מעברי פאזה ומודל איזינג

החידה: מי בוחר את הכיוון?¶

החזיקו מגנט בלהבה והוא מפסיק להיות מגנט. ברזל מאבד את המגנוט שלו ב-$770\,{}^\circ\mathrm{C}$, טמפרטורת קירי שלו, והאובדן אינו דעיכה איטית: ממש מתחת לטמפרטורה הזו הברזל ממוגנט, ממש מעליה אינו ממוגנט, והמגנוט יורד לאפס ברציפות אבל עם משיק אנכי. הניחו לו להתקרר שוב, ובאותה טמפרטורה המגנוט חוזר.

הוא חייב לחזור כשהוא מצביע לאנשהו. וכאן הבעיה. לאנרגיה של פיסת ברזל בשדה אפס לא אכפת לאן מצביעים המומנטים שלה, כל עוד השכנים מסכימים: הפכו כל מומנט בדגימה והאנרגיה היא בדיוק מה שהייתה. המשוואות סימטריות בין “מעלה” ל"מטה". הדגימה, שקוררה דרך נקודת קירי שלה, אינה סימטרית — היא בוחרת אחד.

מודול 14 השאיר שאלה שנייה באותו מקום. עקומת הדו-קיום שלו נגמרה: בנקודה הקריטית החום הכמוס התאפס וצפיפויות הנוזל והגז התמזגו כמו $(1 - T/T_c)^{1/2}$, בעוד זורמים ממשיים מתמזגים כמו $(1 - T/T_c)^{0.32}$, מעריך שמודל ואן דר ואלס אינו יכול לייצר. המודול הזה עונה על שתיהן במודל אחד, פשוט כל כך שהוא נכנס בשורה אחת, ובניסוי מחשב: מודל איזינג ושיטת מונטה קרלו. לאורך הדרך הוא שואל מה סימולציה של 4096 ספינים יכולה ואינה יכולה לומר לנו על מעבר שבמובן המדויק מתרחש רק במערכת אינסופית.

לנבא לפני שמחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת מן השאלות האלה לפני שתמשיכו לקרוא. כתבו אותן.

1. סריג ריבועי גדול של ספינים מקורר הרבה מתחת לטמפרטורת המעבר שלו בשדה אפס. בשיווי משקל, האם המגנוט שלו אפס, קרוב ל-$\pm 1$, או שהוא תלוי באופן שבו הסריג קורר?

2. מחשב דוגם את שיווי המשקל של הסריג בשלוש טמפרטורות: הרבה מתחת למעבר, בו, והרבה מעליו. באיזו טמפרטורה לוקח לסימולציה הכי הרבה זמן לשכוח מאין התחילה?

3. המגנוט מחושב כנגד הטמפרטורה לסריגים שאורך הצלע שלהם 16 ו-64. איזו עקומה יורדת בחדות רבה יותר במעבר?

4. מתחת למעבר, שדה נסרק לאט מערך חזק כלפי מעלה לערך חזק כלפי מטה ובחזרה. האם המגנוט חוזר על אותה עקומה בדרך חזרה, או לא?

לחקור את המודל¶

המעבדה מריצה סריג איזינג חי בגודל $L \times L$. אתם קובעים את הטמפרטורה, השדה והגודל, צופים בספינים, וקוראים את עקבות המגנוט והאנרגיה בזמן שהן נוצרות. אחר כך היא מריצה את הניסויים שהמודול הזה בנוי עליהם: שרשרת חד-ממדית מול הפתרון המדויק שלה, סריקת טמפרטורה לשלושה גדלים עם הסוספטיביליות וקיבול החום הנקראים מתוך פלוקטואציות, מדידה של משך הזמן שלוקח לסימולציה לאבד מתאם, שדה המוזז מעלה ומטה מתחת למעבר ומעליו, ואותו סריג מורץ תחת שני כללי עדכון שונים.

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו. ארבעה דברים כדאי לעשות לפני שתמשיכו לקרוא:

• קבעו $\kB T = 1.5\,J$ והריצו סריג $64 \times 64$ מהתחלה אקראית, ואז מהתחלה שבה כל הספינים מעלה. אחר כך קבעו $\kB T = 3.5\,J$ ועשו אותו דבר. אילו ריצות מסתיימות באותו מקום?

• קבעו את הטמפרטורה ממש מתחת ל-$2.27\,J/\kB$ וצפו בעקבת המגנוט. אחר כך קבעו אותה ממש מעל. השוו כמה זמן לוקח לעקבה לנדוד לרוחב התחום שלה.

• הריצו סריג $8 \times 8$ ב-$\kB T = 2.0\,J$ זמן רב וצפו בסימן של המגנוט. אחר כך סריג $32 \times 32$ באותה טמפרטורה.

• סרקו את השדה מהערך +1 עד הערך -1 ובחזרה ב-$\kB T = 1.5\,J$, ואז ב-$3.0\,J$.

לגזור את התוצאה¶

מערכת וגבול. $N$ ספינים על סריג, כל אחד $s_i = +1$ או -1, המוחזקים בטמפרטורה $T$ על ידי אמבט ונתונים לשדה חיצוני אחיד $h$, הנמדד כאנרגיה ליחידת ספין. הסריג מחזורי. הספינים קלאסיים: $s_i$ הוא מספר, לא אופרטור.

משתנים בלתי תלויים. הטמפרטורה $T$ והשדה $h$; התצורה $s = (s_1, \dots, s_N)$ היא מיקרו-מצב, והאנרגיה $E_s$, הספין הכולל $M_s = \sum_i s_i$ והמגנוט לספין $m_s = M_s/N$ הם פונקציות שלה.

מוסכמת הסימן. מוסכמת הקורס, $\mathrm{d}U = \dbar Q + \dbar \Won$, תקפה ואינה מופעלת: שום דבר במודול הזה אינו מחשב חום או עבודה. קיבול החום נכנס רק דרך זהות הפלוקטואציה של מודול 12, שאינה זקוקה למוסכמת סימן.

יחידות. המודול הזה מודד אנרגיות ביחידות של $J$, טמפרטורה כ-$\kB T/J$ ושדה כ-$h/J$. התנהגות קריטית היא הנושא היחיד בקורס שבו קבועי החומר באמת נופלים מן הסקאלה — זה מה שהאוניברסליות, להלן, טוענת — ו-$\kB$ נשאר בכל נוסחה דרך $\beta = 1/(\kB T)$. כדי לצטט מספר לחומר, החזירו את $J$ ואת $\kB$: צימוד של $J = 2 \times 10^{-21}\ \mathrm{J}$ מציב את המעבר של הסריג הריבועי ב-$2.269\,J/\kB = 329\ \mathrm{K}$.

המסלול. שישה שלבים. לכתוב את המודל ואת הסימטריה שלו; לגזור את כלל מונטה קרלו מהתפלגות בולצמן של מודול 11; להראות שממד אחד אינו יכול לפתח סדר; לבנות את תורת השדה הממוצע של הפרמגנט של מודול 12 עם שדה אפקטיבי; לנסח את התשובה המדויקת של אונסאגר בשני ממדים ולמדוד עד כמה השדה הממוצע שגוי; ולקרוא את ההתנהגות הקריטית מתוך זהויות הפלוקטואציה של מודול 12.

שלב 1: המודל, פרמטר הסדר, והסימטריה¶

קשר עולה $-J$ כששני הספינים שלו מסכימים, ועולה $+J$ כשהם חלוקים. מצב היסוד ב-$h = 0$ הוא כל הספינים מיושרים, עם $E = -J \times (\text{number of bonds})$ — בסריג הריבועי, $2N$ קשרים ו-$E = -2NJ$. יש שני מצבי יסוד, כולם מעלה וכולם מטה, ולשניהם אותה אנרגיה.

ב-$h = 0$ האנרגיה אינווריאנטית תחת היפוך כל ספין, $s_i \to -s_i$ לכל $i$, מפני שאנרגיית כל קשר תלויה במכפלה $s_i s_j$. לכן משקלי בולצמן של תצורה ושל התאומה ההפוכה שלה שווים, $p_{-s} = p_s$, בעוד המגנוטים שלהן הפוכים. בהתאמת כל תצורה לתאומה שלה,

זה מדויק, וזו החידה בחדות רבה יותר. לכל סריג סופי, הממוצע הקנוני של המגנוט בשדה אפס מתאפס בכל טמפרטורה. אם יש פאזה ממוגנטת, אי אפשר למצוא אותה בחישוב $\langle m \rangle$ ב-$h = 0$ עבור $N$ סופי.

מה שכן אפשר לחשב הוא כיצד הממוצע מגיב לשדה קטן, ובאיזה סדר לוקחים את הגבולות:

סדר הגבולות הוא כל העניין. קחו קודם $h \to 0$ ב-$N$ סופי והתשובה היא אפס, מטעמי סימטריה. קחו קודם $N \to \infty$, ומתחת למעבר שדה חלש כרצונכם — שדה תועה, פגם יחיד, ההיסטוריה של הדגימה — מספיק כדי להטות את כל המערכת לכיוון אחד. זה מי שבוחר את הכיוון: ההיסטוריה של המערכת עצמה, מוגברת על ידי גודלה.

אותו סיפור, בגרסה ל-$N$ סופי, מסופר בזמן ולא בגבולות. מתחת למעבר, סריג סופי בשדה אפס אכן הופך מדי פעם את המגנוט שלו: הוא חייב, אחרת הממוצע לא היה אפס. אבל כדי להתהפך הוא צריך לעבור דרך תצורות שבהן קיר של ספינים הפוכים חוצה אותו מקצה לקצה, וזה עולה אנרגיה שגדלה עם $L$, ולכן זמן ההמתנה בין היפוכים גדל מעריכית עם גודל המערכת. למגנט של 10²⁰ ספינים הוא עולה על גיל היקום. הממוצע על פני הצבר הוא אפס; הדגימה, לכל צורך מעשי, אינה. זו שבירת ארגודיות: הדינמיקה כבר אינה חוקרת את כל המצבים שהצבר ממצע עליהם.

שלב 2: מונטה קרלו מתוך איזון מפורט¶

כדי לראות משהו מכל זה, אנו זקוקים לממוצעים הקנוניים של סריג בן אלפי ספינים. פונקציית החלוקה של סריג $64 \times 64$ היא סכום של 2⁴⁰⁹⁶ איברים, ואין לה צורה סגורה מחוץ למקרים מיוחדים. הדרך לעקוף זאת היא לדגום: לייצר תצורות בהסתברות הנכונה ולמצע עליהן.

מודול 11 קבע את המטרה. בשיווי משקל עם אמבט בטמפרטורה $T$, תצורה $s$ מופיעה בהסתברות

בנו הילוך אקראי במרחב התצורות: מהתצורה הנוכחית $s$, הציעו להפוך ספין אחד, מה שנותן את $s'$, וקבלו את ההצעה בהסתברות כלשהי $A(s \to s')$. ההצעות סימטריות — הבחירה איזה ספין להפוך אינה תלויה במצב. אנו רוצים שההילוך, אם ירוץ זמן רב מספיק, יבקר בכל תצורה בהסתברות $p_s$. תנאי מספיק הוא שבשיווי משקל הזרימה מ-$s$ ל-$s'$ תאזן את הזרימה חזרה, לכל זוג:

בדקו את הכלל בשני המקרים. אם $\Delta E > 0$, אז $A(s \to s') = e^{-\Delta E/(\kB T)}$ והצעד ההפוך מוריד את האנרגיה, ולכן $A(s' \to s) = 1$: היחס נכון. אם $\Delta E \le 0$ התפקידים מתחלפים והיחס הוא $1/e^{\Delta E/(\kB T)}$, שוב נכון. הסטציונריות נובעת מסכימת האיזון המפורט על $s$: $\sum_s p_s P(s \to s') = p_{s'} \sum_s P(s' \to s) = p_{s'}$, מפני שההילוך חייב ללכת לאנשהו. פונקציית החלוקה אינה מופיעה לעולם: רק יחסים של משקלי בולצמן מופיעים, וזו הסיבה שהדגימה מצליחה במקום שבו הסכימה חסרת סיכוי.

במודל איזינג שינוי האנרגיה בהיפוך ספין $i$ זקוק רק לשכנים שלו. בסימון $\sum_{j \in \mathrm{nn}(i)} s_j$ לסכום על $q$ השכנים של אתר $i$,

בסריג הריבועי ב-$h = 0$ הוא מקבל רק חמישה ערכים: $-8J$, $-4J$, 0, $4J$ ו-$8J$.

נקודה מעשית אחת מכריעה אם השיטה נכונה או שגויה. עדכון כל הספינים בבת אחת, כל אחד מול התצורה שלפני העדכון, שובר איזון מפורט: שני שכנים ששניהם מתהפכים חישבו כל אחד את $\Delta E$ מול שכן שכבר אינו קיים. המעבדה צובעת במקום זאת את הסריג כמו לוח שחמט. כל שכן של אתר שחור הוא לבן, ולכן כשהאתרים הלבנים מוחזקים קבועים האתרים השחורים אינם באינטראקציה זה עם זה, ועדכון כולם בבת אחת זהה לעדכונם אחד אחד. סריקה היא חצי-סריקה שחורה ואחריה חצי-סריקה לבנה. כל חצי-סריקה מקיימת איזון מפורט, ולכן כל אחת משאירה את התפלגות בולצמן ללא שינוי, וכך גם הסריקה כולה.

שלב 3: מדוע שרשרת אינה יכולה לפתח סדר¶

התחילו טבעת של $N$ ספינים כולם מעלה ב-$h = 0$. הדרך הזולה ביותר להרוס את הסדר שלה היא קיר תחום — קשר יחיד ששני הספינים שלו חלוקים, המפריד גוש של ספינים מעלה מגוש של ספינים מטה. בטבעת קירות באים בזוגות; קחו שניים, החותכים את הטבעת לשתי קשתות. כל קיר עולה $2J$, ולכן שניים עולים $\Delta E = 4J$, בלי קשר למקומם. אבל הראשון יכול לשבת בכל אחד מ-$N$ הקשרים והשני בכל אחד מהאחרים, בערך $N^2/2$ מיקומים, כל אחד מיקרו-מצב נפרד. במונחי מודול 08, ריבוי המצבים של מצבי שני הקירות הוא בערך $N^2/2$ והאנטרופיה שלהם היא $\kB \ln(N^2/2)$. מחיר האנרגיה החופשית של שבירת הסדר הוא

האנרגיה קבועה; האנטרופיה גדלה ללא גבול כש-$N$ גדל. לכל $T > 0$ יש $N$ שמעבר לו $\Delta F < 0$, קירות מופיעים באופן ספונטני, והסדר נהרס. אותה התחשבנות לקיר יחיד בשרשרת פתוחה נותנת את הצורה המצוטטת בדרך כלל, $\Delta F = 2J - \kB T \ln N$.

שתי הנוסחאות האלה הן העוגנים המדויקים הראשונים של המודול: השרשרת של המעבדה חייבת לשחזר אותן, בתוך פסי השגיאה שלה, לפני שמאמינים לכל דבר שהיא אומרת על שני ממדים.

הטיעון נכשל בשני ממדים, והאופן שבו הוא נכשל מאלף. לקיר שחותך סריג ריבועי לשניים יש אורך של לפחות $L$, ולכן מחיר האנרגיה שלו גדל כמו $2JL$. גם האנטרופיה שלו גדלה כמו $L$ — קיר הוא מסלול, ומסלול באורך $\ell$ יכול לנדוד לכל היותר ב-$3^{\ell}$ דרכים — ולכן אנרגיה ואנטרופיה מתחרות עכשיו בתנאים שווים, ובטמפרטורה נמוכה מספיק האנרגיה מנצחת. הטיעון אינו מוכיח שהסריג הריבועי מפתח סדר; הוא מראה ששום דבר דומה לאסון החד-ממדי אינו אוסר זאת. בעיה 2 הופכת אותו לכמותי.

שלב 4: שדה ממוצע, ובמה הוא טועה¶

מודול 12 פתר ספין יחיד בשדה במדויק: הממוצע שלו הוא $\langle s \rangle = \tanh(h/(\kB T))$. ספין במודל איזינג חש את השדה $h$ ועוד את שכניו. קירוב השדה הממוצע מחליף כל שכן בממוצע שלו, כך שספין $i$ רואה שדה אפקטיבי

ומגיב לו כמו הפרמגנט של מודול 12. עקביות דורשת שהממוצע שהוא מייצר יהיה ה-$m$ שהונח.

ממש מתחת ל-$T_c^{\mathrm{MF}}$, $m$ קטן, והקירוב $\tanh x \approx x - x^3/3$ הופך את המשוואה ל-$m^2 \approx 3\,(T_c^{\mathrm{MF}} - T)\,T^2/(T_c^{\mathrm{MF}})^3$, ומכאן

המגנוט מתאפס כשורש הריבועי של המרחק מ-$T_c$: מעריך $1/2$, אותו מעריך שמודל ואן דר ואלס נתן במודול 14 עבור $v_g - v_\ell$. זה אינו צירוף מקרים. שתיהן תורות שדה ממוצע — כל חלקיק, או כל ספין, חש את הממוצע של האחרים — וכל תורת שדה ממוצע נותנת $1/2$.

שדה ממוצע הוא ניחוש טוב הרחק מ-$T_c$ וגרוע לידה, והוא הגרוע ביותר בממדים נמוכים. הוא מנבא מעבר לשרשרת, ב-$\kB T = 2J$, שם שלב 3 הוכיח שאין כזה. לסריג הריבועי הוא מנבא $\kB T_c = 4J$. התשובה המדויקת היא הבאה.

שלב 5: התשובה המדויקת של אונסאגר¶

ב-1944 פתר לארס אונסאגר את מודל איזינג הדו-ממדי בשדה אפס במדויק. הגזירה היא אחד החישובים הגדולים של הפיזיקה העיונית ונמצאת מחוץ לקורס הזה; התוצאות שלה הן ערכי הייחוס של המודול.

לכן שדה ממוצע מעריך ביתר את טמפרטורת המעבר בגורם $4/2.269 = 1.763$, או $76\%$. השגיאה שלו אינה שגיאה של פרט. ליד $T_c$ השכנים של ספין אינם ממוצע — הם מתואמים איתו ואחד עם השני על פני מרחקים ארוכים — ושדה ממוצע זורק בדיוק את המתאמים האלה. וגם המעריך אינו $1/2$: ה-$m_0$ של אונסאגר–יאנג מתאפס כמו $(T_c - T)^{1/8}$, בתלילות רבה בהרבה.

שלב 6: התנהגות קריטית, נקראת מתוך פלוקטואציות¶

במעבר המערכת אינה מסודרת ואינה בלתי מסודרת: היא טלאים של תחומים בכל גודל, מספינים בודדים ועד הסריג כולו. זה מה שגורם לתגובות להתבדר, וזהויות הפלוקטואציה של מודול 12 הן הדרך שבה סימולציה רואה זאת.

מתחת ל-$T_c$, ריצה סופית אינה דוגמת את שני הענפים $\pm m$ בהוגנות — היא חוצה ביניהם לעתים רחוקות, בקצב שתלוי במשך הריצה שיצא לה — ולכן ה-$\mathrm{Var}(m)$ של ריצה מודד מזל. המעבדה מפעילה את אותה זהות על $|m|$, שריצה יכולה לדגום, ומדווחת $\chi' = N\,\mathrm{Var}(|m|)/(\kB T)$. זהו האומד המקובל לסריגים סופיים. השיא שלו הוא כל מה שהמודול משתמש בו.

ליד $T_c$ החלקים הסינגולריים של הגדלים הנצפים מצייתים לחוקי חזקה ב-$|T - T_c|$, עם מעריכים קריטיים שנקראים במוסכמה $\beta$, $\gamma$, $\alpha$ ו-$\nu$ (לראשון אין קשר ל-$1/(\kB T)$; ההקשר תמיד מבדיל ביניהם):

כאשר $\xi$ הוא אורך המתאם, הגודל של הטלאים המתואמים הגדולים ביותר. לסריג הריבועי, מהפתרון של אונסאגר, $\beta = 1/8$, $\gamma = 7/4$, $\nu = 1$, וקיבול החום מתבדר לוגריתמית ($\alpha = 0$). שדה ממוצע נותן $\beta = 1/2$, $\gamma = 1$, $\nu = 1/2$ וקפיצה סופית ב-$c$.

שלוש עובדות על ההתבדרויות האלה קובעות מה סימולציה יכולה לראות:

• שום דבר אינו מתבדר על סריג סופי. $\xi$ אינו יכול לעלות על $L$, ולכן על סריג $L \times L$ כל שיא מעוגל וסופי, הגובה שלו גדל עם $L$, והמיקום שלו נסחף לעבר $T_c$ כש-$L$ גדל. הסינגולריות ב-$T_c$ היא תכונה של הגבול $N \to \infty$.

• המעבר רציף. בחציית $T_c$ ב-$h = 0$, האנרגיה לספין רציפה — אין חום כמוס, בניגוד לרתיחה של מודול 14 — ובמקום זאת קיבול החום מגיע לשיא. לעומת זאת, בחציית $h = 0$ מתחת ל-$T_c$ המגנוט קופץ מהערך $+m_0$ אל הערך $-m_0$: מעבר מסדר ראשון, הגרסה המגנטית של רתיחה, לאורך קו שנגמר בנקודה הקריטית.

• האטה קריטית. כלל עדכון מקומי משנה תצורה ספין אחד בכל פעם, וטלאי מתואם בגודל $\xi$ זקוק לזמן שגדל כמו $\xi^{z}$ כדי להתארגן מחדש, עם $z \approx 2$ למטרופוליס. ב-$T_c$ על סריג סופי $\xi \approx L$, ולכן זמן המתאם העצמי גדל כמו $L^{z}$: הסימולציה איטית ביותר בדיוק היכן שהפיזיקה מעניינת ביותר.

העובדה האחרונה קובעת את הסטנדרט לכל מספר שהמודול הזה מדווח. עקבה של $n$ דגימות שזמן המתאם העצמי שלה הוא $\tau$ (בדגימות) מכילה בערך

דגימות בלתי תלויות, ושגיאת התקן שלה היא $\sigma/\sqrt{N_{\mathrm{eff}}}$, לא $\sigma/\sqrt{n}$. זה שוב ההילוך המתואם של מודול 03: חוק ה-$n^{-1/2}$ שורד, כש-$n$ מוחלף במספר הדגימות שהן באמת בלתי תלויות. המעבדה מודדת את $\tau$ כפונקציית המתאם העצמי המסוכמת, $\tau = \tfrac12 + \sum_{t \ge 1} \rho(t)$, הנסכמת עד חלון שהוא כמה פעמים $\tau$ עצמו.

המילון בין שתי הבעיות ישיר. חלקו זורם לתאים, שכל אחד מהם תפוס על ידי מולקולה ($s_i = +1$) או ריק ($s_i = -1$), עם משיכה בין שכנים תפוסים: זהו מודל איזינג, גז הסריג. המגנוט הוא הצפיפות הנמדדת מערכה הקריטי, השדה הוא הפוטנציאל הכימי, הקו $h = 0$ מתחת ל-$T_c$ הוא עקומת הדו-קיום, והקפיצה ב-$m$ לרוחבו היא הקפיצה מצפיפות הגז לצפיפות הנוזל.

לאמת חישובית¶

כל מספר שלהלן בא מ-thermolab.ising, שהורץ תחת כמה זרעים בלתי תלויים, וכל פס שגיאה חושב מהמספר האפקטיבי של דגימות בלתי תלויות ולא מהספירה הגולמית. המעבדה חוזרת על כל ניסוי בקנה מידה קטן יותר.

1. הנהלת החשבונות. הסימולציה לעולם אינה מחשבת מחדש את האנרגיה: כל היפוך שהתקבל מוסיף את ה-$\Delta E$ שלו לסכום רץ. אחרי 1000 סריקות של סריג $16 \times 16$ ב-$h = 0$ — עשרות אלפי היפוכים שהתקבלו — האנרגיה הרצה והספין הכולל שווים בדיוק לספירה מחדש מאפס, כמספרים שלמים. בשדה האנרגיה נושאת את $h$ ומסכימה עד כדי עיגול.

2. השרשרת מול הפתרון המדויק שלה. טבעת בת 1024 אתרים, שמונה זרעים, 2000 סריקות לכל אחד אחרי שלב חימום של 300, תחת כלל גלאובר. ב-$\kB T = J$ וב-$h = 0$ האנרגיה לספין היא $-0.76156 \pm 0.00036$ לעומת הערך המדויק $-\tanh 1 = -0.76159$; ב-$2J$ היא $-0.46228 \pm 0.00021$ לעומת -0.46212. בשדה $h = 0.3\,J$ ב-$\kB T = J$ המגנוט הוא $0.91409 \pm 0.00036$ לעומת הערך המדויק 0.91382. הכול בתוך שגיאת תקן אחת. תחת כלל מטרופוליס אותה טבעת שוכחת התחלה קרה הרבה יותר לאט — אחרי שלב חימום של 100 סריקות היא עדיין יושבת ארבע שגיאות תקן נמוך מדי — מפני שב-$h = 0$ בממד אחד כל תזוזה של קיר אינה עולה דבר ומטרופוליס מקבל את כולן, ולכן הקירות נדחפים לכיוון אחד כמו חרוזים על חוט במקום לפעפע. שני הכללים מגיעים לאותה תשובה בסופו של דבר: טענה על מהירות, לא על שיווי משקל.

3. מתחת ל-$T_c$, מול אונסאגר–יאנג. סריג $64 \times 64$, שישה זרעים: ב-$\kB T = 1.5$, 2.0 ו-$2.2\,J$ מתקבל $\langle |m| \rangle = 0.9866$, $0.9109 \pm 0.0002$ ו-$0.7871 \pm 0.0022$, לעומת הערכים המדויקים לסריג אינסופי 0.9865, 0.9113 ו-0.7848. מתחת ל-$T_c$ סריג $64 \times 64$ כבר, עד שלוש ספרות אחרי הנקודה, אינסופי; האפקטים של גודל סופי חיים ליד $T_c$. שדה ממוצע ב-$2.0\,J$ אומר 0.958.

4. הרחק מעל $T_c$, מול טור הטמפרטורות הגבוהות. ב-$\kB T = 20\,J$ בשדה חלש, ספין חופשי היה נותן $\chi T = 1$. טור הטמפרטורות הגבוהות של הסריג הריבועי נותן $1 + 4v + 12v^2 + 36v^3 + 100v^4 + \dots = 1.235$, עם $v = \tanh(J/(\kB T))$. הסימולציה מסכימה עם הטור ודוחה את הספין החופשי בשגיאות תקן רבות: אפילו בפי עשרה מ-$T_c$ השכנים עדיין חשובים ברמה של $20\%$.

5. המעבר, מאותר. האיור שלהלן הוא המדידה המרכזית של המודול.

6. האטה קריטית, נמדדת. על סריג $32 \times 32$ (ארבעה זרעים של $20\,000$ סריקות כל אחד), זמן המתאם העצמי של $|m|$ הוא 0.7 סריקות ב-$\kB T = 1.5\,J$, 2.8 ב-2.0, 41 ב-2.27, 11.5 ב-2.5, 1.7 ב-3.0 ו-1.0 ב-3.5. ב-$T_c$ עצמה הוא גדל עם הסריג: 3.1, 9.6, 42 ו-$174 \pm 38$ סריקות ב-$L = 8$, 16, 32 ו-64 — חזקה $\tau \propto L^{z}$ עם $z = 1.96$ מותאם, קרוב לערך $z \approx 2.17$ שמוצאים מחקרים בקנה מידה גדול של כללי עדכון מקומיים. זמן ההתייצבות גדול ביותר במעבר עצמו, לא בשום מקום בקרבתו משני צדיו, וכל הכפלה של $L$ מרבעת אותו.

7. מי בוחר את הכיוון, נמדד. ב-$\kB T = 2.0\,J$, מהתחלה שבה כל הספינים מעלה, בריצה של 10⁵ סריקות: סריג $8 \times 8$ הופך את המגנוט שלו 42 פעמים, הממוצע בזמן של $m$ שלו הוא 0.11, וה-$\langle |m| \rangle$ שלו הוא 0.911. סריג $16 \times 16$ וסריג $32 \times 32$ לעולם אינם מתהפכים: הממוצעים בזמן שלהם הם 0.912 ו-0.911, המגנוט הספונטני. ב-$2.2\,J$, קרוב יותר ל-$T_c$, שלושת הסריגים מתהפכים 383, 52 ו-3 פעמים. הממוצע של $m$ על פני הצבר הוא אפס לכולם; החלק מהצבר שריצה אחת באמת מבקרת בו קורס ככל שהמערכת גדלה.

8. היסטרזיס. סריג $32 \times 32$, השדה מוזז בצעדים $+1 \to -1 \to +1$ ב-81 צעדים, ארבעה זרעים. ב-$\kB T = 1.5\,J$ שטח הלולאה הוא $2.20 \pm 0.04$, $1.48 \pm 0.02$ ו-$1.18 \pm 0.04$ עבור 5, 20 ו-80 סריקות לצעד: הזזה איטית יותר מכווצת אותה, והיא נשארת פתוחה. ב-$2.0\,J$ השטחים הם 0.98, 0.51 ו-0.27: עדיין פתוחה, ומצטרת מהר יותר. ב-$3.0\,J$, מעל $T_c$, הם 0.013, 0.015 ו-0.021, וזה רעש: העקומה חוזרת על עצמה.

9. שני כללי עדכון, שיווי משקל אחד. בצעו צינון חטוף של סריג אקראי $64 \times 64$ ל-$\kB T = 1.5\,J$ תחת כל אחד מהכללים, שמונה זרעים: אחרי 5, 20 ו-100 סריקות האנרגיה לספין היא -1.581, -1.804, -1.920 תחת מטרופוליס, ותחת גלאובר היא -1.434, -1.675, -1.806. גלאובר איטי יותר באופן נראה לעין. ב-$\kB T = 2.8\,J$ בשיווי משקל ($32 \times 32$, שמונה זרעים), מטרופוליס נותן $-0.9075 \pm 0.0007$ וגלאובר נותן $-0.9090 \pm 0.0006$: אותה תשובה, בתוך 1.6 שגיאות תקן משולבות. כמה מהר השרשרת מגיעה לשם שייך לאלגוריתם; לאן היא מגיעה שייך להתפלגות בולצמן.

10. פס השגיאה עצמו. שש-עשרה ריצות בלתי תלויות ב-$\kB T = 2.35\,J$ על סריג $16 \times 16$, שכל אחת מהן מדווחת $\langle |m| \rangle$ עם שגיאת התקן שלה המתוקנת לפי $\tau$: השגיאה המדווחת הממוצעת תואמת את הפיזור הממשי של שש-עשרה הממוצעים, בעוד ה-$\sigma/\sqrt{n}$ הנאיבי קטן ממחציתו. חבילת הבדיקות מוודאת את שניהם.

ניסויי ההפרכה. לכל תפיסה שגויה שהמודול הזה מתעמת איתה יש מדידה לעיל שהיא אינה שורדת. “המערכת מתייצבת הכי מהר ב-$T_c$”: פריט 6, שבו $\tau$ גדול ביותר בדיוק שם וגדל עם $L$. “מתחת ל-$T_c$ המגנוט אפס כי מעלה ומטה מתקזזים”: פריט 7, שבו כל סריג גדול מספיק כדי להיות מגנט מחזיק סימן אחד לכל אורך הריצה, ופריט 8, שבו הקריאה תלויה בהיסטוריה. “מונטה קרלו מראה את ההתפתחות הממשית בזמן”: פריט 9, שבו שני כללים תקפים באותה מידה צריכים מספר שונה של סריקות כדי להגיע לאותו שיווי משקל.

מול המציאות. שום ניסוי שולחני אינו מתאים למודל הזה: צימודי החילוף אינם נראים, ושום מכשיר זול אינו מגיע למעבר מגנטי נקי. טמפרטורת קירי של ברזל היא $1043\ \mathrm{K}$ ושל ניקל $627\ \mathrm{K}$, והמגנוט המדוד של שניהם מתאפס ברציפות, עם משיק אנכי, כפי שהמודול אומר שחייב לקרות. אבל אף אחד מהם אינו מגנט איזינג דו-ממדי: הם תלת-ממדיים, והמומנטים שלהם יכולים להצביע לכל כיוון, לא רק מעלה או מטה. המעריך $\beta$ המדוד שלהם נמצא סביב 0.36–0.38 — לא $1/8$ של הסריג הריבועי, לא $1/2$ של השדה הממוצע, ואפילו לא ערך איזינג התלת-ממדי 0.326. לאיזו מחלקה מערכת שייכת נקבע על ידי הממד והסימטריה של פרמטר הסדר שלה, וזה התוכן של האוניברסליות.

להעביר את הרעיון¶

מודל איזינג הוא המערכת הפשוטה ביותר עם מעבר פאזה, ואלגוריתם מטרופוליס הוא הדרך הפשוטה ביותר לדגום התפלגות שאי אפשר לסכום. שניהם מגיעים רחוק.

• חזרה למודול 11. כלל מטרופוליס הוא התפלגות בולצמן של מודול 11 שהפכה לאלגוריתם: הטיעון של האמבט הסופי אמר מהן ההסתברויות, ואיזון מפורט אומר כיצד לייצר תצורות בהסתברויות האלה, היפוך אחד בכל פעם.

• חזרה למודול 12. זהויות הפלוקטואציה שימשו שוב ללא שינוי — $c$ ו-$\chi$ הן שונויות — והגבול $J = 0$ של מודל איזינג הוא הפרמגנט של מודול 12, בדיוק. בעיה 6 משחזרת אותו.

• חזרה למודול 14. ההיפוך המונע בשדה מתחת ל-$T_c$ הוא מעבר מסדר ראשון, עם מצבים מטא-יציבים, גרעון והיסטרזיס — הגרסה המגנטית של הנוזל בחימום-יתר — לאורך קו שנגמר בנקודה קריטית. דרך גז הסריג הקו הוא עקומת דו-קיום, והנקודה הקריטית של איזינג היא נקודה קריטית של נוזל–גז. זו הסיבה שהמעריך $1/2$ של ואן דר ואלס במודול 14 היה שגוי, וה-0.32 של הזורם הממשי הוא המעריך של איזינג.

• חזרה למודול 03. זמן המתאם העצמי הוא הלקח של ההילוך המתואם בגרסה כמותית: דגימות מתואמות עדיין מצייתות לחוק $n^{-1/2}$, אבל כש-$n$ מוחלף ב-$N_{\mathrm{eff}} = n/(2\tau)$, ופס שגיאה שמתעלם מכך קטן מדי בגורם $\sqrt{2\tau}$.

• קדימה למודול 18. כמה זמן לוקח לפלוקטואציה לדעוך — זמן המתאם — חוזר שם כפונקציית מתאם הזמן של תהליך הובלה.

• אופלסצנציה קריטית. זורם בנקודה הקריטית שלו נעשה חלבי. אורך המתאם שלו, גודל טלאי הצפיפות המתואמים, גדל מעבר לאורך הגל של האור, והטלאים מפזרים אותו — אותה התבדרות ששיא הסוספטיביליות מדווח כאן.

• זיכרון מגנטי. ביט על דיסק קשיח הוא אזור ממוגנט קטן שהיפוכו דורש שדה מעל השדה הכופה שלו — הפינה של לולאת ההיסטרזיס. הוא שומר על הביט שלו שנים, מפני שכמו הסריג הגדול של פריט 7, היפוכו פירושו חציית מחסום שגדל עם גודלו.

• מונטה קרלו בכל מקום. אותו אלגוריתם, עם “אנרגיה” אחרת, דוגם את ההתפלגויות הפוסטריוריות של הסטטיסטיקה הבייסיאנית (שם הוא נקרא מונטה קרלו של שרשרת מרקוב), מקפל חלבונים בסימולציה, ומוצא — כשהטמפרטורה מורדת לאט, “חישול מדומה” — פתרונות טובים לבעיות אופטימיזציה גדולות מכדי לחפש בהן. בכל אחד מאלה, זמן המתאם העצמי קובע עד כמה אפשר לסמוך על הפלט.

במבט קדימה:

• מודול 16 מכניס רמות אנרגיה מקוונטטות למוצקים ולקרינה; קיבולי החום שלו הם בני הדודים החלקים, ללא מעבר, של השיא של המודול הזה.

• מודול 17 מוצא מעבר פאזה ללא שום אינטראקציות: עיבוי בוזה–איינשטיין, המונע על ידי סטטיסטיקה קוונטית בלבד.

• מודול 18 שואל כיצד פלוקטואציות מתרגעות בזמן, עם זמן המתאם כגודל המרכזי שלו.

דוגמאות פתורות¶

נסו כל אחת לפני שתפתחו את הפתרון שלה.

דוגמה פתורה 1 — קבלה בנקודה הקריטית. על הסריג הריבועי ב-$h = 0$ וב-$\kB T = \kB T_c = 2.269\,J$, מצאו את הסתברויות הקבלה של מטרופוליס להיפוכים עם $\Delta E = 4J$ ו-$8J$, ואת הסתברות גלאובר עבור $\Delta E = 4J$.

דוגמה פתורה 2 — קירות תחום בשרשרת. לטבעת ב-$\kB T = J$, כמה אתרים חייבים להיות לה לפני ששני קירות תחום מורידים את האנרגיה החופשית שלה? כמה רחוקים הקירות זה מזה בפועל, בשיווי משקל?

דוגמה פתורה 3 — שדה ממוצע מעל המעבר האמיתי. פתרו את משוואת השדה הממוצע לסריג הריבועי ב-$\kB T = 3J$ וב-$h = 0$ באיטרציה, החל מ-$m = 0.5$. מהו המגנוט הספונטני האמיתי בטמפרטורה הזו?

דוגמה פתורה 4 — קיבול חום משונות. סריג $32 \times 32$ ב-$\kB T = 2.5\,J$ נותן עקבת אנרגיה לספין עם שונות $0.0055\,J^2$. מצאו את קיבול החום לספין.

דוגמה פתורה 5 — פס שגיאה כן. לעקבה של 5000 דגימות של $|m|$ יש סטיית תקן 0.08 וזמן מתאם עצמי של 40 דגימות. צטטו את שגיאת התקן של הממוצע, ואת הנאיבית.

דוגמה פתורה 6 — לקרוא את אונסאגר–יאנג. חשבו את המגנוט הספונטני המדויק ב-$\kB T = 2J$.

בחנו את הבנתכם¶

1. האנרגיה של מודל איזינג היא E = -J sum_ s_i s_j - h sum_i s_i עם J > 0. ב-h = 0, איזו טענה על הסימטריה שלה ועל פרמטר הסדר m = (1/N) sum_i s_i נכונה?

   A. היפוך כל הספינים משאיר את E ללא שינוי והופך את m, ולכן כל ממוצע קנוני של m מתאפס ב-h = 0 לכל N סופי; מצב מסודר חייב לבחור סימן אחד שהמשוואות אינן מעדיפות. B. J > 0 מעדיף ספינים שמצביעים למעלה, ולכן מצב היסוד ב-h = 0 הוא כולו למעלה ו-m = +1. C. m מודד את האנרגיה לספין, ולכן הוא אפס בכל פעם ש-E הוא אפס. D. הסימטריה מתקיימת רק מעל T_c; מתחת ל-T_c האנרגיה עצמה מעדיפה סימן אחד.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — היפוך כל הספינים משאיר את E ללא שינוי והופך את m, ולכן כל ממוצע קנוני של m מתאפס ב-h = 0 לכל N סופי; מצב מסודר חייב לבחור סימן אחד שהמשוואות אינן מעדיפות.

   • A. נכון. האנרגיה של כל קשר תלויה רק במכפלה s_i s_j, ולכן לתאום ההפוך-כולו של כל קונפיגורציה יש אותו משקל בולצמן ו-m הפוך. הממוצע על הזוג הוא אפס. סדר מופיע רק כשבירת סימטריה ספונטנית: בגבול N -> infinity שדה אינפיניטסימלי בוחר ענף אחד.

   • B. J > 0 מעדיף שכנים שמסכימים זה עם זה, לאיזה כיוון שיצביעו. לכולו-למעלה ולכולו-למטה יש בדיוק אותה אנרגיה, -2NJ בסריג הריבועי. רק שדה h שובר את השוויון, וב-h = 0 אין שדה כזה.

   • C. m סופר ספינים, לא קשרים. ללוח שחמט של ספינים מתחלפים יש m = 0 והאנרגיה הגבוהה ביותר האפשרית, +2NJ; לסריג שכולו למעלה יש m = 1 והאנרגיה הנמוכה ביותר. פרמטר הסדר והאנרגיה הם פונקציות שונות של הקונפיגורציה.

   • D. פונקציית האנרגיה אינה תלויה בטמפרטורה כלל, וסימטריית למעלה-למטה שלה מתקיימת בכל T. מה שמשתנה מתחת ל-T_c אינו המשוואות אלא המצב שהמערכת מתייצבת בו.

2. סימולציה עם אלגוריתם מטרופוליס מציעה היפוך ספין שיעלה את האנרגיה ב-DeltaE = 4J, בטמפרטורה k_B T = 2J. באיזו הסתברות ההיפוך מתקבל?

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 0.135 (± 0.002)

   A = min(1, e^(-DeltaE/(k_B T))) = e^(-4J/2J) = e^(-2) = 0.135. מהלך שמוריד את האנרגיה היה מתקבל בהסתברות 1. אם ענית 0.0183, השתמשת ב-e^(-4); אם 0.5, חילקת את האנרגיה בשניים במקום להעלות אותה במעריך.

3. סימולציה מדווחת שסריג 64 x 64 שעבר צינון חטוף אל מתחת ל-T_c נזקק לכ-2000 סריקות מטרופוליס כדי להסתדר. למה מתאימה סריקה אחת מבחינה פיזיקלית?

   A. לשום דבר קבוע. סריקה היא ניסיון היפוך אחד לכל ספין, יחידה של חישוב; כלל אחר עם אותה התפלגות סטציונרית (גלאובר) מגיע באיטיות שונה לאותו שיווי משקל. B. לפיקו-שנייה בערך, הזמן שלוקח לספין ממשי להתהפך; כפלו ב-2000 כדי לקבל את זמן הסידור הממשי. C. למחזור אחד של תנודות הסריג שנושאות חום אל הספינים. D. לזמן שלוקח לשדה להתפשט לרוחב הסריג במהירות האור.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — לשום דבר קבוע. סריקה היא ניסיון היפוך אחד לכל ספין, יחידה של חישוב; כלל אחר עם אותה התפלגות סטציונרית (גלאובר) מגיע באיטיות שונה לאותו שיווי משקל.

   • A. נכון. איזון מפורט קובע לאן השרשרת הולכת, לא כמה מהר. המעבדה מריצה את מטרופוליס ואת גלאובר זה לצד זה: אנרגיות שיווי המשקל מסכימות בתוך השגיאה, ועקומות הרלקסציה לא. הסדר שבו התחומים נוצרים מרמז על משהו, אבל השעון הוא של האלגוריתם.

   • B. זו התפיסה השגויה ששיטת מונטה קרלו מדמה את התנועה של המגנט הממשי. שום קבוע פיזיקלי אינו ממיר סריקות לשניות: כלל העדכון נבחר כדי לדגום את התפלגות בולצמן, וכלל תקף אחר נותן מספר שונה של סריקות לאותה פיזיקה.

   • C. המודל מתעלם לגמרי מתנודות הסריג; אמבט החום סמוי. שום דבר בשרשרת אינו יודע על פונונים, ולכן שום דבר בה אינו יכול להיות מתוזמן על ידם.

   • D. שום דבר אינו מתפשט במודל. כל היפוך תלוי רק במצב הנוכחי של שכניו, והסדר שבו האתרים נפקדים הוא בחירה חופשית של האלגוריתם.

4. מדוע לשרשרת איזינג החד-ממדית אין פאזה מסודרת באף T > 0, בעוד הסריג הריבועי מסתדר מתחת ל-2.269 J/k_B?

   A. בממד אחד קיר תחום עולה אנרגיה קבועה 2J אבל יכול לשבת בכל אחד מ-N מקומות, ולכן האנרגיה החופשית שלו 2J - k_B T ln N נעשית שלילית עבור N גדול בכל T > 0; בשני ממדים קיר לרוחב הסריג עולה אנרגיה פרופורציונלית לאורכו, שיכולה לגבור על האנטרופיה שלו ב-T נמוך. B. הצימוד J חלש יותר בממד אחד. C. השרשרת כן מסתדרת, אבל בטמפרטורה נמוכה מכדי לדמות אותה. D. בשרשרת יש פחות ספינים, ולכן הפלוקטואציות גדולות יותר.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — בממד אחד קיר תחום עולה אנרגיה קבועה 2J אבל יכול לשבת בכל אחד מ-N מקומות, ולכן האנרגיה החופשית שלו 2J - k_B T ln N נעשית שלילית עבור N גדול בכל T > 0; בשני ממדים קיר לרוחב הסריג עולה אנרגיה פרופורציונלית לאורכו, שיכולה לגבור על האנטרופיה שלו ב-T נמוך.

   • A. נכון. האנטרופיה גדלה עם המערכת והמחיר של הקיר החד-ממדי לא, ולכן הקירות תמיד מנצחים והורסים את הסדר ארוך-הטווח. בשני ממדים האנרגיה והאנטרופיה גדלות שתיהן עם אורך הקיר, והאנרגיה מנצחת מתחת לטמפרטורה מסדר גודל של J/k_B.

   • B. J הוא אותה אנרגיית קשר בשני המקרים. ההבדל גאומטרי: בממד אחד קשר שבור אחד מפצל את המערכת לשתיים, בעוד שבשני ממדים הפיצול דורש שורה שלמה של קשרים שבורים.

   • C. לפתרון המדויק יש m = 0 בכל T > 0 בשדה אפס: E/(NJ) = -tanh(J/(k_B T)) חלקה לכל אורך הדרך למטה. השדה הממוצע מנבא לשרשרת מעבר ב-k_B T = 2J, והניבוי הזה פשוט שגוי.

   • D. בשרשרת יכולים להיות כמה ספינים שרוצים; הטיעון עוסק ב-N -> infinity. מה שחשוב הוא כיצד המחיר של שבירת הסדר גדל עם המערכת, לא כמה ספינים יש בה.

5. תורת השדה הממוצע נותנת k_B T_c = qJ = 4J לסריג הריבועי; התוצאה המדויקת של אונסאגר היא 2J/ln(1 + sqrt(2)) = 2.269J. בכמה אחוזים השדה הממוצע מעריך ביתר את T_c?

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 76.3 (± 0.5)

   (4 - 2.269)/2.269 = 0.763, הערכת יתר של 76%. השדה הממוצע מחליף כל שכן בממוצע שלו, ובכך משליך את המתאמים שליד T_c מכריעים הכול. לשרשרת (q = 2) הוא גרוע יותר מלא מדויק: הוא מנבא מעבר ב-2J/k_B במקום שבו אין שום מעבר. אם ענית 43.3, חילקת ב-4 במקום בערך המדויק.

6. סריג 32 x 32 מעל T_c, ב-k_B T = 2.5 J, נותן עקבה של המגנוט עם שונות Var(m) = 0.0049. בעזרת chi = N Var(m)/(k_B T), ביחידות שבהן J = 1, מהי הסוספטיביליות לספין?

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 2.01 (± 0.03)

   N = 32^2 = 1024, ולכן chi = 1024 x 0.0049 / 2.5 = 2.01. זו זהות הפלוקטואציות של מודול 12: התגובה לשדה היא גודל הפלוקטואציות הספונטניות בלעדיו. אם ענית 0.0628, השתמשת ב-N = 32 במקום 32^2.

7. סימולציית מטרופוליס של סריג 32 x 32 מורצת ב-k_B T = 1.5 J, 2.27 J ו-3.5 J. באיזו טמפרטורה לוקח לעקבת המגנוט הכי הרבה זמן לאבד את המתאם?

   A. ב-2.27 J, ליד T_c -- זמן המתאם העצמי מגיע שם לשיא וגדל עם L (האטה קריטית). B. ב-2.27 J היא מאבדת את המתאם הכי מהר, כי המערכת נמצאת בין פאזות ואף אחת מהן אינה מעכבת אותה. C. ב-1.5 J, מפני שהטמפרטורה הנמוכה הופכת היפוכים לנדירים. D. ב-3.5 J, מפני שטמפרטורה גבוהה פירושה פלוקטואציות גדולות.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — ב-2.27 J, ליד T_c -- זמן המתאם העצמי מגיע שם לשיא וגדל עם L (האטה קריטית).

   • A. נכון. ב-T_c הסריג הוא טלאים של תחומים מתואמים בכל גודל עד L, וכלל מקומי מסדר מחדש תחום בגודל xi בזמן שגדל כמו xi^z עם z קרוב ל-2. המעבדה מודדת tau של |m| של בערך סריקה אחת עמוק בכל אחת מהפאזות, ועשרות סריקות ב-T_c.

   • B. זו התפיסה השגויה שמדידת ההאטה מפריכה. להיות בין פאזות פירושו תחומים משני הסימנים בכל סקאלה, ותחומים מתואמים גדולים הם הדבר האיטי ביותר שעדכון מקומי יכול לשנות. tau מגיע לשיא ב-T_c וממשיך לגדול עם L.

   • C. היפוכים אכן נדירים עמוק בפאזה המסודרת, אבל ל-|m| כמעט אין מה לעשות: הוא יושב ליד 0.99 עם פלוקטואציות זעירות ובלתי תלויות, ולכן העקבה שלו מאבדת את המתאם בתוך סריקות ספורות.

   • D. פלוקטואציות גדולות אינן פלוקטואציות איטיות. הרחק מעל T_c הספינים מתואמים רק על פני אתרים ספורים, וסריקה או שתיים מערבבות אותם לגמרי.

8. דגימה פרומגנטית גדולה אחת מקוררת בשדה אפס אל הרבה מתחת לטמפרטורת קירי שלה. מגנטומטר מודד את המגנוט שלה. מה הוא מראה?

   A. ערך קרוב ל-+m_0 או ל--m_0, אחד מהשניים, שנשמר כל עוד מישהו מסתכל -- הממוצע הקנוני הוא אפס, אבל הדגימה אינה מבקרת בשני הענפים. B. אפס, מפני שמצבי למעלה ולמטה שווי הסתברות ומבטלים זה את זה. C. ערך שנסחף לאט בין +m_0 ל--m_0 בזמן שהדגימה מגיעה לשיווי משקל. D. בדיוק +1, מפני שמתחת ל-T_c כל הספינים מתיישרים.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — ערך קרוב ל-+m_0 או ל--m_0, אחד מהשניים, שנשמר כל עוד מישהו מסתכל -- הממוצע הקנוני הוא אפס, אבל הדגימה אינה מבקרת בשני הענפים.

   • A. נכון. כדי להתהפך הדגימה חייבת לעבור דרך קונפיגורציות שיש בהן קיר לרוחבה, שהמחיר שלו גדל עם גודלה, ולכן הזמן בין היפוכים גדל אקספוננציאלית עם N. המעבדה מראה זאת: סריג 8 x 8 ב-2.0 J מתהפך הלוך ושוב; סריג 32 x 32 אינו מתהפך אף פעם במאה אלף סריקות.

   • B. זו התפיסה השגויה שממוצע הצבר הוא הקריאה של דגימה אחת. = 0 היא טענה על מיצוע על פני שני הענפים; דגימה מאקרוסקופית אחת יושבת באחד מהם זמן רב יותר מגיל היקום.

   • C. היפוכים, כשהם קורים בכלל, הם מעברים חדים בין הענפים, לא סחיפה איטית. לדגימה מאקרוסקופית הם אינם קורים בשום זמן שאפשר לצפות בו.

   • D. מתחת ל-T_c המגנוט הספונטני קטן מ-1 בכל T > 0: פלוקטואציות תרמיות הופכות חלק מהספינים. ב-2.0 J בסריג הריבועי הוא 0.911.

9. לעקבה של 10000 דגימות של |m| יש זמן מתאם עצמי tau = 25 דגימות. באיזה גורם שגיאת התקן הנאיבית sigma/sqrt(n) קטנה מדי?

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 7.07 (± 0.1)

   N_eff = n/(2 tau) = 10000/50 = 200, ולכן השגיאה הכנה היא sigma/sqrt(200), והשגיאה הנאיבית sigma/sqrt(10000) קטנה מדי בגורם sqrt(10000/200) = sqrt(50) = 7.07. אם ענית 5, השתמשת ב-sqrt(tau) ושכחת את הגורם 2; אם 50, שכחת את השורש.

10. שיא הסוספטיביליות של סריג ריבועי מדומה יושב ב-2.42 J/k_B עבור L = 16 וב-2.31 J/k_B עבור L = 64, ונעשה גבוה יותר עם L. בארבעה או חמישה משפטים: מה זה מבסס לגבי הסריג האינסופי, ומה הוא אינו יכול לבסס?

בעיות בסגנון בחינה למודול הזה — אלה ששווה לפתור עם עט — מרוכזות באוסף הבעיות.

להסביר במילים שלכם¶

ענו בכמה משפטים על כל אחת.

1. מדוע סימולציה לעולם אינה יכולה להוכיח שמעבר פאזה קיים? מה היא כן יכולה לבסס, ומה עוד נדרש?

2. האנרגיה של מודל איזינג אינה מעדיפה מעלה על פני מטה. מי, או מה, בוחר את הכיוון של מגנט שקורר דרך נקודת קירי שלו?

3. מדוע “סריקה” של מטרופוליס אינה יחידה של זמן פיזיקלי? מה הייתם צריכים לדעת על מגנט ממשי כדי לומר כמה זמן לוקח לתחומים שלו לעבור הגסה?

4. מדוע השרשרת החד-ממדית מסרבת לפתח סדר בכל טמפרטורה, בעוד הסריג הריבועי מפתח סדר מתחת ל-$2.269\,J/\kB$? ענו בלי נוסחה.

מתקדם: מטריצת ההעברה, וסקיילינג בגודל סופי¶

השרשרת, פתורה. על טבעת של $N$ ספינים, כתבו את משקל בולצמן כמכפלה על פני הקשרים,

עם $K = J/(\kB T)$, $b = h/(\kB T)$ ו-$s_{N+1} = s_1$. $T$ היא מטריצה $2 \times 2$ שהאינדקסים שלה הם שני הערכים של ספין,

וסכימה על כל ספין היא כפל מטריצות סביב הטבעת: $Z = \mathrm{Tr}\, T^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N$, עם ערכים עצמיים

כאשר $N \to \infty$ הערך העצמי הגדול מנצח, $\ln Z \approx N \ln \lambda_+$, וכל תוצאה מדויקת של שלב 3 נובעת בגזירה: $m = \partial \ln\lambda_+/\partial b$ נותן את המגנוט בשדה, וב-$b = 0$, $\lambda_+ = 2\cosh K$ נותן $E/(NJ) = -\tanh K$. הערכים העצמיים לעולם אינם נחתכים עבור $K$ ממשי, ולכן $\ln \lambda_+$ אנליטית בכל $T > 0$: אין מעבר, עכשיו בדרך שנייה. התיקון $(\lambda_-/\lambda_+)^N = \tanh^N K$ ב-$h = 0$ הוא גם המתאם בין ספינים במרחק $N$ אתרים זה מזה, ולכן אורך המתאם הוא $\xi = -1/\ln\tanh K$, סופי בכל $T > 0$ ומתבדר רק כאשר $T \to 0$.

סקיילינג בגודל סופי. ליד $T_c$ האורך היחיד שחשוב על סריג $L \times L$ הוא היחס $L/\xi$, ו-$\xi \propto |T - T_c|^{-\nu}$. לכן גודל נצפה שמתבדר כמו $|T - T_c|^{-\gamma}$ במערכת האינסופית מקבל, במערכת סופית, את הצורה

עם פונקציית סקיילינג אחת $\tilde{\chi}$ לכל $L$. שתי השלכות: גובה השיא גדל כמו $L^{\gamma/\nu} = L^{7/4}$, והשיא יושב במקום שבו הארגומנט מקבל ערך קבוע, ולכן מיקומו נסחף כמו $T_{\mathrm{peak}} - T_c \propto L^{-1/\nu} = L^{-1}$ — האקסטרפולציה ששימשה בבעיה 4 ובמעבדה. בשרטוט של $\chi' L^{-7/4}$ כנגד $(T - T_c) L$, העקומות לכל $L$ קורסות לעקומה אחת. הקריסה היא מבחן רגיש: עם המעריכים השגויים, או עם $T_c$ שגוי, העקומות נפרשות כמניפה.

התרופה להאטה הקריטית. כלל מקומי הופך ספין אחד בכל פעם, ותחום מתואם בגודל $\xi$ זקוק לזמן שגדל כמו $\xi^{z}$ כדי להתארגן מחדש. אלגוריתמי אשכולות — האלגוריתם של וולף הוא הפשוט שבהם — בונים במקום זאת אשכול מתואם שלם של ספינים מיושרים בכלל אקראי שנבחר כך שאיזון מפורט עדיין מתקיים, והופכים אותו בבת אחת. ב-$T_c$ על הסריג הריבועי הם מורידים את $z$ מכ-2.17 לכ-0.25. הקורס הזה אינו מממש אלגוריתם כזה: מדידת ההאטה היא הלקח, ותרופה הייתה מסתירה אותו.