קרינה תרמית וקיבול החום של מוצקים

החידה: שתי קטסטרופות, הנחה אחת¶

כוונו תנור מטבח ל-$500\ \mathrm{K}$ והביטו פנימה. חשוך בו. הדפנות שלו קורנות, ואפשר להרגיש זאת על הפנים, אבל שום דבר אינו נראה: הקרינה היא אינפרה-אדומה, והשיא שלה סביב $6\ \mu\mathrm{m}$.

עכשיו הפעילו את הפיזיקה של מודולים 04 עד 12, ביושר. פנים התנור הוא קופסה מלאה בגלים אלקטרומגנטיים. כל גל עומד שנכנס בקופסה הוא מתנד, וחלוקת האנרגיה השווה מעניקה לכל מתנד $\kB T$. אין גל קצר ביותר שנכנס, ולכן אין מתנד אחרון: מספר האופנים ליחידת תדירות גדל כריבוע התדירות, והאנרגיה גדלה איתו. ב-$500\ \mathrm{K}$ התורה הקלאסית מכניסה לתחום האור הנראה לבדו יותר אנרגיה ממה שהתנור כולו מחזיק בפועל — פי תשעה-עשר אלף — ועוד יותר לאולטרה-סגול, ללא גבול. כל תנור חם היה צריך להיות מנורה אולטרה-סגולה בעלת הספק אינסופי.

לדפנות הפלדה של התנור יש בעיה שנייה. מוצק של $N$ אטומים הוא $3N$ מתנדים, אחד לכל כיוון תנודה של כל אטום. כל אחד מהם, שוב, מחזיק $\kB T$, ולכן קיבול החום הוא $3N\kB$ — ערך דולונג–פטי, בערך $25\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ — בכל טמפרטורה. מדדו אותו. כסף בטמפרטורת החדר קרוב לכך. לכסף ב-$4\ \mathrm{K}$ יש קיבול חום קטן כמעט פי אלף ותשע מאות. קיבול החום של יהלום הוא רבע מערך דולונג–פטי בטמפרטורת החדר.

מודול 12 כבר פגש את התשובה עבור מתנד יחיד, וקרא לה קפיאה. המודול הזה לוקח את אותו רעיון לכל אופן של השדה האלקטרומגנטי ולכל אופן של גביש, ומוצא שהוא מציל את שניהם. לאורך הדרך הוא פוגש חידה קטנה יותר שמכשילה כמעט את כולם: לשאלה “באיזה אורך גל השמש מאירה בעוצמה הרבה ביותר?” יש שתי תשובות נכונות, ואיזו מהן מקבלים תלוי באופן שבו משרטטים את הגרף.

לנבא לפני שמחשבים¶

התחייבו לתשובה לכל אחת מן השאלות האלה לפני שתמשיכו לקרוא. כתבו אותן.

1. תנור מחומם מ-$300\ \mathrm{K}$ ל-$600\ \mathrm{K}$. האם ההספק הכולל שהדפנות שלו מקרינות גדל בגורם 2, 4, 8 או 16?

2. בשרטוט ליחידת אורך גל, הספקטרום של השמש מגיע לשיא סביב $500\ \mathrm{nm}$. בשרטוט ליחידת תדירות, האם השיא שלו נמצא בתדירות של אור באורך גל $500\ \mathrm{nm}$, $c/500\ \mathrm{nm} = 600\ \mathrm{THz}$?

3. יהלום מקורר מ-$300\ \mathrm{K}$ ל-$30\ \mathrm{K}$. האם קיבול החום שלו יורד בגורם של בערך 10, או בכמה סדרי גודל? שרטטו את $C(T)$.

4. הטמפרטורה של חלל מוכפלת. האם מספר הפוטונים שבתוכו מוכפל?

לחקור את המודל¶

במעבדה יש שני כלי חקירה. הראשון משרטט את ספקטרום הגוף השחור בטמפרטורה שאתם בוחרים, ליחידת תדירות וליחידת אורך גל זה לצד זה, עם הניבוי הקלאסי לפי דרישה, ומסמן היכן כל עקומה מגיעה לשיא — והיכן כל שיא נוחת כשמעבירים אותו לגרף השני. השני משרטט את קיבול החום של מודלי איינשטיין ודבאי מול נתונים מדודים של כסף מ-$1\ \mathrm{K}$ עד $300\ \mathrm{K}$, עם מחוון לפרמטר היחיד של כל מודל. אחר כך המעבדה מריצה את הניסויים שהמודול הזה בנוי עליהם: הנוסחה הקוונטית נבנית מחדש מהסכום של מודול 12, האנרגיה הכוללת מחושבת באינטגרציה נומרית, שני השיאים מאותרים בחיפוש ממצה, שני המודלים מותאמים לכסף, וקרינת הרקע הקוסמית עוברת התאמה.

הריצו את המעבדה עכשיו, ואז חזרו. ארבעה דברים כדאי לעשות לפני שתמשיכו לקרוא:

• קבעו את הטמפרטורה ל-$5772\ \mathrm{K}$, פני השמש. קראו את שני השיאים. האם הפוטון של שיא התדירות נראה?

• הפעילו את העקומה הקלאסית ב-$300\ \mathrm{K}$, ואחר כך ב-$3000\ \mathrm{K}$. היכן היא מסכימה עם העקומה הקוונטית, והיכן היא מפסיקה להסכים?

• הכפילו את הטמפרטורה פעמיים, וצפו בשטח שמתחת לעקומות.

• בכלי החקירה של המוצקים, מצאו את טמפרטורת איינשטיין שמתאימה בצורה הטובה ביותר לכסף סביב $100\ \mathrm{K}$. אחר כך עברו לתצוגה לוגריתמית בשני הצירים והסתכלו ב-$5\ \mathrm{K}$.

לגזור את התוצאה¶

מערכת וגבול. שתי מערכות עם מבנה אחד. חלל בנפח $V$ שדפנותיו מוחזקות בטמפרטורה $T$, המכיל קרינה אלקטרומגנטית; וגביש של $N$ אטומים בטמפרטורה $T$. שתיהן אוספים של אופנים הרמוניים בלתי תלויים, שכל אחד מהם במגע עם אמבט חום — הדפנות עבור הקרינה, שאר הגביש עבור כל אחת מהתנודות שלו.

משתנים בלתי תלויים. הטמפרטורה $T$ והנפח $V$. כל השאר — האנרגיה, הספקטרום, לחץ הקרינה, מספר הפוטונים — הוא פונקציה של שני אלה.

מוסכמת הסימן. מוסכמת הקורס, $\mathrm{d}U = \dbar Q + \dbar \Won$, תקפה. היא מופעלת פעם אחת, בשלב 5: דחיסת קרינה דורשת עבודה, $\dbar \Won = -P\,\mathrm{d}V > 0$ כאשר $\mathrm{d}V < 0$, מפני שלקרינה יש לחץ.

יחידות. SI לאורך כל הדרך, עם $\kB$, $h$ ו-$c$ כתובים במפורש; $\hbar = h/2\pi$. לאופן בתדירות $\nu$ (בהרץ) יש תדירות זוויתית $\omega = 2\pi\nu$ וקוונט $h\nu = \hbar\omega$. ספקטרומים הם אנרגיות ליחידת נפח ליחידת תדירות, ביחידות $\mathrm{J\,s\,m^{-3}}$, או ליחידת אורך גל, ביחידות $\mathrm{J\,m^{-4}}$.

המסלול. שבעה שלבים. למצוא את האנרגיה הממוצעת של אופן מקוונטט יחיד; לספור את האופנים של חלל; להכפיל, כדי לקבל את חוק פלאנק, ולהחליף את המשתנה הספקטרלי; לבצע אינטגרציה, כדי לקבל את חוק סטפן–בולצמן; לקרוא מתוכו את התרמודינמיקה של גז הפוטונים; ואז להחיל את אותו נימוק, אופן אחר אופן, על מוצק, תחילה עם תדירות אחת (איינשטיין) ואחר כך עם ספקטרום שלהן (דבאי).

שלב 1: אופן אחד, נוסחה אחת¶

השינוי היחיד שמציל את שתי הקטסטרופות הוא הנחה על האנרגיה, לא על הסטטיסטיקה. הוא מתקבל כאן כקלט.

מודול 12 סכם את גורמי בולצמן של הסולם הזה בדיוק. כשמודדים מתוך מצב היסוד, פונקציית החלוקה של המתנד היא טור הנדסי,

והאנרגיה הממוצעת שלו היא מינוס הנגזרת של $\ln Z$ לפי $\beta = 1/(\kB T)$.

שני הגבולות חשובים.

• קוונט זול, $h\nu \ll \kB T$. הפיתוח $e^{x} - 1 \approx x$ נותן $\langle E \rangle \to \kB T$. זוהי חלוקת האנרגיה השווה: התשובה הקלאסית היא הגבול של התשובה הקוונטית כאשר הקוונט קטן בהשוואה לאנרגיה התרמית.

• קוונט יקר, $h\nu \gg \kB T$. האיבר -1 זניח ו-$\langle E \rangle \approx h\nu\, e^{-h\nu/(\kB T)}$: קטן מעריכית. האמבט כמעט אף פעם אינו מספק קוונט שלם בבת אחת, והאופן יושב במצב היסוד שלו.

הגבול השני הזה הוא התרופה, וכדאי לומר מה הוא אינו. אופן שעבר קפיאה אינו דומם. במצב היסוד שלו מתנד שומר על תנועת נקודת האפס שלו; מה שהוא אינו יכול לעשות הוא לקבל אנרגיה בכמויות קטנות מ-$h\nu$. קפיאה היא מחיר שאי אפשר לשלם, לא דממה.

שלב 2: ספירת האופנים של חלל¶

קחו את החלל כקובייה שאורך צלעה $L$ עם דפנות מחזירות באופן מושלם. גל עומד חייב להכיל מספר שלם של חצאי אורך גל לאורך כל צלע, ולכן וקטור הגל שלו הוא

והתדירות שלו היא $\nu = c\,|\mathbf{k}|/(2\pi) = c\,|\mathbf{n}|/(2L)$. כל $\mathbf{k}$ מותר נושא שני קיטובים בלתי תלויים. ספירת אופנים היא ספירת הנקודות של סריג של מספרים שלמים. האופנים שהתדירות שלהם מתחת ל-$\nu$ הם נקודות הסריג שבתוך כדור ברדיוס $|\mathbf{n}| = 2L\nu/c$, המוגבלות לאוקטנט שבו שלושת המספרים השלמים חיוביים. כשהרדיוס גדול יש נקודת סריג אחת ליחידת נפח, והספירה היא נפח האוקטנט:

הקירוב שב"לספור את הנפח במקום את הנקודות" ניתן לבדיקה, והמעבדה בודקת אותו: הספירה מחמיצה את נקודות הסריג שעל שלוש הפאות השטוחות של האוקטנט — גלים שאחד האינדקסים שלהם שווה לאפס, שקיימים אבל נושאים קיטוב אחד בלבד — והשגיאה היא יחס של שטח פנים לנפח, בגודל יחסי של בערך $(9/4)/|\mathbf{n}|$. לחלל של $1\ \mathrm{cm}$ בטמפרטורת החדר, לאופנים החשובים יש $|\mathbf{n}|$ מסדר גודל של אלף.

עכשיו תנו לכל אופן את ה-$\kB T$ הקלאסי. האנרגיה ליחידת נפח ליחידת תדירות היא

חוק ריילי–ג’ינס. הוא מתאר היטב חללים ממשיים בתדירות נמוכה. אבל הוא גדל כמו $\nu^2$ ללא גבול, והאנרגיה הכוללת היא האינטגרל שלו על פני כל התדירויות.

שלב 3: חוק פלאנק, בשני משתנים¶

הגרסה הקוונטית של אותה מכפלה, אופנים ליחידת נפח ליחידת תדירות כפול האנרגיה הממוצעת לאופן, היא התשובה.

בתדירות נמוכה הוא הופך לריילי–ג’ינס, שם התורה הקלאסית צדקה. בתדירות גבוהה הוא יורד כמו $\nu^3 e^{-h\nu/(\kB T)}$, שם התורה הקלאסית טעתה. פלאנק מצא את הנוסחה ב-1900 בהתאמה לספקטרומים מדודים, ואז מצא את הקוונטיזציה שמייצרת אותה; זוהי התוצאה העתיקה ביותר של הפיזיקה הקוונטית.

ספקטרומים משורטטים גם כנגד אורך גל. המעבר מאחד לשני נראה כמו הצבה, והוא אינו כזה, מפני ש-$u_\nu$ אינה פונקציה של הקרינה לבדה. היא צפיפות: האנרגיה בפס צר היא $u_\nu\,\mathrm{d}\nu$, ורק המכפלה הזו פיזיקלית.

בהחלה על חוק פלאנק,

עכשיו מצאו את שני השיאים. ליחידת תדירות, כתבו $x = h\nu/(\kB T)$; אז $u_\nu \propto x^3/(e^x - 1)$, והשוואת הנגזרת שלה לאפס נותנת

ולכן

ליחידת אורך גל, כתבו $y = hc/(\lambda \kB T)$; אז $u_\lambda \propto y^5/(e^y - 1)$ — שתי חזקות נוספות, מהיעקוביאן — ואותו חישוב נותן

ולכן

עבור השמש, ב-$5772\ \mathrm{K}$: $\lambda_{\max} = 502\ \mathrm{nm}$, אור ירוק. אבל $\nu_{\max} = 339\ \mathrm{THz}$, התדירות של אור באורך גל $883\ \mathrm{nm}$ — באינפרה-אדום, בלתי נראה. שתי הטענות נכונות. אף אחת מהן אינה “המקום שבו האור של השמש באמת מגיע לשיא”, מפני שאין מקום כזה: השיא שייך לגרף, לא לאור. היעקוביאן $c/\lambda^2$ גדול ביותר באורכי גל קצרים, שם ננומטר אחד משתרע על פני טרה-הרצים רבים, ולכן ליחידת אורך גל הקצה הכחול של הספקטרום מקבל משקל רב יותר והשיא זז לעברו. בחירה שלישית — ליחידת $\ln \nu$, יחסי תדירות שווים, שהיא גם ליחידת $\ln \lambda$ — מגיעה לשיא בין השתיים האחרות, ב-$x = 3.921$, $636\ \mathrm{nm}$ עבור השמש.

שלב 4: חוק סטפן–בולצמן¶

צפיפות האנרגיה הכוללת אינה תלויה בבחירת המשתנה. באינטגרציה של חוק פלאנק על פני התדירות עם $x = h\nu/(\kB T)$,

האינטגרל שנותר הוא מספר טהור. הוא שווה ל-$\pi^4/15 = 6.494$ (הוא $6\,\zeta(4)$, כאשר $\zeta$ היא פונקציית זטא של רימן); המודול הזה מצטט את הערך, והמעבדה בודקת אותו נומרית.

הגורם $c/4$ בא מספירה של התורה הקינטית של מה שחוצה חור: מחצית הפוטונים הסמוכים אליו נעים לעבר הדופן, ורכיב המהירות הממוצע שלהם בניצב לה הוא $c/2$, ולכן השטף הוא רבע מהצפיפות כפול המהירות. סטפן מצא את החזקה הרביעית ב-1879 מקריאת מדידות של אחרים, כחוק אמפירי; בולצמן גזר אותה מהתרמודינמיקה ב-1884, אבל לא יכול היה לקבל את $a$, שדורש את $h$. החזקה הרביעית פירושה שהטמפרטורה היא מנוף רב-עוצמה: הכפלתה מכפילה את ההספק המוקרן פי שש-עשרה.

מכשירים המכוונים אל מקור מודדים את הרדיאנס הספקטרלי, ההספק ליחידת שטח, ליחידת תדירות, ליחידת זווית מרחבית, $B_\nu = (c/4\pi)\,u_\nu$, ביחידות $\mathrm{W\,m^{-2}\,Hz^{-1}\,sr^{-1}}$. יש לו אותה צורה כמו ל-$u_\nu$.

מספר הפוטונים מתקבל באותה דרך, עם חזקה אחת פחות של $x$:

עם $\zeta(3) = 1.202$: בערך $2.03 \times 10^{7}\,T^3$ פוטונים למטר מעוקב, כאשר $T$ בקלווין. מספר הפוטונים גדל כמו $T^3$. פוטונים אינם נשמרים; חימום חלל יוצר אותם.

שלב 5: גז הפוטונים¶

קרינה בחלל היא גז — של פוטונים — ויש לה לחץ, אנטרופיה ופוטנציאל כימי. כל אחד מהם דורש שורה.

לחץ. מודול 04 מצא את הלחץ של גז כשטף תנע: לגז איזוטרופי, $P = \tfrac13\,n\,\langle p\,v \rangle$, שליש מהצפיפות של המכפלה של תנע ומהירות. לחלקיק לא-יחסותי $p v = m v^2$, פעמיים האנרגיה הקינטית, ו-$P = \tfrac23 u$. לפוטון יש $v = c$ ותנע $p = E/c$, ולכן $p v = E$, ומכאן

הוא קטן בטמפרטורות רגילות — $2\ \mu\mathrm{Pa}$ ב-$300\ \mathrm{K}$ — והוא מבצע עבודה: דחיסת החלל דורשת $\dbar \Won = -P\,\mathrm{d}V$, חיובית כשהנפח מתכווץ. זהו לחץ הקרינה, הלחץ שמחזיק את הכוכבים המסיביים ביותר.

אנטרופיה. בנפח קבוע לא נעשית עבודה, ולכן $\dbar Q = \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S$ (מודול 09). קיבול החום הוא $C_V = \mathrm{d}U/\mathrm{d}T = 4aVT^3$, ובאינטגרציה של $C_V/T$ מהאפס המוחלט כלפי מעלה,

בהתפשטות אדיאבטית איטית $S$ נשאר קבוע, ולכן $VT^3$ קבוע ו-$T \propto V^{-1/3}$: קרינה מתקררת ביחס הפוך לגודל המכל שלה. זו הסיבה שהקרינה שנותרה מהיקום המוקדם נמצאת עכשיו ב-$2.7\ \mathrm{K}$.

פוטנציאל כימי.

שלב 6: מוצק איינשטיין, נמדד סוף סוף¶

מודול 01 נתן לשני מוצקי איינשטיין להחליף קוונטים; מודול 09 בנה את האנטרופיה של מוצק איינשטיין; מודול 12 מצא את הטמפרטורה שלו מתוך פונקציית החלוקה של המתנד. המודל תמיד היה אותו מודל: $N$ אטומים, שכל אחד מהם מתנודד בשלושה כיוונים, כ-$3N$ מתנדים בלתי תלויים החולקים תדירות אחת. כאן הוא סוף סוף נותן ניבוי שקלורימטר יכול לבדוק.

עם $x = \theta_E/T$, שלב 1 נותן לכל מתנד $\hbar\omega_E/(e^x - 1)$ מעל מצב היסוד שלו, ולכן

ובגזירה לפי $T$:

זהו קיבול החום של המתנד ממודול 12 כפול $3N$; המעבדה בודקת ששתיהן אותה פונקציה עד הספרה האחרונה. הגבולות שלו:

• חם, $T \gg \theta_E$. $C = 3N\kB\left(1 - x^2/12 + \cdots\right) \to 3N\kB$. למול, $3N_A\kB = 3R = 24.94\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$.

• קר, $T \ll \theta_E$. $C \approx 3N\kB\,x^2 e^{-x}$: קטן מעריכית, כל מתנד קפוא.

פיתוח הטמפרטורה הגבוהה גם פורע חוב. מודול 01 השתמש בקיבול חום קבוע, $\kB$ אחד למתנד, והזהיר שזהו קירוב. השגיאה ידועה עכשיו: שבר $(\theta_E/T)^2/12$ כאשר $T$ גדול, $8\%$ ב-$T = \theta_E$, $28\%$ ב-$T = \theta_E/2$. התמונה של $C$ קבוע בטוחה מעל בערך $\theta_E$, ונכשלת, בפער מעריכי, הרבה מתחתיה.

וגבול הטמפרטורה הנמוכה נכשל במבחן אחר. קיבולי חום מדודים של גבישים מבדדים אכן מתאפסים בטמפרטורה נמוכה, אבל כמו $T^3$, לא מעריכית. מעריכי יורד מהר בהרבה מכל חזקה: מודל איינשטיין מנבא קיבול חום קטן בהרבה מדי בקור. האשמה היא בתדירות היחידה שלו. גביש ממשי גם מתנודד לאט — גלי קול באורך גל ארוך — ואופן בתדירות נמוכה מספיק לעולם אינו עובר קפיאה.

שלב 7: התיקון של דבאי¶

התנודות של גביש הן גלים. באורכי גל ארוכים הן קול, הנע במהירות $c_s$, עם שלושה קיטובים — שניים רוחביים, אחד אורכי — במקום השניים של האור. הקוונטים שלהן נקראים פונונים, וכמו פוטונים מספרם אינו נשמר. המודל של דבאי סופר אותם בדיוק כפי ששלב 2 ספר פוטונים, עם $c_s$ במקום $c$ ושלושה קיטובים במקום שניים. בתדירות זוויתית,

לגביש של $N$ אטומים יש רק $3N$ אופנים — גל קצר מפעמיים המרווח הבין-אטומי אינו תנועה חדשה — ולכן דבאי קוטע את הספקטרום בתדירות $\omega_D$ שבה הספירה מגיעה ל-$3N$:

בסכימת שלב 1 על פני הספקטרום הזה ובגזירה, עם $x = \hbar\omega/(\kB T)$:

• חם, $T \gg \theta_D$. האינטגרנד הוא $x^2$ על פני תחום קצר, האינטגרל הוא $(\theta_D/T)^3/3$, ו-$C \to 3N\kB$: שוב דולונג–פטי, עם תיקון $1 - (\theta_D/T)^2/20$.

• קר, $T \ll \theta_D$. אפשר לקחת את הגבול העליון לאינסוף, ושם האינטגרל הוא $4\pi^4/15$.

ל-$T^3$ יש הסבר ישיר. ב-$T$ נמוך רק אופנים עם $\hbar\omega \lesssim \kB T$ פעילים; יש בערך $(\kB T/\hbar c_s)^3 V$ כאלה, כמו לפוטונים; כל אחד מחזיק בערך $\kB T$. לכן $U \propto T^4$ ו-$C \propto T^3$ — חוק סטפן–בולצמן של הקול.

שני תיקונים עומדים בין המודלים האלה לבין טבלת מדידות.

לאמת חישובית¶

כל מספר שלהלן בא מ-thermolab.radiation. שום דבר במודול הזה אינו אקראי; המספרים דטרמיניסטיים. אי-הוודאויות המצוטטות להתאמות של הכסף באות מהפיזור של הנתונים סביב עקומת המודל; זו של קרינת הרקע באה משגיאות המדידה שפורסמו. המעבדה חוזרת על כל ניסוי.

1. האכלוס, נבנה מחדש מהסכום של מודול 12. לאופן עם קוונט $4 \times 10^{-21}\ \mathrm{J}$, הצורה הסגורה $\langle n \rangle = 1/(e^{x} - 1)$ וסכום בולצמן מפורש על פני 4000 רמות, בעזרת הקוד של מודול 12, מסכימים עד 10^-12 ב-30, 300 ו-$3000\ \mathrm{K}$. הנוסחה של שלב 1 היא פונקציית החלוקה של מודול 12, בלי שום תוספת.

2. ספירת גלים עומדים אחד אחד. במניית השלשות של מספרים שלמים בקובייה, אופן אחר אופן, והשוואה לספירה החלקה $8\pi V\nu^3/(3c^3)$: הספירה המפורשת קטנה ממנה ב-$11.2\%$ כאשר $|\mathbf{n}| = 20$, ב-$2.8\%$ ב-80 וב-$0.70\%$ ב-320. החוסר קטן בחצי בכל פעם שהרדיוס מוכפל — אופני הפאות החסרים, בערך $(9/4)/|\mathbf{n}|$ — והנוסחה החלקה היא הגבול שלו.

3. חוק סטפן–בולצמן באינטגרציה נומרית.

4. אנרגיה אחת, שתי צפיפויות, שני שיאים. אינטגרציה של $u_\lambda$ על פני אורך הגל — משתנה אחר, על רשת לוגריתמית, שאין לה שום דבר משותף עם הרשת של פריט 3 — משחזרת את $aT^4$ עד 10^-16, ולכן מסכימה עם האינטגרל על פני התדירות של פריט 3 עד השגיאה של האינטגרל ההוא עצמו, $6 \times 10^{-11}$, ב-2.725, 300 ו-$5772\ \mathrm{K}$. חיפוש ממצה על פני $200\,001$ נקודות מוצא את המקסימום של $u_\nu$ ב-$2.8214\,\kB T/h$ ואת זה של $u_\lambda$ ב-$hc/(4.9651\,\kB T)$; המכפלה שלהם היא $0.5683\,c$ בכל טמפרטורה. האנרגיה מסכימה והשיאים אינם מסכימים, וזה בדיוק מה שצפיפות עושה.

5. חם יותר אינו בהיר יותר. הכפלת הטמפרטורה מ-300 ל-$600\ \mathrm{K}$ מכפילה את האנרגיה הכוללת פי 16.000. אבל בתדירות קבועה היחס בין שני הספקטרומים אינו מספר אחד: הוא 2 בקצה התדירות הנמוכה, שם שתי העקומות מצייתות לריילי–ג’ינס, 120 ב-$60\ \mathrm{THz}$, והוא גדל ללא גבול בזנב הרחוק, שם לגוף החם יותר יש פוטונים שהגוף הקר אינו יכול להרשות לעצמו. שום שינוי קנה מידה אנכי אינו הופך עקומה אחת לשנייה. השיא זז, מ-9.66 ל-$4.83\ \mu\mathrm{m}$.

6. שני המוצקים, זה מול זה. שני קיבולי החום מגיעים ל-$3N\kB$ בטמפרטורה גבוהה, איינשטיין כמו $1 - x^2/12$ ודבאי כמו $1 - x^2/20$, וכל אחד מאושר עד הסדר הרביעי. בקור, השיפוע בצירים לוגריתמיים של עקומת דבאי מתחת ל-$\theta_D/50$ הוא 3 בתוך 10^-15, והעקומה שווה שם לחוק ה-$T^3$ עד 10^-11. בחלון שבין $\theta/40$ ל-$\theta/10$ השיפוע של עקומת איינשטיין הוא בערך 19. המודלים נבדלים זה מזה בשיפוע.

7. מול המציאות: כסף. הנתונים הם קיבולי החום המומלצים של כסף מ-1 עד $300\ \mathrm{K}$ שבטבלאות המכון הלאומי לתקנים וטכנולוגיה של ארצות הברית (Smith and Fickett, 1995), מומרים לערכים למול.

• קו הטמפרטורה הנמוכה. מתחת ל-$6\ \mathrm{K}$, $C/T$ המשורטט כנגד $T^2$ הוא קו ישר, $C/T = \gamma + \beta T^2$: האיבר של האלקטרונים ועוד ה-$T^3$ של דבאי. החיתוך שלו הוא $\gamma = 0.651\ \mathrm{mJ\,mol^{-1}\,K^{-2}}$, בתוך $1.5\%$ מה-0.641 של המאמר, והשיפוע שלו $\beta = 0.1685\ \mathrm{mJ\,mol^{-1}\,K^{-4}}$ נותן, דרך $\beta = \tfrac{12\pi^4}{5}R/\theta_D^3$, טמפרטורת דבאי $\theta_D = 226.0\ \mathrm{K}$ לעומת $226.6\ \mathrm{K}$ של המאמר.

• השיפוע. אחרי הפחתת ה-$\gamma T$ הזה, השיפוע בצירים לוגריתמיים של הנתונים בין 1 ל-$5\ \mathrm{K}$ הוא 3.00: ה-$T^3$ של דבאי. בלי ההפחתה הוא 1.87 בין 1 ל-$3\ \mathrm{K}$, מפני שחלקם של האלקטרונים גדול שם — $80\%$ מקיבול החום ב-$1\ \mathrm{K}$, מחצית ב-$2\ \mathrm{K}$. זהו אופן הכישלון של מפרט המודל עבור מתכות, גלוי במספרים ממשיים.

• ההתאמות. בהתאמת הפרמטר היחיד של כל מודל לקיבול החום של הסריג בין 4 ל-$100\ \mathrm{K}$ בריבועים פחותים על השאריות היחסיות: דבאי נותן $\theta_D = 218.5 \pm 1.1\ \mathrm{K}$ עם שורש ממוצע ריבועי השאריות של $6\%$, ואף שארית אינה גרועה מ-$11\%$. איינשטיין נותן $\theta_E = 123 \pm 5\ \mathrm{K}$ עם שורש ממוצע ריבועי השאריות של $55\%$; ב-$4\ \mathrm{K}$ הוא מנבא בעצם כלום, וב-$10\ \mathrm{K}$ עשירית ממה שנמדד. הנתונים דוחים את איינשטיין בטמפרטורה נמוכה ומקבלים את דבאי — בתוך $10\%$, לא בתוך הדיוק של הנתונים.

• הנדידה. פתרון נוסחת דבאי עבור ה-$\theta_D$ שמשחזר כל נקודה מדודה נותן $226\ \mathrm{K}$ מתחת ל-$6\ \mathrm{K}$, $210\ \mathrm{K}$ ב-$25\ \mathrm{K}$ ו-$215\ \mathrm{K}$ ב-$80\ \mathrm{K}$. מודל בן פרמטר אחד מתאים לעקומה כולה רק אם מניחים לפרמטר שלו לנדוד ב-$7\%$: זה הספקטרום הממשי של הפונונים המבצבץ מבעד לקריקטורה, והסיבה שיש לצטט $\theta_D$ מותאם יחד עם תחום הטמפרטורות שממנו הוא בא.

8. מול המציאות: קרינת הרקע הקוסמית. מכשיר FIRAS של COBE מדד את הקרינה הממלאת את היקום ב-43 תדירויות בין 68 ל-$640\ \mathrm{GHz}$. התאמה בת פרמטר אחד של חוק פלאנק, ברדיאנס, נותנת $T = 2.725\,015 \pm 0.000\,008\ \mathrm{K}$, עם $\chi^2 = 45.1$ עבור 42 דרגות חופש: עקומת פלאנק היא הצורה הנכונה, בתוך הדיוק של המדידה. כל הנקודות מלבד שתי הרועשות ביותר נמצאות בתוך $60\ \mathrm{kJy\,sr^{-1}}$ מהעקומה, 1.5 חלקים מתוך 10⁴ מהשיא שלה. שתי הסתייגויות שייכות למספר הזה. אי-הוודאות המצוטטת היא סטטיסטית בלבד, וה-$\chi^2$ מתייחס לשגיאות שפורסמו כבלתי תלויות, מה שהן אינן לגמרי; הכיול של FIRAS מגביל את הטמפרטורה המוחלטת ל-$2.72548 \pm 0.00057\ \mathrm{K}$. והארכיון בונה את עמודת הספקטרום שלו כעקומת פלאנק של $2.725\ \mathrm{K}$ ועוד השאריות המדודות, ולכן התאמה משחזרת את הטמפרטורה שהשאריות נלקחו ביחס אליה: מה שמערך הנתונים הזה בודק הוא הצורה, והצורה היא חוק פלאנק. FIRAS משרטט את הספקטרום שלו ליחידת תדירות, שם הוא מגיע לשיא ב-$160\ \mathrm{GHz}$, אורך גל של $1.87\ \mathrm{mm}$; ליחידת אורך גל אותה קרינה מגיעה לשיא ב-$1.06\ \mathrm{mm}$.

9. יהלום ועופרת, בטמפרטורת החדר. במדידה ב-$298\ \mathrm{K}$, קיבול החום של יהלום הוא $6.12\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ (DeSorbo, 1953; Victor, 1962) — $25\%$ מדולונג–פטי — ושל עופרת 26.84 (NIST-JANAF), $8\%$ מעליו, כשהעודף הוא $C_P - C_V$ ואי-הרמוניות. האטומים הקלים והקשרים הנוקשים של היהלום נותנים לו טמפרטורת דבאי סביב $2230\ \mathrm{K}$ מנתוני טמפרטורה נמוכה; זו של עופרת היא בערך $105\ \mathrm{K}$. עם הערכים האלה מודל דבאי מציב את היהלום על $16\%$ מ-$3R$ בטמפרטורת החדר, נמוך מדי: ה-$\theta_D$ שמשחזר את הערך בטמפרטורת החדר הוא $1860\ \mathrm{K}$. גם טמפרטורת דבאי של יהלום נודדת עם $T$.

ניסויי ההפרכה. לכל תפיסה שגויה שהמודול הזה מתעמת איתה יש מדידה לעיל שהיא אינה שורדת. “שיא הספקטרום הוא תכונה של הקרינה”: פריט 4, שבו שני השיאים נבדלים בגורם 0.568 בכל טמפרטורה בעוד האנרגיות מסכימות עד $6 \times 10^{-11}$, ופריט 8, שבו קרינת הרקע הקוסמית מגיעה לשיא ב-1.87 או ב-$1.06\ \mathrm{mm}$ בהתאם לציר. “גופים חמים יותר הם גרסאות בהירות יותר של אותו ספקטרום”: פריט 5, שבו הכפלת $T$ מכפילה את האנרגיה פי שש-עשרה בעוד היחס בין שני הספקטרומים רץ מ-2 ומעלה ללא גבול. “האטומים של מוצק קר מפסיקים לזוז, ולכן הוא אינו אוגר חום”: פריטים 6 ו-7 — קיבול החום מתאפס כשהקוונטים נעשים יקרים מכדי לשלם עליהם, בקצב שנקבע לפי מספר האופנים הזולים שיש לגביש, בעוד תנועת נקודת האפס ששלב 1 הניח בצד נמשכת באפס המוחלט.

להעביר את הרעיון¶

רעיון אחד — אנרגיה בקוונטים, ולכן אופנים יקרים קופאים — מילא במודול הזה שני תפקידים. הוא מגיע הרבה יותר רחוק.

• חזרה למודול 12. שלב 1 הוא המתנד של מודול 12: האכלוס הוא $-\partial \ln Z/\partial\beta$ חלקי הקוונט. מודול 12 קרא לגבול הקר קפיאה וניבא שהיא תציל את המוצק; כאן היא מצילה גם את הקרינה.

• חזרה למודולים 01 ו-09. הספירלה של מוצק איינשטיין נסגרת. מודול 01 החליף את הקוונטים שלו והניח קיבול חום קבוע; מודול 09 בנה את האנטרופיה שלו; מודול 12 קרא את הטמפרטורה שלו מתוך $Z$. כאן אותו מודל מנבא עקומה שקלורימטר מודד, והכישלון שלו בטמפרטורה נמוכה הוא מה ששולח אותנו לדבאי. הקירוב של $C$ קבוע ממודול 01 מכומת עכשיו: בטוח מעל $\theta_E$, שגוי ב-$28\%$ ב-$\theta_E/2$.

• חזרה למודולים 04 ו-06. חלוקת האנרגיה השווה היא גבול הטמפרטורה הגבוהה של שלב 1. הסייג של הקפיאה שמודולים 04 ו-06 צירפו לה — מדוע התנודות של האוויר אינן נספרות בטמפרטורת החדר — הוא אותו מעריכי. טיעון שטף התנע של מודול 04 נתן $P = u/3$ לפוטונים עם שינוי אחד, $p = E/c$.

• חזרה למודול 10. $C_P - C_V = TV\alpha^2/\kappa_T$ הוא הסיבה שטבלה של $C_P$ יכולה לעלות על דולונג–פטי בטמפרטורת החדר, כפי שזו של העופרת עולה.

• קדימה למודול 17. האכלוס $1/(e^{h\nu/(\kB T)} - 1)$ הוא התפלגות בוזה–איינשטיין עם $\mu = 0$. מודול 17 גוזר את המקרה הכללי, לחלקיקים שמספרם נשמר, והאימות שלו מחשב מחדש את עקומת פלאנק של המודול הזה מתוך הנוסחה הכללית ההיא. גז הפוטונים חוזר שם כדוגמה לגז שאינו יכול לעבור עיבוי.

• מודול 18 אינו חייב למודול הזה דבר; הובלת חום בקרינה ובפונונים אינה נידונה שם.

• פירומטריה. פירומטר מודד את הטמפרטורה של כבשן או של כוכב מהצבע שלו — מהצורה של הספקטרום שלו, לא מהבהירות שלו, שתלויה גם במרחק ובמקדם הפליטה. כל פירומטר חייב לומר באיזה משתנה ספקטרלי ה"שיא" שלו משתמש.

• הדמיה תרמית. גוף אדם ב-$310\ \mathrm{K}$ קורן בעוצמה הרבה ביותר ליחידת אורך גל סביב $9.3\ \mu\mathrm{m}$; מצלמות תרמיות בנויות לתחום שבין 8 ל-$14\ \mu\mathrm{m}$ מהסיבה הזו.

• נורת הליבון. תיל טונגסטן ב-$2800\ \mathrm{K}$ שולח $8\%$ מהקרינה שלו לתחום הנראה, 380 עד $750\ \mathrm{nm}$; השאר אינפרה-אדום, ולכן הנצילות של נורות כאלה נמוכה והן הוצאו משימוש. אור השמש, ב-$5772\ \mathrm{K}$, שולח לשם $44\%$. העיניים התפתחו תחת השמש.

• היקום המוקדם. קרינת הרקע הקוסמית היא הגוף השחור המושלם ביותר שנמדד אי פעם. הספקטרום שלה מראה שהיקום היה פעם חם, צפוף ובשיווי משקל; הטמפרטורה שלה, $2.7\ \mathrm{K}$, יורדת ככל שהיקום מתפשט, כפי ששלב 5 דורש מקרינה המתפשטת באופן אדיאבטי.

במבט קדימה:

• מודול 17 לוקח את האכלוס של שלב 1 לחלקיקים שאי אפשר ליצור או להשמיד — אטומים, אלקטרונים — ומוצא עיבוי בוזה–איינשטיין ואת ים פרמי.

• מודול 18 פונה משיווי משקל לדרך שבה מגיעים אליו: פלוקטואציות, וההובלה שהן מניעות.

דוגמאות פתורות¶

נסו כל אחת לפני שתפתחו את הפתרון שלה.

דוגמה פתורה 1 — שני השיאים של השמש. פני השמש קורנים כגוף שחור ב-$5772\ \mathrm{K}$. מצאו את אורך הגל שבו $u_\lambda$ מגיע לשיא, ואת התדירות שבה $u_\nu$ מגיע לשיא. לאיזה אורך גל של אור מתאימה התדירות הזו?

דוגמה פתורה 2 — תנור, מוכפל. הדפנות של תנור מועלות מ-300 ל-$600\ \mathrm{K}$. באיזה גורם גדל ההספק שהן מקרינות, והיכן מגיע לשיא הספקטרום ליחידת אורך גל לפני ואחרי?

דוגמה פתורה 3 — הפוטונים בחדר. כמה פוטונים יש בסנטימטר מעוקב של חדר ב-$300\ \mathrm{K}$, ובסנטימטר מעוקב של החלל הבין-גלקטי, המלא בקרינת הרקע של $2.725\ \mathrm{K}$? מהי האנרגיה הממוצעת של פוטון רקע?

דוגמה פתורה 4 — קיבול החום הקבוע של מודול 01. מודול 01 התייחס למוצק איינשטיין כאילו יש לו $C = \kB$ למתנד. איזה חלק מזה נותן מודל איינשטיין ב-$T = \theta_E/2$, ב-$T = \theta_E$ וב-$T = 5\theta_E$?

דוגמה פתורה 5 — כסף ב-4 K. מתוך $\theta_D = 226\ \mathrm{K}$ ו-$\gamma = 0.641\ \mathrm{mJ\,mol^{-1}\,K^{-2}}$, נבאו את קיבול החום המולרי של כסף ב-$4\ \mathrm{K}$, והשוו לערך שבטבלה, $0.0134\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$.

דוגמה פתורה 6 — ההספק של השמש. הרדיוס של השמש הוא $6.957 \times 10^8\ \mathrm{m}$ וטמפרטורת פני השטח שלה $5772\ \mathrm{K}$. העריכו את הלומינוסיות שלה.

בחנו את הבנתכם¶

1. לאופן של השדה האלקטרומגנטי יש קוונט h nu = 3 k_B T. מהי האנרגיה הממוצעת שלו מעל מצב היסוד, ביחידות של k_B T?

   A. 3/(e^3 - 1) = 0.157 -- האופן נמצא רוב הזמן במצב היסוד שלו, כי קוונט שלם עולה פי שלושה מהאנרגיה התרמית האופיינית. B. 1 -- כל אופן נושא k_B T ללא תלות בתדירות שלו. C. 3 -- האופן מחזיק בדיוק קוונט אחד. D. 0 -- אי אפשר לעולם לעורר קוונט הגדול מ-k_B T.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — 3/(e^3 - 1) = 0.157 -- האופן נמצא רוב הזמן במצב היסוד שלו, כי קוונט שלם עולה פי שלושה מהאנרגיה התרמית האופיינית.

   • A. נכון. = h nu/(e^(h nu/(k_B T)) - 1) = 3 k_B T/(e^3 - 1) = 0.157 k_B T. האופן אינו קפוא לגמרי -- בערך פעם אחת מעשרים הוא מחזיק קוונט -- אבל הוא מחזיק הרבה פחות מה-k_B T הקלאסי, ואופנים בתדירות גבוהה יותר מחזיקים פחות באופן אקספוננציאלי.

   • B. זו חלוקת האנרגיה השווה, ההנחה הקלאסית שהמודול הזה מפיל. היא הגבול של התוצאה הקוונטית כאשר h nu << k_B T; ב-h nu = 3 k_B T היא מעריכה ביתר את האנרגיה פי שישה, וכשמחילים אותה על כל אופן היא נותנת את הקטסטרופה האולטרה-סגולה.

   • C. מספר הקוונטים אינו קבוע; הוא עובר פלוקטואציות, והממוצע שלו הוא = 1/(e^3 - 1) = 0.052. בטמפרטורה הזו אופן מחזיק קוונט אחד רק בכ-5% מהזמן, ואפס קוונטים ברוב הזמן.

   • D. קוונטים גדולים מדוכאים באופן אקספוננציאלי, לא אסורים. גורם בולצמן לקוונט אחד הוא e^-3 = 0.05, קטן אבל לא אפס; הקפיאה היא דעיכה אקספוננציאלית חלקה, לא קטיעה חדה.

2. הפיזיקה הקלאסית מנבאת שהקרינה בחלל חם מחזיקה אנרגיה אינסופית. מה, במדויק, מתבדר?

   A. מספר האופנים ליחידת תדירות גדל כמו nu^2 ללא גבול, וחלוקת האנרגיה השווה נותנת לכל אחד מהם k_B T, ולכן האינטגרל של 8 pi nu^2 k_B T / c^3 על פני כל התדירויות אינסופי. B. פוטונים נעים במהירות האור, ולכן האנרגיה שלהם אינסופית. C. הדפנות בולעות ופולטות מחדש ללא גבול, ולכן האנרגיה מצטברת לעד. D. האנרגיה של כל אופן גדלה עם התדירות שלו, ולכן האופנים הגבוהים ביותר נושאים אנרגיה אינסופית.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — מספר האופנים ליחידת תדירות גדל כמו nu^2 ללא גבול, וחלוקת האנרגיה השווה נותנת לכל אחד מהם k_B T, ולכן האינטגרל של 8 pi nu^2 k_B T / c^3 על פני כל התדירויות אינסופי.

   • A. נכון. ספירת האופנים בחלל נותנת g(nu) = 8 pi V nu^2 / c^3: אין גל עומד קצר ביותר, ולכן אין אופן אחרון. כל אופן הוא מתנד שמחזיק k_B T באופן קלאסי. התיקון הקוונטי שומר על מספר האופנים ומשנה את האנרגיה לאופן, שיורדת אקספוננציאלית ברגע ש-h nu עולה על כמה k_B T.

   • B. האנרגיה של פוטון היא h nu, סופית בכל תדירות. ההתבדרות היא בעיית ספירה: אינסוף אופנים, שכל אחד מהם מקבל אותה אנרגיה קלאסית סופית.

   • C. בשיווי משקל הדפנות פולטות בדיוק כמה שהן בולעות; שום דבר אינו מצטבר. הקטסטרופה הקלאסית היא טענה על מצב שיווי המשקל עצמו, לא על תהליך שיוצא משליטה.

   • D. באופן קלאסי כל אופן נושא אותו k_B T, ללא תלות בתדירות שלו. מה שגדל ללא גבול הוא מספר האופנים, לא האנרגיה של כל אחד מהם.

3. כשהוא משורטט ליחידת אורך גל, הספקטרום של השמש (גוף שחור בסביבות 5772 K) מגיע לשיא בכ-500 nm. כשהוא משורטט ליחידת תדירות, היכן נמצא השיא שלו?

   A. בכ-340 THz, התדירות של אור באורך גל 880 nm -- פוטון אחר, כי u_nu ו-u_lambda הן צפיפויות הקשורות זו לזו דרך היעקוביאן c / lambda^2, שמזיז את המקסימום. B. ב-c / 500 nm = 600 THz -- אותו ספקטרום, אותו שיא. C. ב-1200 THz, כי התדירות נמצאת ביחס הפוך לאורך הגל, ולכן שיא באורך גל קצר הוא שיא בתדירות גבוהה. D. אין שיא ליחידת תדירות; u_nu גדלה ללא גבול.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — בכ-340 THz, התדירות של אור באורך גל 880 nm -- פוטון אחר, כי u_nu ו-u_lambda הן צפיפויות הקשורות זו לזו דרך היעקוביאן c / lambda^2, שמזיז את המקסימום.

   • A. נכון. nu_max = 2.821 k_B T/h = 339 THz, ו-c/nu_max = 883 nm. שני השיאים נבדלים זה מזה בגורם nu_max lambda_max / c = 0.568 בכל טמפרטורה. האנרגיה בכל פס היא אותה אנרגיה בשני התיאורים; מיקומו של “השיא” הוא תכונה של הגרף, לא של האור.

   • B. זו התפיסה השגויה שהשיא הוא תכונה של הקרינה לבדה. u_nu ו-u_lambda אינן אותה פונקציה עם תווית אחרת: u_lambda = u_nu c / lambda^2, והגורם c / lambda^2 משתנה מנקודה לנקודה, ולכן המקסימומים נופלים על פוטונים שונים. הכלי החוקר מציג את שני הסמנים; הסמן הממופה לעולם אינו נוחת על השני.

   • C. ההיפוך נכון להמרת אורך הגל של פוטון אחד לתדירות שלו (500 nm הם 600 THz, לא 1200), אבל השאלה היא היכן הצפיפות ליחידת תדירות היא הגדולה ביותר, וזה מחייב את היעקוביאן, לא רק את ההיפוך.

   • D. זו העקומה הקלאסית של ריילי–ג’ינס. ל-u_nu של פלאנק יש מקסימום ב-x = h nu / (k_B T) = 2.821, ומעבר לו היא יורדת אקספוננציאלית.

4. טמפרטורת פני השטח של סיריוס A היא כ-9940 K. אם מתייחסים אליו כאל גוף שחור, באיזה אורך גל, בננומטרים, מגיע הספקטרום שלו ליחידת אורך גל לשיא? (השתמשו ב-lambda_max T = 2.898e-3 m K.)

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 292 (± 2)

   lambda_max = 2.898e-3 / 9940 = 2.92e-7 m = 292 nm, באולטרה-סגול. ליחידת תדירות השיא הוא nu_max = 2.821 k_B T/h = 5.84e14 Hz, התדירות של אור באורך גל 513 nm; היחס nu_max lambda_max / c = 0.568, כמו בכל טמפרטורה. אם ענית 513, חישבת את שיא התדירות והמרת אותו לאורך גל.

5. הדפנות של תנור מחוממות מ-300 K ל-600 K. באיזה גורם גדל ההספק הכולל שהן מקרינות?

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 16 (± 0.1)

   ההספק גדל כמו sigma T^4, ולכן הגורם הוא 2^4 = 16. אם ענית 2, הנחת שגוף חם יותר מקרין את אותו ספקטרום, רק בהיר יותר ביחס ישר לטמפרטורה שלו: זה נכון רק בקצה הרחוק של התדירויות הנמוכות. הספקטרום גם מרוויח פוטונים בתדירויות שהגוף הקר יותר לא יכול היה להרשות לעצמו, והשיא שלו נע מ-9.66 ל-4.83 מיקרומטרים. אם ענית 8, ספרת פוטונים (T^3) במקום אנרגיה.

6. מדוע הפוטנציאל הכימי של גז הפוטונים בחלל הוא אפס?

   A. הדפנות בולעות ופולטות פוטונים בחופשיות, ולכן מספר הפוטונים אינו נשמר; הוא מתכוונן כך שהאנרגיה החופשית תהיה מינימלית ב-T וב-V קבועים, שם (dF/dN)_{T,V} = mu = 0. B. מספר הפוטונים נשמר, ולכן mu נקבע על ידו ובמקרה יוצא אפס. C. פוטונים הם חסרי מסה, ופוטנציאל כימי הוא אנרגיה של מסה. D. פוטונים אינם מקיימים אינטראקציה זה עם זה, ו-mu מודד אינטראקציות.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — הדפנות בולעות ופולטות פוטונים בחופשיות, ולכן מספר הפוטונים אינו נשמר; הוא מתכוונן כך שהאנרגיה החופשית תהיה מינימלית ב-T וב-V קבועים, שם (dF/dN)_{T,V} = mu = 0.

   • A. נכון. מספר שנשמר הוא אילוץ, והפוטנציאל הכימי שלו הוא המחיר של הוספת עוד אחד; מספר שאינו נשמר הוא משתנה שמתייצב במינימום של F. תוצאה שאפשר לבדוק: מספר הפוטונים אינו קבוע אלא גדל כמו T^3 כשמחממים את החלל, ו-U = TS - PV מתקיים בדיוק.

   • B. מספר הפוטונים אינו נשמר בחלל שיש לו דפנות: חימום החלל יוצר פוטונים (n גדל כמו T^3), וקירור משמיד אותם. אילו היה נשמר, mu היה מקבל את הערך שקובע את המספר -- בדרך כלל לא אפס -- כמו לאטומים של מודול 17.

   • C. הפוטנציאל הכימי הוא המחיר, באנרגיה חופשית, של הוספת חלקיק ב-T וב-V קבועים, לא אנרגיית מנוחה. היעדר המסה לבדו אינו קובע mu = 0; אי-השימור קובע. אור בתיבה עם מראות מושלמות ובלי שום דבר שיבלע אותו היה משמר את מספר הפוטונים.

   • D. לגז של חלקיקים נשמרים ללא אינטראקציה, כמו הגז האידיאלי של מודול 13, יש mu = k_B T ln(n / n_Q) תקין לחלוטין ושונה מאפס. הסיבה היא אי-השימור, לא היעדר האינטראקציות.

7. במודל איינשטיין, מהו קיבול החום ב-T = theta_E / 2, ביחידות של ערך דולונג–פטי 3 N k_B?

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 0.724 (± 0.005)

   עם x = theta_E / T = 2, C/(3 N k_B) = x^2 e^x/(e^x - 1)^2 = 4 e^2/(e^2 - 1)^2 = 0.724. ב-T = 5 theta_E (x = 0.2) הוא 0.9967, בהתאם לטור 1 - x^2/12: דולונג–פטי הוא הגבול של טמפרטורה גבוהה. אם ענית 0.541, השתמשת ב-x^2 e^-x, הקירוב של טמפרטורה נמוכה, מחוץ לתחום התקפות שלו.

8. קיבול החום של גביש מבדד, שנמדד מתחת ל-10 K, יורד בשיפוע לוג-לוג 3. איזה מודל שורד, ומדוע C יורד בכלל?

   A. דבאי -- לגביש יש אופני קול בתדירות נמוכה כרצוננו, שהקוונטים שלהם נשארים זולים מספיק; ככל ש-T יורד, פחות אופנים (בערך V (k_B T / hbar c_s)^3 מהם) יכולים לקבל אנרגיה, ולכן C יורד כמו T^3. B. איינשטיין -- שני המודלים מתאפסים ב-T = 0, ולכן כל אחד מהם מתאים. C. אף אחד מהם -- האטומים קפואים ללא תנועה בטמפרטורה נמוכה, ולכן אי אפשר לאגור אנרגיה ו-C צונח לאפס בבת אחת. D. איינשטיין, בתנאי ש-theta_E נבחר קטן מספיק.

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: A — דבאי -- לגביש יש אופני קול בתדירות נמוכה כרצוננו, שהקוונטים שלהם נשארים זולים מספיק; ככל ש-T יורד, פחות אופנים (בערך V (k_B T / hbar c_s)^3 מהם) יכולים לקבל אנרגיה, ולכן C יורד כמו T^3.

   • A. נכון. הספקטרום של דבאי מכיל תמיד אופנים עם hbar omega < k_B T, וספירתם נותנת T^3, כמו שספירת פוטונים נותנת את ה-T^3 של מספר הפוטונים. C יורד מפני שהקוונטים נעשים יקרים מדי, אופן אחר אופן; האטומים שומרים על תנועת נקודת האפס שלהם.

   • B. שניהם מתאפסים, אבל ה-C של איינשטיין יורד כמו x^2 e^-x, אקספוננציאלית, הרבה יותר מהר מכל חזקה: שיפוע הלוג-לוג שלו אינו קבוע, והוא כ-19 בין theta/40 ל-theta/10. השיפוע מבחין בין המודלים, והנתונים בוחרים בדבאי.

   • C. זו התפיסה השגויה שאטומים קרים מפסיקים לנוע. כל מתנד שומר על אנרגיית נקודת האפס שלו hbar omega/2 ב-T = 0, וקיבול החום יורד בהדרגה, כמו T^3, לא בבת אחת. C קטן מפני שהאמבט רק לעתים רחוקות מספק קוונט שלם, לא מפני שהתנועה נפסקה.

   • D. theta_E קטן יותר דוחה את הקריסה אבל אינו משנה את צורתה: מתחת לכ-theta_E / 5 עקומת איינשטיין עדיין יורדת אקספוננציאלית. שום תדירות יחידה אינה נותנת חוק חזקה.

9. הטמפרטורה של חלל סגור מוכפלת. באיזה גורם משתנה מספר הפוטונים שבתוכו?

   בדקו את התשובה

   התשובה הנכונה: 8 (± 0.05)

   n = 16 pi zeta(3) (k_B T / h c)^3, ולכן הכפלת T כופלת את מספר הפוטונים ב-2^3 = 8. הפוטונים נוצרים על ידי הדפנות ואינם נשמרים. האנרגיה גדלה פי 16 (T^4), ולכן האנרגיה הממוצעת לפוטון, 2.70 k_B T, מוכפלת. אם ענית 2, התייחסת לפוטונים כמו למולקולות של גז בכלי אטום, שאת מספרן חימום אינו יכול לשנות.

10. בארבעה או חמישה משפטים: ציינו את ההנחה הקלאסית היחידה שעומדת מאחורי הקטסטרופה האולטרה-סגולה וגם מאחורי הכישלון של דולונג–פטי בטמפרטורה נמוכה, הסבירו כיצד שינוי יחיד מציל את שניהם, והסבירו מדוע קיבול החום של גביש יורד לעבר אפס אף שהאטומים שלו לעולם אינם מפסיקים לנוע.

בעיות בסגנון בחינה למודול הזה — אלה ששווה לפתור עם עט — מרוכזות באוסף הבעיות.

להסביר במילים שלכם¶

ענו בכמה משפטים על כל אחת.

1. מדוע “השיא של ספקטרום הגוף השחור” אינו גודל מוגדר היטב עד שנוקבים במשתנה ספקטרלי? מה כן מוגדר היטב?

2. קיבול החום של מוצק יורד לאפס בטמפרטורה נמוכה, ובכל זאת האטומים שלו לעולם אינם מפסיקים לזוז. הסבירו את שני חלקי המשפט הזה.

3. ציינו את ההנחה הקלאסית האחת שמאחורי הקטסטרופה האולטרה-סגולה ומאחורי הכישלון של דולונג–פטי בטמפרטורה נמוכה, והסבירו כיצד שינוי יחיד בה מציל את שניהם.

4. במשפט אחד: מדוע הפוטנציאל הכימי של פוטונים הוא אפס?

מתקדם: מאזן האנרגיה של כוכב לכת¶

כוכב הלכת החשוף. כדור הארץ מיירט אור שמש בחתך שלו, $\pi R^2$, וקורן מכל פני השטח שלו, $4\pi R^2$. הקבוע הסולרי, שטף אור השמש במרחק של כדור הארץ, הוא $S = 1361\ \mathrm{W\,m^{-2}}$, וכוכב הלכת מחזיר חלק $A \approx 0.3$ ממנו, האלבדו שלו. אם פני השטח קורנים כגוף שחור בטמפרטורה אחת $T_e$, באיזון בין מה שנבלע למה שנפלט,

כלומר $-19\,{}^\circ\mathrm{C}$. הטמפרטורה הממוצעת המדודה של פני השטח היא בערך $288\ \mathrm{K}$, $15\,{}^\circ\mathrm{C}$.

שכבה בולעת אחת. הוסיפו אטמוספרה, באידיאליזציה של שכבה יחידה שמעבירה אור שמש ובולעת את כל הקרינה התרמית. חוק ההסחה של וין הוא מה שהופך את האידיאליזציה לסבירה: אור השמש מגיע לשיא ליחידת אורך גל סביב $0.5\ \mu\mathrm{m}$, כוכב לכת של $255\ \mathrm{K}$ סביב $11\ \mu\mathrm{m}$, וגזים כמו אדי מים ופחמן דו-חמצני בולעים חזק בתחום השני וכמעט שאינם בולעים בראשון. השכבה, בטמפרטורה $T_a$, קורנת גם כלפי מעלה וגם כלפי מטה. בשיווי משקל החלק העליון של השכבה חייב לפלוט לחלל את מה שכוכב הלכת בולע, והשכבה חייבת לפלוט כמה שהיא מקבלת מפני השטח:

ולכן $T_a = T_e$ ופני השטח נמצאים ב-$T_s = 2^{1/4}\,T_e = 303\ \mathrm{K}$: חמים יותר, מפני שהם מקבלים את הקרינה של השכבה כלפי מטה בנוסף לזו של השמש. עם $n$ שכבות כאלה, $T_s = (n + 1)^{1/4}\,T_e$.

הצעצוע מסביר את המנגנון: שכבה בולעת אינה לוכדת חום בכך שהיא חוסמת אותו, אלא בכך שהיא פולטת אותו מחדש בטמפרטורה נמוכה מזו של פני השטח, כך שכוכב הלכת חייב להתחמם עד שהשכבה העליונה קורנת מספיק. הוספת בולעים מעלה את הגובה שממנו כוכב הלכת קורן לחלל; מפני שהאטמוספרה קרה יותר ככל שעולים, הגובה הזה חייב להתחמם.