סטטיסטיקה קוונטית — גזי בוזה–איינשטיין ופרמי–דיראק

סטטיסטיקה קוונטית: גזי בוזה–איינשטיין ופרמי–דיראק¶

החידה: חלקיקים זהים, הרגלים הפוכים¶

הנחושת שבמטען של טלפון היא קופסה מלאה בגז. כל אטום נחושת מוסר אלקטרון אחד למתכת כולה, ואלקטרוני ההולכה האלה — $8.5 \times 10^{28}$ מהם בכל מטר מעוקב — נעים בתוך הגביש בדומה לאופן שבו מולקולות נעות בתוך מכל. מודול 04 יודע מה לעשות בגז: לתת לכל חלקיק אנרגיה קינטית של $\tfrac32\kB T$, ואז לגז יש קיבול חום של $\tfrac32 R$ למול. לכן מול של אטומי נחושת היה צריך לדרוש $3R$ עבור הסריג שלו (ערך דולונג–פטי של מודול 16) ועוד $\tfrac32 R$ עבור האלקטרונים שלו: תוספת של מחצית.

זה לא קורה. במדידה בטמפרטורת החדר, מתכות נמצאות על ערך דולונג–פטי, וחלקם של האלקטרונים בקיבול החום קטן מחלק אחד ממאה. גז שהיה צריך לשלוט בקיבול החום של כל מתכת כמעט אינו נרשם. לאן הולך קיבול החום שלו?

הגז השני הולך בכיוון ההפוך. קררו הליום-4 נוזלי אל מתחת ל-$2.17\ \mathrm{K}$, והוא הופך לנוזל-על: הוא זורם ללא חיכוך דרך נקבוביות דקות כל כך שהנוזל הרגיל נעצר בהן, ומטפס במעלה הדפנות של המכל שלו. ב-1995 קוררה עננה של אטומי רובידיום-87 לכמה מאות מיליארדיות של קלווין, ונמצא שחלק גדול מהאטומים — כולם זהים — נמצא באותו מצב קוונטי בדיוק, הנמוך ביותר שהמלכודת אפשרה.

התשובה מוסיפה לקורס דבר אחד בדיוק: כלל הקובע כמה חלקיקים זהים רשאים לחלוק מצב. בלי פונקציות גל, בלי אופרטורים. כל השאר הוא ספירה, והפוטנציאל הכימי של מודול 13.

לנבא לפני שמחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת מן השאלות האלה לפני שתמשיכו לקרוא. כתבו אותן.

1. גז של אלקטרונים מקורר לעבר האפס המוחלט בצפיפות קבועה. חלוקת האנרגיה השווה אומרת שהאנרגיה הקינטית הממוצעת לאלקטרון, $\tfrac32\kB T$, שואפת לאפס. האם זה כך?

2. לשלושה מצבים חד-חלקיקיים יש אותו ערך של $(\varepsilon - \mu)/\kB T$: אחד בגז קלאסי, אחד בגז של בוזונים, אחד בגז של פרמיונים. דרגו את המספר הממוצע של החלקיקים שכל אחד מהם מחזיק.

3. האם אלקטרוני ההולכה בנחושת בטמפרטורת החדר הם גז קלאסי או גז קוונטי? והאם זה נקבע על ידי הטמפרטורה, או על ידי משהו אחר?

4. מתחת לטמפרטורת העיבוי חלק גדול מגז בוזה יושב במצב הנמוך ביותר, שאין לו אנרגיה קינטית. האם הגז עדיין לוחץ על הדפנות שלו? אם כן, כיצד הלחץ תלוי בכמות הגז?

לחקור את המודל¶

במעבדה יש ארבעה כלי חקירה. הראשון משרטט את האכלוס הממוצע של מצב כנגד האנרגיה שלו עבור בוזונים, פרמיונים וחלקיקים קלאסיים, עם מחוונים לטמפרטורה ולפוטנציאל הכימי, ועם תצוגה לוגריתמית. השני עוקב אחרי גז בוזה לאורך העיבוי, הן עבור הגז האידיאלי האינסופי והן עבור קופסה של אלף עד מאה אלף אטומים הנספרים רמה אחר רמה. השלישי ממלא ים פרמי ומראה אילו אלקטרונים עדיין יכולים לקלוט חום. הרביעי עוקב אחרי הפוטנציאל הכימי של שלושת הגזים בצפיפות אחת בזמן שהטמפרטורה יורדת. אחר כך המעבדה מריצה את הניסויים שהמודול הזה בנוי עליהם: האכלוסים נבנים מחדש מסכומים מפורשים, המצבים של קופסה נספרים אחד אחד, הפוטנציאל הכימי נפתר בצפיפות קבועה, ספקטרום פלאנק של מודול 16 נבנה מחדש מאכלוס של בוזונים, ואלקטרוני ההולכה של כסף נמדדים.

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו. ארבעה דברים כדאי לעשות לפני שתמשיכו לקרוא:

• בכלי החקירה של האכלוס, קבעו את $\mu$ הרבה מתחת לאפס ועברו לתצוגה הלוגריתמית. אחר כך העלו את $\mu$ לעבר האפס. היכן נפרדות דרכיהן של שלוש העקומות?

• נסו לדחוף את ה-$\mu$ של הבוזונים אל מעל האנרגיה הנמוכה ביותר. מה כלי החקירה עושה, ומדוע?

• בכלי החקירה של העיבוי, השוו קופסה של אלף אטומים לקופסה של מאה אלף, סמוך ל-$T_c$.

• בכלי החקירה של ים פרמי, הורידו את $T/T_F$ מ-1 ל-0.01 וצפו איזה חלק של הים משתנה.

לגזור את התוצאה¶

מערכת וגבול. גז אידיאלי של $N$ חלקיקים זהים בעלי מסה $m$ בקופסה קובייתית שאורך צלעה $L$ ונפחה $V = L^3$, עם דפנות קשיחות, במגע עם אמבט חום בטמפרטורה $T$. כל מצב חד-חלקיקי מטופל כתת-מערכת שמחליפה אנרגיה וחלקיקים עם שאר הגז, המשמש לה מאגר.

משתנים בלתי תלויים. הטמפרטורה $T$, הנפח $V$ ומספר החלקיקים $N$ — ובאופן שקול הצפיפות $n = N/V$. הפוטנציאל הכימי $\mu$ אינו משתנה בלתי תלוי כאן: ערכו הוא הערך שגורם לגז להחזיק $N$ חלקיקים.

מוסכמת הסימנים. מוסכמת הקורס, $\mathrm{d}U = \dbar Q + \dbar \Won$, תקפה. היא מופעלת בשלב 7: דחיסת גז פרמי באפס המוחלט דורשת עבודה, $\dbar \Won = -P\,\mathrm{d}V > 0$ כאשר $\mathrm{d}V < 0$, ועם $\dbar Q = 0$ כולה הופכת לאנרגיה של הגז.

יחידות. SI לאורך כל הדרך, עם $\kB$, $h$ ו-$\hbar = h/2\pi$ כתובים במפורש. אנרגיות הן בג’אול; האלקטרון-וולט, $1\ \mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$, מופיע רק לנוחות במספרים המצוטטים.

המסלול. תשעה שלבים. לנסח את הכלל לחלקיקים זהים ולראות מה הוא עושה לספירה; להעמיד מצב אחד במגע עם מאגר ולמצוא את האכלוס הממוצע שלו, עבור בוזונים ועבור פרמיונים; לקחת את הגבול המדולל, שהוא הפיזיקה הקלאסית; לספור את המצבים של קופסה; לקבע את מספר החלקיקים, מה שמקבע את $\mu$; ואז לעקוב אחרי ההשלכות — עיבוי עבור בוזונים, ים פרמי והלחץ שלו עבור פרמיונים, קיבול החום של מתכת, וכמסקנה נלווית, הפוטונים של מודול 16.

שלב 1: חלקיקים זהים¶

מודול 08 ספר מיקרו-מצבים של מטבעות ומודול 12 של מולקולות, ובשתי הפעמים נותרה שאלה פתוחה: כששני חלקיקים הם מאותו סוג, האם החלפתם זה בזה היא מיקרו-מצב חדש? מודול 12 ענה “לא” בחלוקה ב-$N!$, והצדיק זאת רק עבור גז דליל כל כך שאף פעם אין שני חלקיקים המתחרים על מצב אחד. מכניקת הקוונטים עונה על השאלה במדויק, והתשובה היא הקלט הקוונטי היחיד שהמודול הזה צריך.

ספרו את המצבים של שני חלקיקים המתחלקים בין שני מצבים חד-חלקיקיים, $a$ ו-$b$.

לחלקיקים קלאסיים יש תוויות, ולכן “חלקיק 1 ב-$a$, חלקיק 2 ב-$b$” וההפך הם שני מיקרו-מצבים. עבור חלקיקים זהים הם מיקרו-מצב אחד. כלל האיסור מסלק אחר כך את המצבים שבהם שני פרמיונים נמצאים יחד. אם כל מיקרו-מצב שווה הסתברות, כפי שמודול 08 הניח, הסיכוי למצוא את שני החלקיקים באותו מצב הוא $\tfrac24 = \tfrac12$ באופן קלאסי, $\tfrac23$ עבור בוזונים ו-0 עבור פרמיונים. בוזונים מתקבצים ופרמיונים מתרחקים זה מזה — ואין כאן שום כוח. זו ספירה.

אותה ספירה מסבירה את ה-$1/N!$ של מודול 12. פזרו $N$ חלקיקים על פני $M$ מצבים חד-חלקיקיים. לחלקיקים קלאסיים יש $M^N$ סידורים, והספירה המתוקנת של מודול 12 היא $M^N/N!$. לבוזונים יש $\binom{M+N-1}{N}$ ולפרמיונים $\binom{M}{N}$. כשהמצבים רבים בהרבה מהחלקיקים, $M \gg N$, שתי הספירות הקוונטיות שואפות ל-$M^N/N!$: שלושה חלקיקים במאה מצבים נותנים פי 1.03 ופי 0.97 ממנה, ובאלף מצבים פי 1.003 ופי 0.997. החלוקה ב-$N!$ הייתה סטטיסטיקה קוונטית בגבול שבו לא משנה מאיזה סוג היא.

שלב 2: מצב אחד במגע עם מאגר¶

מודול 13 העמיד אתר ספיחה יחיד במגע עם גז ושקל כל אחד מהמצבים שלו ב-$e^{-(E - \mu N)/\kB T}$, כאשר $N$ הוא מספר החלקיקים שהאתר מחזיק. החילו את אותו טיעון על מצב חד-חלקיקי אחד בעל אנרגיה $\varepsilon$: כשהוא מחזיק $n$ חלקיקים האנרגיה שלו היא $n\varepsilon$, והמשקל שלו הוא $e^{-n(\varepsilon - \mu)/\kB T}$.

עבור בוזונים $n$ רץ על פני $0, 1, 2, \ldots$ והסכום הוא הטור ההנדסי של מודול 12. כתבו $x = (\varepsilon - \mu)/\kB T$:

שמתכנס רק אם $x > 0$. האכלוס הממוצע הוא אותה נגזרת שנתנה למודול 12 את האנרגיה הממוצעת שלו, $\langle n \rangle = -\partial \ln \Xi / \partial x$.

כאשר $\mu$ עולה לעבר $\varepsilon_0$, האכלוס של המצב הנמוך ביותר, $1/(e^{(\varepsilon_0 - \mu)/\kB T} - 1)$, גדל ללא גבול. החסם אינו עניין טכני: שלב 6 הוא מה שקורה כשגז נלחץ אליו.

עבור פרמיונים $n$ הוא 0 או 1, ולסכום יש שני איברים:

זהו אכלוס האתר של מודול 13, ללא שינוי: מצב של אלקטרון הוא אתר שמחזיק לכל היותר חלקיק אחד. מודול 13 אמר שהפונקציה תחזור בשם הזה, והנה היא.

הממוצע אינו כל הסיפור. האכלוס של מצב עובר פלוקטואציות, והשונות שלו היא $n(1 + n)$ עבור בוזונים, $n(1 - n)$ עבור פרמיונים, ו-$n$ עבור חלקיקים קלאסיים. הפלוקטואציות של בוזונים גדולות משל חלקיקים קלאסיים — ההתקבצות של טבלת הספירה, כפי שהיא נראית במצב יחיד — ושל פרמיונים קטנות יותר. המעבדה מגרילה אכלוסים מכל התפלגות ובודקת את שלושתן.

שלב 3: הפינה הקלאסית¶

שתי ההתפלגויות נבדלות זו מזו רק בסימן של ה-1 שבמכנה. כאשר $e^{(\varepsilon - \mu)/\kB T}$ גדול, ה-1 הזה אינו משנה.

כאשר $e^x = 100$ השלושה מסכימים עד כדי $1\%$: $n_{\mathrm{BE}}/n_{\mathrm{MB}} = 100/99$ ו-$n_{\mathrm{FD}}/n_{\mathrm{MB}} = 100/101$. התנאי מתקיים לכל המצבים בבת אחת כאשר $\mu$ נמצא הרבה מתחת לאנרגיה הנמוכה ביותר — כאשר כל מצב מאוכלס בדלילות כזו שאף פעם אין שני חלקיקים המתחרים על אחד, והשאלה אם הם יכולים לחלוק אותו אינה עולה כלל. זו הפיזיקה הקלאסית. שלב 5 הופך את “$\mu$ הרבה מתחת לאפס” לטענה על צפיפות וטמפרטורה.

שלב 4: ספירת המצבים של קופסה¶

המצבים החד-חלקיקיים של קובייה עם דפנות קשיחות הם גלים עומדים, בדיוק כמו אופני החלל של מודול 16. לכל אחד מהם וקטור גל

ועבור חלקיק בעל מסה $m$, אנרגיה קינטית $\varepsilon = \hbar^2 k^2/2m$. ספירת המצבים שהאנרגיה שלהם מתחת ל-$\varepsilon$ היא ספירת נקודות שלמות בתוך אוקטנט של כדור ברדיוס $|\mathbf{n}| = (L/\pi)\sqrt{2m\varepsilon}/\hbar$, נקודה אחת ליחידת נפח כשהרדיוס גדול. עם $g_s$ מצבי ספין לכל גל,

הספירה היא זו של מודול 16, עם שינוי אחד: שם, $\varepsilon = \hbar c k$ לפוטון, וצפיפות האופנים גדלה כמו $\varepsilon^2$; כאן $\varepsilon \propto k^2$, והיא גדלה כמו $\sqrt{\varepsilon}$. הקירוב של ספירת נפח במקום ספירת נקודות מחמיץ את המצבים שעל הפאות של האוקטנט, שגיאה יחסית של בערך $(9/4)/|\mathbf{n}|$, והמעבדה מודדת אותה. היא זניחה: עבור הליום בקופסה של $1\ \mathrm{cm}$ המרווח בין הרמות הנמוכות ביותר הוא $6 \times 10^{-15}\ \mathrm{K}$ ביחידות טמפרטורה, ובטמפרטורה של $1\ \mathrm{K}$ למצבים החשובים יש $|\mathbf{n}|$ של כעשרה מיליונים.

שלב 5: קיבוע מספר החלקיקים¶

הכפילו את מספר המצבים באכלוס הממוצע שלהם ובצעו אינטגרציה:

עבור $N$, $V$ ו-$T$ נתונים זו משוואה אחת בנעלם אחד, $\mu$. ההצבה $x = \varepsilon/\kB T$ מקבצת את הקבועים לאורך אחד, אורך הגל התרמי של מודול 12.

בעזרתם, האינטגרל על פני המצבים הופך לשורה אחת:

עבור חלקיקים קלאסיים אפשר לחשב את האינטגרל ביד: $F_{\mathrm{MB}}(\eta) = e^{\eta}$, ומכאן

זהו ה-$\mu = \kB T\ln(n/n_Q)$ של מודול 13, עם $n_Q = g_s/\lambda^3$. מודול 13 נתן שם לריכוז הקוונטי והבטיח שהמודול הזה יגזור אותו: הנה הוא, הצפיפות שבה יש לגז חלקיק אחד לכל מצב ספין בכל קובייה שאורך צלעה $\lambda$.

עבור בוזונים ופרמיונים אין צורה סגורה, ו-$\mu$ נמצא נומרית: בהינתן $n\lambda^3$, מוצאים את ה-$\eta$ שבו $F(\eta) = n\lambda^3/g_s$. המעבדה עושה זאת בחצייה (ביסקציה), והתוצאה שלה, שאינה יודעת דבר על מודול 13, משחזרת את הנוסחה הקלאסית של מודול 13 עד שש-עשרה ספרות בגבול המדולל.

הקריטריון מערב את הצפיפות, המסה והטמפרטורה יחד. לאוויר בטמפרטורת החדר יש $n\lambda^3 = 2 \times 10^{-7}$, ולגז הליום ב-$0\,{}^\circ\mathrm{C}$ ובאטמוספרה אחת $4 \times 10^{-6}$: קלאסי לחלוטין. להליום נוזלי ב-$2.2\ \mathrm{K}$ יש 4.5. לאלקטרוני ההולכה בנחושת בטמפרטורת החדר יש 6800: אלקטרון קל פי 7300 מאטום הליום, ולכן אורך הגל התרמי שלו ב-$300\ \mathrm{K}$ הוא $4.3\ \mathrm{nm}$, פי תשעה-עשר מהמרווח בין האלקטרונים.

לאיזה כיוון נע $\mu$ כשגז מקורר בצפיפות קבועה? הגודל $n\lambda^3$ גדל כמו $T^{-3/2}$, ולכן $F$ חייב לגדול, ו-$\eta = \mu/\kB T$ חייב לטפס. עד כמה הוא יכול לטפס תלוי בסטטיסטיקה:

הנוסחה הקלאסית מעלה את $\mu$ אל מעל לאפס ברגע ש-$n\lambda^3 > 1$; אז היא מנבאת יותר מחלקיק אחד במצבים הנמוכים ביותר, כלומר התורה הקלאסית יוצאת מהתחום שבו היא נגזרה. ה-$\mu$ של הבוזונים מטפס לאפס — האנרגיה הנמוכה ביותר — ונעצר שם, ב-$n\lambda^3 = 2.612$. זה של הפרמיונים מטפס ללא גבול; כאשר $T \to 0$, כפי ששלב 7 מראה, $\mu$ שואף לאנרגיה חיובית קבועה, $\varepsilon_F$.

שני אינטגרלים נוספים נותנים את האנרגיה ואת הלחץ. האנרגיה היא $U = \int \varepsilon\, g(\varepsilon)\, n(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon$, והלחץ אינו דורש שום חישוב חדש.

מודול 04 גזר אותו מהתנע המועבר לדפנות: $P = \tfrac13 n\langle p\,v\rangle$, ו-$p\,v = mv^2$ הוא פעמיים האנרגיה הקינטית. שום דבר בטיעון הזה אינו שואל כמה חלקיקים חולקים מצב. עבור גז קלאסי $U = \tfrac32 N\kB T$, וזהו חוק הגזים האידיאליים.

שלב 6: עיבוי בוזה–איינשטיין¶

ה-$\mu$ של הבוזונים נעצר באפס, ו-$F_{\mathrm{BE}}$ נעצר איתו. הערך הגדול ביותר שאינטגרל האכלוס יכול לקבל הוא

מספר טהור — הוא $\zeta(3/2)$, כאשר $\zeta$ היא פונקציית זטא של רימן; המודול הזה מצטט את הערך, והמעבדה מחשבת אותו באינטגרציה נומרית.

מתחת ל-$T_c$ המצבים המעוררים מלאים ואינם יכולים לקלוט את השאר. לחלקיקים נותר מקום אחד ללכת אליו: מצב היסוד, שהאינטגרל מעולם לא ספר — צפיפות המצבים $g(\varepsilon) \propto \sqrt{\varepsilon}$ נותנת לו משקל אפס ב-$\varepsilon = 0$, אף שהוא מצב תקין לחלוטין שיכול להחזיק כל מספר של בוזונים. מצב היסוד קולט את העודף.

עיבוי הוא טענה על אכלוס, לא על תנועה. מתחת ל-$T_c$ יש בדיוק כמה חלקיקים מעוררים שהמצבים המעוררים יכולים להחזיק בטמפרטורה הזו, והם נעים ומתנגשים בדפנות כמו קודם. רק הם נושאים אנרגיה, ולכן לפי שלב 5

כאשר 1.341 הוא $\zeta(5/2)$. הלחץ הזה אינו אפס, והוא אינו תלוי כלל בצפיפות: הוסיפו אטומים לגז שעבר עיבוי בטמפרטורה קבועה, והם מצטרפים לקונדנסט, שאינו מעביר תנע לדפנות. ב-$T_c$ הלחץ הוא $51\%$ מה-$n\kB T$ הקלאסי. קיבול החום, $\tfrac32 N\kB$ עבור גז חם, עולה ככל שהגז מתקרר לעבר $T_c$, מגיע שם לשיא של $1.93\,N\kB$ עם פינה חדה, ויורד מתחת לנקודה זו כמו $T^{3/2}$.

שלב 7: גז פרמי מנוון¶

פרמיונים אינם יכולים לעבור עיבוי: כל מצב מקבל אחד. קררו גז פרמי ל-$T = 0$ והאכלוס הופך למדרגה — כל מצב מתחת ל-$\mu$ מלא, כל מצב מעליו ריק. החלקיקים ממלאים את המצבים של הקופסה מלמטה, $g_s$ לכל גל עומד, והאנרגיה של המצב האחרון שמתמלא היא אנרגיית פרמי $\varepsilon_F$. הספירה של שלב 4 נותנת אותה מיד: $N(\varepsilon_F) = N$.

האנרגיה נובעת מ-$g \propto \sqrt{\varepsilon}$: הממוצע של $\varepsilon$ במשקל $\sqrt{\varepsilon}$ בין 0 ל-$\varepsilon_F$ הוא $\tfrac35\varepsilon_F$. כדאי לגזור את הלחץ בדרך שנייה, עם מוסכמת הסימנים של הקורס. כל רמה של הקופסה פרופורציונלית ל-$L^{-2} = V^{-2/3}$, ולכן האנרגיה של הים המלא היא $U \propto V^{-2/3}$. באפס המוחלט הים נשאר במצב היסוד שלו כשהוא נדחס לאט — האכלוסים אינם יכולים להשתנות — ולכן אין זרימת חום, $\dbar Q = 0$, ו-$\mathrm{d}U = \dbar \Won = -P\,\mathrm{d}V$:

זהו לחץ הניוון. דחיסת הים מעלה כל רמה, והעבודה הנעשית עליו נאגרת כאנרגיה של הרמות שהורמו.

עבור נחושת, עם אלקטרון הולכה אחד לאטום, $n = 8.49 \times 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$, ועם $g_s = 2$ ומסת האלקטרון:

• אנרגיית פרמי היא $\varepsilon_F = 7.04\ \mathrm{eV}$, ולכן $T_F = 81\,700\ \mathrm{K}$;

• האלקטרונים המהירים ביותר נעים במהירות $v_F = \hbar k_F/m = 1.57 \times 10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, מהירות פרמי;

• האנרגיה הקינטית הממוצעת היא $\tfrac35\varepsilon_F = 4.2\ \mathrm{eV}$ — גז קלאסי היה צריך $33\,000\ \mathrm{K}$ כדי שתהיה לו אנרגיה כזו;

• לחץ הניוון הוא $3.8 \times 10^{10}\ \mathrm{Pa}$, $380\,000$ אטמוספרות, לעומת $3.5 \times 10^{8}\ \mathrm{Pa}$ לגז קלאסי באותה צפיפות בטמפרטורת החדר — גדול פי יותר ממאה.

כל זה באפס המוחלט, ושום דבר מזה אינו מערב כוח: שורת “מוזנח” של המודל מונה כל אינטראקציה בין האלקטרונים. הלחץ הוא אנרגיה קינטית, המועברת לדפנות כמו במודול 04. מה שמחזיק את האלקטרונים במתכת ממשית הוא המשיכה של היונים החיוביים, שהדפנות הקשיחות של המודל באות במקומה.

שלב 8: מדוע האלקטרונים של מתכת כמעט אינם אוגרים חום¶

חימום גז פרמי ב-$\mathrm{d}T$ מציע לכל אלקטרון אנרגיה נוספת מסדר גודל של $\kB T$. אלקטרון עמוק בתוך הים אינו יכול לקבל אותה: כל מצב שנמצא בטווח של $\kB T$ מהמצב שלו כבר תפוס. רק לאלקטרונים שנמצאים בטווח של בערך $\kB T$ מראש הים יש מעליהם מצבים ריקים לעבור אליהם, והם חלק מסדר גודל של $T/T_F$ מהכלל.

עבור נחושת בטמפרטורת החדר, $T/T_F = 0.0037$: קיבול החום של האלקטרונים הוא $1.2\%$ מה-$\tfrac32 N\kB$ הקלאסי, ו-$0.6\%$ מה-$3R$ של הסריג. זהו קיבול החום החסר של החידה. הוא מעולם לא היה חסר: הוא עבר קפיאה — לא בגלל קוונטיזציה של האנרגיה, כמו במודול 16, אלא בגלל האיסור.

בטמפרטורה נמוכה התרומה של הסריג יורדת כמו $T^3$ (מודול 16) וזו של האלקטרונים רק כמו $T$, ולכן בכל מתכת יש טמפרטורה שמתחתיה האלקטרונים שולטים. למול של אטומים שלכל אחד מהם $z$ אלקטרוני הולכה,

כאשר $\beta$ הוא מקדם דבאי של מודול 16. שרטוט $C/T$ כנגד $T^2$ נותן קו ישר שהחיתוך שלו מודד את האלקטרונים והשיפוע שלו מודד את הסריג. האימות שלהלן עושה זאת עם נתונים ממשיים.

שלב 9: פוטונים, הבוזונים עם μ = 0¶

מודול 16 גזר את חוק פלאנק מהמתנד, אופן אחר אופן. אותה תוצאה נובעת מהמודול הזה בשורה אחת. פוטונים הם בוזונים, ולכן אופן בתדירות $\nu$ מחזיק בממוצע $n_{\mathrm{BE}}(h\nu)$ מהם. אבל הדפנות בולעות ופולטות פוטונים בחופשיות, ולכן מספרם אינו נשמר: אין $N$ שיש להחזיק קבוע, ואין שלב 5. כפי שמודול 16 הראה, האנרגיה החופשית נמוכה ביותר אז ב-$\mu = 0$.

גז פוטונים אינו יכול לעבור עיבוי, מאותה סיבה שיש לו $\mu = 0$. העיבוי נזקק למספר קבוע של חלקיקים שלוחץ את $\mu$ אל החסם שלו; פוטונים שאין להם מקום פשוט נבלעים בדפנות.

לאמת חישובית¶

כל מספר שלהלן בא מ-thermolab.quantum, שמחשב את אינטגרלי האכלוס באינטגרציה נומרית ופותר עבור $\mu$ בחצייה, בלי פונקציות מיוחדות. שום דבר במודול הזה אינו אקראי, מלבד שתי בדיקות שדוגמות בכוונה. המעבדה חוזרת על כל ניסוי.

1. האכלוסים, נבנים מחדש מסכומים מפורשים. סכימת המשקלים הגרנד-קנוניים של מצב איבר אחר איבר — $n$ מ-0 עד 4000 עבור בוזונים, עם $1/n!$ עבור חלקיקים קלאסיים, שני איברים עבור פרמיונים — משחזרת את הצורות הסגורות של שלב 2 עד $4 \times 10^{-16}$ ב-$(\varepsilon - \mu)/\kB T = 0.05$, 0.5, 2 ו-10, ואת השונויות $n(1 + n)$, $n(1 - n)$ ו-$n$ באותו דיוק. הגרלה של $100\,000$ אכלוסים ב-$(\varepsilon - \mu)/\kB T = 0.5$ נותנת לבוזונים ממוצע של 1.539 ושונות של 3.89, לעומת 1.541 ו-3.92.

2. ספירה, מצב אחד בכל פעם. מניית כל הסידורים של שני חלקיקים בשני מצבים נותנת 4, 3 ו-1. מניית המצבים של קובייה אחד אחד והשוואה לספירה החלקה של שלב 4: הספירה המפורשת קטנה ממנה ב-$11.2\%$ כאשר $|\mathbf{n}| = 20$, ב-$2.8\%$ ב-80 וב-$0.70\%$ ב-320. החוסר כפול $|\mathbf{n}|$ מתייצב על $2.25 = 9/4$: המצבים החסרים שעל הפאות של האוקטנט, ותו לא.

3. הפינה הקלאסית. בכל התחום של $e^{(\varepsilon - \mu)/\kB T}$ מ-100 עד $e^{40}$ האכלוסים של הבוזונים והפרמיונים לעולם אינם נבדלים מהאכלוס הקלאסי ביותר מ-$1/99$ ומ-$1/101$, ומתחת ל-100 הם מסודרים $n_{\mathrm{BE}} > n_{\mathrm{MB}} > n_{\mathrm{FD}}$ בכל מקום.

4. הצפיפות קובעת את μ.

הפותר הקלאסי, שהופך את האינטגרציה הנומרית ואינו יודע דבר על מודול 13, משחזר את ה-$\mu = \kB T\ln(n/n_Q)$ של מודול 13 עד $4 \times 10^{-16}$. ומספר החלקיקים נשמר בקוד: לכל סטטיסטיקה, בטמפרטורות מ-$0.02\,T_F$ עד $30\,T_c$, אינטגרציה חדשה של $g(\varepsilon)\,n(\varepsilon)$ ב-$\mu$ שנפתר — על רשת אחרת, בכלל סימפסון — מחזירה את הצפיפות שהוכנסה, עד 10^-9.

5. עיבוי בקופסה ממשית. חלק הקונדנסט האידיאלי הוא גבול. המעבדה מחשבת אותו גם במדויק, עבור בוזונים חסרי ספין בקובייה עם דפנות קשיחות, על ידי סכימת $n_{\mathrm{BE}}$ על פני הרמות של הקופסה אחת אחת, בלי צפיפות מצבים ובלי אינטגרל. ב-$T = T_c/2$, שבו החלק האידיאלי הוא 0.646:

קופסה סופית עוברת עיבוי מוקדם, מפני שהדפנות הקשיחות שלה מסלקות את המצבים שעל הפאות של האוקטנט, והמצבים המעוררים מתמלאים מהר יותר. העודף קטן לאט — החלק ב-$T_c/2$ עולה על האידיאלי ב-$0.20\,N^{-1/3}\ln N$, בתוך $10\%$ לאורך כל הטבלה, אפקט של פני שטח — והמעריך המותאם נסחף מטה לעבר $\tfrac32$. התורה האידיאלית היא הגבול של $N$ גדול של הספירה הממשית, שמתקרבים אליו בקצב שתיקון של פני שטח מאפשר.

6. גז פרמי מנוון. עבור אלקטרונים בצפיפות של נחושת, ה-$\mu$ שנפתר נומרית ב-$T = 0.001\,T_F$ שווה ל-$\varepsilon_F$ בתוך 10^-6, והאנרגיה לחלקיק והלחץ עולים על $\tfrac35\varepsilon_F$ ועל $\tfrac25 n\varepsilon_F$ בארבעה חלקים למיליון — גודל התיקון שפיתוח זומרפלד מנבא. קיבול החום, המתקבל מאינטגרלי האכלוס, שווה ל-$(\pi^2/2)\,T/T_F$ עד 1 חלק ב-10⁴ ב-$T = 0.002\,T_F$, עדיין $99.97\%$ ממנו ב-$0.01\,T_F$, ויורד מתחת לקו מבערך $0.05\,T_F$, ומתייצב על $\tfrac32$ מעל $T_F$.

7. מול המציאות: האלקטרונים בכסף. מודול 16 התאים את קיבול החום המדוד של כסף, כפי שהוא מופיע בטבלאות של NIST (סמית’ ופיקט, 1995), מתחת ל-$6\ \mathrm{K}$ ל-$C/T = \gamma + \beta T^2$, והניח בצד את האיבר של האלקטרונים. כאן האיבר הזה הוא המדידה.

• המדידה. ההתאמה נותנת $\gamma = 0.651 \pm 0.001\ \mathrm{mJ\,mol^{-1}\,K^{-2}}$ (סטטיסטית; סיום החלון ב-$4\ \mathrm{K}$ במקום ב-6 נותן 0.649, גודל אי-הוודאות השיטתית של המספר).

• הניבוי. לכסף יש אלקטרון הולכה אחד לאטום; הצפיפות שלו, $10\,490\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$, והמסה המולרית שלו, $107.87\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$, נותנות $n = 5.86 \times 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$, $\varepsilon_F = 5.50\ \mathrm{eV}$ ו-$T_F = 63\,800\ \mathrm{K}$, ולכן $\gamma_{\mathrm{free}} = (\pi^2/2) R/T_F = 0.643\ \mathrm{mJ\,mol^{-1}\,K^{-2}}$. המדידה היא פי 1.01 מהניבוי.

• החלק. האלקטרונים נושאים $80\%$ מקיבול החום של כסף ב-$1\ \mathrm{K}$ ומחציתו ב-$2\ \mathrm{K}$, שם $\gamma T = \beta T^3$; בטמפרטורת החדר הם נושאים $0.8\%$ — קיבול החום ה"חסר" של החידה, מדוד.

כסף הוא המקרה הטוב ביותר. האלקטרונים של מתכת מרגישים את הסריג שלה, והיחס בין ה-$\gamma$ המדוד לזה של האלקטרונים החופשיים, הנקרא המסה האפקטיבית התרמית, מתעד עד כמה. עם ערכים מדודים מהטבלה של קיטל (מהדורה 8, עמ’ 139) וערכי אלקטרונים חופשיים המחושבים כאן מהצפיפות של כל מתכת בטמפרטורת החדר:

(ביחידות $\mathrm{mJ\,mol^{-1}\,K^{-2}}$). גז האלקטרונים החופשיים קולע לגודל וללינאריות בכל ארבע המתכות, ולמקדם בתוך גורם של 1.5; השאר הוא מבנה פסים, שהמודל הזה מזניח במפורש.

8. מול המציאות: הליום-4 נוזלי. האם המעבר לנוזל-על של הליום הוא עיבוי בוזה–איינשטיין? בצפיפות של הליום נוזלי בנקודת המעבר שלו, $0.1461\ \mathrm{g\,cm^{-3}}$ (דונלי וברנגי, 1998), שלב 6 נותן

לעומת המעבר המדוד, נקודת למדא, ב-$2.177\ \mathrm{K}$. הגז האידיאלי מחטיא ב-$45\%$. הוא מחטיא באופן מאלף: זהו סדר הגודל הנכון, מתוך המסה והצפיפות בלבד, והליום נוזלי הוא הגז הפחות אידיאלי שאפשר לדמיין. האטומים שלו נמצאים במרחק $0.36\ \mathrm{nm}$ זה מזה, קרוב יותר מאורך הגל התרמי שלהם, $0.59\ \mathrm{nm}$, וקרוב מספיק כדי לדחות זה את זה בחוזקה. לונדון הציע את הקשר ב-1938 מתוך ההערכה הזו עצמה; ההשקפה המודרנית היא שנוזל-העל הוא קונדנסט שהאינטראקציות משנות במידה רבה — פיזור נייטרונים מוצא פחות מעשירית מהאטומים במצב בעל תנע אפס, אפילו באפס המוחלט, שם הגז האידיאלי היה מציב את כולם. המודל האידיאלי מאתר את התופעה; הוא אינו מתאר את הנוזל. זוהי שורת “אופני כישלון” שלו, מדודה.

ניסויי ההפרכה. לכל תפיסה שגויה שהמודול הזה מתעמת איתה יש מדידה לעיל שהיא אינה שורדת. “אפקטים קוונטיים חשובים רק כשקר”: לאלקטרונים של נחושת בטמפרטורת החדר יש $n\lambda^3 = 6800$ ו-$T/T_F = 0.004$, וה-$\gamma$ המדוד של כסף, שנקבע על ידי טמפרטורת פרמי של $63\,800\ \mathrm{K}$, מאשר זאת — הניוון נקבע על ידי $n\lambda^3$, לא על ידי $T$ לבדו. “עיבוי פירושו שהאטומים נעצרים”: מתחת ל-$T_c$ המצבים המעוררים מחזיקים $N(T/T_c)^{3/2}$ חלקיקים והלחץ הוא $1.341\,\kB T/\lambda^3$, שונה מאפס ובלתי תלוי במספר האטומים שבקונדנסט (פריט 5 ושלב 6). “כוח פאולי דוחף פרמיונים זה מזה”: לחץ הניוון של פריט 6, $3.8 \times 10^{10}\ \mathrm{Pa}$ עבור נחושת, יוצא ממודל ששורת “מוזנח” שלו מונה כל אינטראקציה; זו ספירה ואנרגיה קינטית, לא כוח.

להעביר את הרעיון¶

כלל אחד — כמה חלקיקים זהים רשאים לחלוק מצב — פיצל את הגז האידיאלי לשני גזים שאין בהם שום דבר קלאסי. הוא מגיע אחורה דרך הקורס כולו והחוצה אל העולם.

• חזרה למודולים 08 ו-12. ה-$1/N!$ של גיבס, שמודול 12 הצדיק רק עבור גז דליל, הוא הגבול המדולל המשותף של הספירות של בוזה ושל פרמי (שלב 1).

• חזרה למודול 13. הריכוז הקוונטי נגזר: $n_Q = g_s/\lambda^3$, וה-$\mu = \kB T\ln(n/n_Q)$ של מודול 13 הוא הגבול המדולל של $n\lambda^3 = g_s F(\mu/\kB T)$. הטיעון של מודול 13 לאתר יחיד, מוחל על כל גל עומד, הוא שלב 2 של המודול הזה, ואכלוס האתר של לנגמיור שלו הוא פונקציית פרמי–דיראק.

• חזרה למודול 16. חוק פלאנק הוא התפלגות בוזה–איינשטיין ב-$\mu = 0$ (שלב 9), וה-$\gamma T$ שמודול 16 הפחית מקיבול החום של כסף שייך לים פרמי (שלב 8). מתכת בטמפרטורה נמוכה היא שני המודולים בבת אחת: $C = \gamma T + \beta T^3$.

• חזרה למודול 04. הקשר $P = \tfrac23 U/V$ הוא לחץ שטף התנע של מודול 04, בכל סטטיסטיקה. לחץ ניוון מועבר לדפנות בדיוק כמו הלחץ של אוויר.

• קדימה למודול 18. ההובלה במתכת נישאת על ידי אלקטרונים הנעים במהירות פרמי, $1.57 \times 10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ בנחושת, ולא במהירות התרמית של גז קלאסי: האלקטרונים היחידים שיכולים להתפזר למצב חדש הם אלה שבראש הים.

• מוליכים למחצה. מספר אלקטרוני ההולכה בסיליקון טהור בטמפרטורת החדר הוא בערך 10¹⁶ למטר מעוקב, חלק אחד מעשרה טריליון ממספרם בנחושת. ה-$n\lambda^3$ שלהם זעיר, והם מצייתים לסטטיסטיקה של מקסוול-בולצמן. אותם חלקיקים קוונטיים בחומר אחד וקלאסיים בחומר אחר: הצפיפות מכריעה.

• אטומים אולטרה-קרים. הקונדנסטים הגזיים הראשונים נוצרו ב-1995, מרובידיום-87 בכ-170 מיליארדיות של קלווין (קורנל ווימן, בולדר) ומנתרן (קטרלה, MIT), עבודה שזכתה להכרה בפרס נובל של 2001. האטומים האלה הוחזקו במלכודת מגנטית, שהיא בקירוב קערה הרמונית ולא קופסה; שם צפיפות המצבים גדלה כמו $\varepsilon^2$, לא כמו $\sqrt{\varepsilon}$, וחלק הקונדנסט כמו $1 - (T/T_c)^3$ — אוסף הבעיות גוזר זאת. מאז 2013 עוברים אטומים עיבוי גם במלכודות אחידות בצורת קופסה (גאונט ועמיתיו, קיימברידג’), הגאומטריה של המודול הזה.

• הליום-3. האיזוטופ הקל יותר של הליום הוא פרמיון. הוא אינו עובר עיבוי ב-$2\ \mathrm{K}$; הוא הופך לנוזל-על רק בטווח של כמה אלפיות קלווין מהאפס המוחלט, כשהאטומים שלו מתזווגים לבוזונים. שני האיזוטופים של יסוד אחד הם שני הגזים של המודול הזה.

• כוכבים. ננס לבן — הליבה שכוכב דמוי שמש משאיר אחריו — נתמך כנגד הכבידה של עצמו על ידי לחץ הניוון של האלקטרונים שלו; כוכב נייטרונים — על ידי זה של הנייטרונים שלו. הסעיף המתקדם מעריך את גודלו של ננס לבן.

במבט קדימה:

• מודול 18 פונה משיווי משקל אל הפלוקטואציות סביבו ואל ההובלה שהן מניעות, ומשתמש במהירות פרמי של המודול הזה עבור האלקטרונים של מתכת.

דוגמאות פתורות¶

נסו כל אחת לפני שתפתחו את הפתרון שלה.

דוגמה פתורה 1 — שלושה חלקיקים, שלושה מצבים. שלושה חלקיקים חולקים שלושה מצבים חד-חלקיקיים. כמה מיקרו-מצבים יש עבור חלקיקים קלאסיים, בוזונים ופרמיונים? אם כל מיקרו-מצב שווה הסתברות, מה ההסתברות שכל שלושת החלקיקים נמצאים באותו מצב?

דוגמה פתורה 2 — שלושת האכלוסים, זה לצד זה. מצב נמצא $\kB T$ אחד מעל הפוטנציאל הכימי. מהו האכלוס הממוצע שלו בכל סטטיסטיקה? ובעשרה $\kB T$?

דוגמה פתורה 3 — ים פרמי של נחושת. לנחושת צפיפות $8960\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$, מסה מולרית $63.55\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$ ואלקטרון הולכה אחד לאטום. מצאו את $n$, $\varepsilon_F$, $T_F$ ואת לחץ הניוון.

דוגמה פתורה 4 — חלקם של האלקטרונים בטמפרטורת החדר. בעזרת דוגמה 3, מצאו את קיבול החום האלקטרוני של נחושת למול ב-$300\ \mathrm{K}$, והשוו אותו לדולונג–פטי ולתרומה שגז אלקטרונים קלאסי היה מוסיף.

דוגמה פתורה 5 — קונדנסט של נתרן. לגז אחיד של אטומי נתרן-23 (מסה $3.82 \times 10^{-26}\ \mathrm{kg}$, $g_s = 1$) יש צפיפות $10^{20}\ \mathrm{m^{-3}}$. מצאו את $T_c$, ואת החלק של האטומים שבקונדנסט במחצית הטמפרטורה הזו.

דוגמה פתורה 6 — הקריטריון הקלאסי. חשבו את $n\lambda^3$ עבור גז הליום ב-$0\,{}^\circ\mathrm{C}$ ובאטמוספרה אחת, ועבור גז הליום בנקודת הרתיחה שלו, $4.2\ \mathrm{K}$, באטמוספרה אחת. האם אחד מהם קוונטי?

בחנו את הבנתכם¶

1. שני חלקיקים חולקים שני מצבים חד-חלקיקיים, a ו-b. כמה מצבים שונים של שני החלקיקים יש אם החלקיקים קלאסיים (מסומנים), בוזונים זהים או פרמיונים זהים?

   A. 4, 3 ו-1 -- החלפה של חלקיקים מסומנים יוצרת מצב חדש; החלפה של חלקיקים זהים אינה יוצרת, ופרמיונים אינם רשאים לחלוק מצב. B. 4 בכל המקרים -- כל חלקיק עדיין בוחר אחד משני מצבים. C. 3, 3 ו-1 -- החלפה לעולם אינה יוצרת מצב חדש, ופרמיונים אינם רשאים לחלוק מצב. D. 4, 2 ו-2 -- בוזונים חייבים לחלוק מצב, ופרמיונים אסור להם לחלוק.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — 4, 3 ו-1 -- החלפה של חלקיקים מסומנים יוצרת מצב חדש; החלפה של חלקיקים זהים אינה יוצרת, ופרמיונים אינם רשאים לחלוק מצב.

   • A. נכון. באופן קלאסי: שניהם ב-a, שניהם ב-b, ו-“1 ב-a, 2 ב-b” יחד עם ההחלפה שלו -- 4. בוזונים זהים: שניהם ב-a, שניהם ב-b, אחד בכל מצב -- 3, כי החלפה של חלקיקים זהים היא אותו מצב. פרמיונים זהים: רק אחד בכל מצב -- 1. במשקלים שווים, הסיכוי למצוא את שניהם באותו מצב הוא 1/2, 2/3 ו-0: בוזונים מתקבצים ופרמיונים מתרחקים זה מזה, בלי שום כוח מעורב.

   • B. זו ספירה של חלקיקים זהים כאילו נשאו תוויות. פוסטולט הסימטריה קובע שמצב של חלקיקים זהים נקבע כולו על ידי מספרי האכלוס שלו, ולכן “1 ב-a, 2 ב-b” וההחלפה שלו הם מצב אחד, לא שניים. ספירה לפי תוויות היא פיזיקה קלאסית.

   • C. עבור חלקיקים זהים זה נכון, אבל חלקיקים קלאסיים מסומנים: “חלקיק 1 ב-a, חלקיק 2 ב-b” וההפך הם מיקרו-מצבים נפרדים, ולכן הספירה הקלאסית נותנת 4. ההבדל הזה הוא בדיוק מה שהחלוקה ב-N! של מודול 12 באה לתקן.

   • D. לבוזונים מותר לחלוק מצב, אבל הם אינם חייבים: אחד בכל מצב הוא מצב בוזוני תקין לחלוטין. פרמיונים אוסרים רק אכלוס כפול, וזה משאיר את המצב היחיד שבו יש פרמיון אחד בכל מצב.

2. בגז של בוזונים הפוטנציאל הכימי חייב להיות מתחת לאנרגיה eps_0 של המצב הנמוך ביותר של חלקיק בודד. מדוע?

   A. הסכום הגרנד-קנוני של המצב הנמוך ביותר, הסכום על n של exp(-n (eps_0 - mu)/(k_B T)), מתכנס רק אם mu < eps_0; כאשר mu מתקרב ל-eps_0, האכלוס הממוצע של המצב הזה גדל ללא גבול. B. מפני שהפוטנציאל הכימי של כל גז הוא שלילי. C. מפני שעקרון פאולי אוסר על שני בוזונים להימצא במצב הנמוך ביותר. D. מפני שמאגר אינו יכול לספק חלקיקים באנרגיה הנמוכה מ-eps_0.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — הסכום הגרנד-קנוני של המצב הנמוך ביותר, הסכום על n של exp(-n (eps_0 - mu)/(k_B T)), מתכנס רק אם mu < eps_0; כאשר mu מתקרב ל-eps_0, האכלוס הממוצע של המצב הזה גדל ללא גבול.

   • A. נכון. בוזונים יכולים להיערם במצב ללא גבול, ולכן המשקלים של מצב יוצרים טור הנדסי, שמתכנס רק אם כל איבר קטן מקודמו: exp(-(eps - mu)/(k_B T)) < 1, כלומר mu < eps, לכל מצב ולכן גם לנמוך ביותר. ב-mu = eps_0 המצב הנמוך ביותר היה מחזיק אינסוף חלקיקים -- ואל החסם הזה נלחץ עיבוי בוזה–איינשטיין.

   • B. הוא אינו כזה. לגז קלאסי mu = k_B T ln(n lambda^3), שלילי רק כשהגז מדולל, ולגז פרמי מנוון יש mu קרוב ל-eps_F, כמה אלקטרון-וולט מעל תחתית התיבה במתכת. החסם ייחודי לבוזונים.

   • C. עקרון האיסור חל על פרמיונים, לא על בוזונים, ואכלוס פרמי–דיראק אינו זקוק לשום חסם על mu, כי כל מצב מחזיק לכל היותר חלקיק אחד, יהא mu אשר יהא.

   • D. המאגר מספק חלקיקים בכל אנרגיה שיש למצבים. החסם נובע מהסכום על מספר החלקיקים שמצב אחד יכול להחזיק, לא מהאנרגיות המוצעות.

3. מצב חד-חלקיקי נמצא 2 k_B T מעל הפוטנציאל הכימי. מהו האכלוס הממוצע שלו בגז של בוזונים? (תנו שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.)

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 0.157 (± 0.002)

   n_BE = 1/(e^2 - 1) = 1/6.389 = 0.157. לשם השוואה, n_MB = e^-2 = 0.135 וכן n_FD = 1/(e^2 + 1) = 0.119: באותו (eps - mu)/(k_B T) הסדר הוא תמיד BE > MB > FD, כי e^x - 1 < e^x < e^x + 1. ב-2 k_B T הם עדיין נבדלים בעשרות אחוזים; ב-(eps - mu) = 4.6 k_B T (e^x = 100) הם מסכימים בתוך 1%.

4. בנחושת יש 8.5e28 אלקטרוני הולכה למטר מעוקב. ב-300 K, מהו בקירוב פרמטר הניוון n lambda^3 של גז האלקטרונים הזה, והאם הוא קלאסי או קוונטי?

   A. כ-7000 -- עמוק בתחום הקוונטי. אורך הגל התרמי של אלקטרון ב-300 K הוא כ-4 nm, פי תשעה עשר מהמרווח בין האלקטרונים. B. כ-1e-5 -- בטמפרטורת החדר הכול קלאסי; לסטטיסטיקה קוונטית יש חשיבות רק קרוב לאפס המוחלט. C. כ-1 -- גבולי; טמפרטורת החדר נמצאת בדיוק בתחום המעבר. D. אי אפשר להכריע -- הטמפרטורה של האלקטרונים גבוהה בהרבה מ-300 K, כי הם נעים במהירות 1.6e6 m/s.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — כ-7000 -- עמוק בתחום הקוונטי. אורך הגל התרמי של אלקטרון ב-300 K הוא כ-4 nm, פי תשעה עשר מהמרווח בין האלקטרונים.

   • A. נכון. lambda = h/sqrt(2 pi m k_B T) = 4.3 nm עבור המסה הזעירה של האלקטרון, וכן n lambda^3 = 8.5e28 x (4.3e-9)^3 = 6800. באופן שקול, T/T_F = 300/81 700 = 0.004. מה שמכריע הוא n lambda^3 -- הצפיפות והמסה, ולא רק הטמפרטורה: לגז הליום באותה טמפרטורה ובלחץ אטמוספרי יש n lambda^3 = 4e-6.

   • B. זו התפיסה השגויה שאפקטים קוונטיים דורשים קור. הניוון נקבע על ידי n lambda^3, לא על ידי T לבדו. לגז הליום ב-300 K יש n lambda^3 = 4e-6 והוא קלאסי, אבל אלקטרונים קלים פי 7300, ואלה של נחושת צפופים פי 3500 מהגז הזה, וה-n lambda^3 שלהם הוא כ-7000. קיבול החום הנמדד שלהם, קטן פי מאה מהערך הקלאסי, מאשר זאת.

   • C. המעבר הוא ב-n lambda^3 מסדר גודל 1, אבל האלקטרונים של נחושת רחוקים ממנו מאוד: חשבו lambda = h/sqrt(2 pi m_e k_B T) = 4.3e-9 m והעלו בחזקה שלישית. מאחר ש-n lambda^3 יורד כמו T^(-3/2), הם היו מגיעים ל-n lambda^3 = 1 רק בסביבות 100 000 K.

   • D. האלקטרונים נמצאים בשיווי משקל עם הסריג ב-300 K. המהירויות הגבוהות שלהם אינן תרמיות: הן מהירות פרמי, שנכפית עליהם מפני שהמצבים בעלי האנרגיה הנמוכה כבר מלאים. זו תוצאה של הניוון, לא עדות לטמפרטורה גבוהה.

5. גז מקורר בצפיפות קבועה. לאיזה כיוון נע הפוטנציאל הכימי שלו, עבור גז פרמי ועבור גז בוזה (כשהאנרגיות נמדדות מתחתית התיבה)?

   A. שניהם מטפסים. ה-mu של גז פרמי עולה לעבר eps_F ומתייצב שם כאשר T -> 0; ה-mu של גז בוזה עולה לעבר 0, ומתחת ל-T_c נשאר ב-0. B. שניהם צוללים לעבר מינוס אינסוף, כמו הפוטנציאל הכימי של גז קלאסי. C. שניהם שואפים לאפס, כי mu פרופורציונלי ל-k_B T. D. שניהם מטפסים ללא גבול, כי n lambda^3 גדל ללא גבול.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — שניהם מטפסים. ה-mu של גז פרמי עולה לעבר eps_F ומתייצב שם כאשר T -> 0; ה-mu של גז בוזה עולה לעבר 0, ומתחת ל-T_c נשאר ב-0.

   • A. נכון. n lambda^3 גדל כמו T^(-3/2), ולכן אינטגרל האכלוס F(mu/k_B T) חייב לגדול, ו-mu/k_B T מטפס. פרמיונים יכולים להמשיך לטפס: mu שואף ל-eps_F, פני הים המלא. בוזונים פוגעים בחסם שלהם mu < eps_0 = 0 ב-n lambda^3 = 2.612 ונעצרים; העודף עובר למצב היסוד.

   • B. ה-mu = k_B T ln(n lambda^3) של גז קלאסי שלילי מאוד כשהגז חם ומדולל, ועולה כשמקררים אותו, כי n lambda^3 גדל. קירור בצפיפות קבועה דוחף את ה-mu/k_B T של כל גז כלפי מעלה, לא כלפי מטה.

   • C. mu אינו פרופורציונלי ל-k_B T. עבור פרמיונים הוא שואף לאנרגיה הקבועה eps_F, שתלויה רק בצפיפות; עבור בוזונים הוא אפס בדיוק מתחת ל-T_c. היחס mu/k_B T הוא מה שהצפיפות קובעת, והוא אינו קבוע כש-T משתנה.

   • D. עבור פרמיונים mu מטפס עד שהוא מגיע ל-eps_F, אנרגיה סופית. עבור בוזונים הטיפוס נעצר באנרגיה הנמוכה ביותר, 0, כי mu אינו רשאי לעלות מעל האנרגיה של שום מצב בוזוני; מכאן והלאה החלקיקים העודפים מתעבים.

6. לגז אחיד של אטומי רובידיום-87 (מסה 1.443e-25 kg, g_s = 1) יש צפיפות של 1.0e20 למטר מעוקב. מהי טמפרטורת עיבוי בוזה–איינשטיין שלו, בננו-קלווין?

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 398 (± 10)

   k_B T_c = (2 pi hbar^2/m)(n/2.612)^(2/3). כאן 2 pi hbar^2/m = 4.84e-43 J m^2 וכן (n/2.612)^(2/3) = (3.83e19)^(2/3) = 1.14e13 למטר רבוע, ולכן k_B T_c = 5.50e-30 J ו-T_c = 398 nK. במחצית הטמפרטורה הזו, 1 - 0.5^(3/2) = 65% מהאטומים נמצאים במצב היחיד הנמוך ביותר. ניסויים אמיתיים מחזיקים אטומים במלכודות הרמוניות ולא בתיבות, וחלק הקונדנסט שלהם מתנהג במקום זאת לפי 1 - (T/T_c)^3.

7. בנחושת יש 8.5e28 אלקטרוני הולכה למטר מעוקב (g_s = 2). מהי אנרגיית פרמי שלהם, באלקטרון-וולט?

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 7.05 (± 0.1)

   eps_F = (hbar^2/2m)(3 pi^2 n)^(2/3) = 6.10e-39 J m^2 x 1.85e20 למטר רבוע = 1.13e-18 J = 7.05 eV, ולכן T_F = 81 800 K. לחץ הניוון (2/5) n eps_F הוא 3.8e10 Pa -- 380 000 אטמוספרות, יותר מפי מאה מה-n k_B T הקלאסי ב-300 K -- והוא קיים גם באפס המוחלט.

8. גז קלאסי של אלקטרוני הולכה היה מוסיף (3/2) R למול לקיבול החום של מתכת. בטמפרטורת החדר התרומה האלקטרונית הנמדדת קטנה מ-1% מזה. מדוע?

   A. רק לאלקטרונים שנמצאים בטווח של כ-k_B T מאנרגיית פרמי יש בקרבתם מצבים ריקים שאליהם הם יכולים לעבור; הם חלק מסדר גודל T/T_F מכלל האלקטרונים, כ-0.004 בנחושת. B. מעט מאוד אלקטרונים חופשיים -- הרבה פחות מאחד לאטום -- וכל אחד מהם נושא (3/2) k_B T כרגיל. C. הדחייה בין האלקטרונים נועלת אותם במקומם, ולכן הם אינם יכולים לקלוט אנרגיה. D. האלקטרונים קפואים כמו מתנד בתדירות גבוהה במודול 16, כי קוונט יחיד של התנועה שלהם עולה על k_B T.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — רק לאלקטרונים שנמצאים בטווח של כ-k_B T מאנרגיית פרמי יש בקרבתם מצבים ריקים שאליהם הם יכולים לעבור; הם חלק מסדר גודל T/T_F מכלל האלקטרונים, כ-0.004 בנחושת.

   • A. נכון. אלקטרון עמוק בתוך ים פרמי אינו יכול לקלוט אנרגיה k_B T, כי כל מצב שנמצא בטווח k_B T מהמצב שלו מלא. רק הקליפה העליונה יכולה להגיב, ולכן C_el ~ N k_B T/T_F -- (pi^2/2) N k_B T/T_F במדויק -- לינארי ב-T וזעיר בהשוואה ל-(3/2) N k_B כל עוד T << T_F = 82 000 K.

   • B. זה התיקון הקלאסי שאינו עובד. בנחושת יש אלקטרון הולכה אחד לאטום -- את הצפיפות הזו מודדות המוליכות שלה, אפקט הול שלה ואנרגיית פרמי שלה -- ועם (3/2) k_B לכל אחד הם היו מוסיפים 50% לערך של דולונג–פטי. המספר נכון; האנרגיה לאלקטרון היא מה שהתורה הקלאסית טועה בו.

   • C. לגז פרמי האידיאלי אין שום אינטראקציות, והוא עדיין נותן קיבול חום זעיר ולינארי. גם האלקטרונים אינם נעולים: הם נעים במהירויות של עד 1.6e6 m/s, ולכן מתכות מוליכות. מה שמגביל את קיבול החום הוא שהמצבים סביב רוב האלקטרונים תפוסים, לא כוח.

   • D. המרווחים בין הרמות של האלקטרונים במתכת קטנים בהרבה מ-k_B T -- רצף. לקפיאה כאן יש סיבה אחרת: האיסור. האנרגיות זמינות; המצבים שאליהם הן היו מובילות תפוסים.

9. בשלושה או ארבעה משפטים: מדוע לפוטונים בחלל יש פוטנציאל כימי אפס, ולמקרה פרטי של מה זה הופך את הספקטרום של פלאנק?

   בדקו את התשובה

   הדפנות בולעות ופולטות פוטונים בחופשיות, ולכן מספר הפוטונים אינו נשמר: הוא אינו אילוץ שיש להחזיק קבוע אלא משתנה, וב-T וב-V קבועים הוא מתייצב היכן שהאנרגיה החופשית מינימלית, שם (dF/dN) = mu = 0. פוטונים הם בוזונים, ולכן כל אופן של החלל מחזיק בממוצע n_BE = 1/(exp(h nu/(k_B T)) - 1) פוטונים עם mu = 0. הכפלה בצפיפות האופנים של הפוטונים, 8 pi nu^2/c^3, ובאנרגיה h nu של כל פוטון נותנת את חוק פלאנק: זו התפלגות בוזה–איינשטיין ב-mu = 0. תשובה חזקה מוסיפה שמאותה סיבה גז פוטונים אינו יכול לעבור עיבוי -- אין מספר קבוע שידחק את mu אל החסם שלו -- ושהמעבדה משחזרת את העקומה של מודול 16 מתוך פונקציית בוזה–איינשטיין עד הספרה האחרונה.

10. גז בוזה אידיאלי מקורר למחצית מטמפרטורת העיבוי שלו, ו-65% מהאטומים שלו נמצאים כעת במצב החד-חלקיקי הנמוך ביותר. איזה מהתיאורים הבאים מתאים לגז?

A. הוא עדיין מפעיל לחץ, P = 1.341 k_B T/lambda^3, שנישא על ידי 35% שבמצבים המעוררים; הוספת אטומים באותו T לא הייתה משנה אותו. B. כל האטומים הפסיקו לנוע, ולכן הלחץ הוא אפס. C. הלחץ שלו הוא n k_B T, כמו לכל גז אידיאלי. D. הלחץ שלו גדול מ-n k_B T, כי בוזונים מתקבצים יחד ודוחפים חזק יותר על הדפנות.

11. מודל גז פרמי האידיאלי מנבא לחץ של 3.8e10 Pa לאלקטרונים בנחושת אפילו באפס המוחלט. במודל הזה, מה יוצר אותו?

A. אנרגיה קינטית. האיסור כופה על האלקטרונים מצבים של תנע גבוה -- עד תנע פרמי -- והם מעבירים את התנע הזה לדפנות בדיוק כפי שעושות המולקולות של מודול 04. המודל אינו מכיל שום כוחות בין האלקטרונים. B. כוח דוחה, “כוח פאולי”, בין אלקטרונים, שמונע מכל שניים מהם לחלוק מצב. C. דחייה אלקטרוסטטית בין האלקטרונים. D. התנועה התרמית של האלקטרונים, כמו בגז קלאסי.

בעיות בסגנון בחינה למודול הזה — אלה ששווה לפתור עם עט — מרוכזות באוסף הבעיות.

להסביר במילים שלכם¶

ענו בכמה משפטים על כל אחת.

1. מדוע הפוטנציאל הכימי של פוטונים הוא אפס, ולמקרה פרטי של מה הופכת עובדה זו את חוק פלאנק?

2. לחץ ניוון מתואר לעיתים קרובות ככוח הדוחף פרמיונים זה מזה. הסבירו מה במודל מייצר אותו בפועל, ומדוע “כוח” היא המילה הלא נכונה.

3. במילים שלכם: מה מכריע אם גז הוא קלאסי או קוונטי? תנו דוגמה אחת לגז קוונטי חם ואחת לגז קלאסי קר.

4. מדוע רק האלקטרונים הסמוכים לאנרגיית פרמי תורמים לקיבול החום של מתכת?

מתקדם: ננסים לבנים, ופיתוח זומרפלד¶

כוכב הנתמך על ידי ספירה¶

כשכוכב כמו השמש מכלה את הדלק שלו, הליבה שלו מתכווצת עד שמשהו עוצר אותה. הליבה היא פלזמה של גרעיני פחמן וחמצן והאלקטרונים שלהם, וכשהיא נדחסת הצפיפות של האלקטרונים עולה, ואנרגיית פרמי שלהם עולה איתה, כמו $n^{2/3}$, מהר יותר ממה שהכבידה מסוגלת לגבור עליה. הכוכב מתייצב ברדיוס שבו השניים מאוזנים: ננס לבן.

טפלו בו ככדור אחיד בעל מסה $M$ ורדיוס $R$, עם $N_e = M/(2m_u)$ אלקטרונים (אחד לכל שני נוקלאונים, עבור פחמן וחמצן; $m_u$ היא יחידת המסה האטומית), קר מספיק כדי להיות מנוון. האנרגיה שלו היא האנרגיה הקינטית של האלקטרונים ועוד האנרגיה הכבידתית של כדור אחיד:

האיבר הראשון גדל כמו $1/R^2$ כשהכוכב מתכווץ, השני רק כמו $1/R$, ולכן יש מינימום. מהדרישה $\mathrm{d}E/\mathrm{d}R = 0$,

שתי תכונות של הנוסחה בולטות. ננס לבן כבד יותר הוא קטן יותר, $R \propto M^{-1/3}$. וההערכה קרובה לנקודת השבירה שלה עצמה: במסת שמש אחת תנע פרמי של האלקטרונים הוא $0.86\,m_e c$, ואי אפשר להתעלם מיחסות. ככל שהמסה גדלה, האלקטרונים נעשים יחסותיים לחלוטין, האנרגיה שלהם גדלה כמו $p$ ולא כמו $p^2$, האיבר הקינטי יורד רק כמו $1/R$ — כמו הכבידה — ומעל מסה קריטית שום דבר אינו עוצר את הקריסה. צ’נדראסקאר מצא את המסה הזו ב-1930: בערך 1.4 מסות שמש. מעולם לא נמצא ננס לבן כבד ממנה.

מאין בא π²/2¶

כל גודל של גז פרמי הוא אינטגרל מהצורה $\int_0^\infty \phi(\varepsilon)\, n_{\mathrm{FD}}(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon$. בטמפרטורה נמוכה $n_{\mathrm{FD}}$ נבדל ממדרגה ב-$\mu$ רק בטווח של כמה $\kB T$, וההפרש אי-זוגי סביב $\mu$: מספר המצבים שמתרוקנים ממש מתחת שווה למספר המצבים שמתמלאים ממש מעל. אינטגרציה בחלקים הופכת את האינטגרל לממוצע של $\Phi(\varepsilon) = \int_0^{\varepsilon}\phi$ על פני השיפוע של השפה, $-\partial n_{\mathrm{FD}}/\partial\varepsilon$: שיא צר ב-$\mu$, זוגי סביבו, בעל שטח יחידה. בפיתוח $\Phi$ סביב $\mu$, האיבר הלינארי מתמצע לאפס והאיבר הריבועי שורד, וזה נותן את פיתוח זומרפלד:

ה-$\pi^2/6$ הוא מחצית המומנט השני של השיא: ביחידות של $\kB T$, הרוחב הריבועי הממוצע שלו הוא $\pi^2/3$. החילו את הפיתוח פעמיים. עם $\phi = g$, קיבוע $N$ נותן $\mu = \varepsilon_F\left[1 - \tfrac{\pi^2}{12}(T/T_F)^2\right]$. עם $\phi = \varepsilon g$, ועם ה-$\mu$ הזה,

ומכיוון ש-$g(\varepsilon_F) = \tfrac{3N}{2\varepsilon_F}$,

קיבול החום מודד את $g(\varepsilon_F)$, צפיפות המצבים בראש הים — ולכן ה-$\gamma$ המדוד של מתכת ממשית, חלקי זה של האלקטרונים החופשיים, מודד כיצד מבנה הפסים שלה משנה את הצפיפות הזו. המעבדה מאשרת גם את ה-$\mu$ וגם את ה-$C$ עד הסדר שהפיתוח טוען לו.