרמי $v_F = \hbar k_F/m_e$ ואת $P$. השוו את $P$ ל-$n\kB T$ הקלאסי ב-$300\ \mathrm{K}$, ואת $v_F$ לשורש ממוצע ריבוע המהירות של אלקטרון קלאסי ב-$300\ \mathrm{K}$.

(ד) מודול הנפח הוא $B = -V\,\mathrm{d}P/\mathrm{d}V$. הראו שלגז האלקטרונים החופשיים $B = \tfrac53 P$, חשבו אותו עבור נחושת, והשוו למודול הנפח הנמדד של נחושת, כ-$1.4 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$. מה ההשוואה מרמזת לגבי מה שמחזיק מתכת מפני קריסה?

(ה) סטודנט אומר: “האלקטרונים בנחושת מתנגדים לדחיסה מפני שהם דוחים זה את זה דרך עקרון האיסור של פאולי.” הסבירו מה נכון ומה שגוי במשפט הזה, בהתייחס לשורה מוזנח במפרט המודל.

בעיה 6 — האלקטרונים בכסף, כפי שנמדדו¶

המעבדה טוענת את קיבול החום של כסף מ-1 עד $300\ \mathrm{K}$, כפי שהוא מופיע בטבלאות של NIST (סמית’ ופיקט, 1995), ביחידות $\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$; המסה המולרית של כסף היא $0.1078682\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}$ והצפיפות שלו $10\,490\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$.

(א) העריכו את קיבול החום האלקטרוני בטיעון הקליפה: כ-$g(\varepsilon_F)\,\kB T$ אלקטרונים יכולים לקלוט כל אחד כ-$\kB T$. הראו ש-$C_{\mathrm{el}} \sim N\kB T/T_F$, והשוו את סדר הגודל ל-$\tfrac32 N\kB$ ב-$300\ \mathrm{K}$.

(ב) התאימו את $C/T = \gamma + \beta T^2$ לנתונים שמתחת ל-$6\ \mathrm{K}$ בעזרת fit_metal_heat_capacity. דווחו על $\gamma$ עם אי-הוודאות שלו, ועל האופן שבו הוא משתנה אם החלון מסתיים ב-4 או ב-$8\ \mathrm{K}$ במקום זאת.

(ג) בהנחה של אלקטרון הולכה אחד לאטום, חשבו את $T_F$ של כסף ואת הערך של האלקטרונים החופשיים $\gamma = (\pi^2/2) R/T_F$. השוו לסעיף (ב).

(ד) מצאו את הטמפרטורה שמתחתיה האלקטרונים נושאים חלק גדול יותר מקיבול החום של כסף מאשר הסריג, ואת החלק שהם נושאים ב-$300\ \mathrm{K}$.

(ה) עבור נחושת, ה-$\gamma$ הנמדד הוא $0.695\ \mathrm{mJ\,mol^{-1}\,K^{-2}}$ (קיטל). חשבו את הערך של האלקטרונים החופשיים ואת היחס, הנקרא המסה האפקטיבית התרמית. מאחר ש-$C_{\mathrm{el}} = (\pi^2/3)\kB^2 T\, g(\varepsilon_F)$, מה מודד היחס?

בעיה 7 — ננס לבן (אתגר)¶

ננס לבן בעל מסה $M$ ורדיוס $R$ הוא כדור של גרעיני פחמן וחמצן עם $N_e = M/(2m_u)$ אלקטרונים מנוונים. התייחסו אליו כאל גוף אחיד.

(א) כתבו את האנרגיה שלו כ-$E(R) = \tfrac35 N_e\varepsilon_F - \tfrac35 GM^2/R$, כאשר $\varepsilon_F$ מחושב מצפיפות האלקטרונים הממוצעת. הראו של-$E$ יש מינימום, ומצאו את $R(M)$.

(ב) חשבו את $R$ עבור מסת שמש אחת, $1.989 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$, והשוו לרדיוס של כדור הארץ, $6371\ \mathrm{km}$, ולסיריוס B: 1.018 מסות שמש, רדיוס $5630\ \mathrm{km}$.

(ג) מדוע הגרעינים כמעט אינם תורמים ללחץ, אף שהם נושאים כמעט את כל המסה?

(ד) חשבו את תנע פרמי $p_F = \hbar k_F$ בצפיפות הממוצעת עבור מסת שמש אחת, והשוו אותו ל-$m_e c$. מה ההשוואה אומרת על התקפות של סעיף (א)?

(ה) עבור אלקטרונים יחסותיים לחלוטין מתקיים $\varepsilon = pc$, והאנרגיה הקינטית הממוצעת לאלקטרון היא $\tfrac34 p_F c$. הראו שהאיבר הקינטי מתנהג אז כמו $1/R$, כמו הכבידה, ונמקו מדוע מעל מסה מסוימת שום רדיוס אינו נותן מינימום. (הגרסה הקפדנית של צ’נדראסקאר לטיעון הזה נותנת כ-1.4 מסות שמש.)

בעיה 8 — גז הפוטונים כגז בוזה (אתגר)¶

(א) לפוטונים מתקיים $\varepsilon = \hbar c k$, ויש להם שני קיטובים. בעזרת ספירת המצבים בתיבה מבעיה 2(א), הראו שצפיפות המצבים שלהם היא $g(\varepsilon) = 8\pi V\varepsilon^2/(hc)^3$.

(ב) עם $\mu = 0$, כתבו $U = \int \varepsilon\, g(\varepsilon)\, n_{\mathrm{BE}}(\varepsilon)\, \mathrm{d}\varepsilon$ והראו בהצבה, בלי לחשב את האינטגרל שנותר, ש-$U \propto V T^4$. אחר כך הראו שהביטוי משחזר את ספקטרום פלאנק ליחידת תדירות של מודול 16.

(ג) כל רמת פוטון פרופורציונלית ל-$1/L = V^{-1/3}$. חזרו על הטיעון של בעיה 5(ב) כדי להראות ש-$P = U/(3V)$ לפוטונים, והסבירו את ההבדל מ-$\tfrac23 U/V$.

(ד) הסבירו מדוע פוטונים בחלל אינם יכולים לעבור עיבוי בוזה–איינשטיין.

(ה) ב-2010 גרמו לפוטונים להתעבות בחלל זעיר מלא בצבען (קלארס ועמיתיו, בון). שם הפוטונים נבלעים ונפלטים מחדש בידי הצבען פעמים רבות לפני שהם בורחים, המראות של החלל נותנות לכל פוטון אנרגיה מינימלית, ומספר הפוטונים קבוע למעשה. הסבירו מדוע כל אחת מהתכונות האלה נחוצה לעיבוי, בהתייחס לשלב 6 של המודול.