אוסף בעיות — קרינה תרמית וקיבול החום של מוצקים

אוסף בעיות: קרינה תרמית וקיבול החום של מוצקים¶

בעיות בסגנון בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שתיגעו במחשב; בעיות 4 ו-5 נועדו להסתיים במעבדה, ובעיות 6 ו-7 הן אתגרים. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים עם חומרי המרצה ובמכוון אינם באתר הזה.

קבועים: $h = 6.626 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$, $\kB = 1.381 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$, $c = 2.998 \times 10^{8}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, $N_A = 6.022 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$, $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$, וכן $a = 4\sigma/c = 7.566 \times 10^{-16}\ \mathrm{J\,m^{-3}\,K^{-4}}$.

בעיה 1 — שני התנאים של וין¶

(א) החל מחוק פלאנק $u_\nu = (8\pi h/c^3)\,\nu^3/(e^{h\nu/\kB T} - 1)$, הראו שהמקסימום של $u_\nu$ נמצא ב-$x = h\nu/(\kB T)$ המקיים $x = 3(1 - e^{-x})$.

(ב) גזרו את $u_\lambda$ מתוך $u_\nu$ בעזרת $u_\lambda\,|\mathrm{d}\lambda| = u_\nu\,|\mathrm{d}\nu|$, והראו שהמקסימום שלה נמצא ב-$y = hc/(\lambda \kB T)$ המקיים $y = 5(1 - e^{-y})$.

(ג) פתרו את שתי המשוואות עד ארבע ספרות משמעותיות באיטרציה $x \leftarrow 3(1 - e^{-x})$ החל מ-$x = 3$ (ובאופן דומה עבור $y$). מדוע האיטרציה הזו מתכנסת, ומדוע כל כך מהר?

(ד) הראו ש-$\nu_{\max}\lambda_{\max}/c$ אינו תלוי ב-$T$ וחשבו את ערכו. סטודנט אומר: “אחד משני החוקים של וין חייב להיות שגוי, כי לפוטון שבשיא יכול להיות רק אורך גל אחד.” ענו לסטודנט בשלושה משפטים.

(ה) ספקטרום משורטט ליחידת $\ln\nu$, כלומר כ-$\nu\,u_\nu$. מצאו את התנאי למקסימום שלו ואת ה-$\lambda T$ המתאים. הראו שאותה עקומה מתקבלת משרטוט של $\lambda\,u_\lambda$, והסבירו מדוע הבחירה הזו נותנת שיא יחיד לשני המשתנים.

בעיה 2 — גז הפוטונים¶

(א) בעזרת התוצאה של מודול 04, שלפיה גז איזוטרופי מפעיל לחץ $P = \tfrac13 n \langle p\,v \rangle$, הראו שלקרינה מתקיים $P = u/3$, ושלגז חד-אטומי לא-יחסותי מתקיים $P = \tfrac23 u$. איזו תכונה של הפוטון יוצרת את ההבדל?

(ב) בנפח קבוע, $\dbar Q = \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S$. החל מ-$u = aT^4$, גזרו את $S = \tfrac43 aVT^3$. היכן בגזירה השתמשתם בחוק השלישי, והאם התוצאה עקבית איתו?

(ג) חלל מלא קרינה מתפשט לאט ובאופן אדיאבטי עד לנפח כפול מנפחו. באיזה גורם יורדת הטמפרטורה שלו, ובאיזה גורם יורדת האנרגיה שלו? לאן הלכה האנרגיה? השתמשו במוסכמת הסימנים של הקורס, וציינו את הסימן של העבודה.

(ד) אמתו את יחס אוילר $U = TS - PV + \mu N$ עבור גז הפוטונים עם $\mu = 0$. אחר כך הסבירו בשני משפטים מדוע $\mu = 0$ נובע מכך שהדפנות בולעות ופולטות פוטונים, ולא מתכונה כלשהי של האור עצמו.

(ה) חשבו את הצפיפות המספרית של הפוטונים ב-$300\ \mathrm{K}$ מתוך $n = 16\pi\zeta(3)(\kB T/hc)^3$, עם $\zeta(3) = 1.202$, ואת האנרגיה הממוצעת לפוטון ביחידות של $\kB T$. השוו את קיבול החום ליחידת נפח של הקרינה בחדר לזה של האוויר, $\approx 880\ \mathrm{J\,m^{-3}\,K^{-1}}$.

בעיה 3 — איינשטיין ודבאי, בפיתוח לטור¶

(א) החל מ-$U = 3N\hbar\omega_E/(e^{\theta_E/T} - 1)$, גזרו את קיבול החום של איינשטיין $C = 3N\kB\,x^2 e^x/(e^x - 1)^2$ עם $x = \theta_E/T$.

(ב) פתחו אותו עבור $x$ קטן כדי להראות ש-$C = 3N\kB\left(1 - x^2/12 + O(x^4)\right)$. מה הניח מודול 01 לגבי קיבול החום של המוצק הזה, ומה גודל השגיאה של ההנחה הזו ב-$T = 2\theta_E$?

(ג) הראו שעבור $x$ גדול מתקיים $C \approx 3N\kB\,x^2 e^{-x}$. על פני איזה תחום טמפרטורות יורד $C$ בגורם 1000 אם $\theta_E = 300\ \mathrm{K}$, החל מ-$T = 50\ \mathrm{K}$? השוו לחוק $T^3$ על פני אותו גורם.

(ד) במודל דבאי, $C/(3N\kB) = \langle x^2 e^x/(e^x - 1)^2 \rangle$: פונקציית איינשטיין ממוצעת על פני האופנים במשקל $3\omega^2/\omega_D^3$ בתחום $0 < \omega < \omega_D$. השתמשו בסעיף (ב) כדי להראות שבטמפרטורה גבוהה $C = 3N\kB\left(1 - x_D^2/20 + \dots\right)$, כאשר $x_D = \theta_D/T$. מכאן מצאו את היחס $\theta_E/\theta_D$ שבו שני המודלים מסכימים עד הסדר הזה.

(ה) הראו שמודל דבאי נותן $C \propto T^3$ בטמפרטורה נמוכה, בעזרת $\int_0^\infty x^4 e^x/(e^x - 1)^2\,\mathrm{d}x = 4\pi^4/15$, ומצאו את המקדם. הסבירו פיזיקלית מדוע שום בחירה של $\theta_E$ אינה מאפשרת למודל איינשטיין לעשות אותו דבר.

בעיה 4 — הכסף, כפי שנמדד¶

המעבדה טוענת את קיבול החום של כסף מ-1 עד $300\ \mathrm{K}$, כפי שהוא מופיע בטבלאות של NIST (סמית’ ופיקט, 1995), ביחידות $\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$; המסה המולרית של כסף היא $0.1078682\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}$.

(א) שרטטו את $C/T$ כנגד $T^2$ עבור $T \le 6\ \mathrm{K}$ והתאימו קו ישר. פרשו את נקודת החיתוך ואת השיפוע, וחלצו את המקדם האלקטרוני $\gamma$ ואת טמפרטורת דבאי $\theta_D$, כל אחד עם אי-ודאות מההתאמה.

(ב) החסירו את $\gamma T$ מכל הטבלה. מדדו את השיפוע בגרף לוג-לוג של מה שנותר בין 1 ל-$5\ \mathrm{K}$, ושל הנתונים הגולמיים בין 1 ל-$3\ \mathrm{K}$. הסבירו את ההבדל.

(ג) התאימו את מודל דבאי ואת מודל איינשטיין, פרמטר אחד לכל אחד, לקיבול החום של הסריג בין 4 ל-$100\ \mathrm{K}$, במזעור סכום הריבועים של השאריות היחסיות. דווחו על כל טמפרטורה מותאמת ועל שורש הממוצע של ריבועי השאריות. מדוע שאריות יחסיות ולא מוחלטות?

(ד) לכל נקודת נתונים, פתרו עבור ה-$\theta_D$ שנוסחת דבאי צריכה כדי לשחזר אותה, ושרטטו את ה-$\theta_D(T)$ ה"רץ" הזה מ-2 עד $120\ \mathrm{K}$. מה הסחיפה מלמדת אתכם על מודל דבאי? מדוע ההליך נכשל מעל כ-$150\ \mathrm{K}$?

(ה) מעל כ-$260\ \mathrm{K}$ ה-$C_P$ הנמדד עולה על $3R$. ציינו שתי סיבות והעריכו איזו מהן גדולה יותר ב-$300\ \mathrm{K}$, בהינתן שלכסף $\alpha = 5.7 \times 10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$ (מקדם ההתפשטות הנפחית), $\kappa_T = 1.0 \times 10^{-11}\ \mathrm{Pa^{-1}}$ ונפח מולרי $1.03 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^3\,mol^{-1}}$.

בעיה 5 — קרינת הרקע הקוסמית¶

המעבדה טוענת את ספקטרום המונופול של COBE/FIRAS: 43 תדירויות, הנתונות כמספרי גל $\tilde\nu$ ביחידות $\mathrm{cm^{-1}}$ (כך ש-$\nu = 100\,c\,\tilde\nu$), עם העוצמה הסגולית ביחידות $\mathrm{MJy\,sr^{-1}}$ ($1\ \mathrm{MJy\,sr^{-1}} = 10^{-20}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,Hz^{-1}\,sr^{-1}}$) ואת אי-הוודאות שלה ביחידות $\mathrm{kJy\,sr^{-1}}$, יחידות קטנות פי אלף.

(א) התאימו את הטמפרטורה של ספקטרום הרדיאנס של פלאנק $B_\nu = (c/4\pi)\,u_\nu$ במזעור של $\chi^2$. דווחו על $T$, על אי-הוודאות הסטטיסטית שלו ועל $\chi^2$ לדרגת חופש. מה בודק המספר האחרון שהראשון אינו בודק?

(ב) קראו את השיא של הנתונים עצמם, בתדירות וביחידות $\mathrm{cm^{-1}}$. המירו את הספקטרום לצפיפות ליחידת אורך גל ומצאו היכן היא מגיעה לשיא. הסבירו את הגורם בין שני אורכי הגל.

(ג) קובץ הנתונים מציין שעמודת הספקטרום שלו נבנתה כעקומת פלאנק של $2.725\ \mathrm{K}$ ועוד השאריות הנמדדות. מה משתמע מכך לגבי מה שההתאמה שלכם בסעיף (א) יכולה ואינה יכולה לבסס? מה מגביל את הטמפרטורה המוחלטת שפורסמה?

(ד) חשבו את הצפיפות המספרית של פוטוני הרקע ואת צפיפות האנרגיה שלהם, והשוו את האחרונה לצפיפות האנרגיה של אור הכוכבים בגלקסיה שלנו, כ-$10^{-13}\ \mathrm{J\,m^{-3}}$.

(ה) הטמפרטורה של קרינת הרקע יורדת ביחס הפוך לגודל היקום. בעזרת בעיה 2(ג), הסבירו מדוע הספקטרום נשאר ספקטרום פלאנק מדויק בזמן שהוא מתקרר, ולא רק מוסט.

בעיה 6 — מאזן האנרגיה של כוכב לכת (אתגר)¶

כדור הארץ מקבל $S = 1361\ \mathrm{W\,m^{-2}}$ מהשמש ומחזיר חלק $A = 0.30$ ממנו.

(א) הסבירו את הגורם 4 ב-$\sigma T_e^4 = (1 - A)S/4$, וחשבו את $T_e$.

(ב) הוסיפו שכבת אטמוספרה אחת, השקופה לאור השמש ובולעת את כל הקרינה התרמית. כתבו את מאזן האנרגיה של השכבה ושל פני השטח, והראו ש-$T_s = 2^{1/4}T_e$. הכלילו ל-$n$ שכבות.

(ג) כעת תנו לשכבה לבלוע רק חלק $\varepsilon$ מהקרינה התרמית העוברת דרכה (ולפי חוק קירכהוף, לפלוט $\varepsilon\sigma T_a^4$ מכל אחד מצדדיה). הראו ש-$T_s = T_e\,[2/(2 - \varepsilon)]^{1/4}$, ומצאו את ה-$\varepsilon$ שנותן את ה-$288\ \mathrm{K}$ הנצפים.

(ד) בעזרת חוק ההסחה של וין, הסבירו מדוע סביר להתייחס לשכבה כשקופה לאור השמש אך בולעת את הקרינה של כוכב הלכת עצמו, וציינו דרך אחת שבה אטמוספרה אמיתית אינה שכבה יחידה בטמפרטורה יחידה.

בעיה 7 — טמפרטורת דבאי ממהירות הקול (אתגר)¶

מודל דבאי נותן את $\theta_D$ במונחי הצפיפות המספרית $n = N/V$ ומהירות קול ממוצעת, $\omega_D^3 = 6\pi^2 n\,c_s^3$, $\theta_D = \hbar\omega_D/\kB$.

(א) הראו שאם המהירות האורכית $v_L$ ושתי המהירויות הרוחביות $v_T$ שונות זו מזו, צפיפות האופנים מחייבת את הממוצע $3/c_s^3 = 1/v_L^3 + 2/v_T^3$.

(ב) ליהלום צפיפות $3515\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ ומסה מולרית $12.011\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$; קחו $v_L = 18.0\ \mathrm{km\,s^{-1}}$ ו-$v_T = 12.4\ \mathrm{km\,s^{-1}}$. חשבו את $\theta_D$ והשוו לערך $\approx 2230\ \mathrm{K}$ המתקבל מקיבול החום בטמפרטורה נמוכה.

(ג) חזרו על החישוב עבור כסף: צפיפות $10\,490\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$, מסה מולרית $107.87\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$, $v_L = 3.65\ \mathrm{km\,s^{-1}}$, $v_T = 1.66\ \mathrm{km\,s^{-1}}$. השוו ל-$\theta_D$ שמצאתם בבעיה 4(א).

(ד) החישוב בסעיפים (ב) ו-(ג) השתמש רק בתכונות אלסטיות — סרגל, מאזניים ושעון עצר — ובכל זאת ניבא קיבול חום. הסבירו אילו אופנים מובטח שהוא מתאר נכון, ומדוע ההתאמה טובה ביותר עבור ה-$\theta_D$ של הטמפרטורה הנמוכה.

(ה) בעזרת בעיה 3(ד), העריכו את טמפרטורת איינשטיין של יהלום שתתאים למודל דבאי בטמפרטורה גבוהה. השוו אותה ל-$\theta_E$ שמשחזר את קיבול החום הנמדד של יהלום בטמפרטורת החדר, $6.12\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$, כ-$1310\ \mathrm{K}$. מה אומר הפער על מודל בעל תדירות אחת?