אוסף בעיות — מעברי פאזה ומודל איזינג

אוסף בעיות: מעברי פאזה ומודל איזינג¶

בעיות בסגנון בחינה. פתרו אותן עם עט לפני שתיגעו במחשב; בעיות 4 ו-5 נועדו להסתיים במעבדה, ובעיה 6 היא אתגר. הפתרונות ומחווני הבדיקה נמצאים עם חומרי המרצה ובמכוון אינם באתר הזה.

אנרגיות נמדדות ביחידות של הצימוד $J$, טמפרטורות ביחידות של $J/\kB$ ושדות ביחידות של $J$, כמו במודול. לסריג הריבועי יש $q = 4$ שכנים לכל אתר, והטמפרטורה הקריטית של אונסאגר היא $\kB T_c = 2J/\ln(1 + \sqrt{2}) = 2.2692\,J$.

בעיה 1 — כלל הקבלה הוא בחירה, בגבולות מסוימים¶

שרשרת מרקוב מציעה להפוך ספין אחד, שנבחר באקראי באופן אחיד, ומקבלת את ההצעה בהסתברות $A(\Delta E)$, כאשר $\Delta E$ הוא שינוי האנרגיה של ההיפוך.

(א) הראו שאיזון מפורט ביחס ל-$p_s \propto e^{-E_s/(\kB T)}$ מתקיים אם ורק אם $A(\Delta E)/A(-\Delta E) = e^{-\Delta E/(\kB T)}$ לכל $\Delta E$. מדוע שלב ההצעה אינו מופיע בתנאי הזה?

(ב) אמתו שכלל מטרופוליס $A = \min(1, e^{-\Delta E/(\kB T)})$ וכלל גלאובר $A = 1/(1 + e^{\Delta E/(\kB T)})$ מקיימים אותו שניהם.

(ג) סטודנט מציע את $A' = \tfrac12 \min(1, e^{-\Delta E/(\kB T)})$, “ליתר ביטחון”. האם הוא דוגם את ההתפלגות הנכונה? מה המחיר? הסבירו מדוע שום כלל אינו יכול להשתמש בקבוע $c > 1$ במקום $\tfrac12$.

(ד) לסריג הריבועי ב-$h = 0$ וב-$\kB T = 2J$, מנו את הערכים האפשריים של $\Delta E$ להיפוך יחיד, ואת הסתברויות הקבלה של מטרופוליס ושל גלאובר לכל אחד מהם. איזה כלל מקבל לעתים קרובות יותר, והאם זה הופך אותו לנכון יותר?

(ה) הראו שהשרשרת עם הסתברות הקבלה $A$ משאירה את התפלגות בולצמן סטציונרית, על ידי סכימת האיזון המפורט על פני הקונפיגורציה ההתחלתית. אחר כך הסבירו מדוע הסטציונריות אינה אומרת כמה סריקות השרשרת צריכה כדי להגיע אליה.

בעיה 2 — קירות תחום בממד אחד ובשני ממדים¶

(א) שרשרת פתוחה של $N$ ספינים ב-$h = 0$ מכוונת כולה למעלה. הראו שהכנסת קיר תחום אחד עולה $\Delta E = 2J$ ומרוויחה אנטרופיה $\Delta S \approx \kB \ln N$, ומכאן ש-$\Delta F < 0$ עבור $N > e^{2J/(\kB T)}$. חשבו את הסף הזה ב-$\kB T = 0.5\,J$ וב-$\kB T = 0.2\,J$. מה אתם מסיקים לגבי סדר ארוך-טווח בכל $T > 0$?

(ב) האנרגיה המדויקת לספין של השרשרת האינסופית היא $E/(NJ) = -\tanh(J/(\kB T))$. הראו שהיא מתאימה לצפיפות של קירות תחום $n_w = (1 - \tanh(J/(\kB T)))/2$ לכל קשר, והשוו את $1/n_w$ לסף של סעיף (א) ב-$\kB T = 0.5\,J$.

(ג) עכשיו הסריג הריבועי, $L \times L$. תחום של ספינים הפוכים המוקף בקיר סגור באורך $\ell$ קשרים עולה $2J\ell$. מספר הקירות הסגורים באורך $\ell$ שעוברים דרך קשר נתון הוא לכל היותר $3^{\ell}$. הראו שהאנרגיה החופשית של קירות כאלה חיובית עבור $\kB T < 2J/\ln 3$. חשבו את החסם והשוו אותו ל-$T_c$ של אונסאגר.

(ד) הסבירו בשניים או שלושה משפטים מדוע סעיף (ג) מתיר סדר בשני ממדים אך אינו מוכיח אותו, ומדוע אי אפשר לחזור על אותו טיעון בממד אחד.

בעיה 3 — שדה ממוצע: במה הוא צודק וכמה הוא טועה¶

(א) החל מספין יחיד בשדה $h_{\mathrm{eff}}$, שעבורו $\langle s \rangle = \tanh(h_{\mathrm{eff}}/(\kB T))$, גזרו את משוואת השדה הממוצע $m = \tanh((qJm + h)/(\kB T))$, וציינו במדויק מהו הקירוב.

(ב) הראו בשרטוט או בפיתוח שב-$h = 0$ למשוואה יש פתרונות שונים מאפס רק מתחת ל-$\kB T_c^{\mathrm{MF}} = qJ$.

(ג) פתחו $\tanh x \approx x - x^3/3$ והראו שמעט מתחת ל-$T_c^{\mathrm{MF}}$ מתקיים $m_0 \approx \sqrt{3(1 - T/T_c^{\mathrm{MF}})}$. מהו המעריך $\beta$ של השדה הממוצע? מהו המעריך המדויק בסריג הריבועי?

(ד) מעל $T_c^{\mathrm{MF}}$, קרבו לסדר ראשון ב-$h$ קטן והראו ש-$\chi = \partial m/\partial h = 1/(\kB(T - T_c^{\mathrm{MF}}))$: חוק קירי–וייס. מהו המעריך $\gamma$ של השדה הממוצע?

(ה) בכמה אחוזים השדה הממוצע מעריך ביתר את טמפרטורת המעבר של הסריג הריבועי? מה הוא מנבא לשרשרת ($q = 2$), ומה האמת שם?

(ו) ב-$\kB T = 2.0\,J$ השדה הממוצע נותן $m_0 = 0.958$ ואונסאגר–יאנג נותנים 0.911; ב-$1.5\,J$ הערכים הם 0.990 ו-0.987. הסבירו מדוע השדה הממוצע טוב יותר בטמפרטורה הנמוכה.

בעיה 4 — איתור T_c משיא הסוספטיביליות¶

השתמשו במעבר על פני טווח הטמפרטורות שבמעבדה, או ב-thermolab.ising.temperature_scan.

(א) עבור $L = 8$, 16 ו-32, עברו על $\kB T$ מ-$2.20\,J$ עד $2.80\,J$ בצעדים של $0.02\,J$, עם לפחות 10⁴ סריקות לכל טמפרטורה אחרי שלב החימום. רשמו את הטמפרטורה של השיא של $\chi' = N\,\mathrm{Var}(|m|)/(\kB T)$ ואת גובהו. חזרו על כך עם עוד שלושה זרעים, וצטטו כל מיקום שיא עם שגיאה.

(ב) סקיילינג בגודל סופי מנבא $T_{\mathrm{peak}}(L) = T_c + a\,L^{-1/\nu}$ עם $\nu = 1$ לסריג הריבועי. התאימו את שלושת מיקומי השיא שלכם כנגד $1/L$ ואקסטרפלו ל-$L \to \infty$. השוו ל-$T_c$ של אונסאגר, וציינו אם ההפרש נמצא בתוך השגיאה שלכם.

(ג) שרטטו את גובה השיא כנגד $L$ בצירים לוגריתמיים והתאימו חזקה. התאוריה אומרת $\gamma/\nu = 7/4$; מה אתם מוצאים, ומדוע שלושה סריגים קטנים עשויים שלא להסכים איתה?

(ד) חבר לכיתה מתאים את $T_{\mathrm{peak}}(L)$ כנגד $1/L^2$ במקום זאת ומקבל אקסטרפולציה שונה. מה מניחה הבחירה של המעריך, ואיזו מהמסקנות שלכם אינה תלויה בהנחה הזו?

בעיה 5 — מדידת מעריך, ומדוע התשובה מוטה¶

(א) ב-$L = 64$, מדדו את $\langle |m| \rangle$ ב-$\kB T = 1.8$, 1.9, 2.0, 2.1, 2.15, 2.2 ו-$2.25\,J$, עם פס שגיאה לכל אחד שמתוקן לזמן המתאם העצמי: $\sigma/\sqrt{N_{\mathrm{eff}}}$ עם $N_{\mathrm{eff}} = n/(2\tau)$. דווחו על $\tau$ בכל טמפרטורה. היכן הוא הגדול ביותר?

(ב) התאימו את $\ln\langle|m|\rangle$ כנגד $\ln(T_c - T)$, בעזרת $T_c$ של אונסאגר. איזה מעריך אתם מוצאים? השוו לערך המדויק $1/8$.

(ג) חזרו על ההתאמה רק עם שלוש הטמפרטורות הרחוקות ביותר מ-$T_c$, ואז רק עם שלוש הקרובות ביותר. הסבירו את ההבדל: ציינו הטיה אחת ששולטת רחוק מ-$T_c$ ואחת ששולטת קרוב אליה.

(ד) לנקודה שלכם ב-$2.25\,J$, השוו את השגיאה הנאיבית $\sigma/\sqrt{n}$ לשגיאה המתוקנת. באיזה גורם עמדתם להפריז בדיוק שלכם?

(ה) הריצו את הנקודה של $2.25\,J$ עם ארבעה זרעים שונים. האם ארבעת הערכים מסכימים בתוך פסי השגיאה המתוקנים שלהם? בתוך הנאיביים? מה זה אומר על השאלה איזה פס שגיאה לצטט?

בעיה 6 — הפרמגנט החבוי בתוך מודל איזינג (אתגר)¶

(א) קבעו $J = 0$. הראו שהספינים נעשים בלתי תלויים, שפונקציית החלוקה מתפרקת למכפלה של הצורה לספין יחיד ממודול 12, ושמתקיים בדיוק $\langle m \rangle = \tanh(h/(\kB T))$.

(ב) קחו את המגנוט המדויק של השרשרת מהמודול, $m = \sinh(h/(\kB T))/\sqrt{\sinh^2(h/(\kB T)) + e^{-4J/(\kB T)}}$, והראו שהוא מצטמצם לתוצאה של סעיף (א) כאשר $J \to 0$. אחר כך הראו שעבור $h$ קטן ו-$J > 0$ קבוע מתקיים $\chi = \partial m/\partial h|_{h=0} = e^{2J/(\kB T)}/(\kB T)$, והסבירו פיזיקלית מדוע הצימוד מעניק לשרשרת סוספטיביליות גבוהה יותר מזו של ספינים חופשיים.

(ג) עבור $J = 0$, אמתו ישירות את זהות הפלוקטואציות $\chi = N\,\mathrm{Var}(m)/(\kB T)$, על ידי חישוב $\mathrm{Var}(m)$ עבור $N$ ספינים בלתי תלויים.

(ד) ב-$h = 0$ וב-$J > 0$ בסריג הריבועי, הסבירו מדוע הזהות של סעיף (ג) עדיין מתקיימת לכל $N$ סופי, אבל האומד שהמעבדה משתמשת בו מתחת ל-$T_c$ מחליף את $m$ ב-$|m|$. מה היה משתבש, בריצה של 10⁴ סריקות ב-$\kB T = 2.0\,J$ על סריג $8 \times 8$, אילו השתמשתם ב-$m$?